Soit $\alpha \in R(G, T)$; posons $V_\alpha = (G/Z(\mathrm{Ker}\ \alpha)) \times (\mathrm{Ker}\ \alpha)$, et soit $\varphi_\alpha$ le morphisme de $V_\alpha$ dans $G$ tel que, pour tout $g \in G$ et tout $t \in \mathrm{Ker}\ \alpha$, on ait $\varphi_\alpha(\overline{g}, t) = gtg^{-1}$ (on désigne par $\overline{g}$ la classe de $g$ modulo $Z(\mathrm{Ker}\ \alpha)$). Alors $V_\alpha$ est une variété analytique réelle compacte de dimension

(§ 4, no 5, th. 1); $\varphi_\alpha$ est un morphisme de variétés analytiques réelles, et l’image de $\varphi_\alpha$ est formée des éléments de $G$ conjugués à un élément de $\mathrm{Ker}\ \alpha$. Il suffit alors de prendre pour $V$ la somme des variétés $V_\alpha$, et pour $\varphi$ le morphisme induisant $\varphi_\alpha$ sur chaque $V_\alpha$.

b) Le groupe $W$ (resp. $W_a$) opère de façon simplement transitive dans l’ensemble des chambres (resp. alcôves).

c) Soient $C$ une chambre et $A$ une alcôve. Alors $\overline{C}$ (resp. $\overline{A}$, resp. $A$) est un domaine fondamental pour l’action de $W$ dans $t$ (resp. de $W_a$ dans $t$, resp. de $W_a$ dans $t - t_r$). Si $x \in t_r$ et $w \in W_a$ sont tels que $w(x) = x$, alors $w = \mathrm{Id}$.

d) Pour toute chambre $C$, il existe une unique alcôve $A$ telle que $A \subset C$ et $0 \in \overline{A}$. Pour toute alcôve $A$, il existe un unique $\gamma \in N(G, T)$ tel que $\gamma \in \overline{A}$.

Si $w \in W$ et $\gamma \in \Gamma(T)$, on a $wt_\gamma w^{-1} = t_{w(\gamma)}$ et $wt_\gamma w^{-1} t_\gamma^{-1} = t_{w(\gamma) - \gamma}$, avec $w(\gamma) - \gamma \in N(G, T)$; cela implique aussitôt a). Le reste de la proposition résulte de VI, § 1, n° 5 et § 2, n°s 1 et 2.

a) Le groupe $W'_a$ est produit semi-direct de $H_A$ par $W_a$.

b) L’application exponentielle $\overline{A} \to T$ et l’injection canonique $T \to G$ induisent par passage aux quotients et aux sous-ensembles des homéomorphismes

Soit $w' \in W'_a$; alors $w'(A)$ est une alcôve de $t$, et il existe (prop. 2, b)) un unique élément $w$ de $W_a$ tel que $w(A) = w'(A)$, c’est-à-dire $w^{-1} w' \in H_A$. Puisque $W_a$ est distingué dans $W'_a$, ceci démontre a).

L’injection canonique de $\overline{A}$ dans $t$ induit une bijection continue $\theta : \overline{A} \to t/W_a$ (prop. 2, c)), qui est un homéomorphisme puisque $\overline{A}$ est compact. Comme $W_a$ est distingué dans $W'_a$, le groupe $H_A$ opère de façon canonique dans $t/W_a$ (A, I, p. 55) et $t/W'_a$ s’identifie au quotient $(t/W_a)/H_A$; l’application $\theta$ est compatible avec les opérations de $H_A$, donc induit par passage aux quotients un homéomorphisme $\overline{A}/H_A \to t/W'_a$. Par ailleurs $\exp_T$ induit un homéomorphisme de $t/\Gamma(T)$ sur $T$, donc aussi un homéomorphisme de $t/W'_a$ sur $T/W$. L’assertion b) résulte de là et du cor. 1 à la prop. 5 du § 2, n° 4.

On peut supposer que $g$ appartient à $T_r$ (§ 2, n° 2, th. 2). Soit $x$ un élément de $t_r$ tel que $\exp x = g$, et soit $A'$ l’alcôve de $t$ contenant $x$. Les alcôves $A$ de $t$ telles que $g \in \exp(A)$ sont les alcôves $A' - \gamma$ pour $\gamma \in \Gamma(T)$; l’assertion résulte donc de la prop. 2, d).

L’assertion a) est claire. Pour démontrer b), on peut remplacer $G$ par $D(G)$ (§ 1, cor. 1 à la prop. 4), donc supposer $G$ semi-simple. Alors, si $H_0$ est central dans $G$, on a $L(H) = \{ 0 \}$, de sorte que l’endomorphisme $L(u) - \mathrm{Id}$ de $g$ est bijectif. Soit $f$ l’endomorphisme de la variété $G$ défini par $f(g) = u(g)^{-1}g$ pour $g \in G$; il est étale, car si $g \in G$ et $x \in g$, on a $T(f)(xg) = u(g)^{-1}(x - L(u)(x))g$, de sorte que l’application tangente à $f$ en $g$ est bijective. Il s’ensuit que l’image de $f$ est ouverte et compacte, donc coïncide avec $G$ puisque $G$ est connexe. Soient alors $E$ un épinglage de $G$ ($\S$ 4, n° 10, déf. 3) et $u(E)$ son image par $u$. D’après la prop. 19 de loc. cit., il existe un élément $h$ de $G$ tel que $(\mathrm{Int}\ h)\ (E) = u(E)$. Soit $g \in G$ tel que $h = f(g) = u(g)^{-1}g$; on a

donc l’épinglage $(\mathrm{Int}\ g)\ (E)$ est stable par $u$. Si $(\mathrm{Int}\ g)\ (E) = (T_1, B, (U_\alpha)_{\alpha \in B})$, on a donc $\sum U_\alpha \in L(H)$; comme $L(H) = \{0\}$, cela implique $B = \varnothing$, donc $G = T_1$, et $G$ est commutatif.

Pour tout $\alpha$ dans $R(G, T)$, soit $S_\alpha$ la sous-variété de $S$ formée des éléments $s$ de $S$ tels que l’on ait $(xs)^\alpha = 1$. S’il n’existe aucun élément $s$ de $S$ tel que $xs$ soit régulier, $S$ est la réunion des sous-variétés $S_\alpha$, donc est égale à l’une d’elles. Il existe alors $\alpha$ dans $R(G, T)$ tel que $(xs)^\alpha = 1$ pour tout $s \in S$; mais cela implique $x^\alpha = 1$ et $\alpha|S = 1$, donc $Z(x) \cap Z(S) \supseteq Z(\mathrm{Ker}\ \alpha)$, d’où le lemme.

Puisque $G$ est simplement connexe, $\Gamma(T)$ est engendré par les vecteurs nodaux $K_\alpha$ ($\alpha \in R(G, T)$), donc admet comme base la famille des $K_\alpha$, lorsque $\alpha$ parcourt la base $B(C)$ définie par $C$ (VI, § 1, n° 10). Il suffit donc de prouver que si $\varphi$ est un automorphisme du tore $T$ laissant stable une base de $\Gamma(T)$, l’ensemble des points fixes de $\varphi$ est connexe. Décomposant cette base en réunion disjointe d’orbites du groupe engendré par $\varphi$, on se ramène au cas où $T = \mathbf{U}^n$ et où $\varphi$ est l’automorphisme $(z_1, ..., z_n) \mapsto (z_2, ..., z_n, z_1)$; en ce cas les points fixes de $\varphi$ sont les points $(z, z, ..., z)$ pour $z \in \mathbf{U}$, qui forment un sous-groupe connexe de $T$.

Soient $H$ le groupe des points fixes de $u$, $S$ un tore maximal de $Z(x) \cap H$, et $K$ la composante neutre de $Z(S) \cap Z(x)$. C’est un sous-groupe fermé connexe de $G$; par ailleurs, d’après le cor. 5 au th. 2 du § 2, n° 2, il existe des tores maximaux de $G$ contenant $S$ et $x$, donc $K$ est de rang maximum et contient $S$ et $x$. D’autre part, $K$ est stable pour $u$ puisque $S$ et $x$ le sont ; notons $V$ l’ensemble des points fixes de $u$ dans $K$. On a alors

donc $V_0$ est contenu dans le centralisateur de $S$ dans $(Z(x) \cap H)_0$; mais ce dernier est réduit à $S$ (loc. cit., cor. 6), d’où finalement $V_0 = S$. Le lemme 1 entraîne alors que $K$ est commutatif, donc est un tore maximal de $G$ (puisqu’il est connexe et de rang maximum). Il contient S et x, et est égal à la composante neutre de Z(S) ∩ Z(x); l’assertion a) résulte alors du lemme 2. On en déduit b) en prenant g = x exp a.

Quitte à remplacer s par $\mathscr{D}s$, on peut supposer s semi-simple. Soit S un groupe de Lie compact simplement connexe d’algèbre de Lie s, et soit u l’automorphisme de S tel que L(u) = φ. La prop. 3 entraîne l’existence d’un élément a de s, fixé par φ, tel que exp a soit régulier dans S ; en particulier a est régulier dans s (n° 2, remarque 4).

L’assertion a) est le cas particulier x = e de la prop. 3. Supposons maintenant G simplement connexe et démontrons b) et c). Soit x un élément de G fixé par u, et soit g un élément régulier de G, fixé par u et commutant à x (prop. 3). Le centralisateur K de g est un tore maximal de G (n° 2, remarque 2), stable par u, contenant x et g. D’après le cor. 3 à la prop. 2 du n° 2, il existe une unique alcôve A de L(K) telle que $g \in \exp(A)$ et $0 \in \overline{A}$; comme g est fixé par u, L(u) laisse stable A, donc aussi la chambre de L(K) qui contient A. Cela démontre b) ; par ailleurs, l’ensemble des points de K fixés par u est connexe (lemme 3) et contient x et e, d’où c) (TG, I, p. 81, prop. 2).

Il nous reste à démontrer b) dans le cas général. Or, si $\tilde{D}(G)$ est le revêtement universel de D(G), et si $f : \tilde{D}(G) \to G$ est le morphisme canonique, il existe un automorphisme $\tilde{u}$ de $\tilde{D}(G)$ tel que $f \circ \tilde{u} = u \circ f$. Si $\tilde{K}$ est un tore maximal de $\tilde{D}(G)$ et $\tilde{C}$ une chambre de L($\tilde{K}$), stables pour $\tilde{u}$(il en existe d’après ce qui a déjà été démontré), il existe (§ 2, n° 3, remarque 2) un unique tore maximal K de G et une unique chambre C de L(K) tels que $\tilde{K} = f^{-1}(K)$ et $\tilde{C} = L(f)^{-1}(C)$, et on voit aussitôt que K et C sont stables pour u, d’où l’assertion b) dans le cas général.

D’après le cor. 3 à la prop. 11 du § 4, n° 6, D(G) est simplement connexe. On a $G = C(G)_0 . D(G)$; soit $x \in G$; écrivons $x = uv$, avec $u \in C(G)_0$ et $v \in D(G)$. Alors $Z(x) = C(G)_0 . Z_{D(G)}(v)$. D’après le th. 1, c), $Z_{D(G)}(v)$ est connexe, donc $Z(x)$ est connexe, d’où a). D’après le cor. 3 au th. 2 du § 2, n° 2, Z(x) est donc la réunion des tores maximaux de G contenant x, d’où b).

Alors il existe un tore maximal de $G$ stable pour l’action de $\Gamma$.

Raisonnons par récurrence sur la dimension de $G$. On peut évidemment supposer que $u_1 \neq \mathrm{Id}$; alors le sous-groupe $H$ des points fixes de $u_1$ est distinct de $G$, et est stable pour l’action de $\Gamma$. De plus, puisque $\Gamma$ est compact, l’image de $\Gamma$ dans $\mathrm{Aut}(H_0)$ est un quotient de $\Gamma$, donc satisfait aussi à la condition (*). D’après l’hypothèse de récurrence, il existe un tore maximal $S$ de $H$ stable par $\Gamma$. Le centralisateur $K$ de $S$ dans $G$ est connexe (§ 2, n° 2, cor. 5) et stable par $\Gamma$; c’est un tore maximal de $G$, puisque $H_0$ contient un élément régulier de $G$ (th. 1, a)) et que celui-ci est conjugué à un élément de $S$ (loc. cit., cor. 4).

Soient $H$ un groupe de Lie compact, $N$ un sous-groupe nilpotent de $H$. Alors l’adhérence $\Gamma$ de $N$ est aussi un groupe nilpotent (III, § 9, n° 1, cor. 2 à la prop. 1), et il suffit, vu le cor. 3, de prouver que $\Gamma$ satisfait à la condition (*). Or $\Gamma_0$ est un groupe de Lie compact connexe nilpotent, donc est un tore (§ 1, n° 4, cor. 1 à la prop. 4), et il existe un élément $u_1$ de $\Gamma_0$ engendrant un sous-groupe dense de $\Gamma_0$ (TG, VII, p. 8, texte précédant la prop. 8). Le groupe fini $\Gamma/\Gamma_0$ est nilpotent et il existe $\tilde{u}_2, ..., \tilde{u}_n \in \Gamma/\Gamma_0$ engendrant $\Gamma/\Gamma_0$ et tels que le sous-groupe de $\Gamma/\Gamma_0$ engendré par $(\tilde{u}_2, ..., \tilde{u}_r)$ soit distingué pour $r = 2, ..., n$ (A, I, p. 73, th. 1 et p. 76, th. 4). Alors, si $u_2, ..., u_n$ sont des représentants de $\tilde{u}_2, ..., \tilde{u}_n$ dans $\Gamma$, la suite $(u_1, ..., u_n)$ possède la propriété exigée.

Soit $F$ l’application de $G \times T$ dans $T$ telle que $F(g, t) = gtg^{-1}$. Comme $F \circ (\gamma(g), \mathrm{Id}_T) = \mathrm{Int}\ g \circ F$, on a $T_{(g,t)}(F)(gz, tx) = T_t(\mathrm{Int}\ g) \circ T_{(e,t)}(F)(z, tx)$; d’après III, § 3, no 12, prop. 46, on a

et par conséquent

Le lemme résulte aussitôt de cette formule par passage au quotient.

a) L'équivalence de (i) et (i bis) est claire ; celle de (ii) et (ii bis) résulte des relations $\dim((G/T) \times T) = \dim((G/T) \times t) = \dim(G)$. D'après le lemme 4, $f$ est une submersion au point $(\overline{g}, t)$ si et seulement si $g = t + \mathrm{Im}(\mathrm{Ad}\ t - \mathrm{Id})$, ce qui signifie que $t$ est régulier. Enfin puisque $\varphi = f \circ (\mathrm{Id}_{G/T} \times \exp_T)$, $\varphi$ est étale au point $(\overline{g}, x)$ si et seulement si $f$ est étale au point $(\overline{g}, \exp x)$, ce qui signifie d'après ce qui précède que $x$ appartient à $t_r$.

b) Les morphismes $f_r, \varphi_r, \varphi_A$ sont donc étales. D'autre part $W$ opère librement dans $G/T$, et a fortiori dans $(G/T) \times T$. Soient $g, g'$ dans $G$ et $t, t'$ dans $T_r$ tels que $f(\overline{g}, t) = f(\overline{g'}, t')$; alors $\mathrm{Int}\ g^{-1}g'$ applique $t'$ sur $t$, donc normalise $T$, puisque $T = Z(t)_0 = Z(t')_0$, et la classe $w$ de $g^{-1}g'$ dans $W$ applique $(\overline{g}, t)$ sur $(\overline{g'}, t')$. Il s'ensuit que $f_r$ est un revêtement principal de groupe $W$; cela implique aussitôt que $\varphi_r$ est un revêtement principal de groupe $W'_a$, donc par restriction à la composante connexe $(G/T) \times A$ de $(G/T) \times t_r$, que $\varphi_A$ est un revêtement principal de groupe $H_A$.