Cho $\alpha \in R(G,T)$; đặt $V_{\alpha}= (G/$Z(Ker$\alpha$ ))$\times$ (Ker$\alpha$ ), và cho $\varphi_{\alpha}$ là cấu xạ từ $V_{\alpha}$ đến G sao cho, với mọi $g\in G$ và mọi $t\in$ Ker $\alpha$, ta có $\varphi_{\alpha}(\overline{g}, t) =gtg^{-1}$ (ta ký hiệu $\overline{g}$ là lớp ghép của $g$ theo modulo Z(Ker$\alpha$ )). Khi đó $V_{\alpha}$ là một đa tạp giải tích thực compact có chiều

dim $V_{\alpha}=$ dim $G-$ dim Z(Ker $\alpha$ ) $+$ dim Ker$\alpha$

$=n-$ (dim T + 2) + (dim $T-1$) $=n-3$

(§4, no. 5, Th. $1$)$;\varphi_{\alpha}$ là một cấu xạ của các đa tạp giải tích thực, và ảnh của $\varphi_{\alpha}$ gồm các phần tử của G liên hợp với một phần tử của Ker $\alpha$. Bây giờ chỉ cần lấy V là tổng của các đa tạp $V_{\alpha}$, và $\varphi$ là cấu xạ cảm sinh $\varphi_{\alpha}$ trên mỗi $V_{\alpha}$.

b) Nhóm W (tương ứng $W_a$) tác động đơn bắc cầu lên tập hợp các buồng (tương ứng các ô).

c) Cho C là một buồng và A là một ô. Khi đó $\overline{C}$ (tương ứng A, tương ứng A) là một miền cơ bản cho tác động của W lên $\mathfrak{t}$ (tương ứng của $W_a$ lên $\mathfrak{t}$, tương ứng của $W_a$ lên $\mathfrak{t}$-- $\mathfrak{t}_r$). Nếu $x\in \mathfrak{t}_r$ và $w\in W_a$ sao cho $w(x) =x$, thì $w=$ Id.

d) Với mỗi buồng C, tồn tại duy nhất một ô A sao cho $A\subset C$ và$\gamma \in \frac{0}{A}.\in \overline{A}$. Với mỗi ô A, tồn tại duy nhất $\gamma \in N(G,T)$ sao cho

Nếu $w\in W$ và $\gamma \in \Gamma$(T), thì $wt_{\gamma}w^{-1}=t_{w(\gamma)}$ và $wt_{\gamma}w^{-1}t^{-1}_{\gamma}=t_{w(\gamma)-\gamma}$, với $w(\gamma )-\gamma \in N(G,T)$; điều này ngay lập tức suy ra a). Phần còn lại của mệnh đề suy ra từ Chương VI, §1, no. 5 và §2, các số 1 và 2.

a) Nhóm $W'_a$ là tích bán trực tiếp của $H_A$ bởi $W_a$.

b) Ánh xạ mũ $\overline{A}\rightarrow T$ và đơn ánh chính tắc $T\rightarrow G$ cảm sinh, khi qua các thương và các tập con, các đồng phôi

$\overline{A}/H_A\rightarrow T/W\rightarrow G/$Int(G)

$A/H_A\rightarrow T_r/W\rightarrow G_r/$Int(G).

Cho $w'\in W'_a$; khi đó $w'(A)$ là một ô của $\mathfrak{t}$, và tồn tại (Mệnh đề $2b$)$)$ một phần tử duy nhất $w$ của $W_a$ sao cho $w(A) =w'$(A), tức là $w^{-1}w'\in H_A$. Vì $W_a$ là chuẩn tắc trong $W'_a$, nên điều này chứng minh a).

Đơn ánh chính tắc của $\overline{A}$ vào $\mathfrak{t}$ cảm sinh một song ánh liên tục $\theta :\overline{A}\rightarrow$ $\mathfrak{t}/W_a$ (Mệnh đề $2c$)$)$, và đây là một đồng phôi vì A là compact. Vì $W_a$ là nhóm con chuẩn trong $W'_a$, nhóm $H_A$ tác động một cách chính tắc trên $\mathfrak{t}/W_a($Đại số, Chương I, §5, no. 4) và $\mathfrak{t}/W'_a$ có thể được đồng nhất với thương $(\mathfrak{t}/W_a)/H_A$; ánh xạ $\theta$ tương thích với các tác động của $H_A$, nên cảm sinh, qua thương, một đồng phôi $A/H_A\rightarrow \mathfrak{t}/W'_a$. Hơn nữa, exp$_{\Gamma}$ cảm sinh một đồng phôi từ $\mathfrak{t}/\Gamma (T)$ đến T, nên cũng cảm sinh một đồng phôi từ $\mathfrak{t}/W'_a$ đến $T/W$. Khẳng định b) suy ra từ đó và Hệ quả 1 của Mệnh đề 5 của §2, no. 4.

$\overline{C}\rightarrow \mathfrak{t}/W\rightarrow \mathfrak{g}/$Ad(G).

Các ánh xạ chính tắc $\overline{C}\rightarrow \mathfrak{t}$ và $\mathfrak{t}\rightarrow \mathfrak{t}/W$ là thực sự (Tôpô tổng quát, Chương III, §4, no. 1, Mệnh đề $2c$)$)$. Ánh xạ $\overline{C}\rightarrow \mathfrak{t}/W$ liên tục, thực sự và song ánh (Mệnh đề $2c$)$)$; do đó, nó là một đồng phôi, suy ra hệ quả theo Hệ quả của Mệnh đề 6 của §2, no. 5.

Ta có thể giả sử rằng $g$ thuộc $T_r($§2, no. 2, Định lý 2). Gọi $x$ là một phần tử của $\mathfrak{t}_r$ sao cho exp $x=g$, và gọi $A'$ là miền cơ bản của $\mathfrak{t}$ chứa $x$. Các miền cơ bản A của $\mathfrak{t}$ sao cho $g\in$ exp(A) là các miền cơ bản $A'-\gamma$ với $\gamma \in \Gamma (T)$; do đó, mệnh đề suy ra từ Mệnh đề $2d)$.

a) H là một nhóm con đóng của G.

b) Nếu $H_0$ là trung tâm trong G, thì G là giao hoán (vì vậy G = T).

Khẳng định a) là rõ ràng. Để chứng minh b), ta có thể thay thế G bởi D(G) (§1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4), và do đó có thể giả sử rằng G là nửa đơn. Khi đó, nếu $H_0$ là trung tâm trong G, ta có $L(H) =\{0\}$, nên tự đồng cấu $L(u)-$Id của $\mathfrak{g}$ là song ánh. Gọi $f$ là ánh xạ của đa tạp G được xác định bởi $f(g) =u(g)^{-1}g$ với $g\in G$; nó là étale, vì nếu $g\in G$ và $x\in \mathfrak{g}$, ta có $T(f)(xg) =u(g)^{-1}(x-L(u)(x))g$, do đó ánh xạ tiếp xúc của $f$ tại $g$ là song ánh. Suy ra ảnh của $f$ là mở và compact, vì vậy trùng với G vì G liên thông. Bây giờ cho E là một khung của G (§4, no. 10, Định nghĩa 3) và $u(E)$ là ảnh của nó qua $u$. Theo Mệnh đề 19 của tài liệu đã dẫn, tồn tại một phần tử $h$ của G sao cho (Int $h$)$(E) =u(E)$. Gọi $g\in G$ là phần tử sao cho $h=f(g) =u(g)^{-1}g$; khi đó

$u\circ$ Int $g=$ (Int $u(g)$)$\circ u=$ Int $g\circ$ (Int $h$)$^{-1}\circ u$,

nên khung (Int $g$)$(E)$ ổn định dưới $u$. Nếu (Int $g$)$(E) = (T_1,B,(U_{\alpha})_{\alpha\in B})$, thì $\sum U_{\alpha}\in L(H)$; vì $L(H) =\{0\}$, điều này suy ra rằng $B =\emptyset$, do đó $G = T_1$, và G giao hoán.

Với mọi $\alpha \in R(G,T)$, cho $S_{\alpha}$ là đa tạp con của S gồm các phần tử $s$ của S sao cho $(xs)^{\alpha}= 1$. Nếu không có phần tử $s$ nào của S sao cho $xs$ là chính quy, thì S là hợp các đa tạp con $S_{\alpha}$, do đó bằng một trong số đó. Vậy tồn tại $\alpha$ trong $R(G,T)$ sao cho $(xs)^{\alpha}= 1$ với mọi $s\in S$; nhưng điều này suy ra rằng $x^{\alpha}= 1$ và $\alpha |S = 1$, nên $Z(x)\cap Z(S)\supset$ Z(Ker $\alpha$ ), suy ra bổ đề.

Vì G là đơn liên, $\Gamma (T)$ được sinh bởi các vectơ nút $K_{\alpha}$ $(\alpha \in R(G,T))$, và do đó có một cơ sở gồm họ các $K_{\alpha}$ sao cho $\alpha$ thuộc cơ sở B(C) được xác định bởi C (Chương VI, §1, no. 10). Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng, nếu $\varphi$ là một tự đẳng cấu của xuyến T giữ ổn định một cơ sở của $\Gamma$(T), thì tập các điểm cố định của $\varphi$ là liên thông. Phân tích cơ sở này thành hợp rời nhau các quỹ đạo của nhóm sinh bởi $\varphi$, ta quy về trường hợp $T =\mathbf{U}^n$ và $\varphi$ là tự đẳng cấu $(z_1, . . . , z_n) \rightarrow (z_2, . . . , z_n, z_1)$; trong trường hợp này các điểm cố định của $\varphi$ là các điểm $(z, z, . . . , z)$ với $z\in \mathbf{U}$, và chúng tạo thành một nhóm con liên thông của T.

a) Tồn tại một phần tử $a$ của $\mathfrak{g}$, được $L(u)$ và Ad $x$ cố định, sao cho $x$ exp $a$ là chính quy.

b) Tồn tại một phần tử chính quy $g$ của G được $u$ cố định và giao hoán với $x$.

Cho H là nhóm các điểm bất động của u, S là một xuyến cực đại của $Z(x)\cap H$, và K là thành phần liên thông đơn vị của $Z(S)\cap Z(x)$. Đó là một nhóm con đóng liên thông của G; hơn nữa, theo Hệ quả 5 của Định lý 2 của §2, no. 2, tồn tại các xuyến cực đại của G chứa S và x, do đó K có hạng cực đại và chứa S và x. Mặt khác, K ổn định dưới u vì S và x đều vậy; ký hiệu V là tập các điểm bất động của u trong K. Khi đó

suy ra $V_0$ được chứa trong bộ trung tâm hóa của S trong $(Z(x)\cap H)_0$; nhưng bộ sau trùng với S (loc. cit., Hệ quả 6), do đó cuối cùng $V_0= S$. Bổ đề 1 suy ra ngay K giao hoán, vì vậy là một xuyến cực đại của G (vì nó liên thông và có hạng cực đại). Nó chứa S và x, và bằng thành phần liên thông đơn vị của $Z(S)\cap Z(x)$; mệnh đề a) theo đó suy ra từ Bổ đề 2. Suy ra b) bằng cách lấy $g=x$ exp $a$.

Thay $\mathfrak{s}$ bởi $\mathscr{D}\mathfrak{s}$, ta có thể giả sử rằng $\mathfrak{s}$ là nửa đơn. Cho S là một nhóm Lie compact đơn liên với đại số Lie $\mathfrak{s}$, và cho u là tự đẳng cấu của S sao cho $L(u) =\varphi$. Mệnh đề 3 suy ra sự tồn tại của một phần tử $a$ của $\mathfrak{s}$, được $\varphi$ cố định, sao cho exp $a$ là chính quy trong S; nói riêng, $a$ là chính quy trong $\mathfrak{s}$ (no. 2, nhận xét 4).

a) Thành phần liên thông đơn vị của nhóm các điểm bất động của $u$ chứa một phần tử chính quy của G.

b) Tồn tại một xuyến cực đại K của G và một buồng của L(K) ổn định dưới $u$.

c) Nếu G là đơn liên, tập các điểm bất động của $u$ liên thông.

Mệnh đề a) là trường hợp riêng $x=e$ của Mđề. 3. Giờ ta giả sử rằng G là đơn liên và chứng minh b) và c). Cho $x$ là một phần tử của G được $u$ cố định, và cho $g$ là một phần tử chính quy của G, được $u$ cố định và giao hoán với $x$ (Mđề. 3). Bộ trung tâm của $g$ là một xuyến cực đại của G (mục 2, Nhận xét 2), ổn định dưới $u$, và chứa $x$ và $g$. Theo Hệ quả 3 của Mđề. 2 của mục 2, tồn tại một alcove duy nhất A của L(K) sao cho $g\in$ exp A và $0\in A$; vì $g$ được cố định bởi $u, L(u)$ để lại A, và do đó cũng để lại buồng của L(K) chứa A, ổn định. Điều này chứng minh b); hơn nữa, tập hợp các điểm của K được $u$ cố định là liên thông (Bổ đề 3) và chứa $x$ và $e$, suy ra c) (Tôpô học Đại cương, Ch. I, §11, mục 1, Mđề. 2).

Còn phải chứng minh b) trong trường hợp tổng quát. Bây giờ, nếu $\widetilde{D}(G)$ là bao phủ phổ quát của D(G), và nếu $f: \widetilde{D}(G)\rightarrow G$ là cấu xạ chính tắc, thì tồn tại một tự đẳng cấu $\widetilde{u}$ của $\widetilde{D}(G)$ sao cho $f\circ \widetilde{u}=u\circ f$. Nếu $\widetilde{K}$ là một xuyến cực đại của $\widetilde{D}(G)$ và $\widetilde{C}$ một buồng của $L( \widetilde{K})$, ổn định dưới $\widetilde{u}$ (điều này tồn tại theo những gì đã được chứng minh), thì tồn tại (§2, mục 3, Nhận xét 2) một xuyến cực đại duy nhất K của G và một buồng duy nhất C của L(K) sao cho $\widetilde{K} =f^{-1}(K)$ và $\widetilde{C} = L(f)^{-1}$(C), và ta thấy ngay rằng K và C ổn định dưới $u$, do đó mệnh đề b) trong trường hợp tổng quát.

a) Bộ trung tâm của mọi phần tử của G là liên thông.

b) Bất kỳ hai phần tử giao hoán của G đều thuộc cùng một xuyến cực đại.

Theo Hệ quả 3 của Mđề. 11 của §4, mục 6, D(G) là đơn liên. Ta có $G = C(G)_0.D(G)$; lấy $x\in G$; viết $x=uv$, với $u\in C(G)_0$ và $v\in D(G)$. Khi đó $Z(x) = C(G)_0.Z_{D(G)}(v)$. Theo ĐL. $1c), Z_{D(G)}(v)$ liên thông, nên $Z(x)$ liên thông, do đó a). Vậy, theo Hệ quả 3 của ĐL. 2 của §2, mục $2, Z(x)$ là hợp của các xuyến cực đại của G chứa $x$, do đó b).

(*) Tồn tại các phần tử $u_1, . . . , u_n$ của $\Gamma$ sao cho, với mọi $i$, bao đóng $\Gamma_i$ của nhóm con của $\Gamma$ sinh bởi $u_1, . . . , u_i$ là một nhóm con chuẩn tắc của $\Gamma$, và $\Gamma_n=\Gamma$.

Khi đó, tồn tại một xuyến đại cực đại của G ổn định dưới phép toán của $\Gamma$.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo chiều của G. Rõ ràng, ta có thể giả sử rằng $u_1\not=$ Id; khi đó nhóm con H gồm các điểm bất động của $u_1$ khác với G, và ổn định dưới phép toán của $\Gamma$. Hơn nữa, vì $\Gamma$ là compact, ảnh của $\Gamma$ trong Aut(H$_0$) là một thương của $\Gamma$, do đó nó cũng thỏa mãn điều kiện (*). Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một xuyến đại cực đại S của H ổn định dưới $\Gamma$. Nhóm trung tâm hóa K của S trong G là liên thông (§2, no. 2, Hệ quả 5) và ổn định dưới $\Gamma$; đây là một xuyến đại cực đại của G, vì $H_0$ chứa một phần tử chính quy của G (Định lý $1a$)$)$ liên hợp với một phần tử của S (loc. cit., Hệ quả 4).

Cho H là một nhóm Lie compact, N là một nhóm con lũy linh của H. Khi đó bao đóng $\Gamma$ của N cũng là một nhóm lũy linh (Chap. III, §9, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 1), và nhờ Hệ quả 3, chỉ cần chứng minh rằng $\Gamma$ thỏa mãn điều kiện (*). Bây giờ $\Gamma_0$ là một nhóm Lie compact lũy linh liên thông, do đó là một xuyến (§1, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4), và tồn tại một phần tử $u_1$ của $\Gamma$ sinh ra một nhóm con trù mật của $\Gamma_0$(General Topology, Chap. VII, §1, no. 3, đoạn văn đứng trước Mệnh đề 8). Nhóm hữu hạn $\Gamma /\Gamma_0$ là lũy linh và tồn tại $\widetilde{u}_2, . . . ,\widetilde{u}_n\in \Gamma /\Gamma_0$ sinh ra $\Gamma /\Gamma_0$ và sao cho nhóm con của $\Gamma /\Gamma_0$ được sinh bởi $(\widetilde{u}_2, . . . ,\widetilde{u}_r)$ là chuẩn tắc với $r= 2, . . . , n($Algebra, Chap. I, §6, no. 5, Định lý 1 và no. 7, Định lý 4). Khi đó, nếu $u_2, . . . , u_n$ là các đại diện của $\widetilde{u}_2, . . . ,\widetilde{u}_n$ trong $\Gamma$, thì dãy $(u_1, . . . , u_n)$ có các tính chất yêu cầu.

$f'(\overline{z}, x) =$ (Ad $gt^{-1}$)$(z-$(Ad $t$)$z+x)$.

Cho $F$ là ánh xạ từ $G\times T$ vào T sao cho $F(g, t) =gtg^{-1}$. Vì $F\circ (\gamma (g)$, Id$_T) =$ Int $g\circ F$, ta có $T_{(g,t)}(F)(gz, tx) = T_t$(Int $g$)$\circ T_{(e,t)}(F)(z, tx)$; theo Chương III, §3, no. 12, Mệnh đề 46,

$T_{(e,t)}(F)(z, tx) =t$((Ad $t^{-1}$)$z-z$) $+tx=t$((Ad $t^{-1}$)$(z-$ (Ad $t$)$z+x$))

và do đó

$T_{(g,t)}(F)(gz, tx) =gtg^{-1}$((Ad $gt^{-1}$)$(z-$ (Ad $t$)$z+x$)).

Bổ đề suy ra ngay lập tức từ công thức này bằng cách đi qua thương.

(i) $t\in T_r$ (resp. $x\in \mathfrak{t}_r$).

(i bis) Phần tử $f(\overline{g}, t)$ (resp. $\varphi (\overline{g}, x)$) là chính quy trong G.

(ii) Ánh xạ $f$ (resp. $\varphi$ ) là một ánh xạ chìm tại điểm $(\overline{g}, t)$ (resp. $(\overline{g}, x)$).

(ii bis) Ánh xạ $f$ (resp. $\varphi$ ) là étale tại điểm $(\overline{g}, t)$ (resp. $(\overline{g}, x)$).

b) Ánh xạ $f_r$ (resp. $\varphi_r$, resp. $\varphi_A$) làm cho $(G/T)\times T_r$ (resp. $(G/T)\times \mathfrak{t}_r$, resp. $(G/T)\times A$) thành một phủ chính của $G_r$ với nhóm W (resp. $W'_a$, resp. $H_A$).

a) Sự tương đương giữa (i) và (i bis) là rõ ràng; sự tương đương giữa (ii) và (ii bis) suy ra từ các quan hệ dim((G$/T$)$\times T$) $=$ dim((G$/T$)$\times \mathfrak{t}$) $=$ dim(G). Theo Bổ đề 4, $f$ là một submersion tại điểm $(\overline{g}, t)$ khi và chỉ khi $\mathfrak{g}=\mathfrak{t}+$ Im(Ad $t-$Id), điều này có nghĩa là $t$ là chính quy. Cuối cùng, vì $\varphi =f\circ$ (Id$_{G/T}\times$ exp$_T$)$,\varphi$ là étale tại điểm $(\overline{g}, x)$ khi và chỉ khi $f$ là étale tại điểm $(\overline{g}$, exp $x$), mà theo điều trên thì điều đó có nghĩa là $x$ thuộc $\mathfrak{t}_r$.

b) Vì thế các cấu xạ $f_r, \varphi_r, \varphi_A$ đều là étale. Mặt khác, W tác động tự do trên $G/T$, và a fortiori trên $(G/T)\times T$. Giả sử $g, g'$ trong G và $t, t'$ trong $T_r$ sao cho $f(\overline{g}, t) =f(\overline{g}', t')$; khi đó Int $g^{-1}g'$ ánh xạ $t'$ thành $t$, và do đó chuẩn hóa T, vì $T = Z(t)_0= Z(t')_0$, và lớp $w$ của $g^{-1}g'$ trong W ánh xạ $(\overline{g}, t)$ thành $(\overline{g}', t')$. Suy ra rằng $f_r$ là một phủ chính với nhóm W; điều này ngay lập tức suy ra rằng $\varphi_r$ là một phủ chính với nhóm $W'_a$, và do đó bởi hạn chế lên thành phần liên thông $(G/T)\times A$ của $(G/T)\times \mathfrak{t}_r$, rằng $\varphi_A$ là một phủ chính với nhóm $H_A$.