Trước hết giả sử rằng H liên thông; mọi phần tử của $X(H)$ triệt tiêu trên nhóm dẫn xuất $D(H)$ của H, do đó ta có một đồng cấu $X(H/D(H))\longrightarrow X(H)$. Nhưng $H/D(H)$ liên thông và giao hoán, nên là một xuyến, và $X(H/D(H))$ là một $\mathbf Z$-môđun tự do thuộc kiểu hữu hạn (Spectral Theories, Chap. II, §2, no. 1, Cor. 2 of Prop. 1). Trong trường hợp tổng quát, từ tính chính xác của dãy

trong đó $X(H_0)$ là tự do thuộc kiểu hữu hạn và $X(H/H_0)$ là hữu hạn, suy ra rằng $X(H)$ thuộc kiểu hữu hạn.

Theo Spectral Theories, Chap. II, §1, no. 7, Th. 4, phần bù trực giao của hạt nhân của $a_i$ là nhóm con $A_i$ của $X(H)$ được sinh bởi $a_i$; theo loc. cit., Cor. 2 of Th. 4, phần bù trực giao của $\bigcap\operatorname{Ker}a_i$ là nhóm con của $X(H)$ được sinh bởi các $A_i$, do đó có mệnh đề.

Nhắc lại (Đại số, Chap. IX) rằng, theo định nghĩa, điều này có nghĩa là các ánh xạ tuyến tính $X(S)\rightarrow$ Hom$_{\mathbf{Z}}(\Gamma (S),\mathbf{Z})$ và $\Gamma (S)\rightarrow$ Hom$_{\mathbf{Z}}(X(S),\mathbf{Z})$ liên kết với dạng song tuyến tính này là song ánh.

Hiển nhiên rằng nếu kết luận của mệnh đề đúng cho hai xuyến, thì nó cũng đúng cho tích của chúng. Vì mọi xuyến có chiều $n$ đều đẳng cấu với $\mathbf{U}^n$, ta quy về trường hợp $S =\mathbf{U}$. Trong trường hợp riêng này, mệnh đề là hiển nhiên.

Cho $f: S\rightarrow S'$ là một cấu xạ của các xuyến. Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính $X(f) : X(S')\rightarrow X(S)$ và $\Gamma (f) :\Gamma (S)\rightarrow \Gamma (S')$ là chuyển vị của ánh xạ kia: với mọi $a'\in X(S')$ và mọi $X\in \Gamma$(S),

Nếu $f$ là một cấu xạ của các nhóm Lie từ S đến $S'$, đồng cấu $X(f)$ chính là đối ngẫu của $f$ theo nghĩa của Spectral Theories, Chap. II, §1, no. 7. Ánh xạ $\varphi \rightarrow \widehat{\varphi}$ từ Hom$_{\mathbf{Z}}(X(S'),X(S))$ đến $M(S,S')$ được định nghĩa trong loc. cit. là nghịch đảo của ánh xạ $f \rightarrow X(f)$ từ $M(S,S')$ đến Hom$_{\mathbf{Z}}(X(S'),X(S))$; ánh xạ sau do đó là song ánh. Nếu ta đồng nhất $\Gamma (S)$ (resp. $\Gamma (S')$) với môđun $\mathbf{Z}$ đối ngẫu của X(S) (resp. $X(S')$) (Prop. $3$)$,\Gamma (f)$ trùng với chuyển vị của đồng cấu $X(f)$, do đó có mệnh đề.

Vì $\rho$ là nửa đơn (§1, no. 1), chỉ cần chứng minh bổ đề trong trường hợp $\rho$ là đơn. Trong trường hợp đó, hoán tập Z của $\rho (G)$ trong End( $\widetilde{V}$) chỉ gồm các phép vị tự (Đại số, Chương VIII, §3, no. 2, Định lý 1); do đó, ảnh của đồng cấu $\widetilde{\rho}$ được chứa trong nhóm con $\mathbf{C}^*.1_V$ của GL( $\widetilde{V}$), và tồn tại $\lambda \in X(G)$ sao cho $\widetilde{V} = \widetilde{V}_{\lambda}(G)$.

Công thức (9), với $T'= T, g=n$, suy ra rằng $P(\rho ,T)$ ổn định dưới $w$; hơn nữa, $\widetilde{\rho}(n)$ cảm sinh một đẳng cấu từ $\widetilde{V}_{\lambda}(T)$ đến $\widetilde{V}_{w\lambda}(T)$ (công thức (8)), do đó suy ra mệnh đề.

Đồng cấu $\rho$ là đơn ánh khi và chỉ khi hạn chế của nó vào T là đơn ánh (§2, no. 6, Mệnh đề 9). Hơn nữa, vì đồng cấu chính tắc $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}( \widetilde{V})$ là đơn ánh, ta có thể thay thế $\rho$ bởi $\widetilde{\rho}$. Khi đó từ (7) suy ra rằng hạt nhân của hạn chế của $\rho$ vào T là giao của các hạt nhân của các phần tử của $P(\rho ,T)$. Do đó, kết luận suy ra từ Mệnh đề 2 của no. 1.

Biểu diễn tuyến tính $L(\rho )$ của $\mathfrak{t}$ trong $\mathfrak{g}\mathfrak{l}( \widetilde{V})$ mở rộng thành một đồng cấu của các đại số Lie-$\mathbf{C}$

Hơn nữa, nhắc lại (no. 1) rằng ta đã liên kết với mỗi phần tử $\lambda$ của X(T) một dạng tuyến tính $\delta (\lambda )$ trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ sao cho

(exp$_Tx$)$^{\lambda}=e^{\delta(\lambda)(x)},x\in \mathfrak{t}$. (10)

Cuối cùng nhắc lại rằng (Chương VII, §1, no. 1), đối với mọi ánh xạ $\mu:\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}\rightarrow \mathbf{C}$, ta ký hiệu bởi $\widetilde{V}_\mu(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}})$ không gian vectơ con của $\widetilde{V}$ gồm các $v$ sao cho $(\widetilde{L}(\rho )(u))(v) =\mu(u).v$ với mọi $u\in \mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$.

Bây giờ ta suy ra từ (7) và loc. cit., Mệnh đề 3:

b) Ánh xạ $\delta : X(T)\rightarrow$ Hom$_{\mathbf{C}}(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}},\mathbf{C})$ cảm sinh một song ánh từ $P(\rho ,T)$ lên tập hợp các trọng số của $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ trên $\widetilde{V}$.

Trước hết hãy lưu ý rằng, nếu W tác động trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ bằng cách liên kết với mỗi phần tử $w$ của W tự đồng cấu $L(w)_{(\mathbf{C})}$ của $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$, thì ánh xạ $\delta$ tương thích với phép toán của W trên X(T) và Hom$_{\mathbf{C}}(\mathfrak{t}_{\mathbf{C}},\mathbf{C})$.

Bây giờ giả sử rằng $k=\mathbf{R}$. Ký hiệu bởi $\sigma$ phép liên hợp của $\widetilde{V}$ đối với V, được xác định bởi $\sigma (x+iy) =x-iy$ với $x, y$ thuộc V; đối với mỗi không gian vectơ phức con E của $\widetilde{V}$, không gian con nhỏ nhất của $\widetilde{V}$ hữu tỉ trên $\mathbf{R}$ và chứa E là $E +\sigma (E)$. Đặc biệt, với mọi $\lambda \in X(T)$, tồn tại một không gian vectơ thực con $V(\lambda )$ của V sao cho không gian con $V(\lambda )_{(\mathbf{C})}$ của $\widetilde{V}$ là $\widetilde{V}_{\lambda}(T) + \widetilde{V}_{-\lambda}(T)$ (lưu ý rằng $\sigma ( \widetilde{V}_{\lambda}(T)) = \widetilde{V}_{-\lambda}(T)$). Ta có $V(\lambda ) = V(-\lambda )$, và các $V(\lambda )$ là các thành phần đẳng kiểu của biểu diễn của T trên V cảm sinh bởi $\rho$.

a) Tâm C(G) của G là một nhóm con đóng của T, bằng giao của các hạt nhân của các căn. Ánh xạ chính tắc $X(T/C(G))\rightarrow X(T)$ là đơn ánh với ảnh Q(R).

b) Nhóm compact C(G) đẳng cấu với đối ngẫu của nhóm rời rạc $X(T)/Q(R) ($Spectral Theories, Chap. II, §1, no. 1, Def. 2).

c) C(G) thu gọn về phần tử đơn vị khi và chỉ khi Q(R) bằng X(T).

Theo §2, no. 2, Hệ quả 2 của Định lý 2, C(G) được chứa trong T. Vì đây là hạt nhân của biểu diễn phụ hợp, nó là giao của các hạt nhân của các căn, nói cách khác là phần bù trực giao của nhóm con Q(R) của X(T). Do đó, mệnh đề suy ra từ Spectral Theories, Chap. II, §1, no. 7, Định lý 4 và no. 5, Định lý 2.

Trước hết, giả sử rằng C(G) thu gọn về phần tử đơn vị, nói cách khác X(T) = Q(R) (Mệnh đề 8). Cho $f$ là một tự đẳng cấu của G cảm sinh đồng nhất trên T, và $\varphi = L(f)_{(\mathbf{C})}$; khi đó $\varphi$ là một tự đẳng cấu của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ cảm sinh đồng nhất trên $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$. Theo Chap. VIII, §5, no. 2, Mệnh đề 2, tồn tại một đồng cấu duy nhất $\theta : Q(R)\rightarrow \mathbf{C}^*$ sao cho $\varphi$ cảm sinh trên mỗi $\mathfrak{g}^{\alpha}$ phép vị tự với tỉ số $\theta (\alpha )$. Vì $\varphi$ giữ dạng thực $\mathfrak{g}$ của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ ổn định, nó giao hoán với phép liên hợp $\sigma$ của $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ đối với $\mathfrak{g}$; nhưng $\sigma (\mathfrak{g}^{\alpha}) =\mathfrak{g}^{-\alpha}$, nên $\theta (-\alpha ) =\overline{\theta(\alpha)}$ với mọi $\alpha \in R$. Điều này suy ra rằng $\theta (\alpha )\theta (\alpha ) =\theta (\alpha )\theta (-\alpha ) = 1$. Suy ra $\theta$ nhận giá trị trong $\mathbf{U}$, và do đó tương ứng qua đối ngẫu với một phần tử $t$ của T sao cho (Ad $t$)$_{(\mathbf{C})}=\varphi$, vậy Int $t=f$.

Trong trường hợp tổng quát, điều nói trên áp dụng cho nhóm $G/C(G)$, có tâm thu gọn về phần tử đơn vị, và cho xuyến cực đại $T/C(G)$. Suy ra rằng, nếu $f$ là một tự đẳng cấu của G cảm sinh tự đồng nhất trên T, thì tồn tại một phần tử $t$ của T sao cho $f$ và Int $t$ cảm sinh qua phép đi qua thương cùng một tự đẳng cấu của $G/C(G)$. Nhưng, vì cấu xạ chính tắc $D(G)\rightarrow G/C(G)$ là một phủ hữu hạn (§1, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4), $f$ và Int $t$ cảm sinh cùng một tự đẳng cấu của D(G), do đó của $D(G)\times C(G)$, và do đó cũng của G (loc. cit.).

Nếu $u$ bằng Int $g$, với $g\in G$, nhóm con $H_0= Z(g)_0$ có hạng cực đại (§2, no. 2, Hệ quả 3). Ngược lại, nếu H chứa một xuyến cực đại S, tự đẳng cấu $u$ có dạng Int $s$ với $s\in S$ (Mệnh đề 9).

(i) $R(Z(S)_0,T)$ là tập hợp các $\alpha \in R(G,T)$ sao cho $\alpha (S) =\{1\}$.

(ii) Tâm của $Z(S)_0$ là giao của các Ker$\alpha$ với $\alpha \in R(Z(S)_0,T)$.

(iii) Nếu S liên thông, Z(S) liên thông.

Đại số Lie $L(Z(S))_{(\mathbf{C})}$ gồm các bất biến của S trên $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ (Chương III, §9, no. 3, Mệnh đề 8), và do đó là tổng trực tiếp của $\mathfrak{t}_{\mathbf{C}}$ và các $\mathfrak{g}^{\alpha}$ mà $\alpha (S) =\{1\}$, do đó suy ra (i). Mệnh đề (ii) suy ra từ Mệnh đề 8 (no. 4), và mệnh đề (iii) đã được chứng minh (§2, no. 2, Hệ quả 5 của Định lý 2).

Gọi $Z'_{\alpha}$ là tâm hóa tử của (Ker $\alpha$ )$_0$. Theo Bổ đề 2, đây là một nhóm con đóng liên thông của G, và $R(Z'_{\alpha},T)$ là tập hợp các $\beta \in R(G,T)$ sao cho $\beta$((Ker$\alpha$ )$_0$) $=\{1\}$. Rõ ràng, $\{\alpha ,-\alpha \} \subset R(Z'_{\alpha},T)$. Ngược lại, cho $\beta \in R(Z'_{\alpha},T)$; vì (Ker $\alpha$ )$_0$ có chỉ số hữu hạn trong Ker $\alpha$, tồn tại một số nguyên $r\not= 0$ sao cho $t^{r\beta}= 1$ với $t\in$ Ker $\alpha$. Từ tính chính xác của dãy

$0\longrightarrow \mathbf{Z}\longrightarrow X(T)\longrightarrow$ X(Ker $\alpha$ )$\longrightarrow 0$

tương ứng theo đối ngẫu với dãy khớp

0 $\longrightarrow$ Ker$\alpha \longrightarrow$ T $\longrightarrow^{\alpha}\mathbf{U}\longrightarrow 0$,

suy ra rằng $r\beta$ là một bội của $\alpha$; theo Chương VIII, §2, no. 2, ĐL. 2 (i), điều này suy ra rằng $\beta \in \{\alpha ,-\alpha \}$. Do đó, $R(Z'_{\alpha},T) =\{\alpha ,-\alpha \}$. Suy ra (Bổ đề 2) tâm của $Z'_{\alpha}$ là Ker$\alpha$, nên $Z'_{\alpha}= Z_{\alpha}$. Cuối cùng, theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 4 (§1, no. 4), $D(Z_\alpha)$ là một nhóm con nửa đơn, đóng và liên thông của $G$; nó có hạng $1$ vì $\mathscr{L}(Z_\alpha)(\mathbf C)=\mathfrak{g}^\alpha+\mathfrak{g}^{-\alpha}+[\mathfrak{g}^\alpha,\mathfrak{g}^{-\alpha}]$.

a) Ảnh của $\nu$ giao hoán với hạt nhân của $\alpha$.

b) Với mọi $a\in\mathbf U$, ta có

Nếu $\nu_1$ và $\nu_2$ là hai cấu xạ từ $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ đến $G$ thỏa các tính chất trên, thì tồn tại $a\in\mathbf U$ sao cho

Theo ĐL. 1 và Mệnh đề 6 của §3, no. 6, tồn tại một cấu xạ của nhóm Lie

toàn ánh với hạt nhân rời rạc. Khi đó $\nu^{-1}(\mathbf T\cap S_\alpha)$ là một xuyến cực đại của $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ (§2, no. 3, Mệnh đề 1). Vì các xuyến cực đại của $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ là liên hợp (§2, no. 2, ĐL. 2), ta có thể giả sử, nếu cần thay $\nu$ bởi $\nu\circ\operatorname{Int}s$ (với $s\in\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$), rằng $\nu^{-1}(\mathbf T\cap S_\alpha)$ là nhóm các ma trận đường chéo trong $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$. Khi đó với mọi $a\in\mathbf U$, và ánh xạ là một nghiệm của $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$, và do đó bằng một trong hai ánh xạ hoặc (§3, no. 6, các công thức (19)). Trong trường hợp thứ nhất, đồng cấu $\nu$ có các tính chất yêu cầu; trong trường hợp thứ hai, đồng cấu $\nu\circ\operatorname{Int}\theta$ có chúng (ở chỗ đã dẫn, các công thức (18)).

Nếu $\nu_1$ và $\nu_2$ là hai cấu xạ từ $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ đến $G$ thỏa các điều kiện đã nêu, thì cả hai đều gửi $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ vào $S_\alpha$ (điều kiện a)), do đó cả hai đều là các bao phủ phổ quát của $S_\alpha$. Suy ra, tồn tại một tự đẳng cấu $\varphi$ của $\mathbf{SU}(2,\mathbf C)$ sao cho $\nu_2=\nu_1\circ\varphi$, và ta kết luận bằng cách dùng Mệnh đề 9 của no. 4.

Từ hệ quả trước đó suy ra rằng đồng cấu $\nu_{\mathbf T}$ từ $\mathbf U$ đến $\mathbf T$, được xác định bởi

với $a\in\mathbf U$, không phụ thuộc vào lựa chọn của $\nu$. Ký hiệu $K_\alpha\in\Gamma(\mathbf T)$ là ảnh dưới $\Gamma(\nu_{\mathbf T})$ của phần tử $2\pi i$ của $\Gamma(\mathbf U)=2\pi i\mathbf Z$; nó được gọi là vectơ nút liên kết với nghiệm $\alpha$. Ta có $\langle\alpha,K_\alpha\rangle=2$, nói cách khác (no. 2, công thức (2)) $\delta(\alpha)(K_\alpha)=4\pi i$; vì $K_\alpha$ thuộc giao của $\mathfrak t$ và $\mathscr L(S_\alpha)(\mathbf C)$, ta có trong đó $H_{\delta(\alpha)}$ là nghiệm nghịch đảo liên kết với nghiệm $\delta(\alpha)$ của $(\mathfrak g_{\mathbf C},\mathfrak t_{\mathbf C})$ (Chap. VIII, §2, no. 2). Nói cách khác, khi $\Gamma(\mathbf T)\otimes\mathbf R$ được đồng nhất với đối ngẫu của $X(T)\otimes \mathbf{R}$ qua cặp $\langle ,\rangle$, $K_{\alpha}$ được đồng nhất với nghiệm nghịch đảo $\alpha^{\vee}\in (X(T)\otimes \mathbf{R})^*$.