$\sigma^2=$ Id$_{\mathfrak{a}}, \sigma (\lambda x+\mu y) = \overline{\lambda \sigma}(x) + \overline{\mu\sigma}(y),[\sigma (x), \sigma (y)] =\sigma [x, y]$ (2)

với $\lambda , \mu\in \mathbf{C},x, y\in \mathfrak{a}$. Một phần tử $x$ của $\mathfrak{a}$ thuộc $\mathfrak{g}$ khi và chỉ khi $\sigma (x) =x$.

b) Cho $\sigma :\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{a}$ là một ánh xạ thỏa mãn (2). Khi đó tập hợp $\mathfrak{g}$ các điểm bất động của $\sigma$ là một dạng thực của $\mathfrak{a}$, và $\sigma$ là phép liên hợp của $\mathfrak{a}$ đối với $\mathfrak{g}$.

Chứng minh là ngay lập tức.

Chú ý rằng nếu B ký hiệu dạng Killing của $\mathfrak{a}$, và nếu $\mathfrak{g}$ là một dạng thực của $\mathfrak{a}$, thì hạn chế của B lên $\mathfrak{g}$ là dạng Killing của $\mathfrak{g}$; đặc biệt, B nhận giá trị thực trên $\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}$. Giả sử rằng $\mathfrak{a}$ là khả quy; khi đó đại số Lie thực $\mathfrak{g}$ là compact nếu và chỉ nếu hạn chế của B lên $\mathfrak{g}$ là âm (§1, no. 3). Trong trường hợp đó ta nói rằng $\mathfrak{g}$ là một dạng thực compact của $\mathfrak{a}$.

b) Cho $\sigma$ là phép liên hợp của $\mathfrak{a}$ đối với $\mathfrak{a}_0$. Khi đó $\sigma \circ \theta =\theta \circ \sigma$. Tập các điểm bất động của $\sigma \circ \theta$ là một dạng thực compact $\mathfrak{a}_u$ của $\mathfrak{a}$, trong đó $i\mathfrak{h}_0$ là một đại số con Cartan.

Phần a) suy ra ngay lập tức từ điều trước đó. Ta chứng minh b). Vì $\sigma \circ \theta$ và $\theta \circ \sigma$ là hai ánh xạ nửa tuyến tính từ $\mathfrak{a}$ đến $\mathfrak{a}$ trùng nhau trên $\mathfrak{a}_0$, nên chúng trùng nhau. Bây giờ $\sigma \circ \theta$ thỏa mãn các điều kiện (2) của no. 1, do đó là phép liên hợp của $\mathfrak{a}$ đối với dạng thực $\mathfrak{a}_u$ gồm các $x\in \mathfrak{a}$ sao cho $\sigma \circ \theta (x) =x$ (Prop. 1). Với mọi $\alpha \in R$, đặt

Khi đó không gian vectơ $\mathbf{R}$ $\mathfrak{a}_u$ được sinh bởi $i\mathfrak{h}_0$, các $u_{\alpha}$ và các $v_{\alpha}$. Chính xác hơn, nếu ta chọn một buồng C của R, thì

Hiển nhiên $i\mathfrak{h}_0$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{a}_u$, và còn phải chứng minh rằng hạn chế của B trên $\mathfrak{a}_u$ là âm. Bây giờ $i\mathfrak{h}_0$ và các không gian con khác nhau dạng $\mathbf{R}u_{\alpha}\oplus \mathbf{R}v_{\alpha}$ trực giao đối với B, theo (5); hạn chế của B trên $i\mathfrak{h}_0$ là âm và

do đó suy ra kết luận.

Gọi $\tau$ là phép liên hợp của $\mathfrak{a}$ đối với $\mathfrak{g}$. Theo giả thiết $\tau (x) =x$ với $x\in i\mathfrak{h}_0$, nên $\tau (x) =-x$ với $x\in \mathfrak{h}_0$. Do đó, với mọi $\alpha \in R$ và mọi $h\in \mathfrak{h}_0$,

suy ra rằng $[h, \tau (X_{\alpha})] =-\alpha (h)\tau (X_{\alpha})$ với mọi $h\in \mathfrak{h}_0$, do đó cũng với mọi $h\in \mathfrak{h}$. Vậy tồn tại $c_{\alpha}\in \mathbf{C}^*$ sao cho $\tau (X_{\alpha}) =c_{\alpha}X_{-\alpha}$. Vì $[X_{\alpha}, X_{-\alpha}]\in \mathfrak{h}_0$, ta có $[\tau (X_{\alpha}), \tau (X_{-\alpha})] =-[X_{\alpha}, X_{-\alpha}]$, nên $c_{\alpha}c_{-\alpha}$ = 1; tương tự, các công thức (3) và (4) cho $c_{\alpha+\beta}=c_{\alpha}c_{\beta}$ nếu $\alpha , \beta , \alpha +\beta$ là các gốc. Theo Ch. VI, §1, no. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 19, tồn tại một đồng cấu $\delta : Q(R)\rightarrow \mathbf{C}^*$ sao cho $\delta (\alpha ) =c_{\alpha}$ với mọi $\alpha \in R$.

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng mỗi $c_{\alpha}$ đều dương ngặt. Thật vậy, $c_{\alpha}B(X_{\alpha}, X_{-\alpha}) =$ $B(X_{\alpha}, \tau (X_{\alpha}))$, và vì $B(X_{\alpha}, X_{-\alpha})$ là âm, chỉ cần chỉ ra rằng $B(z, \tau (z))<0$ với mọi phần tử khác không $z$ của $\mathfrak{a}$; nhưng mọi phần tử của $\mathfrak{a}$ đều có thể viết dưới dạng $x+iy$, với $x$ và $y$ thuộc $\mathfrak{g}$, và

do đó suy ra mệnh đề đã nêu, hạn chế của B lên $\mathfrak{g}$ là âm và phân ly theo giả thiết.

Suy ra đồng cấu $\delta$ nhận giá trị trong $\mathbf{R}^*_+$; do đó tồn tại một đồng cấu $\gamma : Q(R)\rightarrow \mathbf{R}^*_+$ sao cho $\delta =\gamma^{-2}$. Khi đó $f(\gamma )^{-1}(\mathfrak{g})$ là một dạng thực của $\mathfrak{a}$; phép liên hợp tương ứng là $\tau '=f(\gamma )^{-1}\circ \tau \circ f(\gamma )$. Với mọi $\alpha \in R$, ta có

và $\tau '(h) =\tau (h) =h$ với $h\in i\mathfrak{h}_0$; suy ra $\tau '$ là phép liên hợp đối với $\mathfrak{a}_u$, và do đó $f(\gamma )^{-1}(\mathfrak{g}) =\mathfrak{a}_u$.

a$)\mathfrak{a}$ có các dạng thực compact (tương ứng, phân rã được).

b) Nhóm Int($\mathfrak{a}$) tác động bắc cầu trên tập hợp các dạng thực compact (tương ứng, phân rã được) của $\mathfrak{a}$.

Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$. Khi đó $(\mathfrak{a},\mathfrak{h})$ là tách (Chương VIII, §2, no. 1, Nhận xét 2), và có một hệ Chevalley $(X_{\alpha})$ (Chương VIII, §4, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 5). Phần a) bây giờ suy ra từ Mệnh đề 2. Cho $\mathfrak{g}$ là một dạng thực compact của $\mathfrak{a}$; ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại $v\in$ Int($\mathfrak{a}$) sao cho $v(\mathfrak{a}_u) =\mathfrak{g}$. Cho $\mathfrak{t}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$; khi đó $\mathfrak{t}_{(\mathbf{C})}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$; vì Int($\mathfrak{a}$) tác động bắc cầu trên tập hợp các đại số con Cartan của $\mathfrak{a}$ (Chương VII, §3, no. 2, Định lý 1), nên ta được đưa về trường hợp $\mathfrak{t}_{(\mathbf{C})}=\mathfrak{h}$. Vì $\mathfrak{g}$ là một dạng compact, các trị riêng của các nội tự đồng cấu ad $h$, với $h\in \mathfrak{t}$, là thuần ảo (§1, no. 3, Mệnh đề 1), nên các căn $\alpha \in R$ ánh xạ $\mathfrak{t}$ vào $i\mathbf{R}$; điều này kéo theo $\mathfrak{t}=i\mathfrak{h}_0$. Khi đó, theo Mệnh đề 3 (no. 2), tồn tại $v\in$ Int($\mathfrak{a}$) sao cho $v(\mathfrak{a}_u) =\mathfrak{g}$, do đó suy ra b) trong trường hợp các dạng compact. Cuối cùng, cho $\mathfrak{m}_1$ và $\mathfrak{m}_2$ là hai dạng thực tách được của $\mathfrak{a}$. Tồn tại các khung $(\mathfrak{m}_1,\mathfrak{h}_1,B_1,(X_{\alpha}^1))$ và $(\mathfrak{m}_2,\mathfrak{h}_2,B_2,(X_{\alpha}^2))$ (Chương VIII, §4, no. 1). Chúng mở rộng một cách hiển nhiên thành các cơ sở $e_1$ và $e_2$ của $\mathfrak{a}$. Một tự đẳng cấu của $\mathfrak{a}$ ánh xạ $e_1$ lên $e_2$ thì ánh xạ $\mathfrak{m}_1$ lên $\mathfrak{m}_2$; như vậy, chỉ cần áp dụng Mệnh đề 5 của Chương VIII, §5, no. 3, để thu được sự tồn tại của một phần tử $u$ của Aut$_0(\mathfrak{a}) =$ Int($\mathfrak{a}$) sao cho $u(\mathfrak{m}_1) =\mathfrak{m}_2$.

Điều kiện này rõ ràng là cần thiết. Ngược lại, giả sử rằng $\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$ và $\mathfrak{g}'_{(\mathbf{C})}$ đẳng cấu. Gọi $\mathfrak{c}$ (resp. $\mathfrak{c}'$) là tâm của $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{g}'$) và $\mathfrak{s}$ (resp. $\mathfrak{s}'$) là đại số dẫn xuất của $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{g}'$). Khi đó $\mathfrak{c}_{(\mathbf{C})}$ và $\mathfrak{c}'_{(\mathbf{C})}$ lần lượt là các tâm của $\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$ và $\mathfrak{g}'_{(\mathbf{C})}$, nên chúng đẳng cấu; suy ra các đại số giao hoán $\mathfrak{c}$ và $\mathfrak{c}'$ đẳng cấu. Tương tự, $\mathfrak{s}_{(\mathbf{C})}$ và $\mathfrak{s}'_{(\mathbf{C})}$ đẳng cấu, do đó $\mathfrak{s}$ và $\mathfrak{s}'$, là các dạng thực compact của hai đại số Lie nửa đơn phức đẳng cấu, đẳng cấu theo Đl. $1b)$.

(i) $\mathfrak{a}$ là khả quy.

(ii) Tồn tại một đại số Lie thực compact $\mathfrak{g}$ sao cho $\mathfrak{a}$ đẳng cấu với $\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$.

(iii) Tồn tại một nhóm Lie compact G sao cho $\mathfrak{a}$ đẳng cấu với $L(G)_{(\mathbf{C})}$.

Theo Định nghĩa 1 của §1, no. 3, các điều kiện (ii) và (iii) là tương đương và kéo theo (i). Nếu $\mathfrak{a}$ là khả quy, thì nó là tích trực tiếp của một đại số giao hoán, rõ ràng có một dạng thực compact, và một đại số nửa đơn mà có một dạng như vậy theo Đl. $1a)$, do đó (i) kéo theo (ii).

Thật vậy, tồn tại một dạng thực compact $\mathfrak{g}_1$ (resp. $\mathfrak{g}_2$) của $\mathfrak{a}_1$ (resp. $\mathfrak{a}_2$); khi đó $\mathfrak{g}_1\times \mathfrak{g}_2$ là một dạng thực compact của $\mathfrak{a}_1\times \mathfrak{a}_2$. Hệ quả khi đó suy ra từ Đl. $1b)$, áp dụng cho $\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2$ và $\mathfrak{a}_1\times \mathfrak{a}_2$.

Chú ý rằng từ Hệ quả 3 trên suy ra rằng một đại số Lie thực compact $\mathfrak{g}$ là đơn khi và chỉ khi đại số Lie phức $\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$ là đơn. Ta nói rằng $\mathfrak{g}$ thuộc kiểu $A_n$, hoặc $B_n,. .$., nếu $\mathfrak{g}_{(\mathbf{C})}$ thuộc kiểu $A_n$, hoặc $B_n,. .$. (Chương VIII, §2, no. 2). Theo Hệ quả 1 trên, hai đại số Lie thực compact đơn là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng cùng một kiểu.

Cho G là một nhóm Lie compact liên thông gần đơn (Chương III, §9, no. 8, Định nghĩa 3). Ta nói rằng G thuộc kiểu $A_n$, hoặc $B_n,. .$., nếu đại số Lie của nó thuộc kiểu $A_n$, hoặc $B_n,. .$.. Hai nhóm Lie compact gần đơn đơn liên thông là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng cùng một kiểu.

b) Các đại số $\mathfrak{u}(\Phi )$ là các dạng thực compact của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$.

Cho $\Phi$ là một dạng Hermit dương phân ly trên V. Với mọi $x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}$(V), đặt $\sigma (x) =-x^*$ (trong đó $x^*$ là liên hợp của $x$ đối với $\Phi$ ). Khi đó $\sigma$ thỏa mãn các điều kiện (2) của Mệnh đề 1 ở no. 1, nên tập hợp $\mathfrak{u}(\Phi )$ (resp. $\mathfrak{s}\mathfrak{u}(\Phi )$) các điểm bất động của $\sigma$ trên $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ (resp. $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$) là một dạng thực compact của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ (resp. $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$). Vì $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ tác động bắc cầu trên tập hợp các dạng Hermit dương phân ly trên V (Đại số, Chương IX) và trên tập hợp các dạng thực compact của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(V)$ (no. 3, Th. 1 and Chương VIII, §13, no. 1 (VII)), Mệnh đề 4 được chứng minh.

Thật vậy, mọi đại số Lie phức kiểu $A_n$ đều đẳng cấu với $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n+ 1,\mathbf{C})$ (Chap. VIII, §13, no. 1).

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 4 và Mệnh đề 5. Vì $\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$ đồng phôi với $\mathbf{S}_3($Topologie générale, Chap. VIII, §1, no. 4, Nhận xét 4), nên đơn liên (Topologie générale, Chap. XI, sẽ xuất bản), mọi nhóm Lie compact nửa đơn đơn liên hạng 1 đều đẳng cấu với $\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$; mọi nhóm Lie compact liên thông nửa đơn hạng 1 không đơn liên đều đẳng cấu với một thương của $\mathbf{S}\mathbf{U}(2,\mathbf{C})$ bởi một nhóm con của Z không rút gọn về phần tử đơn vị, do đó đẳng cấu với $\mathbf{S}\mathbf{O}(3,\mathbf{R})$.