Cho $\phi$ là ánh xạ liên tục $(x, y) \mapsto x^{-1}y^{-1}xy$ của $G \times G$ vào G. Khi đó $\phi(A \times B) \subset (A, B)$, do đó $\phi(\overline{A} \times \overline{B}) \subset (\overline{A}, \overline{B})$ và do đó

bao hàm ngược lại là hiển nhiên và vì vậy $(\overline{A}, \overline{B}) = (\overline{A}, \overline{B})$. Rõ ràng $\overline{D^0A} = \overline{D^0A}$; giả sử đẳng thức $\overline{D^iA} = \overline{D^iA}$, ta suy ra

và do đó $\overline{D^iA} = \overline{D^iA}$ với mọi $i$. Chứng minh của công thức $\overline{C^iA} = \overline{C^iA}$ là tương tự.

§ 9.2

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 1.

Với y cố định trong B, tập M_y gồm các (x, y) với x ∈ A là liên thông (vì ánh xạ x ↦ (x, y) của A vào G là liên tục). e ∈ M_y, và do đó hợp R của các M_y với y ∈ B là liên thông. Nhưng (A, B) là nhóm con của G sinh bởi R, do đó suy ra mệnh đề.

Cho a ∈ h_1, b ∈ h_2. Tồn tại một lân cận mở I của 0 trong K và các ánh xạ giải tích f_1, f_2 của I vào G sao cho

Ta viết

Ta đồng nhất một lân cận mở của e trong G với một tập con mở của K' bằng một biểu đồ gửi e tới 0. Khi đó L(G) được đồng nhất với K'. Theo § 5, no. 2, Mệnh đề 1, khai triển của f(\lambda, \mu) thành chuỗi nguyên quanh gốc là

trong đó a_{ij} ∈ K' (các số hạng theo \lambda^i và \mu^j trong khai triển của f(\lambda, \mu) bằng không vì f(\lambda, 0) = f(0, \mu) = 0). Ta cố định \mu trong I. Cho \lambda tiến tới 0, ta thấy rằng Vì điều này đúng với mọi \mu ∈ I, suy ra [a, b] ∈ h.

Giả sử rằng $[L(A), L(B)] \subset L(C)$. Tổng $L(A) + L(B) + L(C)$ là một đại số con Lie của $L(G)$. Bằng cách xét một nhóm con nguyên của $G$ có đại số Lie là $L(A) + L(B) + L(C)$, bài toán được quy về trường hợp

và $G$ liên thông. Khi đó $L(C)$ là một iđêan của $L(G)$. Trước hết giả sử rằng $G$ đơn liên. Khi đó $C$ là một nhóm con Lie chuẩn của $G$ (§ 6, no. 6, Mệnh đề 14). Cho $\phi$ là cấu xạ chính tắc của $G$ lên $G/C$. Khi đó

và do đó $\phi(A)$ và $\phi(B)$ giao hoán theo công thức Hausdorff; do đó $(A, B) \subset C$. Trong trường hợp tổng quát, lấy $G'$ là phủ phổ quát của $G$ và $A', B', C'$ là các nhóm con nguyên của $G'$ sao cho $L(A') = L(A), L(B') = L(B), L(C') = L(C)$. Khi đó $(A', B') \subset C'$ và $A, B, C$ là các ảnh chính tắc của $A', B', C'$ trong $G$, do đó $(A, B) \subset C$. Mặt khác, $(A, B)$ là tập hợp nền của một nhóm con nguyên của $G$ (§ 6, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4) và đại số Lie của nó chứa $[L(A), L(B)]$ (Mệnh đề 3). Nếu

thì $(A, B) \supset C$, do đó $(A, B) = C$.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Mệnh đề 4 bằng quy nạp theo $i$. Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề thứ nhất và § 6, no. 6, Mệnh đề 14.

Lấy $a = L(A)$. Gọi $G_1$ là tập hợp các $g \in G$ sao cho

Khi đó $G_1$ là một nhóm con đóng của $G$. Nếu $y \in a$, thì $\exp y \in G_1$, theo § 6, no. 4, Hệ quả 3 (ii) của Mệnh đề 10. Do đó $G_1$ chứa $A$ và vì vậy chứa $\overline{A}$. Như vậy, với $g \in \overline{A}$, $L(\mathrm{Int}\, g)$ giữ $a$ ổn định và do đó $\mathrm{Int}\, g$ giữ $A$ ổn định; chính xác hơn, $L(\mathrm{Int}\, g)$ xác định tự đẳng cấu đồng nhất của $a/\mathscr{D}a$ và do đó $\mathrm{Int}\, g$ xác định tự đẳng cấu đồng nhất của $A/DA$. Điều này chứng minh rằng $(\overline{A}, A) \subset DA$. Với cấu trúc nhóm Lie thực trên $G$, $\overline{A}$ là một nhóm con Lie (§ 8, no. 2, Định lý 2); gọi $b$ là đại số Lie của nó. Gọi $G_2$ là tập hợp các $g \in G$ sao cho

Theo trên, $G_2 \supseteq A$ và do đó $G_2 \supseteq \overline{A}$. Vì vậy, với $g \in \overline{A}$, Int $g$ giữ DA ổn định và xác định tự đẳng cấu đồng nhất của $\overline{A}/DA$. Do đó $DA \supseteq D\overline{A}$.

Giả sử rằng $[L(A), L(B)] \subset L(C)$. Như trong chứng minh của Mệnh đề 4, bài toán quy về trường hợp $L(C)$ là một iđêan của $L(G)$. Khi đó, bằng cách thay thế G bởi một nhóm con mở, ta quy về trường hợp C là chuẩn trong G ($§ 7$, no. 1, Mệnh đề 2). Cho $\phi$ là cấu xạ chính tắc của G lên $G/C$. Khi đó

Theo công thức Hausdorff, tồn tại các nhóm con mở A', B' của A, B sao cho $\phi(A')$ và $\phi(B')$ giao hoán, do đó $(A', B') \subset C$. Giả sử thêm rằng Theo Mệnh đề 3, đại số con Lie tiếp xúc với $(A', B')$ tại $e$ chứa $L(C)$. Do đó $(A', B')$ chứa một mầm nhóm con Lie của G với đại số Lie $L(C)$. Vì vậy $(A', B')$ là một nhóm con mở của C.

(a) Bằng Mệnh đề 3 được áp dụng quy nạp, với mọi nhóm con mở $G_1$ của G và với mọi $i$, $D^iG_1$ chứa một mầm nhóm con Lie của G với đại số Lie $\mathscr{D}^ig$.

(b) Cho $G'$ là một nhóm con mở của G sao cho, với $i \leq n$, $D^iG'$ là một nhóm con Lie của G với đại số Lie $\mathscr{D}^ig$. Theo Mệnh đề 6, tồn tại các nhóm con mở $H_1, H_2$ của $D^nG'$, sao cho $(H_1, H_2)$ là một nhóm con Lie với đại số Lie $\mathscr{D}^{n+1}g$. Cho $G''$ là một nhóm con mở của $G'$ đủ nhỏ để $D^nG'' \subset H_1 \cap H_2$. Khi đó $D^{n+1}G'' \subset (H_1, H_2)$. Các quan hệ

chứng minh, sử dụng (a), rằng $D^iG''$ là, với $i \leq n + 1$, một nhóm con Lie của G với đại số Lie $\mathscr{D}^ig$.

(c) Tồn tại một số nguyên $p$ sao cho $\mathscr{D}^pg = \mathscr{D}^{p+1}g = \cdots$. Theo điều trên, tồn tại một nhóm con mở $G_0$ của G sao cho $D^iG_0$ là, với $i \leq p$, một nhóm con Lie của G với đại số Lie $\mathscr{D}^ig$. Nhưng, theo (a), cùng mệnh đề vẫn đúng với $i > p$ vì $D^pG_0 \supset D^iG_0$ với $i > p$.

(d) Lập luận tương tự đối với $C^i$.

Điều này suy ra từ § 3, Mệnh đề 44 và Hệ quả 2 của Mệnh đề 39.

Giả sử rằng $A$ chỉ gồm một điểm duy nhất $a$. Khi đó $Z_G(A)$ là tập hợp các điểm bất động của $\mathrm{Int}\, a$; do đó $Z_G(A)$ là một nhóm con Lie của $G$ và $\mathbf{L}(Z_G(A))$ là tập hợp các điểm bất động của $\mathrm{Ad}\, a$, tức là $\mathfrak{z}_g(A)$ (§ 3, no. 8, Hệ quả 1 của Mệnh đề 29). Trường hợp tổng quát suy ra bằng cách dùng § 6, no. 2, Hệ quả 3 của Mệnh đề 1.

Cho $x \in G$. Khi đó

và do đó $Z_G(A) = Z_G(a)$. Cho $u \in g$. Khi đó và do đó $\mathfrak{z}_g(A) = \mathfrak{z}_g(a)$. Khẳng định cuối cùng suy ra từ Mệnh đề 7 hoặc Mệnh đề 8.

Giả sử $L(G)$ là lũy linh. Nếu $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, thành phần đồng nhất $G_0$ của G là lũy linh theo Hệ quả của Mệnh đề 4, no. 2, và $G_0$ là mở trong G. Nếu K là ultrametric, Hệ quả của Mệnh đề 6, no. 2, chứng minh rằng tồn tại một nhóm con mở $G_1$ của G, một số nguyên $i > 0$ và một lân cận V của e trong G sao cho $C^iG_1 \cap V = \{e\}$. Khi đó, nếu $G_0$ là một nhóm con đủ nhỏ của $G_1$, $C^iG_0 \subset V$, do đó $C^iG_0 = \{e\}$ và $G_0$ là lũy linh.

Cho $g$ là một đại số Lie lũy linh. Chuỗi Hausdorff $H(X, Y)$ tương ứng với $g$ chỉ có một số hữu hạn các số hạng khác không và ta biết (Chương II, § 6, no. 5, Nhận xét 3) rằng luật hợp thành $(x, y) \mapsto H(x, y)$ xác định một cấu trúc nhóm trên $g$. Giả sử thêm rằng $g$ là đầy đủ và chuẩn hóa được. Rõ ràng luật H là một đa thức liên tục (Đa tạp khả vi và giải tích, R, Phụ lục). Do đó $g$, cùng với luật H, là một nhóm Lie G, được gọi là liên kết với $g$. Theo § 4, no. 2, Bổ đề 2 và 3, $L(G) = g$. Ánh xạ đồng nhất $\phi$ của $g$ vào $G$ là một ánh xạ mũ của $G$ sao cho $\phi(\lambda x)\phi(\lambda'x) = \phi((\lambda + \lambda')x)$ với mọi $x \in g, \lambda \in K, \lambda' \in K$. Mọi đại số con Lie $\mathfrak{h}$ của $g$ nhận một phần bù tôpô là một nhóm con Lie $H$ của $G$ và $L(H) = \mathfrak{h}$.

(i) $\exp_G$ là một đẳng cấu của nhóm Lie liên kết với $L(G)$ lên trên $G$.

(ii) Mọi nhóm con nguyên của $G$ là một nhóm con Lie liên thông đơn của $G$.

Cho $g = L(G)$, là lũy linh (Mệnh đề 12). Vì hai nhóm Lie liên thông đơn trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ có cùng đại số Lie thì đẳng cấu với nhau ($§ 6$, no. 3, Định lý 3 (ii)), nên chỉ cần chứng minh mệnh đề khi $G$ là nhóm liên kết với $g$. Khi đó (i) và (ii) suy ra từ những gì đã nói trước mệnh đề.

(i) Nếu $G$ là lũy linh, $\exp_G$ là étale và toàn ánh.

(ii) Nếu $K = \mathbf{C}$ và $\exp_G$ là étale, thì $G$ là lũy linh.

Cho $G'$ là không gian phủ phổ quát của $G$. Cho $\phi$ là cấu xạ chính tắc của $G'$ lên $G$. Khi đó $\exp_G = \phi \circ \exp_{G'}$ ($§ 6$, no. 4, Mệnh đề 10) và do đó (i) suy ra từ Mệnh đề 13 (i).

Nếu $K = \mathbf{C}$ và $\exp$ là étale, thì, với mọi $x \in L(G)$, $x$ không có trị riêng thuộc $2i\pi(\mathbf{Z} - \{0\})$ ($§ 6$, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 12). Áp dụng điều này cho $\lambda x$, trong đó $\lambda$ biến thiên qua $\mathbf{C}$, suy ra mọi trị riêng của $\mathrm{ad}\, x$ đều là không và do đó $\mathrm{ad}\, x$ là lũy linh. Vì vậy $L(G)$ là lũy linh (Chương I, $§ 4$, Hệ quả 1 của Định lý 1) và do đó $G$ là lũy linh (Mệnh đề 12).

Theo Mệnh đề 9 của no. 3, chỉ cần chứng minh rằng $Z_G(A)$ là liên thông. Cho $g \in Z_G(A)$. Tồn tại $x \in L(G)$ sao cho $g = \exp x$ (Mệnh đề 14). Khi đó $\mathrm{Ad}\, g|L(A) = 1$ (no. 3, Mệnh đề 9), do đó $\mathrm{Ad}\, g^n|L(A) = 1$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và do đó $\exp(\mathrm{ad}\, nx)|L(A) = 1$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$. Vì ánh xạ

từ $K$ vào $\mathscr{L}(L(A), L(G))$ là đa thức, $\exp(\mathrm{ad}\, \lambda x)|L(A) = 1$ với mọi $\lambda \in K$, tức là $\exp(\lambda x) \in Z_G(A)$ với mọi $\lambda \in K$.

$N_G(A) \neq A$ (Đại số, Chương I, § 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 8). Theo Mệnh đề 11 của no. 4, ta chỉ cần chứng minh rằng $N_G(A)$ là liên thông. Cho $g \in N_G(A)$. Tồn tại $x \in L(G)$ sao cho $g = \exp x$ (Mệnh đề 14). Gọi $E$ là không gian con vectơ của $\mathscr{L}(L(G))$ gồm các $u \in \mathscr{L}(L(G))$ sao cho $u(L(A)) \subset L(A)$. Khi đó $\mathrm{Ad}\, g^n \in E$ và do đó $\exp(\mathrm{ad}\, nx) \in E$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$. Suy ra $\exp(\mathrm{ad}\, \lambda x) \in E$ với mọi $\lambda \in K$, tức là $\exp(\lambda x) \in N_G(A)$ với mọi $\lambda \in K$.

của $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ vào $g$.

(i) $\phi$ là một song ánh của $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ lên $g$; (ii) $\phi$ và $\phi^{-1}$ là các ánh xạ đa thức; (iii) ánh xạ $(x, y) \mapsto \phi^{-1}(\phi(x) \cdot \phi(y)^{-1})$ của $(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p)^2$ vào $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ là đa thức.

Mệnh đề hiển nhiên đối với $\dim g = 0$. Giả sử rằng $\dim g > 0$ và mệnh đề đã được thiết lập cho các chiều $< \dim g$. Có thể giả sử rằng $g_{n-1} \neq \{0\}$ và khi đó $g_{n-1}$ là một iđêan trung tâm khác không của $g$. Tồn tại một chỉ số $j$ sao cho $h = g_{n-1} \cap a_j \neq \{0\}$. Gọi $g' = g/h$, $\theta$ là cấu xạ chính tắc của $g$ lên $g'$, $g'_i = \theta(g_i)$ và $a'_i = \theta(a_i)$. Khi đó $(g'_0, g'_1, \ldots, g'_n)$ là một dãy giảm các iđêan của $g'$ sao cho $g'_0 = g', g'_n = \{0\}$,

với $0 \leq i < n$ và mỗi $g'_i$ là tổng trực tiếp của các giao với các $a'_j$. Gọi $\phi'$ là ánh xạ

của $a'_1 \times a'_2 \times \cdots \times a'_p$ vào $g'$. Theo giả thiết quy nạp, $\phi'$ là song ánh và $\phi', {\phi'}^{-1}$ là các ánh xạ đa thức.

Cho $x \in g$. Ta viết

(1)

Khi đó (2) Gọi $h_1$ là một không gian vectơ con phần bù của $h$ trong $g$, là tổng của các $a_k$ với $k \neq j$ và một phần bù của $h$ trong $a_j$. Tồn tại một song ánh $\eta$ của $g'$ lên $h_1$ sao cho $\theta \circ \eta = \mathrm{Id}_{g'}$. Với $x \in g$, ta viết (3) (4)

Theo (2) và (3), $\theta(\zeta(x)) = \theta(x)$ và do đó $y(x) \in \mathfrak{h}$. Cuối cùng ta viết

Vì $y(x)$ là trung tâm trong $\mathfrak{g}$, Do đó $\phi \circ \psi = \mathrm{Id}_g$. Bây giờ cho $(x_1, x_2, \ldots, x_p) \in a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ và viết $x = \phi(x_1, x_2, \ldots, x_p) = x_1 \mathbin{\mathbf{H}} x_2 \mathbin{\mathbf{H}} \cdots \mathbin{\mathbf{H}} x_p$. Khi đó suy ra $x_i'(x) = \theta(x_i)$ với $1 \leq i \leq p$ và do đó Khi đó theo (5) Do đó $\psi \circ \phi = \mathrm{Id}_{a_1 \times \ldots \times a_p}$. Điều này chứng minh (i). Vì luật Hausdorff là đa thức, $\phi$ là đa thức. Theo giả thiết quy nạp, ${\phi'}^{-1}$ là đa thức; theo công thức (1), các hàm $x_j'$ là đa thức, do đó $\zeta$ là đa thức (công thức (3)), $y$ là đa thức (công thức (4)) và $\psi$ là đa thức (công thức (5)). Điều này chứng minh (ii). Mệnh đề (iii) suy ra từ (i) và (ii) và sự kiện rằng luật Hausdorff là đa thức.

Ví dụ về một nhóm Lie lũy linh. Cho $G$ là nhóm con tam giác ngặt dưới của $\mathbf{GL}(n, K)$. Nó là một nhóm con Lie của $\mathbf{GL}(n, K)$ và $L(G) \subset \mathfrak{gl}(n, K)$ là đại số Lie của các ma trận tam giác dưới với đường chéo bằng không (§ 3, no. 10, Mệnh đề 36). Theo Chương II, § 4, no. 6, Nhận xét, $G$ là lũy linh. Từ đây về sau giả sử rằng $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$. Vì $G$ là đồng phôi với $K^{n(n-1)/2}$, $G$ là đơn liên. Ánh xạ mũ từ $L(G)$ vào $G$ chính là ánh xạ

(§ 6, no. 4, Ví dụ). Theo Mệnh đề 13, ánh xạ mũ là một đẳng cấu của đa tạp $L(G)$ lên đa tạp $G$. Mệnh đề 17 của § 6, no. 9 cho song ánh ngược $\log$. Ta trang bị $K^n$ một chuẩn. Theo Các lý thuyết phổ, Chương I, § 4, no. 9, với $g \in G$ và $\|g - 1\| < 1$,

nghĩa là

Nhưng hai vế của (6) là các hàm giải tích của $g$ với $g \in G$ và do đó bằng nhau với mọi $g \in G$.