Soit $\varphi$ l’application continue $(x, y) \mapsto x^{-1}y^{-1}xy$ de $G \times G$ dans G. On a $\varphi(A \times B) \subset (A, B)$, donc $\varphi(\overline{A} \times \overline{B}) \subset (\overline{A}, \overline{B})$, donc $(\overline{A}, \overline{B}) \subset (\overline{A}, \overline{B})$; l’inclusion opposée est évidente, donc $(\overline{A}, \overline{B}) = (\overline{A}, \overline{B})$. Il est clair que $\overline{D^0}A = \overline{D^0}A$; admettant l’égalité $\overline{D^i}A = \overline{D^i}A$, on en déduit

donc $\overline{D^i}A = \overline{D^i}A$ pour tout $i$. La démonstration de la formule $\overline{C^i}A = \overline{C^i}A$ est analogue.

(i) G est résoluble (resp. nilpotent); (ii) on a $\overline{D^i}G = \{e\}$ (resp. $\overline{C^i}G = \{e\}$) pour i assez grand.

On a $D^iG \subset \overline{D^i}G, C^iG \subset \overline{C^i}G$, donc (ii) $\Rightarrow$ (i). On a $\{e\} = \overline{\{e\}}$, donc (i) $\Rightarrow$ (ii) d’après la prop. 1.

Cela résulte aussitôt de la prop. 1.

Pour y fixé dans B, l’ensemble M_y des (x, y) pour x ∈ A est connexe (car l’application x ↦ (x, y) de A dans G est continue). On a e ∈ M_y, donc la réunion R des M_y pour y ∈ B est connexe. Or (A, B) est le sous-groupe de G engendré par R, d’où la proposition.

Soient a ∈ h_1, b ∈ h_2. Il existe un voisinage ouvert I de 0 dans K, et des applications analytiques f_1, f_2 de I dans G telles que

Posons Identifions un voisinage ouvert de e dans G à une partie ouverte de K' à l’aide d’une carte qui transforme e en 0. Alors L(G) s’identifie à K'. D’après le § 5, n° 2, prop. 1, le développement en série entière à l’origine de f(λ, μ) est où a_{ij} ∈ K' (les termes en λ^i ou en μ^j dans le développement de f(λ, μ) sont nuls parce que f(λ, 0) = f(0, μ) = 0). Fixons μ dans I. En faisant tendre λ vers 0, on voit que Cela étant vrai pour tout μ ∈ I, on en conclut que [a, b] ∈ h.

Supposons [L(A), L(B)] ⊂ L(C). La somme L(A) + L(B) + L(C) est une sous-algèbre de Lie de L(G). En considérant le sous-groupe intégral de G d’algèbre de Lie L(A) + L(B) + L(C), on est ramené au cas où

et où G est connexe. Alors L(C) est un idéal de L(G). Supposons d’abord G simplement connexe. Alors C est un sous-groupe de Lie distingué de G ( , n° 6, prop. 14). Soit φ le morphisme canonique de G sur G/C. Alors

donc, φ(A) et φ(B) commutent d’après la formule de Hausdorff; par suite, (A, B) ⊂ C. Dans le cas général, soient G′ le revêtement universel de G, et A′, B′, C′ les sous-groupes intégraux de G′ tels que L(A′) = L(A), L(B′) = L(B), L(C′) = L(C). On a (A′, B′) ⊂ C′, et A, B, C sont les images canoniques de A′, B′, C′ dans G, d’où (A, B) ⊂ C. D’autre part, (A, B) est l’ensemble sous-jacent d’un sous-groupe intégral de G (§ 6, n° 2, cor. de la prop. 4), et son algèbre de Lie contient [L(A), L(B)] (prop. 3). Si [L(A), L(B)] = L(C), on a donc (A, B) ⊃ C, d’où (A, B) = C.

La première assertion résulte de la prop. 4 par récurrence sur i. La deuxième résulte de la première et du § 6, n° 6, prop. 14.

Posons a = L(A). Soit G_1 l’ensemble des g ∈ G tels que

Alors G_1 est un sous-groupe fermé de G. Si y ∈ a, on a exp y ∈ G_1, d’après le § 6, n° 4, cor. 3 (ii) de la prop. 10. Donc G_1 contient A et par suite \overline{A}. Ainsi, pour g ∈ \overline{A}, L(Int g) laisse stable a, et par suite Int g laisse stable A; plus précisément, L(Int g) définit l’automorphisme identique de a/\mathscr{D}a, donc Int g définit l’automorphisme identique de A/DA. Cela prouve que (\overline{A}, A) ⊂ DA. Pour la structure de groupe de Lie réel de G, \overline{A} est un sous-groupe de Lie (§ 8, n° 2, th. 2); soit b son algèbre de Lie. Soit G_2 l’ensemble des g ∈ G tels que

D’après ce qui précède, on a G_2 ⊃ A, donc G_2 ⊃ \overline{A}. Par suite, pour g ∈ \overline{A}, Int g laisse stable DA et définit l’automorphisme identique de \overline{A}/DA. Donc DA ⊃ D\overline{A}.

Supposons $[\mathrm{L}(A), \mathrm{L}(B)] \subset \mathrm{L}(C)$. Comme dans la démonstration de la prop. 4, on se ramène au cas où $\mathrm{L}(C)$ est un idéal de $\mathrm{L}(G)$. Puis, en remplaçant $G$ par un sous-groupe ouvert, on se ramène au cas où $C$ est distingué dans $G$ (§ 7, no 1, prop. 2). Soit $\varphi$ le morphisme canonique de $G$ sur $G/C$. Alors

D’après la formule de Hausdorff, il existe des sous-groupes ouverts $A', B'$ de $A, B$ tels que $\varphi(A')$ et $\varphi(B')$ commutent, d’où $(A', B') \subset C$. Supposons de plus D’après la prop. 3, la sous-algèbre de Lie tangente en $e$ à $(A', B')$ contient $\mathrm{L}(C)$. Donc $(A', B')$ contient un sous-groupuscule de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $\mathrm{L}(C)$. Par suite, $(A', B')$ est un sous-groupe ouvert de $C$.

a) D’après la prop. 3 appliquée par récurrence, pour tout sous-groupe ouvert $G_1$ de $G$ et pour tout $i$, $D^i G_1$ contient un sous-groupuscule de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $\mathscr{D}^i g$.

b) Soit $G'$ un sous-groupe ouvert de $G$ tel que, pour $i \leq n$, $D^i G'$ soit un sous-groupe de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $\mathscr{D}^i g$. D’après la prop. 6, il existe des sous-groupes ouverts $H_1, H_2$ de $D^n G'$ tels que $(H_1, H_2)$ soit un sous-groupe de Lie d’algèbre de Lie $\mathscr{D}^{n+1} g$. Soit $G''$ un sous-groupe ouvert de $G'$ assez petit pour que $D^n G'' \subset H_1 \cap H_2$. Alors $D^{n+1} G'' \subset (H_1, H_2)$. Les relations

prouvent, compte tenu de a), que $D^i G''$ est, pour $i \leq n + 1$, un sous-groupe de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $\mathscr{D}^i g$.

c) Il existe un entier $p$ tel que $\mathscr{D}^p g = \mathscr{D}^{p+1} g = \ldots$. D’après ce qui précède, il existe un sous-groupe ouvert $G_0$ de $G$ tel que $D^i G_0$ soit, pour $i \leq p$, un sous-groupe de Lie de $G$ d’algèbre de Lie $\mathscr{D}^i g$. Mais, compte tenu de a), la même assertion reste vraie pour $i > p$ puisque $D^p G_0 \supset D^i G_0$ pour $i > p$.

d) On raisonne de même pour les $C^i$.

Cela résulte du § 3, prop. 44 et cor. 1 de la prop. 39.

L’égalité $N_G(A) = N_G(a)$ résulte du § 6, no 2, cor. 2 de la prop. 3. D’après la prop. 10, $N_G(A)$ est alors un sous-groupe de Lie de G d’algèbre de Lie $n_g(a)$. Donc $N_G(A)$ est fermé. Comme $N_G(A) \supset A$, on a $N_G(A) \supset \overline{A}$.

En effet, cette composante neutre est un sous-groupe de Lie d’algèbre de Lie $n_g(a)$ (prop. 11), donc est égal à A d’après le § 6, no 2, th. 2 (i).

Supposons que G possède un sous-groupe ouvert nilpotent $G_0$. D’après les cor. des prop. 4 et 6, no 2, on a $C^i L(G_0) = \{0\}$ pour $i$ assez grand. Donc $L(G_0) = L(G)$ est nilpotente.

Supposons $L(G)$ nilpotente. Si $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, la composante neutre $G_0$ de G est nilpotente d’après le cor. de la prop. 4, no 2, et $G_0$ est ouvert dans G. Si K est ultramétrique, le cor. de la prop. 6, no 2, prouve qu’il existe un sous-groupe ouvert $G_1$ de G, un entier $i > 0$, et un voisinage V de $e$ dans G tels que $C^i G_1 \cap V = \{e\}$. Alors, si $G_0$ est un sous-groupe assez petit de $G_1$, on a $C^i G_0 \subset V$, donc $C^i G_0 = \{e\}$, et $G_0$ est nilpotent. C.Q.F.D.

Soit $g$ une algèbre de Lie nilpotente. La série de Hausdorff $H(X, Y)$ correspondant à $g$ n’a qu’un nombre fini de termes non nuls, et l’on sait (chap. II, § 6, no 5, Remarque 3) que la loi de composition $(x, y) \mapsto H(x, y)$ définit sur $g$ une structure de groupe. Supposons de plus $g$ normable complète. Il est clair que la loi $H$ est un polynôme-continu (VAR, R, Appendice). Donc $g$, muni de la loi $H$, est un groupe de Lie G, dit associé à $g$. D’après le § 4, no 2, lemmes 2 et 3, on a

L(G) = g. L’application identique φ de g dans G est une application exponentielle de G, telle que $\varphi(\lambda x)\varphi(\lambda'x) = \varphi((\lambda + \lambda')x)$ quels que soient $x \in g, \lambda \in K, \lambda' \in K$. Toute sous-algèbre de Lie $\mathfrak{h}$ de g admettant un supplémentaire topologique est un sous-groupe de Lie H de G, et $L(H) = \mathfrak{h}$.

(i) $\exp_G$ est un isomorphisme du groupe de Lie associé à $L(G)$ sur G. (ii) Tout sous-groupe intégral de G est un sous-groupe de Lie simplement connexe de G.

Soit $g = L(G)$, qui est nilpotente (prop. 12). Comme deux groupes de Lie simplement connexes sur $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ qui ont même algèbre de Lie sont isomorphes ($§ 6$, n° 3, th. 3 (ii)), il suffit de prouver la proposition quand G est le groupe associé à g. Alors (i) et (ii) résultent de ce qu’on a dit avant la proposition.

(i) Si G est nilpotent, $\exp_G$ est étale et surjective. (ii) Si $K = \mathbf{C}$ et si $\exp_G$ est étale, alors G est nilpotent.

Soit G′ le revêtement universel de G. Soit $\varphi$ le morphisme canonique de G′ sur G. On a $\exp_G = \varphi \circ \exp_{G'}$ ($§ 6$, n° 4, prop. 10), donc (i) résulte de la prop. 13 (i).

Si $K = \mathbf{C}$ et si exp est étale, alors, pour tout $x \in L(G)$, ad $x$ n’a aucune valeur propre appartenant à $2i\pi(\mathbf{Z} - \{0\})$ ($§ 6$, n° 4, cor. de la prop. 12). Appliquant cela à $\lambda x$, où $\lambda$ varie dans $\mathbf{C}$, on en conclut que toutes les valeurs propres de ad $x$ sont nulles, donc que ad $x$ est nilpotent. Par suite, $L(G)$ est nilpotente (chap. I, $§ 4$, cor. 1 du th. 1), donc G est nilpotent (prop. 12).

Compte tenu de la prop. 9 du n° 3 il suffit de prouver que $Z_G(A)$ est connexe. Soit $g \in Z_G(A)$. Il existe un $x \in L(G)$ tel que $g = \exp x$ (prop. 14). On a $\mathrm{Ad}\ g|L(A) = 1$ (n° 3, prop. 9), donc $\mathrm{Ad}\ g^n|L(A) = 1$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$, donc $\exp (\mathrm{ad}\ nx)|L(A) = 1$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$. Comme l’application $\lambda \mapsto \exp (\mathrm{ad}\ \lambda x)|L(A)$ de K dans $\mathscr{L}(L(A), L(G))$ est polynomiale, on a $\exp(\mathrm{ad}\ \lambda x)|L(A) = 1$ pour tout $\lambda \in K$, c’est-à-dire $\exp(\lambda x) \in Z_G(A)$ pour tout $\lambda \in K$.

On a $N_G(A) \neq A$ (A, I, $§ 6$, cor. 1 de la prop. 8). Compte tenu de la prop. 11 du n° 4, tout revient à prouver que $N_G(A)$ est connexe. Soit $g \in N_G(A)$. Il existe un $x \in L(G)$ tel que $g = \exp x$ (prop. 14). Soit E le sous-espace vectoriel de

L(\mathscr{L}(L(G))) formé des $u \in \mathscr{L}(L(G))$ tels que $u(L(A)) \subset L(A)$. On a Ad $g^n \in E$, donc $\exp(\mathrm{ad}\ nx) \in E$, pour tout $n \in \mathbf{Z}$. Donc $\exp(\mathrm{ad}\ \lambda x) \in E$ pour tout $\lambda \in K$, c’est-à-dire $\exp(\lambda x) \in N_G(A)$ pour tout $\lambda \in K$.

*de $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ dans $g$. (i) $\varphi$ est une bijection de $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ sur $g$; (ii) $\varphi$ et $\varphi^{-1}$ sont des applications polynomiales; (iii) l’application $(x, y) \mapsto \varphi^{-1}(\varphi(x) \cdot \varphi(y)^{-1})$ de $(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p)^2$ dans $a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$ est polynomiale.

La proposition est évidente pour $\dim g = 0$. Supposons $\dim g > 0$ et la proposition établie pour les dimensions $< \dim g$. On peut supposer $g_{n-1} \neq \{0\}$, et $g_{n-1}$ est alors un idéal central non nul de $g$. Il existe un indice $j$ tel que $\mathfrak{h} = g_{n-1} \cap a_j \neq \{0\}$. Soient $g' = g/\mathfrak{h}$, $\theta$ le morphisme canonique de $g$ sur $g'$, $g'_i = \theta(g_i), a'_i = \theta(a_i)$. Alors $(g'_0, g'_1, \ldots, g'_n)$ est une suite décroissante d’idéaux de $g'$ tels que $g'_0 = g', g'_n = \{0\}, [g', g'_i] \subset g'_{i+1}$ pour $0 \leq i < n$, et chaque $g'_i$ est somme directe de ses intersections avec les $a'_j$. Soit $\varphi'$ l’application

*de $a'_1 \times a'_2 \times \cdots \times a'_p$ dans $g'$. D’après l’hypothèse de récurrence, $\varphi'$ est bijective et $\varphi', {\varphi'}^{-1}$ sont des applications polynomiales.

Soit $x \in g$. Posons

(1)

On a donc (2) Soit $\mathfrak{h}_1$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $\mathfrak{h}$ dans $g$, somme des $a_k$ pour $k \neq j$ et d’un supplémentaire de $\mathfrak{h}$ dans $a_j$. Il existe une bijection $\eta$ de $g'$ sur $\mathfrak{h}_1$ telle que $\theta \circ \eta = \mathrm{Id}_{g'}$. Posons, pour $x \in g$, (3) (4) D’après (2) et (3), on a $\theta(\zeta(x)) = \theta(x)$, donc $y(x) \in \mathfrak{h}$. Posons enfin (5)

Comme $y(x)$ est central dans $g$, on a

Donc $\varphi \circ \psi = \mathrm{Id}_g$. Soit maintenant $(x_1, x_2, \ldots, x_p) \in a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_p$, et posons $x = \varphi(x_1, x_2, \ldots, x_p) = x_1 \circ x_2 \circ \ldots \circ x_p$. On a $\theta(x) = \theta(x_1) \circ \theta(x_2) \circ \ldots \circ \theta(x_p)$, donc $x_i'(x) = \theta(x_i)$ pour $1 \leq i \leq p$, et par suite Alors, d’après (5), Donc $\psi \circ \varphi = \mathrm{Id}_{a_1 \times \ldots \times a_p}$. Cela prouve (i). Comme la loi de Hausdorff est polynomiale, $\varphi$ est polynomiale. D’après l’hypothèse de récurrence, ${\varphi'}^{-1}$ est polynomiale; d’après la formule (1), les fonctions $x_j'$ sont polynomiales, donc $\zeta$ est polynomiale (formule (3)), $y$ est polynomiale (formule (4)), $\psi$ est polynomiale (formule (5)). Cela prouve (ii). L’assertion (iii) résulte de (i) et (ii) et du fait que la loi de Hausdorff est polynomiale. C.Q.F.D.

Exemple de groupe de Lie nilpotent. — Soit G le sous-groupe trigonal strict inférieur de $\mathbf{GL}(n, K)$. C’est un sous-groupe de Lie de $\mathbf{GL}(n, K)$, et $L(G) \subset \mathfrak{gl}(n, K)$ est l’algèbre de Lie des matrices triangulaires inférieures de diagonale nulle (§ 3, n° 10, prop. 36). D’après le chap. II, § 4, n° 6, Remarque, G est nilpotent. Supposons désormais que $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$. Comme G est homéomorphe à $K^{n(n-1)/2}$, G est simplement connexe. L’application exponentielle de $L(G)$ dans G n’est autre que l’application

(§ 6, n° 4, Exemple). D’après la prop. 13, l’exponentielle est un isomorphisme de la variété $L(G)$ sur la variété G. La prop. 17 du § 6, n° 9, fournit la bijection réciproque log. Munissons $K^n$ d’une norme. D’après TS, I, § 4, n° 9, on a pour $g \in G$ et $\|g - 1\| < 1$, c’est-à-dire Mais les deux membres de (6) sont des fonctions analytiques de $g$ pour $g \in G$, et sont donc égaux pour tout $g \in G$.

(i) Il existe un élément non nul v de V tel que gv = v pour tout g ∈ G.

(ii) Il existe une base B de V telle que, pour tout g ∈ G, la matrice de g par rapport à B soit triangulaire inférieure et ait tous ses éléments diagonaux égaux à 1.

(iii) Le groupe G est nilpotent.

(a) Supposons d’abord que k soit algébriquement clos et que la représentation identique de G soit simple. Soient a, b dans G. Alors

car $ab - 1$ et $a - 1$ sont nilpotents. Comme le sous-espace vectoriel de $\mathscr{L}(V)$ engendré par G est $\mathscr{L}(V)$ (A, VIII, § 4, cor. 1 de la prop. 2), on a $\operatorname{Tr}(u(b - 1)) = 0$ pour tout $u \in \mathscr{L}(V)$, donc $b = 1$. Ainsi, $G = \{1\}$.

b) Passons au cas général. Soient $\overline{k}$ une clôture algébrique de k, $\overline{V} = V \otimes_k \overline{k}$, et $\overline{G} \subset \mathbf{GL}(\overline{V})$ l’ensemble des $a \otimes 1$ pour $a \in G$. Soit W (resp. W’) l’ensemble des éléments de V (resp. $\overline{V}$) invariants par G (resp. $\overline{G}$). On a $W' = W \otimes_k \overline{k}$ car $W = \bigcap_{g \in G} \operatorname{Ker}(g - 1)$ et $W' = \bigcap_{g \in G} \operatorname{Ker}(g - 1) \otimes 1$. Si $V_1$ désigne un élément minimal dans l’ensemble des sous-espaces vectoriels non nuls de $\overline{V}$ stables par $\overline{G}$, on a $V_1 \subset W'$ d’après la partie a) de la démonstration; donc $W \neq \{0\}$, ce qui prouve (i).

c) Par récurrence sur dim V, on déduit de (i) qu’il existe une suite croissante $(V_1, V_2, \ldots, V_n)$ de sous-espaces vectoriels de V stables par G tels que $V_n = V$ et que le groupe d’automorphismes de $V_i / V_{i-1}$ canoniquement déduit de G se réduit à $\{1\}$ pour tout i (on convient que $V_r = \{0\}$ pour $r \leq 0$). Cela entraîne d’abord (ii) et par conséquent (iii) (chap. II, § 4, n° 6, Remarque).

Si tout élément de Ad G est unipotent, Ad G est nilpotent (prop. 18), donc G, qui est extension centrale de Ad G, est nilpotent. Si G est nilpotent, L(G) est nilpotente, donc ad x est nilpotent pour tout $x \in L(G)$, donc $\operatorname{Ad}(\exp x) = \exp \operatorname{ad} x$ est unipotent; or tout élément de G est de la forme $\exp x$ pour un $x \in L(G)$ (prop. 14).

Cela résulte des prop. 13 (ii), 18 (ii), et du fait que le groupe trigonal strict inférieur est simplement connexe.

Pour n = 0, la proposition est évidente. Raisonnons par récurrence sur n. Soit H le sous-groupe intégral de G tel que L(H) = Kx_n. D’après le § 6, n° 6, cor. 1 de la prop. 14, H et G_{n-1} sont des sous-groupes de Lie simplement connexes de G, et, en tant que groupe de Lie, G est produit semi-direct de H par G_{n-1}. Donc \lambda \mapsto \exp (\lambda x_n) est un isomorphisme de K sur H, et, d’après l’hypothèse de récurrence, l’application

est un isomorphisme de la variété analytique K^{n-1} sur la variété analytique G_{n-1} qui transforme K^i \times \{0\} en G_i pour i = 1, 2, \ldots, n - 1. D’où la proposition.

Reprenons les notations n, g, g_i, x_i, \varphi de la prop. 20, mais imposons aux x_i la condition supplémentaire suivante: soient i_p > i_{p-1} > \cdots > i_1 les entiers i tels que L(M) \cap g_i \neq L(M) \cap g_{i-1}; alors on prend x_{i_k} \in L(M) \cap g_{i_k} pour k = 1, 2, \ldots, p. Par récurrence sur n, on voit aisément que (x_{i_p}, x_{i_{p-1}}, \ldots, x_{i_1}) est une base de L(M). Soit N un groupe de Lie simplement connexe, tel qu’il existe un isomorphisme h de L(N) sur L(M). Soient y_p = h^{-1}(x_{i_p}), \ldots, y_1 = h^{-1}(x_{i_1}). D’après la prop. 20, l’application

est un isomorphisme de la variété K^p sur la variété N. Il existe un morphisme \tau de

1 Une telle suite existe d’après le chap. I, § 5, prop. 2.

groupes de Lie de N dans G tel que $h = L(\tau)$, et on a $\tau(N) = M$ (§ 6, n° 2, cor. 1 de la prop. 1). Donc M est l’ensemble des éléments de G de la forme

Ainsi, $M = \varphi(T)$ où T est un sous-espace vectoriel de $K^n$.

Le groupe R est résoluble (n° 6, prop. 19). Supposons K = R. Soit G' un sous-groupe distingué résoluble connexe de G. Alors $\overline{G}'$ est un sous-groupe de Lie de G ($§ 8, n° 2, th. 2$), distingué résoluble (n° 1, cor. 2 de la prop. 1), connexe. Donc L($\overline{G}'$) est un idéal résoluble de L(G), d’où L($\overline{G}'$) $\subset r$ et $\overline{G}' \subset R$. En particulier, $\overline{R} \subset R$, donc R est fermé et par suite est un sous-groupe de Lie de G. Supposons K = C. Soit H le groupe de Lie réel sous-jacent à G. Si r' est le radical de L(H), ir' est un idéal résoluble de L(H), d’où $r' = i r'$; on a donc $r \subset r' \subset r$, et, d’après ce qui précède, R est fermé dans H et par suite dans G; ainsi, R est un sous-groupe de Lie de G. Tout sous-groupe distingué résoluble connexe de G est un sous-groupe distingué résoluble connexe de H donc est contenu dans R. On a donc prouvé, pour K = C comme pour K = R, que R est le plus grand sous-groupe distingué résoluble connexe de G; par suite R est invariant par tout automorphisme continu de G. La démonstration dans le cas de N est entièrement analogue.

D’après le § 3, n° 8, prop. 28, L(φ) est surjectif. Donc L(φ)(L(R_1)) = L(R_2) (chap. I, § 6, cor. 3 de la prop. 2). Soit i l’injection canonique de R_1 dans G_1. Alors l’image de φ ∘ i est R_2 (§ 6, n° 2, cor. 1 de la prop. 1).

Cela résulte du chap. I, § 5, prop. 4.

L’assertion (i) résulte du cor. de la prop. 4, n° 2, et du chap. I, § 6, th. 1. L’assertion (ii) résulte du § 6, n° 4, cor. 4 de la prop. 10, et du chap. I, § 6, n° 1, Remarque 2. L’assertion (iii) résulte de (ii) et du lemme 1.