Ta trang bị $L(G)$ và $L(H)$ các chuẩn xác định tôpô của chúng và sao cho $\| [x, y] \| \leq \|x\| \|y\|$ với mọi $x, y$. Tồn tại một quả cầu mở V tâm 0 trong $L(G)$ và một ánh xạ mũ $\phi$ của G xác định trên V sao cho: (1) $\phi(V)$ là một lân cận mở của $e$ trong G; (2) $\phi$ là một đẳng cấu của đa tạp giải tích V lên đa tạp giải tích $\phi(V)$; (3) $\phi(nx) = \phi(x)^n$ với mọi $x \in V$ và mọi $n \in \mathbf{Z}$ sao cho $nx \in V$. Ta định nghĩa tương tự W và $\psi$ cho H. Bằng cách thu nhỏ V nếu cần, có thể giả sử rằng $f(\phi(V)) \subset \psi(W)$. Khi đó $g = \psi^{-1} \circ f \circ \phi$ là một ánh xạ liên tục từ V vào W.

Ta chứng minh rằng

Có thể giả sử rằng $\lambda \neq 0$. Đặt $\lambda = \frac{r}{q}$ với $r, q$ trong $\mathbf{Z} - \{0\}$. Đặt $y = \frac{r}{q} x$.

Nếu $K = \mathbf{R}$, ta viết $z = \frac{x}{q} = \frac{y}{r} \in V$. Khi đó $x = qz, y = rz$, do đó

Ta chứng minh rằng $\psi^{-1}(f(\phi(z))^q) = q \psi^{-1}(f(\phi(z))) = qg(z)$. Chỉ cần kiểm tra rằng, nếu $u \in \psi(W)$ sao cho $u^q \in \psi(W)$, thì $\psi^{-1}(u^q) = q \psi^{-1}(u)$; nhưng nếu $u = \psi(v)$, $u^q = \psi(v^q)$, thì $v^1/q \in W$ và $(\psi(v^1/q))^q = u^q$, do đó $\psi(v^1/q) = u = \psi(v)$ và vì vậy $v^1 = qv$.

Tương tự, $g(y) = rg(z)$, do đó (1).

Nếu $K = \mathbf{Q}_p$, ta viết $z = rx = qy \in V$, do đó $g(z) = rg(x) = qg(y)$, do đó lại (1).

Vì $\mathbf{Q}$ trù mật trong $K$, (1) suy ra rằng

Cho $x \in L(G)$ và $\lambda, \lambda'$ là các phần tử của $K^*$ sao cho $\lambda x \in V, \lambda' x \in V$. Khi đó theo (2) và do đó $\frac{1}{\lambda} g(\lambda x) = \frac{1}{\lambda'} g(\lambda' x)$. Vì vậy một mở rộng $h$ của $g$ lên $L(G)$ được xác định bằng cách viết $h(x) = \frac{1}{\lambda} g(\lambda x)$ với mọi $\lambda$ sao cho $\lambda x \in V$. Rõ ràng $h$ liên tục. Ta chứng minh rằng Cho $\lambda' \in K^*$ sao cho $\lambda' x \in V$ và $\lambda' \lambda x \in V$. Khi đó Cho $x, y$ thuộc $L(G)$. Khi đó, theo Mệnh đề 4 của § 4, no. 3, Với $|\lambda|$ đủ nhỏ, $\lambda x \in V$ và $\lambda y \in V$ và do đó biểu thức trên bằng Vậy $h$ liên tục và tuyến tính, do đó $g = h|V$ là giải tích, do đó $f$ là giải tích trên $\phi(V)$ và do đó $f$ là giải tích (§ 1, no. 10).

Điều này suy ra ngay lập tức từ Định lý 1.

Cho $g \in G$. Tồn tại một lân cận mở $V'$ của $e$ trong G sao cho $V' \cup gV'g^{-1} \subset V$. Ánh xạ $v \mapsto gv g^{-1}$ từ $V'$ vào $V$ là một cấu xạ liên tục và do đó giải tích của mầm nhóm Lie $V'$ vào mầm nhóm Lie $V$. Khi đó chỉ cần áp dụng Mệnh đề 18 của § 1, no. 9.

Trường hợp (a). Gọi $G_0$ là thành phần đơn vị của G. Khi đó $f(G_0)$ là một nhóm con liên thông của $G'$ và do đó $f(G_0) = \{e\}$ và $G_0$ là mở trong G.

Trường hợp (b). Gọi $V'$ là một lân cận của $e$ trong $G'$ sao cho mọi nhóm con của $G'$ được chứa trong $V'$ đều thu gọn về $\{e\}$ (§ 4, no. 2, Hệ quả 1 của Định lý 2). Tồn tại một lân cận V của $e$ trong G sao cho $f(V) \subset V'$. Khi đó tồn tại một nhóm con mở $G_1$ của G sao cho $G_1 \subset V$ (§ 7, no. 1, Mệnh đề 1). Khi đó $f(G_1) = \{e\}$.

Trường hợp (c). Theo § 7, Định lý 4 và Hệ quả của Mệnh đề 8, tồn tại một lân cận $V'$ của $e$ trong $G'$ sao cho, với mọi $x' \in V' - \{e\}$, ${x'}^{p^n}$ không hội tụ

† Xem chẳng hạn D. Montgomery và L. Zippin, Topological transformation groups, Interscience tracts in pure and applied mathematics, no. 1, Interscience publishers, New York 1955 (đặc biệt các trang 169 và 184).

tới $e$ khi $n$ tiến tới $+\infty$. Tồn tại một lân cận $V$ của $e$ trong G sao cho $f(V) \subset V'$. Theo § 7, Định lý 4 và Mệnh đề 9, tồn tại một nhóm con mở $G_1$ của $G$ sao cho $G_1 \subset V$ và sao cho, với mọi $x \in G_1$, $x^{p^n}$ hội tụ tới $e$ khi $n$ tiến tới $+\infty$. Khi đó $f(G_1) = \{e\}$.

Cho $\mathfrak{h}$ là đại số con Lie tiếp xúc với $H$ tại $e$ (§ 4, no. 5, Định nghĩa 2). Tồn tại một mầm nhóm con Lie $H_0$ của $G$ với đại số Lie $\mathfrak{h}$ và được chứa trong $H$. Ta chứng minh rằng $H_0$ là mở trong $H$ với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên $G$. Điều này sẽ chứng minh rằng $H$ là một đa tạp con giải tích của $G$ và sẽ thiết lập định lý.

Tồn tại một không gian con vectơ $\mathfrak{k}$ phụ trợ cho $\mathfrak{h}$ trong $L(G)$, các lân cận mở đối xứng $V_1, V_2$ của không trong $\mathfrak{h}$ và $\mathfrak{k}$ tương ứng, và một ánh xạ mũ $\phi$ của $G$ được xác định trên $V_1 + V_2$ và có các tính chất sau:

(a) ánh xạ $(a_1, a_2) \mapsto \phi(a_1)\phi(a_2)$ là một đẳng cấu giải tích từ $V_1 \times V_2$ lên một tập con mở $V$ của $G$; (b) $\phi(V_1) \subset H_0$; (c) $V^2 \subset U$.

Ta sẽ chứng minh (và điều này sẽ hoàn tất chứng minh) rằng tồn tại một lân cận mở $V'_2$ của 0 trong $V_2$ sao cho $H \cap (\phi(V_1)\phi(V'_2)) = \phi(V_1)$.

Giả sử mệnh đề đó là sai. Khi đó ta có thể tìm được một dãy $(x_n)$ trong $V_1$ và một dãy $(y_n)$ trong $V_2 - \{0\}$ hội tụ về 0, sao cho $\phi(x_n)\phi(y_n) \in H$ với mọi $n$. Khi đó $\phi(y_n) \in H$ theo (c).

Nếu $K = \mathbf{Q}_p$, có thể giả sử rằng $V_2$ là một nhóm con cộng tính của $\mathfrak{k}$ và rằng $\phi(pa) = \phi(a)^p$ với mọi $a \in V_2$ và mọi $p \in \mathbf{Z}$. Khi đó $\phi(\lambda y_1) \in H$ với mọi $\lambda \in \mathbf{Z}$ và do tính liên tục với mọi $\lambda \in \mathbf{Z}_p$. Ánh xạ $f : \lambda \mapsto \phi(\lambda y_1)$ từ $\mathbf{Z}_p$ vào $G$ là giải tích và nhận các giá trị trong $H$ và $(T_0f)(1) = y_1$. Do đó $y_1 \in \mathfrak{h}$, điều này là vô lý. Vì vậy định lý được thiết lập trong trường hợp $\mathbf{Q}_p$.

Nếu $K = \mathbf{R}$, có thể giả sử rằng $V_2$ là liên thông và rằng $y_n$ thuộc $\frac{1}{2}V_2 - \{0\}$. Bằng cách lấy một dãy con của $(y_n)$ nếu cần, ta có thể tìm được một dãy $(\lambda_n)$ các vô hướng khác không sao cho $\lambda_n^{-1}y_n$ tiến tới một phần tử $y$ của $V_2 - \{0\}$. Dãy $(\lambda_n)$ tiến tới 0. Cho $\lambda \in \mathbf{R}$ sao cho $\lambda y \in \frac{1}{2}V_2$; ta chứng minh rằng $\exp(\lambda y) \in H$. Có thể giả sử rằng $\lambda \lambda_n^{-1}y_n \in \frac{1}{2}V_2$ với mọi $n$. Cho $k_n \in \mathbf{Z}$ sao cho $|\lambda - k_n \lambda_n|$ tiến tới 0. Với $n$ đủ lớn, $(\lambda - k_n \lambda_n)\lambda_n^{-1}y_n \in \frac{1}{2}V_2$ và do đó $k_n y_n \in \frac{1}{2}V_2$. Suy ra $\exp(h y_n) \in H$ với $h$ là một số nguyên và $0 \leq |h| \leq |k_n|$ (như thấy được bằng quy nạp theo $|h|$). Khi đó

Do đó ánh xạ $f : \lambda \mapsto \exp \lambda y$, trong đó $\lambda y \in \frac{1}{4}V_2$, nhận các giá trị của nó trong $H$ và $(T_0f)(1) = y$. Suy ra $y \in \mathfrak{h}$, điều này là vô lý. Định lý được thiết lập như vậy trong trường hợp $\mathbf{R}$.

Định lý 2 không còn đúng nữa nếu không giả sử $G$ là hữu hạn chiều (Bài tập 12).

Có một lân cận compact $V$ của $e$ trong $G'$ sao cho $f|V$ là một phép đồng phôi từ $V$ lên một không gian con compact của $G$. Nếu $U$ là một lân cận mở đủ nhỏ của $e$ trong $G$, các giả thiết của Định lý 2 được thỏa mãn với $H = f(V) \cap U$. Do đó $H$ là một mầm nhóm con Lie của $G$. Gọi $W$ là ảnh ngược của $H$ theo $f|V$. Khi đó $W$ là một lân cận của $e$ trong $G'$. Trang bị cho $W$ cấu trúc đa tạp giải tích được vận chuyển từ cấu trúc trên $H$ bởi $(f|W)^{-1}$. Với mọi $z \in G'$, ánh xạ $x \mapsto f(z)x f(z)^{-1}$ từ $G$ vào $G$ là giải tích; do đó tồn tại một lân cận mở $W'$ của $e$ trong $W$ sao cho ánh xạ $x' \mapsto zx'z^{-1}$ từ $W'$ vào $W$ là giải tích. Theo Mệnh đề 18 của § 1, no. 9, tồn tại trên $G'$ một cấu trúc nhóm Lie cảm sinh trên một lân cận mở đủ nhỏ của $e$ cùng cấu trúc giải tích với $W$ và do đó cùng tôpô với tôpô ban đầu trên $G'$.

(i) Nếu $K = \mathbf{C}$, $H$ là một nhóm con Lie của $G$. (ii) Nếu $K$ là một mở rộng hữu hạn của $\mathbf{Q}_p$ và $I$ là hữu hạn, $H$ là một nhóm con Lie của $G$.

(i) Giả sử $K = \mathbf{C}$. Ta xét $G$ như một nhóm Lie thực. Khi đó $H$ là một nhóm con Lie thực của $G$ (Định lý 2). Cho $a \in L(H)$. Có một lân cận mở liên thông $W$ của $0$ trong $\mathbf{C}$ sao cho $\exp \lambda a \in V$ với mọi $\lambda \in W$. Cho $i \in I$. Khi đó $f_i(\exp \lambda a) = f_i(e)$ nếu $\lambda \in \mathbf{R} \cap W$. Do đó $f_i(\exp \lambda a) = f_i(e)$ nếu $\lambda \in W$ nhờ phép tiếp tục giải tích. Vậy $\exp \lambda a \in H$ với $\lambda \in W$ và do đó $\mu a \in L(H)$ với mọi $\mu \in \mathbf{C}$. Suy ra $H$ là một nhóm con Lie của nhóm Lie phức $G$ (§ 4, no. 2, Mệnh đề 2).

(ii) Giả sử rằng $K$ là một mở rộng hữu hạn của $\mathbf{Q}_p$. Ta xét $G$ như một nhóm Lie trên $\mathbf{Q}_p$. Nó có số chiều hữu hạn và Định lý 2 suy ra rằng $H$ là một nhóm con Lie $p$-adic của $G$. Vì $I$ là hữu hạn, $\prod_{i \in I} M_i$ là một đa tạp và có thể giả sử rằng họ $(f_i)$ quy về một ánh xạ duy nhất $f$. Cho $a \in L(G)$. Gọi $\phi$ là một ánh xạ mũ của $G$. Khi đó $f(\phi(\lambda a)) = f(e)$ với $\lambda \in \mathbf{Q}_p$ và $|\lambda|$ đủ nhỏ. Vì $f$ là $K$-giải tích, suy ra $f(\phi(\lambda a)) = f(e)$ với $\lambda \in K$ và $|\lambda|$ đủ nhỏ. Do đó $\phi(\lambda a) \in H$ với $\lambda \in K$ và $|\lambda|$ đủ nhỏ, và vì vậy $\mu a \in L(H)$ với mọi $\mu \in K$. Chứng minh được hoàn thành như trong (i).

Hệ quả 2 (ii) không còn đúng nữa nếu ta bỏ giả thiết rằng $I$ là hữu hạn.