Trang bị cho L(G) một chuẩn tương thích với tôpô của nó và sao cho $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ với mọi x, y trong L(G). Gọi G_1 là nhóm Lie được xác định bởi L(G). Theo § 4, no. 2, Định lý 2, G và G_1 là đẳng cấu địa phương. Khi đó chỉ cần áp dụng § 4, no. 2, Bổ đề 3 (iii).

Mệnh đề đầu tiên đã được chứng minh trong § 4, no. 2, Bổ đề 3. Mệnh đề thứ hai là một trường hợp riêng của § 4, no. 2, Định lý 2.

Mệnh đề đầu tiên suy ra từ Mệnh đề 1 và § 4, no. 2, Định lý 3. Mệnh đề thứ hai là một trường hợp riêng của § 4, no. 2, Định lý 3.

(i) Tồn tại một nhóm con mở G' của G và một cấu xạ nhóm Lie $\phi$ của G' vào H sao cho $h = L(\phi)$.

(ii) Cho G_1, G_2 là các nhóm con mở của G và $\phi_i$ là một cấu xạ của G_i vào H sao cho $h = L(\phi_i)$. Khi đó $\phi_1$ và $\phi_2$ trùng nhau trên một nhóm con mở của G.

Theo Mệnh đề 1, điều này suy ra từ § 4, no. 1, Định lý 1.

(i) Tồn tại một nhóm con mở G' của G và một nhóm con Lie chuẩn H của G' sao cho L(H) = h.

(ii) h là một iđêan của L(H).

Nếu tồn tại G' và H với các tính chất của (i), thì L(G') = L(G) và L(H) là một iđêan của L(G') theo § 3, no. 12, Mệnh đề 47.

Giả sử rằng h là một iđêan của L(G). Tồn tại một nhóm Lie F sao cho L(F) = L(G)/h (Định lý 1). Gọi h là cấu xạ chính tắc của L(G) lên L(F). Theo Định lý 3 (i), tồn tại một nhóm con mở G' của G và một cấu xạ nhóm Lie $\phi$ của G' vào F sao cho $L(\phi) = h$. Theo § 3, no. 8, hạt nhân H của $\phi$ là một nhóm con Lie của G' và $L(H) = \mathrm{Ker}\ L(\phi) = \mathrm{Ker}\ h = h$. Cuối cùng, H là chuẩn trong G' vì $H = \mathrm{Ker}\ \phi$.

Trang bị cho $L(G)$ một chuẩn tương thích với tôpô của nó và sao cho $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ đối với $x, y$ trong $L(G)$. Gọi $G_1$ là nhóm Lie được xác định bởi $L(G)$. Gọi $\psi = \mathrm{Id}_{G_1}$, đây là một ánh xạ mũ của $G_1$. Với mọi $\mu > 0$, gọi $L_\mu$ là tập hợp các $x \in L(G)$ sao cho $\| x \| < \mu$. Khi $\mu$ đủ nhỏ, $L_\mu$ là một nhóm con mở của nhóm cộng tính $L(G)$, $\psi(L_\mu)$ là một nhóm con mở của $G_1$ (§ 4, no. 2, Bổ đề 3), $\psi|L_\mu$ là một đẳng cấu của các đa tạp giải tích của $L_\mu$ lên $\psi(L_\mu)$ và $\psi(nx) = \psi(x)^n$ với mọi $x \in L_\mu$ và mọi $n \in \mathbf{Z}$. Các $L_\mu$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong $L(G)$. Theo Định lý 1, tồn tại $\mu$ và một nhóm con mở $G'$ của G sao cho $\psi(L_\mu)$ và $G'$ đẳng cấu, do đó có mệnh đề.

(1)

(2)

Đây là các trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 4 của § 4, no. 3.

Bằng cách thay G bởi một nhóm đẳng cấu với một nhóm con mở của G, bài toán được quy về trường hợp G là một tập con mở của K', với phần tử đơn vị 0 và trong đó các tọa độ của tích x.y và nghịch đảo x^{[-1]} được cho bởi các công thức

(3)

(4)

trong đó các chuỗi ở vế phải là hội tụ với x, y trong G (§ 5, no. 1). Cho λ ∈ K* và luật nhóm được chuyển từ G sang G' = λG bởi phép vị tự tỉ số λ. Với x', y' trong G', tích x'.y' và nghịch đảo x'^{[-1]} được tính trong G' có các tọa độ

trong đó

Vì các chuỗi (3) và (4) là hội tụ, ta thấy rằng, với |λ| đủ lớn, với mọi α, β, i,

nghĩa là c'_{\alpha \beta i} ∈ A và d'_{\alpha i} ∈ A; và mặt khác G' ⊃ m × m × ... × m. Khi đó m × m × ... × m là một nhóm con mở của G' và là một nhóm chuẩn.

(i) Nếu $a$ là một iđêan khác không của $A$ được chứa trong $m$, $G(a)$ là một nhóm con chuẩn mở của $G$.

(ii) Các $G(a_\lambda)$, với $\lambda > 0$, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $e$ trong $G$.

(iii) Giả sử rằng $a_\lambda \subset a$ với $\lambda \geq \lambda_0$ và cho $G(a)/G(a_\lambda)$, với $\lambda \geq \lambda_0$, có tôpô rời rạc. Khi đó nhóm tôpô $G(a)$ là giới hạn ngược của các nhóm $G(a)/G(a_\lambda)$.

(iv) Cho $a, b$ là các iđêan khác không của $A$ được chứa trong $m$ sao cho $a \supset b \supset a^2$. Ánh xạ $x \mapsto (x_1 \bmod b, \ldots, x_r \bmod b)$ của $G(a)$ vào $(a/b) \times \cdots \times (a/b)$ xác định khi chuyển qua thương một đẳng cấu của nhóm $G(a)/G(b)$ lên nhóm cộng $(a/b) \times \cdots \times (a/b)$.

Nếu $x \in G$ và $y \in G(a)$, các tọa độ của $x$ và $x.y$ bằng nhau modulo $a$. Do đó, với $x', x''$ trong $G$ và $y', y''$ trong $G(a)$, các tọa độ của $x'.x''$ và $(x'.y').(x''.y'')$ bằng nhau modulo $a$. Điều này chứng minh (i).

(ii) là hiển nhiên.

(iii) suy ra từ các kết quả trên và Tôpô đại cương, Chương III, § 7, Mệnh đề 2.

Nếu $x \in G(a)$ và $y \in G(a)$, các tọa độ của $x.y$ đồng dư với các tọa độ của $x + y$ modulo $G(a^2)$ theo công thức (4) của § 5. Điều này chứng minh (iv).

(i) Nếu $a = m^a$ và $b = m^b$ với $b \geq a \geq 1$, $G(a)/G(b)$ là một $p$-nhóm có lực lượng $q^{r(b-a)}$.

(ii) $G(a)$ là một giới hạn ngược của các $p$-nhóm.

Số phần tử của $G(a)/G(b)$ là $(\mathrm{Card}(a/b))^r$; nếu $b = a + 1$, $a/b$ là một không gian vectơ 1 chiều trên $A/m$, do đó (i) trong trường hợp này; trường hợp tổng quát suy ra bằng quy nạp theo $b - a$. Mệnh đề (ii) suy ra từ (i) và Mệnh đề 5 (iii).

Nếu $x \in G(a)$ và $y \in G(b)$, thì $x^{[-1]}y^{[-1]}x.y, x.y.x^{[-1]}y^{[-1]}$ và $[x,y]$ thuộc $G(c')$ và đồng dư modulo $G(c')$.

Theo § 5, no. 2, Mệnh đề 1, tồn tại $c_{\alpha\beta} \in A'$ sao cho

Nếu $x = 0$ hoặc $y = 0$, thì $x^{[-1]}y^{[-1]}x.y - [x,y] = 0$; do đó $c_{0\beta} = c_{\alpha 0} = 0$. Mặt khác, các điều kiện suy ra và do đó $x^{[-1]}y^{[-1]}x.y - [x,y] \in G(c')$. Tương tự, ta thấy rằng Cuối cùng, theo § 5, công thức (13), $[x,y] \in G(ab) \subset G(c)$.

Theo Chương II, § 4, no. 4, ta có thể lập nhóm $\mathrm{gr}(G)$ liên kết với nhóm $G$, với phép lọc trung tâm $(G(a_\lambda))$. Viết $G_\lambda = G(a_\lambda)/G(a_\lambda^+)$ với mọi $\lambda > 0$, ta thu được $\mathrm{gr}(G) = \bigoplus_{\lambda > 0} G_\lambda$. Nhắc lại ( cùng chỗ đã dẫn, Mệnh đề 1) rằng giao hoán tử trong $G$ cho phép ta định nghĩa một móc trong $\mathrm{gr}(G)$, nhờ đó $\mathrm{gr}(G)$ là một đại số Lie, như sau: nếu $\bar{x} \in G_\lambda$ và $\bar{y} \in G_\mu$, chọn một đại diện $x$ của $\bar{x}$ trong $G(a_\lambda)$ và một đại diện $y$ của $\bar{y}$ trong $G(a_\mu)$; khi đó $[\bar{x}, \bar{y}]$ là lớp của $x^{[-1]}y^{[-1]}x.y \in G(a_{\lambda+\mu})$ trong $G_{\lambda+\mu}$. Theo Mệnh đề 6, được áp dụng với $a = a_\lambda, b = a_\mu, c = a_{\lambda+\mu}, c' = a_{\lambda+\mu}^+$, ta thấy rằng $[\bar{x}, \bar{y}]$ cũng là lớp của $[x, y]$ trong $G_{\lambda+\mu}$. Vì vậy, khi $G$ được xem như một đại số con Lie của $L(G) = K^r$, được lọc bởi các $G(a_\lambda)$, đại số Lie phân bậc liên kết (Chương II, § 4, no. 3) bằng $\mathrm{gr}(G)$.

Theo định nghĩa của các nhóm chuẩn, $h_n$ bằng trên toàn bộ $G$ tổng của một chuỗi nguyên với các hệ số trong $A'$. Theo § 5, công thức (4), chuỗi này có dạng

Do đó, với $x \in G$, trong đó ta viết $S(x) = x + \sum_{|\alpha| \geq 2} a_\alpha n^{|\alpha|-2} x^\alpha$. Chuỗi này $S(x)$ xác định một ánh xạ giải tích, cũng được ký hiệu là $S$, từ $G$ vào $G$. Theo Đại số, Chương IV, § 6, Mệnh đề 8, tồn tại một chuỗi nguyên $S'$ trong $r$ biến với các hệ số trong $A'$ sao cho $S'(S(X)) = S(S'(X)) = X$. Do đó $S$ là một đẳng cấu của đa tạp giải tích $G$ lên chính nó và, với mọi iđêan khác không $b$ của $A$ được chứa trong $m$, $S(G(b)) \subset G(b)$, $S'(G(b)) \subset G(b)$ và do đó Vì $h_n(y) = n^2 S \left( \frac{1}{n} y \right)$ với $y \in nG$, ta thấy rằng $h_n|nG(b)$ là một đẳng cấu của đa tạp giải tích $nG(b)$ lên đa tạp giải tích $n^2 G(b)$. Nhưng, vì $n \notin a$, $|n| > |\lambda|$ với mọi $\lambda \in a$, do đó $n^{-1} a \subset m$ và do đó $a$ có dạng $nb$ trong đó $b$ là một iđêan khác không của $A$ được chứa trong $m$.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 8.

Tồn tại một nhóm con mở của $G$ đẳng cấu với một nhóm chuẩn (no. 3, Định lý 4). Mệnh đề (i) suy ra khi đó từ Bổ đề 1.

Cho $U$ là một nhóm con mở của $L(G)$ và $\phi : U \to \phi(U)$ là một ánh xạ mũ của $G$ với các tính chất của Mệnh đề 3 của no. 2. Có thể giả sử rằng $U$ đủ nhỏ để $\phi(U) \subset G_f$. Cho $x \in G_f$. Tồn tại $m \in \mathbf{Z} - \{0\}$ sao cho $x^m \in \phi(U)$. Phần tử $\frac{1}{m} \phi^{-1}(x^m)$ không phụ thuộc vào việc lựa chọn $m$. Thật vậy, cho $m' \in \mathbf{Z}$ sao cho $x^{m'} \in \phi(U)$. Khi đó $x^{m m'} \in \phi(U)$ và

do đó có mệnh đề của chúng ta. Đặt $\psi(x) = \frac{1}{m} \phi^{-1}(x^m)$. Khi đó $\psi|\phi(U) = \phi^{-1}$. Mặt khác, nếu $n \in \mathbf{Z}$, thì

Vậy $\psi$ có các tính chất (a) và (b) của mệnh đề. Trong một lân cận của $x$, $\psi$ là hợp thành của các ánh xạ $x \mapsto x^m$, $y \mapsto \phi^{-1}(y)$ và $z \mapsto \frac{1}{m} z$; do đó $\psi$ là giải tích trên $G_f$.

Cuối cùng, cho $\psi'$ là một ánh xạ từ $G_f$ vào $L(G)$ và $V'$ là một lân cận của $e$ trong $G_f$ sao cho $\psi'(x^n) = n \psi'(x)$ với $x \in G_f$ và $n \in \mathbf{Z}$ và sao cho $\psi'|V'$ là ánh xạ nghịch đảo của một ánh xạ mũ đơn ánh. Khi đó $\psi$ và $\psi'$ trùng nhau trên một lân cận $W$ của $e$. Nếu $x \in G_f$, tồn tại $n \in \mathbf{Z}$ sao cho $x^n \in W$. Khi đó

và do đó $\psi = \psi'$.

Việc $xy \in G_f$ suy ra từ Bổ đề 1. Cho $U$ là một nhóm con mở của nhóm cộng tính $L(G)$ và $\phi : U \to \phi(U)$ là một ánh xạ mũ của $G$ với các tính chất của Mệnh đề 3 của no. 2; có thể giả sử rằng $U$ đủ nhỏ để $\log|\psi(U)|$ là ánh xạ nghịch đảo của $\phi$. Với $n \in \mathbf{Z} - \{0\}$ được chọn thích hợp, $x^n \in \phi(U)$, $y^n \in \phi(U)$. Đặt $u = \log x^n$, $v = \log y^n$, do đó $x^n = \phi(u)$, $y^n = \phi(v)$. Theo công thức (2), $[u, v] = 0$. Công thức Hausdorff chứng minh khi đó rằng $\phi(\lambda(u + v)) = \phi(\lambda u) \phi(\lambda v)$ với $|\lambda|$ đủ nhỏ; do đó, với mọi số nguyên $i$ đủ lớn,

nghĩa là hoặc

Nếu tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $x^n = e$, ta suy ra

do đó $\log x = 0$. Nếu $\log x = 0$, gọi $V$ là một lân cận của $e$ trong $G_f$ sao cho $\log|V|$ là ánh xạ nghịch đảo của một ánh xạ mũ đơn ánh. Tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $x^n \in V$; đẳng thức $\log x^n = 0$ kéo theo $x^n = e$.

Nếu G là chuẩn, chỉ cần sử dụng Bổ đề 1. Giả sử rằng G là compact. Cho $x \in G$ và V là một lân cận của e trong G. Gọi y là một điểm giới hạn của dãy $(x^n)_{n \geq 0}$. Với mọi $n > 0$, tồn tại hai số nguyên $n_1, n_2$ sao cho $n_1 \geq 2n_2 \geq n$ và $x^{n_1} \in yV, x^{n_2} \in yV$, do đó $x^{n_1 - n_2} \in V^{-1}V$ và $n_1 - n_2 \geq n$. Suy ra $x \in G_f$.

Cho $x \in G$. Nếu x thuộc một nhóm con compact của G, thì $x \in G_f$ (Mệnh đề 13). Giả sử rằng $x \in G_f$. Vì K là compact địa phương, tồn tại một nhóm con mở $G_1$ của G là compact. Khi đó tồn tại một số nguyên $m > 0$ sao cho $x^m \in G_1$. Nhóm con đóng $G_2$ sinh bởi $x^m$ được chứa trong $G_1$ và do đó là compact. Khi đó x giao hoán với các phần tử của $G_2$ và vì vậy $G_2 \cup xG_2 \cup \cdots \cup x^{m-1}G_2$ là một nhóm con compact của G chứa x.

(i) Miền hội tụ tuyệt đối (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 4.1.3) của E chứa tập hợp $\Delta$ gồm các $x \in G$ sao cho $\omega(x) > \frac{1}{p-1}$. Gọi $E'$ là ánh xạ được xác định trên $\Delta$ bởi chuỗi này. Khi đó $E'$ là một ánh xạ mũ của G và là một đẳng cấu của đa tạp $\Delta$ lên chính nó.

(ii) Miền hội tụ tuyệt đối của L chứa G. Gọi $L'$ là ánh xạ trên G được xác định bởi chuỗi này. Khi đó $L'$ là ánh xạ logarit của G và hạn chế của $L'$ lên $\Delta$ là ánh xạ nghịch đảo của $E'$.

(iii) Ánh xạ $E'$ là một đẳng cấu của $\Delta$, với luật Hausdorff, lên nhóm con $\Delta$ của G.

Sử dụng ký hiệu của § 5, các số 3 và 4, $E = \sum_{m \geq 1} \frac{\psi_{m,m}}{m!}$ ($§ 5$, no. 4, Mệnh đề 3). Vì các hệ số $c_{\alpha \beta \gamma}$ thuộc A, $\| \psi_{m,m} \| \leq 1$ (Differentiable and Analytic Manifolds, R, Phụ lục) $K^r$ được giả sử có chuẩn

Theo Chương II, § 8, no. 1, Bổ đề 1, $v(m!) \leq \frac{m-1}{p-1}$. Nếu $\omega(x) > \frac{1}{p-1}$, ta thấy rằng $m \omega(x) - v(m!)$ tiến tới $+\infty$ khi m tiến tới vô hạn, do đó

tiến tới 0 khi m tiến tới $+\infty$ và Do đó $\Delta$ được chứa trong miền hội tụ tuyệt đối của $E$ và $E'(\Delta) \subset \Delta$. Rõ ràng $E'$ là một ánh xạ mũ.

Nếu $L_m$ là thành phần thuần nhất của $L$ có bậc m, Mệnh đề 3 của § 5, no. 4, chứng minh rằng mỗi hệ số của $L_m$ có dạng

với $a_1, a_2, \ldots, a_m$ thuộc A; nhưng và Do đó, nếu $\omega(x) > 0$, $\|L_m\| \cdot \|x\|^m$ tiến tới 0 khi m tiến tới $+\infty$, vì vậy G được chứa trong miền hội tụ tuyệt đối của $L$. Mặt khác, nếu $\omega(x) > \frac{m}{p-1}$, thì $\omega(L_m(x)) > \frac{m}{p-1} - \frac{m-1}{p-1} = \frac{1}{p-1}$ với $m \geq 1$ và do đó $L'(\Delta) \subset \Delta$.

Vì các chuỗi lũy thừa hình thức $L(E(X))$ và $E(L(X))$ đều bằng X, no. 4.1.5 của Differentiable and Analytic Manifolds, R, chứng minh rằng

với $x \in \Delta$. Do đó $E'$ là một đẳng cấu của đa tạp $\Delta$ lên chính nó và đẳng cấu nghịch đảo là hạn chế của $L'$ lên $\Delta$.

$L(X^{[n]}) = nL(X)$ với $n$ là một số nguyên $> 0$ (xem § 5, no. 4). Vì $G$ được chứa trong miền hội tụ tuyệt đối của $L$ và $X^{[n]}$, do đó $L'(x^n) = nL'(x)$ với mọi $x \in G$. Quan hệ $L'|_{\Delta} = {E'}^{-1}$ kéo theo rằng $L'(x^n) = \log x^n$ với $n$ đủ lớn. Suy ra $L'(x) = \log x$. Như vậy ta đã chứng minh được (i) và (ii).

Gọi $H = \sum_{r,s \geq 0} H_{r,s}$ là chuỗi lũy thừa hình thức Hausdorff và $h$ là hàm Hausdorff tương ứng với $L(G)$. Miền hội tụ tuyệt đối của $\tilde{H}$ chứa $\Delta \times \Delta$ và $h$ được xác định trên $\Delta \times \Delta$ (Chương II, § 8, Mệnh đề 2). Khi đó

với $x, y$ đủ gần 0 ($§ 4$, Định lý 4 (v)). Do đó, theo ký hiệu của no. 3, Định nghĩa 1, các chuỗi lũy thừa hình thức $F(E(X), E(Y))$ và $E(H(X, Y))$ bằng nhau. Cho $x, y$ là các phần tử của $\Delta$. Khi đó theo Chương II, § 8, công thức (14). Theo Differentiable and Analytic Manifolds, R, 4.1.5, $E'(x)E'(y)$ thu được bằng cách thế $x$ vào $X$ và $y$ vào $Y$ trong và $E'(h(x, y))$ thu được bằng cách thế $x$ vào $X$ và $y$ vào $Y$ trong $E(H(X, Y))$. Do đó $E'(x)E'(y) = E'(h(x, y))$.