Munissons $L(G)$ d'une norme compatible avec sa topologie et telle que $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ quels que soient $x, y$ dans $L(G)$. Soit $G_1$ le groupe de Lie défini par $L(G)$. D'après le , no 2, th. 2, $G$ et $G_1$ sont localement isomorphes. Il suffit alors d'appliquer le § 4, no 2, lemme 3 (iii)

Munissons L(G) d’une norme compatible avec sa topologie et telle que $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ pour x, y dans L(G). Soit G_1 le groupe de Lie défini par L(G). Soit ψ = Id_{G_1}, qui est une application exponentielle de G_1. Pour tout μ > 0, soit L_μ l’ensemble des x ∈ L(G) tels que $\| x \| < \mu$. Alors, pour μ assez petit, L_μ est un sous-groupe ouvert du groupe additif L(G), ψ(L_μ) est un sous-groupe ouvert de G_1 (§ 4, n° 2, lemme 3), ψ|L_μ est un isomorphisme de variétés analytiques de L_μ sur ψ(L_μ), et ψ(nx) = ψ(x)^n pour tout x ∈ L_μ et tout n ∈ \mathbf{Z}. Les L_μ forment un système fondamental de voisinages de 0 dans L(G). D’après le th. 1, il existe un μ et un sous-groupe ouvert G' de G tels que ψ(L_μ) et G' soient isomorphes, d’où la proposition.

Ce sont des cas particuliers de la prop. 4 du § 4, n° 3.

En remplaçant $G$ par un groupe isomorphe à un sous-groupe ouvert de $G$, on se ramène au cas où $G$ est une partie ouverte de $K^r$, d’élément neutre $0$, et où les coordonnées du produit $x.y$ et de l’inverse $x^{[-1]}$ sont données par des formules

les séries des seconds membres étant convergentes pour $x, y$ dans $G$ (§ 5, n° 1). Soit $\lambda \in K^*$, et transportons la loi de groupe de $G$ à $G' = \lambda G$ par l’homothétie de rapport $\lambda$. Pour $x', y'$ dans $G'$, le produit $x'.y'$ et l’inverse ${x'}^{[-1]}$ calculés dans $G'$ ont pour coordonnées

avec

Comme les séries (3) et (4) sont convergentes, on voit que, pour $|\lambda|$ assez grand, on a, quels que soient $\alpha, \beta, i$,

c’est-à-dire $c'_{\alpha \beta i} \in A$ et $d'_{\alpha i} \in A$; et d’autre part $G' \supset m \times m \times \cdots \times m$. Alors $m \times m \times \cdots \times m$ est un sous-groupe ouvert de $G'$, et est un groupe standard.

(i) Si $a$ est un idéal non nul de $\mathbf{A}$ contenu dans $m$, $G(a)$ est un sous-groupe distingué ouvert de $G$.

(ii) Les $G(a_\lambda)$, pour $\lambda > 0$, forment un système fondamental de voisinages de $e$ dans $G$.

(iii) Supposons $a_\lambda \subset a$ pour $\lambda \geq \lambda_0$, et munissons les $G(a)/G(a_\lambda)$, pour $\lambda \geq \lambda_0$, de la topologie discrète. Alors le groupe topologique $G(a)$ est limite projective des groupes $G(a)/G(a_\lambda)$.

(iv) Soient $a, b$ des idéaux non nuls de $\mathbf{A}$ contenus dans $m$, tels que $a \supset b \supset a^2$. L’application $x \mapsto (x_1 \mod b, \ldots, x_r \mod b)$ de $G(a)$ dans $(a/b) \times \cdots \times (a/b)$ définit par passage au quotient un isomorphisme du groupe $G(a)/G(b)$ sur le groupe additif $(a/b) \times \cdots \times (a/b)$.

Si $x \in G$ et $y \in G(a)$, les coordonnées de $x$ et de $x.y$ sont égales modulo $a$. Donc, pour $x', x''$ dans $G$ et $y', y''$ dans $G(a)$, les coordonnées de $x'.x''$ et de $(x'.y').(x''.y'')$ sont égales modulo $a$. Cela prouve (i).

(ii) est évident.

(iii) résulte de ce qui précède et de TG, III, § 7, prop. 2.

Si $x \in G(a)$ et $y \in G(a)$, les coordonnées de $x.y$ sont congrues à celles de $x + y$ modulo $G(a^2)$ d’après la formule (4) du § 5. Cela prouve (iv).

(i) Si $a = m^a$ et $b = m^b$ avec $b \geq a \geq 1$, $G(a)/G(b)$ est un $p$-groupe de cardinal $q^{r(b-a)}$.

(ii) $G(a)$ est limite projective de $p$-groupes.

Le nombre d’éléments de $G(a)/G(b)$ est $(\mathrm{Card}(a/b))^r$; si $b = a + 1$, $a/b$ est un espace vectoriel de dimension 1 sur $\mathbf{A}/m$, d’où (i) dans ce cas; le cas général s’en déduit par récurrence sur $b - a$. L’assertion (ii) résulte de (i) et de la prop. 5 (iii).

D’après le § 5, n° 2, prop. 1, il existe des $c_{\alpha \beta} \in A^r$ tels que

D’après le chap. II, § 4, n° 4, on peut former le groupe gr(G) associé au groupe G muni de la filtration centrale $(G(a_{\lambda}))$. Posant $G_{\lambda} = G(a_{\lambda})/G(a_{\lambda}^+)$ pour tout $\lambda > 0$, on a $\mathrm{gr}(G) = \bigoplus_{\lambda > 0} G_{\lambda}$. Rappelons (loc. cit., prop. 1) que le commutateur dans G permet de définir un crochet dans gr(G) pour lequel gr(G) est une algèbre de Lie, de la manière suivante: si $\bar{x} \in G_{\lambda}$ et $\bar{y} \in G_{\mu}$, on choisit un représentant $x$ de $\bar{x}$ dans $G(a_{\lambda})$ et un représentant $y$ de $\bar{y}$ dans $G(a_{\mu})$; alors $[\bar{x}, \bar{y}]$ est la classe de $x^{[-1]}.y^{[-1]}.x.y \in G(a_{\lambda+\mu})$ dans $G_{\lambda+\mu}$. D’après la prop. 6, appliquée avec $a = a_{\lambda}, b = a_{\mu}, c = a_{\lambda+\mu}, c' = a_{\lambda+\mu}^+$, on voit que $[\bar{x}, \bar{y}]$ est aussi la classe de $[x, y]$ dans $G_{\lambda+\mu}$. Ainsi, lorsqu’on considère G comme une sous-algèbre de Lie de $L(G) = K^r$, filtrée par les $G(a_{\lambda})$, l’algèbre de Lie graduée associée (chap. II, § 4, n° 3) est égale à gr(G).

Par définition des groupes standards, $h_n$ est égal dans tout $G$ à la somme d'une série entière à coefficients dans $A^r$. D'après le , formule (4), cette série est de la forme

Donc, pour $x \in G$, on a

en posant $S(x) = x + \sum_{|\alpha| \geq 2} a_\alpha n^{|\alpha|-2} x^\alpha$. Cette série $S(x)$ définit une application analytique, que nous noterons encore $S$, de $G$ dans $G$. D’après A, IV, § 6, prop. 8, il existe une série entière en $r$ variables à coefficients dans $A^r$ telle que $S'(S(X)) = S(S'(X)) = X$. Donc $S$ est un isomorphisme de la variété analytique $G$ sur elle-même, et, pour tout idéal non nul $b$ de $A$ contenu dans $m$, on a $S(G(b)) \subset G(b), S'(G(b)) \subset G(b)$, donc $S(G(b)) = G(b)$. Comme $h_n(y) = n^2 S\left(\frac{1}{n} y\right)$ pour $y \in nG$, on voit que $h_n|n G(b)$ est un isomorphisme de la variété analytique $n G(b)$ sur la variété analytique $n^2 G(b)$. Or, comme $n \notin a$, on a $|n| > |\lambda|$ pour tout $\lambda \in a$, donc $n^{-1}a \subset m$, donc $a$ est de la forme $nb$ où $b$ est un idéal non nul de $A$ contenu dans $m$.

Cela résulte aussitôt de la prop. 8.

d’où notre assertion. Posons $\psi(x) = \frac{1}{m} \varphi^{-1}(x^m)$. On a $\psi|\varphi(\mathrm{U}) = \varphi^{-1}$. D’autre part, si $n \in \mathbf{Z}$, on a

Enfin, soient $\psi'$ une application de $G_f$ dans $\mathrm{L}(G)$, et $V'$ un voisinage de $e$ dans $G_f$, tels que $\psi'(x^n) = n \psi'(x)$ pour $x \in G_f$ et $n \in \mathbf{Z}$, et tels que $\psi'|V'$ soit l’application réciproque d’une application exponentielle injective. Alors $\psi$ et $\psi'$ coïncident dans un voisinage $W$ de $e$. Si $x \in G_f$, il existe $n \in \mathbf{Z}$ tel que $x^n \in W$. Alors

Le fait que $xy \in G_f$ résulte du lemme 1. Soient $\mathrm{U}$ un sous-groupe ouvert du groupe additif $\mathrm{L}(G)$ et $\varphi : \mathrm{U} \to \varphi(\mathrm{U})$ une application exponentielle de $G$ ayant les propriétés de la prop. 3 du n° 2; on peut supposer $\mathrm{U}$ assez petit pour que $\log|\psi(\mathrm{U})|$ soit l’application réciproque de $\varphi$. Pour $n \in \mathbf{Z} - \{0\}$ bien choisi, on a $x^n \in \varphi(\mathrm{U}), y^n \in \varphi(\mathrm{U})$. Posons $u = \log x^n, v = \log y^n$, d’où $x^n = \varphi(u), y^n = \varphi(v)$. D’après la formule (2), on a $[u, v] = 0$. La formule de Hausdorff prouve alors que $\varphi(\lambda(u + v)) = \varphi(\lambda u)\varphi(\lambda v)$ pour $|\lambda|$ assez petit; donc, pour tout entier $i$ assez grand, on a

S’il existe un entier $n > 0$ tel que $x^n = e$, on en déduit que

d’où $\log x = 0$. Si $\log x = 0$, soit $V$ un voisinage de $e$ dans $G_f$ tel que $\log|V|$ soit l’application réciproque d’une application exponentielle injective. Il existe un entier $n > 0$ tel que $x^n \in V$; l’égalité $\log x^n = 0$ entraîne $x^n = e$.

Si $G$ est standard, il suffit d’utiliser le lemme 1. Supposons $G$ compact. Soient $x \in G$ et $V$ un voisinage de $e$ dans $G$. Soit $y$ une valeur d’adhérence de la suite $(x^n)_{n \geq 0}$. Quel que soit $n > 0$, il existe deux entiers $n_1, n_2$ tels que $n_1 \geq 2n_2 \geq n$ et $x^{n_1} \in y\, V, x^{n_2} \in y\, V$, d’où $x^{n_1 - n_2} \in V^{-1}V$ et $n_1 - n_2 \geq n$. Donc $x \in G_f$.

Soit $x \in G$. Si $x$ appartient à un sous-groupe compact de $G$, on a $x \in G_f$ (prop. 13). Supposons $x \in G_f$. Comme $K$ est localement compact, il existe un sous-groupe ouvert $G_1$ de $G$ qui est compact. Puis il existe un entier $m > 0$ tel que $x^m \in G_1$. Le sous-groupe fermé $G_2$ engendré par $x^m$ est contenu dans $G_1$, donc compact. Alors $x$ commute aux éléments de $G_2$, donc $G_2 \cup xG_2 \cup \cdots \cup x^{m-1}G_2$ est un sous-groupe compact de $G$, qui contient $x$.