§ 3. Formes compactes des algèbres de Lie semi-simples complexes

1. Formes réelles

Si $a$ est une algèbre de Lie complexe, on note $a_{[\mathbf{R}]}$ (ou parfois $a$ ) l’algèbre de Lie réelle obtenue par restriction des scalaires. Si $g$ est une algèbre de Lie réelle, on note $g_{(\mathbf{C})}$ (ou parfois $g_{\mathbf{C}}$ ) l’algèbre de Lie complexe $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} g$ obtenue par extension des scalaires. Les homomorphismes d’algèbres de Lie réelles $g \to a_{[\mathbf{R}]}$ correspondent bijectivement aux homomorphismes d’algèbres de Lie complexes $g_{(\mathbf{C})} \to a$ : si $f : g \to a_{[\mathbf{R}]}$ et $g : g_{(\mathbf{C})} \to a$ se correspondent, on a $f(x) = g(1 \otimes x)$ et $g(\lambda \otimes x) = \lambda f(x)$ pour $x \in g, \lambda \in \mathbf{C}$ .

Définition 1 01B1

Soit $a$ une algèbre de Lie complexe. On appelle forme réelle de $a$ toute sous-algèbre réelle $g$ de $a$ qui est une $\mathbf{R}$ -structure sur le $\mathbf{C}$ -espace vectoriel $a$ (A, II, p. 119, déf. 1).

Cite 1

Cite Définition 1, A II § 8

Cela signifie donc que l’homomorphisme d’algèbres de Lie complexes $g_{(\mathbf{C})} \to a$ associé à l’injection canonique $g \to a_{[\mathbf{R}]}$ est bijectif. Une sous-algèbre réelle $g$ de $a$ est donc une forme réelle de $a$ si et seulement si les sous-espaces $g$ et $ig$ de l’espace vectoriel réel $a$ sont supplémentaires. On appelle alors conjugaison de $a$ relativement à la forme réelle $g$ l’application $\sigma : a \to a$ telle que

\sigma(x + iy) = x - iy, \quad x, y \in g.

Proposition 1 01JF

a) Soient $g$ une forme réelle de $a$ et $\sigma$ la conjugaison de $a$ relativement à $g$ . On a alors :

\sigma^2 = \mathrm{Id}_a, \quad \sigma(\lambda x + \mu y) = \overline{\lambda} \sigma(x) + \overline{\mu} \sigma(y), \quad [\sigma(x), \sigma(y)] = \sigma[x, y]

pour $\lambda, \mu \in \mathbf{C}, x, y \in a$ . Pour qu’un élément $x$ de $a$ appartienne à $g$ , il faut et il suffit que $\sigma(x) = x$ .

Cite 1 · Cité par 3

Cite IX § 1. Algèbres de Lie compactes

Cité par Proposition 1, III § 1, Proposition 2, IX § 3, Proposition 4

b) Soit $\sigma : a \to a$ une application satisfaisant à (2). Alors l’ensemble $g$ des points fixes de $\sigma$ est une forme réelle de $a$ , et $\sigma$ est la conjugaison de $a$ relativement à $g$ .

La démonstration est immédiate.

Notons que si l’on désigne par $B$ la forme de Killing de $a$ , et si $g$ est une forme réelle de $a$ , la restriction de $B$ à $g$ est la forme de Killing de $g$ ; en particulier $B$ est à valeurs réelles sur $g \times g$ . Supposons $a$ réductive ; pour que l’algèbre de Lie réelle $g$ soit compacte, il faut et il suffit que la restriction de $B$ à $g$ soit négative (§ 1, no 3). On dit alors que $g$ est une forme réelle compacte de $a$ .

2. Formes réelles associées à un système de Chevalley

Dans ce numéro, on considère une algèbre de Lie semi-simple déployée ( $\mathfrak{a}, \mathfrak{h}$ ) sur le corps $\mathbf{C}$ (VIII, § 2, n° 1), de système de racines $R(\mathfrak{a}, \mathfrak{h}) = \mathbf{R}$ , et un système de Chevalley $(X_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ de $(\mathfrak{a}, \mathfrak{h})$ (VIII, § 2, n° 4, déf. 3).

Rappelons (loc. cit.) que l’application linéaire $\theta : \mathfrak{a} \to \mathfrak{a}$ qui coïncide avec $-\mathrm{Id}_{\mathfrak{h}}$ sur $\mathfrak{h}$ et applique $X_\alpha$ sur $X_{-\alpha}$ pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$ est un automorphisme de $\mathfrak{a}$ . Par ailleurs (loc. cit., prop. 7), si $\alpha, \beta, \alpha + \beta$ sont des racines, on a

[X_\alpha, X_\beta] = N_{\alpha, \beta} X_{\alpha + \beta}

avec

N_{\alpha, \beta} \in \mathbf{R}^*

N_{-\alpha - \beta} = N_{\alpha, \beta}.

Notons $\mathfrak{h}_0$ le sous-espace vectoriel réel de $\mathfrak{h}$ formé des $H \in \mathfrak{h}$ tels que $\alpha(H) \in \mathbf{R}$ pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$ . Alors $\mathfrak{h}_0$ est une $\mathbf{R}$ -structure sur l’espace vectoriel complexe $\mathfrak{h}$ , on a $[X_\alpha, X_{-\alpha}] \in \mathfrak{h}_0$ pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$ , et la restriction de la forme de Killing $B$ de $\mathfrak{a}$ à $\mathfrak{h}_0$ est positive séparante (VIII, § 2, n° 2, remarque 2). De plus, on a

B(H, X_\alpha) = 0,\quad B(X_\alpha, X_\beta) = 0 \text{ si } \alpha + \beta \neq 0,\quad B(X_\alpha, X_{-\alpha}) < 0

(VIII, § 2, n° 2, prop. 1 et n° 4, lemme 3).

Proposition 2. — a) Le sous-espace vectoriel réel $\mathfrak{a}_0 = \mathfrak{h}_0 + \sum_{\alpha \in \mathbf{R}} \mathbf{R} X_\alpha$ de $\mathfrak{a}$ est une forme réelle de $\mathfrak{a}$ , dont $\mathfrak{h}_0$ est une sous-algèbre de Cartan. Le couple $(\mathfrak{a}_0, \mathfrak{h}_0)$ est une algèbre de Lie réelle semi-simple déployée, dont $(X_\alpha)$ est un système de Chevalley.

b) Soit $\sigma$ la conjugaison de $\mathfrak{a}$ relativement à $\mathfrak{a}_0$ . On a $\sigma \circ \theta = \theta \circ \sigma$ . L’ensemble des points fixes de $\sigma \circ \theta$ est une forme réelle compacte $\mathfrak{a}_u$ de $\mathfrak{a}$ , dont $i \mathfrak{h}_0$ est une sous-algèbre de Cartan.

La partie a) résulte immédiatement de ce qui précède. Démontrons b). Comme $\sigma \circ \theta$ et $\theta \circ \sigma$ sont deux applications semi-linéaires de $\mathfrak{a}$ dans $\mathfrak{a}$ qui coïncident sur $\mathfrak{a}_0$ , elles coïncident. Alors $\sigma \circ \theta$ satisfait aux conditions (2) du n° 1, donc est la conjugaison de $\mathfrak{a}$ relativement à la forme réelle $\mathfrak{a}_u$ formée des $x \in \mathfrak{a}$ tels que $\sigma \circ \theta(x) = x$ (prop. 1). Posons pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$

u_\alpha = X_\alpha + X_{-\alpha},\quad v_\alpha = i(X_\alpha - X_{-\alpha}).

Alors le

\mathbf{R}

-espace vectoriel

\mathfrak{a}_u

est engendré par

i \mathfrak{h}_0

, les

u_\alpha

et les

v_\alpha

. Plus précisément, si on choisit une chambre

C

\mathbf{R}

, on a

\mathfrak{a}_u = i \mathfrak{h}_0 \oplus \bigoplus_{\alpha \in \mathbf{R}_+(C)} (\mathbf{R} u_\alpha + \mathbf{R} v_\alpha).

Il est clair que $i\mathfrak{h}_0$ est une sous-algèbre de Cartan de $\alpha_u$ , et il reste à prouver que la restriction de $B$ à $\alpha_u$ est négative. Or $i\mathfrak{h}_0$ et les différents sous-espaces $R u_\alpha \oplus R v_\alpha$ sont orthogonaux pour $B$ , vu (5); la restriction de $B$ à $i\mathfrak{h}_0$ est négative et l’on a

B(u_\alpha, u_\alpha) = B(v_\alpha, v_\alpha) = 2B(X_\alpha, X_{-\alpha}) < 0 , \quad B(u_\alpha, v_\alpha) = 0 ,

d’où la conclusion.

Remarque 01B2

Avec les notations précédentes, on a les formules suivantes :

(9)

[h, u_\alpha] = - i \alpha(h) v_\alpha , \quad [h, v_\alpha] = i \alpha(h) u_\alpha , \quad [u_\alpha, v_\alpha] = 2iH_\alpha , \quad (h \in \mathfrak{h})

(10)

[u_\alpha, u_\beta] = N_{\alpha, \beta} u_{\alpha + \beta} + N_{\alpha, -\beta} u_{\alpha - \beta} , \quad \alpha \neq \pm \beta ,

(11)

[v_\alpha, v_\beta] = - N_{\alpha, \beta} u_{\alpha + \beta} + N_{\alpha, -\beta} u_{\alpha - \beta} , \quad \alpha \neq \pm \beta ,

(12)

[u_\alpha, v_\beta] = N_{\alpha, \beta} v_{\alpha + \beta} - N_{\alpha - \beta} v_{\alpha, -\beta} , \quad \alpha \neq \pm \beta ,

(dans les trois dernières formules, on convient, comme d’habitude, que $N_{\gamma, \delta} = 0$ lorsque $\gamma + \delta$ n’est pas une racine).

On notera que $\sum R u_\alpha$ est une sous-algèbre réelle de $\alpha$ , qui n’est autre que $\alpha_0 \cap \alpha_u$ .

Soit $Q(R)$ le groupe des poids radiciels de $R$ (VI, § 1, no 9). Rappelons qu’à tout homomorphisme $\gamma : Q(R) \to \mathbf{C}^*$ , on associe un automorphisme élémentaire $f(\gamma)$ de $\alpha$ tel que $f(\gamma)(h) = h$ pour $h \in \mathfrak{h}$ et $f(\gamma) X_\alpha = \gamma(\alpha) X_\alpha$ (VIII, § 5, no 2).

Cite 2

Cite VI § 1. Systèmes de racines, VIII § 5. Automorphisms of a semi-simple Lie algebra

Proposition 3 01B3

Soit $g$ une forme réelle compacte de $\alpha$ telle que $g \cap \mathfrak{h} = i\mathfrak{h}_0$ . Il existe un homomorphisme $\gamma : Q(R) \to \mathbf{R}_+^*$ tel que $g = f(\gamma)(\alpha_u)$ .

Cite 1 · Cité par 2

Cite Corollaire 2, VI § 1

Cité par Théorème 1, Proposition 15, IX § 4

Soit $\tau$ la conjugaison de $\alpha$ relativement à $g$ . On a par hypothèse $\tau(x) = x$ pour $x \in i\mathfrak{h}_0$ , donc $\tau(x) = -x$ pour $x \in \mathfrak{h}_0$ . Pour tout $\alpha \in R$ , et tout $h \in \mathfrak{h}_0$ , on a donc

[h, \tau(X_\alpha)] = [-\tau(h), \tau(X_\alpha)] = -\tau([h, X_\alpha]) = -\tau(\alpha(h) X_\alpha) ;

il s’ensuit que $[h, \tau(X_\alpha)] = -\alpha(h) \tau(X_\alpha)$ pour tout $h \in \mathfrak{h}_0$ , donc aussi pour tout $h \in \mathfrak{h}$ . Il existe donc $c_\alpha \in \mathbf{C}^*$ tel que $\tau(X_\alpha) = c_\alpha X_{-\alpha}$ . Puisque $[X_\alpha, X_{-\alpha}] \in \mathfrak{h}_0$ , on a $[\tau(X_\alpha), \tau(X_{-\alpha})] = -[X_\alpha, X_{-\alpha}]$ , donc $c_\alpha \cdot c_{-\alpha} = 1$ ; de même, on tire des formules (3) et (4) que $c_{\alpha + \beta} = c_\alpha c_\beta$ lorsque $\alpha, \beta, \alpha + \beta$ sont des racines. D’après VI, § 1, no 6, cor. 2 à la prop. 19, il existe un homomorphisme $\delta : Q(R) \to \mathbf{C}^*$ tel que $\delta(\alpha) = c_\alpha$ pour tout $\alpha \in R$ .

Montrons maintenant que chaque $c_\alpha$ est réel strictement positif. En effet, on a $c_\alpha B(X_\alpha, X_{-\alpha}) = B(X_\alpha, \tau(X_\alpha))$ , et puisque $B(X_\alpha, X_{-\alpha})$ est négatif, il suffit de montrer qu’on a $B(z, \tau(z)) < 0$ pour tout élément non nul $z$ de $\alpha$ ; or tout élément de $\alpha$ s’écrit $x + iy$ , avec $x$ et $y$ dans $g$ , et on a

B(x + iy, \tau(x + iy)) = B(x + iy, x - iy) = B(x, x) + B(y, y) ,

d’où l’assertion annoncée, la restriction de $B$ à $g$ étant par hypothèse négative et séparante.

Il s'ensuit que l'homomorphisme $\delta$ est à valeurs dans $\mathbf{R}_+^*$ ; il existe donc un homomorphisme $\gamma : Q(\mathbf{R}) \to \mathbf{R}_+^*$ tel que $\delta = \gamma^{-2}$ . Alors $f(\gamma)^{-1}(g)$ est une forme réelle de $\alpha$ ; la conjugaison correspondante est $\tau' = f(\gamma)^{-1} \circ \tau \circ f(\gamma)$ . Pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$ , on a

\tau'(X_\alpha) = f(\gamma)^{-1}(\tau(c_\alpha^{-1/2} X_\alpha)) = f(\gamma)^{-1}(c_\alpha^{1/2} X_{-\alpha}) = X_{-\alpha},

\tau'(h) = \tau(h) = h

pour

h \in i\mathfrak{h}_0

; il s'ensuit que

\tau'

est la conjugaison par rapport à

a_u

, donc que

f(\gamma)^{-1}(g) = a_u

3. Conjugaison des formes compactes

Théorème 1 01B4

Soit $a$ une algèbre de Lie semi-simple complexe. a) $a$ possède des formes réelles compactes (resp. déployables). b) Le groupe $\mathrm{Int}(a)$ opère transitivement dans l'ensemble des formes réelles compactes (resp. déployables) de $a$ .

Cite 8 · Cité par 2

Cite Proposition 1, IX § 1, Proposition 2, IX § 3, Proposition 3, Théorème 1, VII § 3, Remark 2, VIII § 2, VIII § 4. Split semi-simple Lie algebra defined by a reduced root system, Corollary, VIII § 4, Proposition 5, VIII § 5

Cité par Proposition 4, Proposition 16, IX § 4

Soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Cartan de $a$ . Alors $(\alpha, \mathfrak{h})$ est déployée (VIII, § 2, n° 1, remarque 2), et possède un système de Chevalley $(X_\alpha)$ (VIII, § 4, n° 4, cor. à la prop. 5). La partie a) résulte alors de la prop. 2. Soit $g$ une forme réelle compacte de $a$ ; montrons qu'il existe $v \in \mathrm{Int}(a)$ tel que $v(a_u) = g$ . Soit $t$ une sous-algèbre de Cartan de $g$ ; alors $t_{(C)}$ est une sous-algèbre de Cartan de $a$ ; comme $\mathrm{Int}(a)$ opère transitivement sur l'ensemble des sous-algèbres de Cartan de $a$ (VII, § 3, n° 2, th. 1), on peut se ramener au cas où $t_{(C)} = \mathfrak{h}$ . Comme la forme $g$ est compacte, les valeurs propres des endomorphismes $ad\ h$ , pour $h \in t$ , sont imaginaires pures (§ 1, n° 3, prop. 1), donc les racines $\alpha \in \mathbf{R}$ appliquent $t$ dans $i\mathbf{R}$ ; cela implique $t = i\mathfrak{h}_0$ . D'après la prop. 3 (n° 2), il existe alors $v \in \mathrm{Int}(a)$ tel que $v(a_u) = g$ , d'où b) dans le cas des formes compactes. Enfin, soient $m_1$ et $m_2$ deux formes réelles déployables de $a$ . Il existe des épingleages $(m_1, \mathfrak{h}_1, B_1, (X_\alpha^1))$ et $(m_2, \mathfrak{h}_2, B_2, (X_\alpha^2))$ (VIII, § 4, n° 1). Ceux-ci s'étendent de manière évidente en épingleages $e_1$ et $e_2$ de $a$ . Un automorphisme de $a$ qui applique $e_1$ sur $e_2$ applique $m_1$ sur $m_2$ ; il suffit donc d'appliquer la prop. 5 de VIII, § 5, n° 3, pour obtenir l'existence d'un élément $u$ de $\mathrm{Aut}_0(a) = \mathrm{Int}(a)$ tel que $u(m_1) = m_2$ .

Remarque 01B5

Nous verrons plus tard une classification générale des formes réelles d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.

Corollaire 1 01B6

Soient $g$ et $g'$ deux algèbres de Lie réelles compactes. Pour que $g$ et $g'$ soient isomorphes, il faut et il suffit que les algèbres de Lie complexes $g_{(C)}$ et $g'_{(C)}$ soient isomorphes.

Cité par 1

Cité par Corollaire 3

La condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons $g_{(C)}$ et $g'_{(C)}$ isomorphes. Soient $c$ (resp. $c'$ ) le centre de $g$ (resp. $g'$ ) et $s$ (resp. $s'$ ) l'algèbre dérivée de $g$ (resp. $g'$ ). Alors $c_{(C)}$ et $c'_{(C)}$ sont respectivement les centres de $g_{(C)}$ et $g'_{(C)}$ , donc sont isomorphes ; il s'ensuit que les algèbres commutatives $c$ et $c'$ sont isomorphes.

De même $s_{(c)}$ et $s'_{(c)}$ sont isomorphes, donc $s$ et $s'$ , qui sont des formes réelles compactes de deux algèbres semi-simples complexes isomorphes, sont isomorphes d’après le th. 1, b).

Corollaire 2 01B7

Soit $a$ une algèbre de Lie complexe. Les conditions suivantes sont équivalentes* : (i) $a$ est réductive. (ii) Il existe une algèbre de Lie réelle compacte $g$ telle que $a$ soit isomorphe à $g_{(c)}$ . (iii) Il existe un groupe de Lie compact $G$ tel que $a$ soit isomorphe à $L(G)_{(c)}$ .

Cite 1

Cite Définition 1, IX § 1

D’après la déf. 1 du § 1, n° 3, les conditions (ii) et (iii) sont équivalentes et impliquent (i). Si $a$ est réductive, elle est produit direct d’une algèbre commutative, qui possède évidemment une forme réelle compacte, et d’une algèbre semi-simple qui en possède une d’après le th. 1, a), donc (i) implique (ii).

Corollaire 3 01B8

Soient $a_1$ et $a_2$ deux algèbres de Lie semi-simples complexes. Les formes réelles compactes de $a_1 \times a_2$ sont les produits $g_1 \times g_2$ , où, pour $i = 1,\ 2$ , $g_i$ est une forme réelle compacte de $a_i$ *.

Cite 3

Cite Corollaire 1, VIII § 2. Root system of a split semi-simple Lie algebra, Définition 3, III § 9

En effet, il existe une forme réelle compacte $g_1$ (resp. $g_2$ ) de $a_1$ (resp. $a_2$ ); alors $g_1 \times g_2$ est une forme réelle compacte de $a_1 \times a_2$ . Le corollaire résulte alors du th. 1, b), appliqué à $a_1$ , $a_2$ et $a_1 \times a_2$ .

Il résulte notamment du cor. 3 ci-dessus qu’une algèbre de Lie réelle compacte $g$ est simple si et seulement si l’algèbre de Lie complexe $g_{(c)}$ est simple. On dit alors que $g$ est de type $A_n$ , ou $B_n$ , ..., si $g_{(c)}$ est de type $A_n$ , ou $B_n$ , ... (VIII, § 2, n° 2). D’après le cor. 1 ci-dessus, deux algèbres de Lie réelles simples compactes sont isomorphes si et seulement si elles sont de même type.

Soit $G$ un groupe de Lie compact connexe presque simple (III, § 9, n° 8, déf. 3). On dit que $G$ est de type $A_n$ , ou $B_n$ , ... si son algèbre de Lie est de type $A_n$ , ou $B_n$ , .... Deux groupes de Lie compacts presque simples simplement connexes sont isomorphes si et seulement s’ils sont de même type.

4. Exemple I : algèbres compactes de type $A_n$

Soient $V$ un espace vectoriel complexe de dimension finie et $\Phi$ une forme hermitienne positive séparante sur $V$ . Le groupe unitaire associé à $\Phi$ (cf. A, IX) est le sous-groupe $U(\Phi)$ de $\mathbf{GL}(V)$ formé des automorphismes de l’espace hilbertien complexe $(V, \Phi)$ ; c’est un sous-groupe de Lie (réel) du groupe $\mathbf{GL}(V)$ , dont l’algèbre de Lie est la sous-algèbre $u(\Phi)$ de l’algèbre de Lie réelle $\mathbf{gl}(V)$ formée des endomorphismes $x$ de $V$ tels que $x^* = -x$ (III, § 3, n° 10, cor. 2 à la prop. 37), où l’on désigne par $x^*$ l’adjoint de $x$ relativement à $\Phi$ . Comme le groupe $U(\Phi)$ est compact (§ 1, n° 1), $u(\Phi)$ est donc une algèbre de Lie réelle compacte. De même, le groupe spécial unitaire $SU(\Phi) = U(\Phi) \cap \mathbf{SL}(V)$ est un sous-groupe de Lie compact de $\mathbf{SL}(V)$ , dont l’algèbre de Lie est $su(\Phi) = u(\Phi) \cap \mathfrak{sl}(V)$ .

Lorsque $V = \mathbf{C}^n$ et que $\Phi$ est la forme hermitienne usuelle (pour laquelle la base canonique de $\mathbf{C}^n$ est orthonormale), on écrit $U(n, \mathbf{C}), SU(n, \mathbf{C}), u(n, \mathbf{C}), su(n, \mathbf{C})$ au lieu de $U(\Phi), SU(\Phi), u(\Phi), su(\Phi)$ . Les éléments de $U(n, \mathbf{C})$ (resp. $u(n, \mathbf{C})$ ) sont les matrices $A \in M_n(\mathbf{C})$ telles que $A \cdot {}^t \overline{A} = I_n$ (resp. $A = - {}^t \overline{A}$ ), qui sont dites unitaires (resp. antihermitiennes).

Proposition 4 01B9

a)* *Les formes réelles compactes de l’algèbre de Lie complexe sl(V) sont les algèbres su(Φ), où Φ parcourt l’ensemble des formes hermitiennes positives séparantes sur l’espace vectoriel complexe V.

Cite 3

Cite Proposition 1, Théorème 1, VIII § 13. Classical splittable simple Lie algebras

b) Les algèbres u(Φ) sont des formes réelles compactes de gl(V).

Soit $\Phi$ une forme hermitienne positive séparante sur $V$ . Pour tout $x \in gl(V)$ , posons $\sigma(x) = - x^*$ (où $x^*$ est l’adjoint de $x$ relativement à $\Phi$ ). Alors $\sigma$ satisfait aux conditions (2) de la prop. 1 du no 1, donc l’ensemble $u(\Phi)$ (resp. $su(\Phi)$ ) des points fixes de $\sigma$ dans $gl(V)$ (resp. $sl(V)$ ) est une forme réelle compacte de $gl(V)$ (resp. $sl(V)$ ). Comme $GL(V)$ opère transitivement sur l’ensemble des formes hermitiennes positives séparantes sur $V$ (A, IX) et sur l’ensemble des formes réelles compactes de $sl(V)$ (no 3, th. 1 et VIII, § 13, no 1 (VII)), la prop. 4 est ainsi démontrée.

Corollaire 01BA

Toute algèbre de Lie réelle compacte simple de type $A_n$ ( $n \geqslant 1$ ) est isomorphe à $su(n+1, \mathbf{C})$ .

Cite 1 · Cité par 1

Cite VIII § 13. Classical splittable simple Lie algebras

Cité par Proposition 6

En effet, toute algèbre de Lie complexe de type $A_n$ est isomorphe à $sl(n+1, \mathbf{C})$ (VIII, § 13, no 1).

Remarque 1 01BB

On a $gl(V) = sl(V) \times \mathbf{C}.1_V, u(\Phi) = su(\Phi) \times \mathbf{R}.i1_V$ ; les formes réelles compactes de $gl(V)$ sont les $su(\Phi) \times \mathbf{R}.\alpha 1_V, \alpha \in \mathbf{C}^*$ .

Remarque 2 01BC

Si l’on munit l’algèbre de Lie complexe $a = sl(n, \mathbf{C})$ du déploiement et du système de Chevalley introduits en VIII, § 13, no 1 (IX), on a alors, avec les notations du no 2,

a_u = su(n, \mathbf{C}), \quad a_0 = sl(n, \mathbf{R}), \quad a_u \cap a_0 = o(n, \mathbf{R}).

Cite 1

Cite VIII § 13. Classical splittable simple Lie algebras

5. Exemple II : algèbres compactes de type $B_n$ et $D_n$

Soient $V$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $Q$ une forme quadratique positive séparante sur $V$ . Le groupe orthogonal associé à $Q$ (A, IX) est le sous-groupe $O(Q)$ de $GL(V)$ formé des automorphismes de l’espace hilbertien réel $(V, Q)$ ; c’est un sous-groupe de Lie de $GL(V)$ , dont l’algèbre de Lie est la sous-algèbre $o(Q)$ de $gl(V)$ formée des endomorphismes $x$ de $V$ tels que $x^* = - x$ (III, § 3, no 10, cor. 2 à la prop. 37), $x^*$ désignant l’adjoint de $x$ relativement à $Q$ . Comme le groupe $O(Q)$ est compact, $o(Q)$ est donc une algèbre de Lie réelle compacte. On pose $SO(Q) = O(Q) \cap SL(V)$ ; c’est un sous-groupe fermé d’indice fini de $O(Q)$ (d’indice 2 si $\dim V \neq 0$ ), donc aussi d’algèbre de Lie $o(Q)$ .

Lorsque $V = \mathbf{R}^n$ et que $Q$ est la forme quadratique usuelle (pour laquelle la base canonique de $\mathbf{R}^n$ est orthonormale), on écrit $\mathbf{O}(n, \mathbf{R}), \mathbf{SO}(n, \mathbf{R}), \mathfrak{o}(n, \mathbf{R})$ au lieu de $\mathbf{O}(Q), \mathbf{SO}(Q), \mathfrak{o}(Q)$ . Les éléments de $\mathbf{O}(n, \mathbf{R})$ (resp. $\mathfrak{o}(n, \mathbf{R})$ ) sont les matrices $A \in \mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ telles que $A \cdot ^tA = I_n$ (resp. $A = -\ ^tA$ ), qui sont dites orthogonales (resp. antisymétriques).

Soit $V_{(c)}$ le $\mathbf{C}$ -espace vectoriel déduit de $V$ et soit $Q_{(c)}$ la forme quadratique sur $V_{(c)}$ déduite de $Q$ . Identifions $\mathrm{gl}(V)_{(c)}$ à $\mathrm{gl}(V_{(c)})$ ; alors $\mathfrak{o}(Q)_{(c)}$ s’identifie à $\mathfrak{o}(Q_{(c)})$ : cela est clair puisque l’application $x \mapsto x^* + x$ de $\mathrm{gl}(V_{(c)})$ dans lui-même est $\mathbf{C}$ -linéaire. Comme $\mathfrak{o}(Q_{(c)})$ est de type $B_n$ si $\dim V = 2n + 1,\ n \geqslant 1$ , et de type $D_n$ si $\dim V = 2n,\ n \geqslant 3$ (VIII, § 13, nos 2 et 4), on en déduit :

Proposition 5 01BD

Toute algèbre de Lie réelle simple compacte de type $B_n,\ n \geqslant 1$ * (resp. de type $D_n,\ n \geqslant 3$ ) est isomorphe à $\mathfrak{o}(2n + 1, \mathbf{R})$ (resp. $\mathfrak{o}(2n, \mathbf{R})$ ).

Cité par 1

Cité par Proposition 6

6. Groupes compacts de rang 1

D’après TG, VIII, p. 5, prop. 3, p. 6, prop. 4 et p. 7, remarque 4, le groupe topologique $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ est isomorphe au groupe topologique $S_3$ des quaternions de norme 1, et le quotient de $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ par le sous-groupe $Z$ formé des matrices $I_2$ et $-I_2$ est isomorphe au groupe topologique $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ . Notons que $Z$ est le centre de $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ : en effet, puisque $H = \mathbf{R}.S_3$ , tout élément du centre du groupe $S_3$ est dans le centre $\mathbf{R}$ de l’algèbre $H$ donc appartient au groupe à deux éléments $S_3 \cap \mathbf{R} = \{ -1, 1 \}$ .

Proposition 6 01BE

Toute algèbre de Lie réelle compacte semi-simple de rang 1 est isomorphe à $\mathfrak{su}(2, \mathbf{C})$ et à $\mathfrak{o}(3, \mathbf{R})$ .* *Tout groupe de Lie compact semi-simple connexe de rang 1 est isomorphe à $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ s’il est simplement connexe, à $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ sinon.

Cite 2 · Cité par 1

Cite Corollaire, Proposition 5

Cité par Corollaire, IX § 4

La première assertion résulte du cor. à la prop. 4 et de la prop. 5. Comme $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ est homéomorphe à $S_3$ (TG, VIII, p. 7, remarque 4), donc simplement connexe (TG, XI, à paraître), tout groupe de Lie compact semi-simple simplement connexe de rang 1 est isomorphe à $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ ; tout groupe de Lie compact semi-simple connexe de rang 1 non simplement connexe est isomorphe au quotient de $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ par un sous-groupe de $Z$ non réduit à l’élément neutre, donc à $\mathbf{SO}(3, \mathbf{R})$ .

Remarque 01BF

On a vu ci-dessus que $\mathbf{SU}(2, \mathbf{C})$ est simplement connexe et que $\pi_1(\mathbf{SO}(3, \mathbf{R}))$ est d’ordre 2. Nous verrons plus loin que ces résultats se généralisent respectivement à $\mathbf{SU}(n, \mathbf{C})\ (n \geqslant 1)$ et $\mathbf{SO}(n, \mathbf{R})\ (n \geqslant 3)$ (cf. aussi § 3, exerc. 4 et 5).

Rappelons (VIII, § 1, n° 1) qu’on appelle base canonique de $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$ la base $(X_+, X_-, H)$ , où

X_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

On obtient donc une base $(U, V, iH)$ de $su(2, \mathbf{C})$ également dite canonique en posant

U = X_+ + X_- = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = i(X_+ - X_-) = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix},

iH = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}.

On a (13)

[iH, U] = 2V, \quad [iH, V] = -2U, \quad [U, V] = 2iH.

Si B désigne la forme de Killing de

su(2, \mathbf{C})

, un calcul immédiat donne (14)

B(aU + bV + ciH, a'U + b'V + c'iH) = -8(aa' + bb' + cc'),

de sorte que, si l’on identifie

su(2, \mathbf{C})

\mathbf{R}^3

au moyen de sa base canonique, la représentation adjointe de

SU(2, \mathbf{C})

définit un homomorphisme

SU(2, \mathbf{C}) \to SO(3, \mathbf{R})

(cf. ci-dessus).

Notons par ailleurs que $RiH$ est une sous-algèbre de Cartan de $su(2, \mathbf{C})$ , que le tore maximal T de $SU(2, \mathbf{C})$ qui lui correspond est formé des matrices diagonales $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \overline{a} \end{pmatrix}$ , où $a \overline{a} = 1$ , et que l’application exponentielle

\exp : RiH \to T

applique

xH

, pour

x \in \mathbf{R}i

, sur la matrice

\begin{pmatrix} \exp(x) & 0 \\ 0 & \exp(-x) \end{pmatrix}

, donc a pour noyau

Z.K

où

K

est l’élément de

su(2, \mathbf{C})

défini par (15)

K = 2\pi iH = \begin{pmatrix} 2\pi i & 0 \\ 0 & -2\pi i \end{pmatrix}.

Par ailleurs, le centre de

SU(2, \mathbf{C})

est formé de l’identité et de

\exp(K/2)

Posons (16)

\theta = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in SU(2, \mathbf{C}).

D’après VIII, § 1, no 5, on a (17)

\theta^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad (\mathrm{Int}\ \theta)\ t = t^{-1}, \quad t \in T,

(18)

(\mathrm{Ad}\ \theta)\ X_+ = X_-, \quad (\mathrm{Ad}\ \theta)\ X_- = X_+, \quad (\mathrm{Ad}\ \theta)\ U = U, \quad (\mathrm{Ad}\ \theta)\ V = -V.

Enfin, pour

t = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \overline{a} \end{pmatrix} \in T

, on a (19)

(\mathrm{Ad}\ t)\ X_+ = a^2 X_+, \quad (\mathrm{Ad}\ t)\ X_- = a^{-2} X_-, \quad (\mathrm{Ad}\ t)\ H = H,

(20)

(\mathrm{Ad}\ t)\ U = \mathscr{R}(a^2)\ U + \mathscr{I}(a^2)\ V, \quad (\mathrm{Ad}\ t)\ V = -\mathscr{I}(a^2)\ U + \mathscr{R}(a^2)\ V.

Cite 2

Cite Exercice 4, § 3, VIII § 1. The Lie algebra sl(2, k) and its representations

Exercices

See the exercises for § 3.