(i) L’application $x \mapsto \exp x$ est une bijection de n sur un sous-groupe N de $\mathbf{GL}(V)$ formé d’éléments unipotents (II, § 6, n° 1, remarque 4). On a $n = \log(\exp n)$. L’application $f \mapsto f \circ \log$ est un isomorphisme de l’algèbre des fonctions polynomiales sur n sur l’algèbre des restrictions à N des fonctions polynomiales sur End(V).

(ii) Si $x \in n$ et $a \in a$, on a

(iii) Soient V’ un espace vectoriel de dimension finie, n’ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{gl}(V')$ formée d’éléments nilpotents, $\varphi$ un homomorphisme de n dans n’. Soit $\pi$ l’application $\exp x \mapsto \exp \varphi(x)$ de $\exp n$ dans $\exp n'$. Alors $\pi$ est un homomorphisme de groupes.

D’après le th. d’Engel, on peut identifier V à $k^n$ de telle sorte que n soit une sous-algèbre de $n(n, k)$ (sous-algèbre de Lie de $\mathbf{M}_n(k)$ formée des matrices triangulaires inférieures de diagonale nulle). Pour $s \geqslant 0$, soit $n_s(n, k)$ l’ensemble des $(x_{ij})_{l \leq i, j \leq n} \in \mathbf{M}_n(k)$ telles que $x_{ij} = 0$ pour $i - j < s$. Alors

(II, § 4, n° 6, remarque), et la série de Hausdorff définit une application polynomiale $(a, b) \mapsto \mathbf{H}(a, b)$ de $n(n, k) \times n(n, k)$ dans $n(n, k)$ (II, § 6, n° 5, remarque 3); muni de cette application, $n(n, k)$ est un groupe (II, § 6, n° 5, prop. 4). D’après II, § 6, n° 1, remarque 4, les applications $x \mapsto \exp x$ de $n(n, k)$ dans $1 + n(n, k)$ et $y \mapsto \log y$ de $1 + n(n, k)$ dans $n(n, k)$ sont des bijections réciproques l’une de l’autre et sont polynomiales; d’après II, § 6, n° 5, prop. 3, ces bijections sont des isomorphismes de groupes si l’on munit $n(n, k)$ de la loi $(a, b) \mapsto \mathbf{H}(a, b)$ et si l’on considère $1 + n(n, k)$ comme sous-groupe de $\mathbf{GL}_n(k)$. Les assertions (i) et (iii) du lemme résultent de là. Soit $x \in n$. Notons $L_x, R_x$ les applications $u \mapsto xu, u \mapsto ux$ de $a$ dans $a$, qui sont permutables et nilpotentes. On a $\operatorname{ad}_a x = L_x - R_x$, donc, pour tout $a \in a$,

Avec les notations du lemme 1, on dit que $\pi$ est la représentation linéaire de $\exp n$ compatible avec la représentation donnée $\rho$ de $n$ dans $V'$. Lorsque $k$ est $\mathbf{R}, \mathbf{C}$, ou un corps ultramétrique complet non discret, on a $\rho = L(\pi)$ d’après les propriétés des applications exponentielles (III, § 4, n° 4, cor. 2 à la prop. 8).

Cela résulte aussitôt du lemme 1 (i).

En particulier, si on prend pour $n$ le radical nilpotent de $g$, $e^{\operatorname{ad}_g n}$ est le groupe des automorphismes spéciaux de $g$ (I, § 6, n° 8, déf. 6).

(ii) Posons $R = \{ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p \}$ où les $\lambda_i$ sont deux à deux distincts. Soit $F$ l’application de $g^0(h) \times g^{\lambda_1}(h) \times \cdots \times g^{\lambda_p}(h)$ dans $g$ définie par la formule

L’assertion (i) est évidente. Prouvons (ii). Soit $n = \dim g$. Si $\lambda \in R$ et $x \in g^\lambda(h)$, on a $(\mathrm{ad}\,x)^n = 0$. Il en résulte que $(y, x) \mapsto e^{\mathrm{ad}\,x} y$ est une application polynomiale de $g \times g^\lambda(h)$ dans $g$; on en déduit par récurrence que $F$ est polynomiale. Soit $h_0 \in h_r$ et soit DF l’application linéaire tangente à $F$ en $(h_0, 0, \ldots, 0)$; montrons que DF est surjective. Pour $h \in g^0(h)$, on a $F(h_0 + h, 0, \ldots, 0) = h_0 + h$, donc $(\mathrm{DF})\ (h, 0, \ldots, 0) = h$ et $\mathrm{Im}(\mathrm{DF}) \supset g^0(h)$. D’autre part, pour $x \in g^{\lambda_1}(h)$, on a

Conservons les notations du lemme 2. Du fait que $\mathfrak{h}$ et $\mathfrak{h}'$ sont des sous-algèbres de Cartan, on a $g^0(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}$ et $g^0(\mathfrak{h}') = \mathfrak{h}'$. D’après le lemme 2 et la prop. 3 de l’App. I, $E(\mathfrak{h})_{\mathfrak{h}_r}$ et $E(\mathfrak{h}')_{\mathfrak{h}'_r}$ contiennent des parties de $g$ qui sont ouvertes et denses pour la topologie de Zariski. On a donc $E(\mathfrak{h})_{\mathfrak{h}_r} \cap E(\mathfrak{h}')_{\mathfrak{h}'_r} \neq \emptyset$. Autrement dit, il existe $u \in E(\mathfrak{h}), \ u' \in E(\mathfrak{h}'), \ h \in \mathfrak{h}_r, \ h' \in \mathfrak{h}'_r$ tels que $u(h) = u'(h')$; on a alors

Soient $u, u'$ comme dans la prop. 2. On a

En raison de ce résultat, si $k$ est algébriquement clos, nous noterons simplement $E$ le groupe $E(\mathfrak{h})$, où $\mathfrak{h}$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$.

En général, $\mathrm{Aut}_e(g) \neq E$ (par exemple, si $g$ est nilpotente, $E$ est réduit à l’élément neutre, tandis qu’il existe des automorphismes élémentaires non triviaux pourvu que $g$ soit non commutative). On peut montrer cependant (VIII, § 10, exerc. 5) que $\mathrm{Aut}_e(g) = E$ pour $g$ semi-simple.

Soient $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Cartan de $g$, et $v \in \mathrm{Aut}(g)$. On a

(i) Les sous-algèbres de Cartan de g ont même dimension, à savoir $\mathrm{rg}(g)$, et même classe de nilpotence.

(ii) Pour qu’un élément $x \in g$ soit régulier, il faut et il suffit que $g^0(x)$ soit une sous-algèbre de Cartan de g ; toute sous-algèbre de Cartan s’obtient de cette façon.

Pour démontrer (i), on peut supposer $k$ algébriquement clos (cf. § 2, prop. 3 et prop. 6), auquel cas cela résulte du th. 1 du n° 2. L’assertion (ii) résulte de (i) et du § 2, th. 1, (i) et (iv).

(i) g’ contient un élément régulier de g, et $\mathrm{rg}(g) = \mathrm{rg}(g')$;

(ii) $g'$ contient une sous-algèbre de Cartan de $g$; (iii) toute sous-algèbre de Cartan de $g'$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$. (i) $\Rightarrow$ (ii): Supposons que $\mathrm{rg}(g) = \mathrm{rg}(g')$, et qu’il existe $x \in g'$ régulier dans $g$. Posons $\mathfrak{h} = g^0(x)$, $\mathfrak{h}' = {g'}^0(x) = \mathfrak{h} \cap g'$. On a

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Supposons que $g'$ contienne une sous-algèbre de Cartan $\mathfrak{h}$ de $g$, et soit $\mathfrak{h}_1$ une sous-algèbre de Cartan de $g'$. Pour prouver que $\mathfrak{h}_1$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$, on peut supposer $k$ algébriquement clos. Soient alors $E(\mathfrak{h})$ et $E'(\mathfrak{h})$ les groupes d’automorphismes de $g$ et $g'$ associés à $\mathfrak{h}$ (n° 2). D’après le th. 1, il existe $f \in E'(\mathfrak{h})$ tel que $f(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}_1$. Or tout élément de $E'(\mathfrak{h})$ est induit par un élément de $E(\mathfrak{h})$; en effet, il suffit de le vérifier pour $e^{\mathrm{ad}\, x}$, avec $x \in {g'}^\lambda(\mathfrak{h})$, $\lambda \neq 0$, auquel cas cela résulte de l’inclusion ${g'}^\lambda(\mathfrak{h}) \subset g^\lambda(\mathfrak{h})$. Donc $\mathfrak{h}_1$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$.

(iii) $\Rightarrow$ (i): Supposons la condition (iii) vérifiée. Soit $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Cartan de $g'$. Comme c’est une sous-algèbre de Cartan de $g$, elle contient un élément régulier de $g$ (th. 2 (ii)), et d’autre part $\mathrm{rg}(g) = \dim(\mathfrak{h}) = \mathrm{rg}(g')$.

Raisonnons par récurrence sur $\dim g$, le cas où $g = 0$ étant trivial. Soit $n$ un idéal commutatif non nul minimal de $g$. Soit $\varphi : g \to g/n$ le morphisme canonique. On a $\varphi(\mathscr{C}^\infty g) = \mathscr{C}^\infty(g/n)$ (I, § 1, n° 5, prop. 4). Puisque $\varphi(h)$ et $\varphi(h')$ sont des sous-algèbres de Cartan de $g/n$ ($§ 2$, n° 1, cor. 2 de la prop. 4), il existe, d’après l’hypothèse de récurrence, un $x \in \mathscr{C}^\infty(g)$ tel que $e^{\mathrm{ad}\, \varphi(x)}\varphi(h) = \varphi(h')$. Quitte à remplacer $h$ par $e^{\mathrm{ad}\, x}h$, on peut donc supposer $\varphi(h) = \varphi(h')$, c’est-à-dire

Alors $h$ et $h'$ sont des sous-algèbres de Cartan de $h + n$. Si $h + n \neq g$, l’assertion à démontrer résulte de l’hypothèse de récurrence. Nous supposerons donc désormais que $h + n = h' + n = g$.

D’après la minimalité de $n$, on a $[g, n] = \{0\}$ ou $[g, n] = n$. Si $[g, n] = \{0\}$, alors $n \subset h$ et $n \subset h'$ ($§ 2$, n° 1, prop. 5), donc $h = h + n = h' + n = h'$. Reste à considérer le cas où $[g, n] = n$, d’où $n \subset \mathscr{C}^\infty(g)$. L’idéal $n$ est un $g$-module simple; comme $g = h + n$, et que $[n, n] = \{0\}$, il en résulte que $n$ est un $h$-module simple. Si $h \cap n \neq \{0\}$, on a donc $n \subset h$, d’où $g = h$ et $h' = h$. Supposons maintenant que $h \cap n = \{0\}$. On a $g = h \oplus n$ et par suite $g = h' \oplus n$, puisque $h$ et $h'$ ont même dimension.

Pour tout $x \in h$, soit $f(x)$ l’unique élément de $n$ tel que $x - f(x) \in h'$; si $x, y \in h$, on a

donc $f([x, y]) = [x, f(y)] + [f(x), y]$. D’après le § 1, n° 3, cor. de la prop. 9, il existe $a \in n$ tel que $f(x) = [x, a]$ pour tout $x \in h$. On a $(\mathrm{ad}\, a)^2(g) \subset (\mathrm{ad}\, a)(n) = 0$, donc, pour tout $x \in h$,

On voit que $e^{\mathrm{ad}\, a}(h) = h'$. Comme $a \in \mathscr{C}^\infty(g)$, cela achève la démonstration.

On peut supposer que $v$ est de la forme $e^{a d b}$, où $b \in g/r$ et $ad\ b$ est nilpotent. Soit $s$ une sous-algèbre de Levi de $g$ (I, § 6, n° 8, déf. 7) et soit $a$ l’élément de $s$ tel que $\varphi(a) = b$. Comme $ad_s\ a$ est nilpotent, $ad_g\ a$ est nilpotent (I, § 6, n° 3, cor. de la prop. 3), et $u = e^{ad_g\ a}$ est un automorphisme élémentaire de $g$ tel que $\varphi \circ u = v \circ \varphi$.

(i) $h$ et $h'$ sont conjuguées par un automorphisme élémentaire de $g$; (ii) $\varphi(h)$ et $\varphi(h')$ sont conjuguées par un automorphisme élémentaire de $g/r$. (i) $\Rightarrow$ (ii): C’est évident. (ii) $\Rightarrow$ (i): Supposons la condition (ii) vérifiée, et prouvons (i). Grâce au lemme 3, on se ramène au cas où $\varphi(h) = \varphi(h')$. Posons $k = h + r = h' + r$, qui est une sous-algèbre résoluble de $g$. Alors $h$ et $h'$ sont des sous-algèbres de Cartan de $k$, donc il existe $x \in \mathscr{C}^\infty(k)$ tel que $e^{ad_k\ x}h = h'$ (th. 3). Comme $k/r$ est nilpotente, on a $\mathscr{C}^\infty(k) \subset r$; d’autre part, $\mathscr{C}^\infty k \subset [k, k] \subset [g, g]$, d’où $x \in r \cap [g, g]$; d’après I, § 5, n° 3, th. 1, $ad_g\ x$ est nilpotent, donc $e^{ad_g\ x}$ est un automorphisme élémentaire de $g$ transformant $h$ en $h'$.

(i) *Soient $s$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $h$ dans $g$, $s_0$ un voisinage de 0 dans $s$ dans lequel une application exponentielle est définie, et $h_0 \in h_r$. L’application $(s, h) \mapsto F(s, h) = (\exp ad\ s)\cdot h$ de $s_0 \times h$ dans $g$ est étale en $(0, h_0)$. (ii) *L’application $(g, h) \mapsto F'(g, h) = (\mathrm{Ad}\ g)\cdot h$ de $G \times h_r$ dans $g$ est une submersion. En particulier, son image $\Omega$ est ouverte. Pour tout $x \in \Omega, g^0(x)$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$ conjuguée de $h$ par $\mathrm{Ad}(G)$. (iii) *Soit $h_0 \in h_r$. Pour tout voisinage $U$ de $e$ dans $G$, l’ensemble $\bigcup_{a \in U} (\mathrm{Ad}\ a)(h_r)$ est un voisinage de $h_0$ dans $g$.

Soient $h_0$ et $s$ comme dans (i). Soit $T$ l’application linéaire tangente à $F$ en $(0, h_0)$. On a $F(0, h) = h$ pour tout $h \in h$, donc $T(0, h) = h$ pour tout $h \in h$. D’autre part, pour $s_0$ assez petit, l’application $s \mapsto \exp ad\ s$ de $s_0$ dans $\mathrm{End}(g)$ a pour application tangente en 0 l’application $s \mapsto ad\ s$ de $s$ dans $\mathrm{End}(g)$. Donc $T(s, 0) = [s, h_0]$ pour tout $s \in s$. Or l’application de $g/h$ dans $g/h$ déduite de $ad\ h_0$ par passage au quotient est bijective. On en déduit que $T$ est bijective, d’où (i). Comme $\exp ad\ s = \mathrm{Ad}\ \exp s$ pour tout $s \in s$ assez voisin de 0, on en déduit (iii), et la première assertion de (ii). Tout $x \in \Omega$ est de la forme $(\mathrm{Ad}\, a)\,(h)$ avec $a \in G$ et $h \in \mathfrak{h}_r$, donc $g^0(x) = (\mathrm{Ad}\, a)(g^0(h)) = (\mathrm{Ad}\, a)\,(\mathfrak{h})$ est une sous-algèbre de $\mathfrak{g}$ conjuguée de $\mathfrak{h}$ par $\mathrm{Ad}(G)$.