Exercice 4, § 3

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. a) Montrer que le groupe $\mathbf{SU}(n, \mathbf{C})$ est simplement connexe (utiliser l’exerc. 2). b) Montrer que le centre de $\mathbf{SU}(n, \mathbf{C})$ est formé des matrices $\lambda . I_n$ pour $\lambda \in \mathbf{C}$, $\lambda^n = 1$. c) Tout groupe de Lie compact presque simple de type $A_n$ est isomorphe au quotient de $\mathbf{SU}(n + 1, \mathbf{C})$ par le sous-groupe cyclique formé des matrices $\zeta^k . I_{n+1}$ ($0 \leqslant k < d$), où $d$ divise $n + 1$ et où $\zeta$ est une racine primitive $d$-ième de l’unité. d) Démontrer que le groupe $\mathbf{SL}(n, \mathbf{C})$ est simplement connexe (utiliser III, § 6, no 9, th. 6).