Bài tập 4, § 3

Let $n$ là một số nguyên $\geq 1$.

a) Chứng minh rằng nhóm $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ là đơn liên thông (dùng Bài tập 2).

b) Chứng minh rằng tâm của $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ gồm các ma trận $\lambda .I_n$ với $\lambda \in \mathbf{C}$, $\lambda^n= 1$.

c) Mọi nhóm Lie compact nửa đơn kiểu $A_n$ đều đẳng cấu với thương của $\mathbf{S}\mathbf{U}(n+ 1,\mathbf{C})$ theo nhóm con chu kỳ gồm các ma trận $\zeta^k.I_{n+1}(0\leq k < d)$, trong đó $d$ chia hết cho $n+ 1$ và $\zeta$ là một nghiệm nguyên thủy bậc $d$ của đơn vị.

d) Chứng minh rằng nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ là đơn liên thông (dùng Chương III, §6, no. 9, Định lý 6).