La fonction v ↦ F((Ad v)(x), y) de K dans R est continue, donc possède un minimum en un point k ∈ K. Soit u ∈ L(K) et posons

On a h(t) ≥ h(0) pour tout t ; par ailleurs, d’après III, § 3, n° 12, prop. 44, on a

d’où le lemme (FVR, I, p. 20, prop. 7).

Comme g est réductive, ses sous-algèbres de Cartan sont commutatives (VII, § 2, n° 4, cor. 3 au th. 2). Inversement, soit t une sous-algèbre commutative de g. D’après § 1, n° 3, prop. 1, ad x est semi-simple pour tout x ∈ t ; d’après VII, § 2, n° 3, prop. 10, il existe une sous-algèbre de Cartan de g contenant t. Cela démontre la première assertion du théorème.

Soient maintenant t et t’ deux sous-algèbres de Cartan de g. Prouvons qu’il existe u ∈ Int(g) tel que u(t) = t’. D’après la prop. 1 du § 1, n° 3, on peut supposer que g est de la forme L(G), où G est un groupe de Lie compact connexe, et choisir une forme bilinéaire symétrique invariante séparante F sur g. Soit x (resp. x’) un élément régulier de g tel que t = g^0(x) (resp. t’ = g^0(x’)) (VII, § 3, n° 3, th. 2). Appliquant le lemme 1 avec K = G, on voit qu’il existe k ∈ G tel que [(Ad k)(x), x’] soit orthogonal à g pour F, donc nul ; on a alors (Ad k)(x) ∈ g^0(x’) = t’, donc g^0((Ad k)(x)) = t’ puisque (Ad k)(x) est régulier. On en conclut que (Ad k)(t) = t’, d’où le théorème.

Posons G = Int(g), et considérons le fixateur Z_G(a) de a dans G ; c’est un sous-groupe de Lie de G, dont l’algèbre de Lie z_g(a) est formée des éléments de g qui commutent à tous les éléments de a (III, § 9, n° 3, prop. 7). Alors t et u^{-1}(t’) sont deux sous-algèbres de Cartan de l’algèbre de Lie compacte z_g(a). D’après le th. 1, il existe un élément v de Z_G(a) tel que v(t) = u^{-1}(t’) ; un tel élément répond à la question.

Soit t une sous-algèbre de Cartan de L(G) ; le sous-groupe intégral de G d’algèbre de Lie t est fermé (VII, § 2, n° 1, cor. 4 à la prop. 4) et commutatif (th. 1), donc est un tore de G. Si T est un tore maximal de G, son algèbre de Lie est commutative, donc contenue dans une sous-algèbre de Cartan de $L(G)$ (th. 1). Il en résulte que les tores maximaux de $G$ sont exactement les sous-groupes intégraux de $G$ associés aux sous-algèbres de Cartan de $G$, d'où $a$. L’assertion $b$ résulte alors du th. 1, puisque l’homomorphisme canonique $G \to \operatorname{Int}(L(G))$ est surjectif (III, § 6, no 4, cor. 4 à la prop. 10).

Notons $X$ la réunion des tores maximaux de $G$, et soit $T$ un tore maximal de $G$. L’application continue $(g, t) \mapsto gtg^{-1}$ de $G \times T$ dans $G$ a pour image $X$, qui est donc fermé dans $G$; pour démontrer $c$, il suffit donc de prouver que $X$ est ouvert dans $G$; comme $X$ est invariant par automorphismes intérieurs, il suffit de montrer que pour tout $a \in T$, $X$ est un voisinage de $a$. Raisonnons par récurrence sur la dimension de $G$ et distinguons deux cas :

1) $a$ n’est pas central dans $G$. Soit alors $H$ la composante neutre du centralisateur de $a$ dans $G$; c’est un sous-groupe compact connexe de $G$ distinct de $G$, qui contient $T$, donc $a$. Comme $\operatorname{Ad}\,a$ est semi-simple ($§ 1$, no 1 ), l’algèbre de Lie de $H$ est le nilspace de $\operatorname{Ad}\,a - 1$; il résulte alors de VII, § 4, no 2, prop. 4, que la réunion $Y$ des conjugués de $H$ est un voisinage de $a$. D’après l’hypothèse de récurrence, on a $H \subset X$, donc $Y \subset X$; ainsi $X$ est un voisinage de $a$.

2) $a$ est central dans $G$. Il suffit de prouver que $a \exp x$ appartient à $X$ pour tout $x$ dans $L(G)$. Or tout élément $x$ de $L(G)$ appartient à une sous-algèbre de Cartan de $G$ (th. 1); le sous-groupe intégral $T'$ correspondant contient $\exp x$; comme il est conjugué à $T$, il contient $a$ et donc $a \exp x$, d’où l’assertion cherchée.

b) Pour tout $n \geqslant 1$, l’application $g \mapsto g^n$ de $G$ dans lui-même est surjective.

En effet, $\exp(L(G))$ contient tous les tores maximaux de $G$, d’où $a$. L’assertion $b$ résulte alors de la formule $(\exp x)^n = \exp nx$ pour $x$ dans $L(G)$.

Soit $x$ un élément du centre de $G$; d’après le th. 2, $c$), il existe un tore maximal $T$ de $G$ contenant $x$; alors $x$ appartient à tous les conjugués de $T$, donc à tous les tores maximaux de $G$. Inversement, si $x$ appartient à tous les tores maximaux de $G$, il commute à tout élément de $G$ d’après le th. 2, $c$).

Il existe un tore maximal $T$ de $G$ contenant $g$ (th. 2, $c$), et donc contenu dans $C_0$. Par ailleurs, le groupe $C_0$ est un groupe de Lie compact connexe, donc réunion de ses tores maximaux (th. 2, $c$); ceux-ci contiennent tous $g$ (cor. 2), donc sont exactement les tores maximaux de $G$ contenant $g$.

Comme $\mathrm{Ad}\,g$ est semi-simple, la dimension du nilspace de $\mathrm{Ad}\,g - 1$ est aussi celle du centralisateur $C$ de $g$. D’après loc. cit., prop. 8, et le th. 1, $g$ est régulier si et seulement si $C_0$ est un tore maximal de $G$. On conclut alors par le cor. 3.

b) Soit $s$ une sous-algèbre commutative de $L(G)$. Le fixateur de $s$ dans $G$ est connexe ; c’est la réunion des tores maximaux de $G$ dont l’algèbre de Lie contient $s$.

Pour démontrer a), il suffit de prouver que si un élément $g$ de $G$ centralise $S$, il existe un tore maximal de $G$ contenant $S$ et $g$. Or, si $C$ est le centralisateur de $g$, on a $g \in C_0$ (cor. 3) et $S \subset C_0$; si $T$ est un tore maximal du groupe de Lie compact connexe $C_0$ contenant $S$, on a $g \in T$ (cor. 2), d’où a). L’assertion b) résulte de a) appliqué à l’adhérence du sous-groupe intégral d’algèbre de Lie $s$, compte tenu de III, § 9, n° 3, prop. 9.

Soient $T$ un tore maximal de $G$ et $C$ son centralisateur ; comme $L(T)$ est une sous-algèbre de Cartan de $L(G)$, on a $L(T) = L(C)$, donc $C = T$ puisque $C$ est connexe (cor. 5).

Soit $C$ le centralisateur de $A$. Alors $T$ et $s^{-1}(T')$ sont deux tores maximaux de $C_0$; tout élément $g$ de $C_0$ tel que $(\mathrm{Int}\,g)(T) = s^{-1}(T')$ répond à la question.

Soit $h \in H$. Alors $h^{-1}Th$ est un tore maximal de $H_0$, donc (th. 2) il existe $g \in H_0$ tel que $hg \in N_H(T)$; ainsi $h$ appartient à $N_H(T).H_0$, d’où la première assertion. La seconde en résulte immédiatement.

a) Soit f : G → G’ un morphisme surjectif de groupes de Lie. Les tores maximaux de G’ sont les images par f des tores maximaux de G. Si le noyau de f est central dans G (par exemple discret), les tores maximaux de G sont les images réciproques par f des tores maximaux de G’.

b) Soit H un sous-groupe fermé connexe de G. Tout tore maximal de H est l’intersection avec H d’un tore maximal de G.

c) Soit H un sous-groupe fermé connexe distingué de G. Les tores maximaux de H sont les intersections avec H des tores maximaux de G.

a) Soit T un tore maximal de G ; alors L(T) est une sous-algèbre de Cartan de L(G) (n° 2, th. 2, a)), donc L(f(T)) une sous-algèbre de Cartan de L(G’) (VII, § 2, n° 1, cor. 2 à la prop. 4) ; il en résulte que f(T) est un tore maximal de G’ (n° 2, th. 2, a)). Si Ker f est central dans G, il est contenu dans T (cor. 2 au th. 2), donc T = f^{-1}(f(T)).

Inversement, soit T’ un tore maximal de G’ ; montrons qu’il existe un tore maximal T de G tel que f(T) = T’. Soit T_1 un tore maximal de G ; alors f(T_1) est un tore maximal de G’ et il existe g’ ∈ G’ tel que T’ = g’f(T_1) g’^{-1} (th. 2, b)) ; si g ∈ G est tel que f(g) = g’, on a T’ = f(T), avec T = gT_1g^{-1}.

b) Soit S un tore maximal de H ; c’est un tore de G et il existe donc un tore maximal T de G contenant S. Alors T ∩ H est un sous-groupe commutatif de H contenant S, donc égal à S (n° 2, remarque 2).

c) D’après § 1, n° 3, prop. 2, c), L(G) est produit direct de L(H) par un idéal ; les sous-algèbres de Cartan de L(H) sont donc les intersections avec L(H) des sous-algèbres de Cartan de L(G). Pour tout tore maximal T de G, T ∩ H contient donc un tore maximal S de H et on a S = T ∩ H (n° 2, remarque 2).

a) La variété compacte $G/H$ est simplement connexe.

b) L’homomorphisme $\pi_1(H) \to \pi_1(G)$, déduit de l’injection canonique de H dans G, est surjectif.

Comme H est connexe, on a une suite exacte (TG, XI, à paraître)

où $\overline{e}$ est l’image dans $G/H$ de l’élément neutre de G. Comme $G/H$ est connexe, cela entraîne aussitôt l’équivalence des assertions a) et b). Par ailleurs, si $f : G' \to G$ est un morphisme surjectif de groupes de Lie compacts connexes dont le noyau est central, il revient au même de démontrer la proposition (sous la forme a)) pour G ou pour $G'$ (prop. 2). On peut donc d’abord remplacer G par $\mathrm{Ad}(G)$, donc supposer G semi-simple, puis remplacer G par un revêtement universel (§ 1, n° 4, cor. 2), donc supposer G simplement connexe. Mais alors l’assertion b) est triviale.

En effet, l’algèbre de Lie de H contient une sous-algèbre de Cartan de L(G). D’après VII, § 2, n° 1, cor. 4 à la prop. 4, H est donc la composante neutre de N. Puisque N est compact, H est d’indice fini dans N.

b) Les traces sur T des classes de conjugaison de G sont les orbites du groupe de Weyl.

Soit g ∈ G ; d’après le th. 2 du n° 2, il existe h ∈ G tel que g ∈ hTh^{-1}, d’où a). Par définition du groupe de Weyl, deux éléments d’une même orbite de W_G(T) dans T sont conjugués dans G ; inversement, soient a, b deux éléments de T conjugués dans G. Il existe h ∈ G tel que b = hah^{-1} ; appliquant le cor. 7 au th. 2 (n° 2) avec A = {a}, s = Int h, T′ = T, on voit qu’il existe g ∈ G tel que Int hg applique T dans T et a sur b. La classe de hg dans W_G(T) applique alors a sur b, d’où la proposition.

En effet, c’est une application continue et bijective entre deux espaces compacts (cf. TG, III, p. 29, cor. 1).

Notons g l’algèbre de Lie de G, et t celle de T. On déduit de l’opération de W_G(T) dans T une représentation, dite canonique, du groupe W_G(T) dans le R-espace vectoriel t.

où p et q sont les applications de passage au quotient, et i l’injection canonique. Comme i et q sont propres (TG, I, p. 72, prop. 2 et TG, III, p. 28, prop. 2, c)) et que p est surjective, on en déduit que j est propre (TG, I, p. 73, prop. 5), donc est un homéomorphisme.

Posons $Z = C(G)_0$; d’après $§ 1$, no 4, cor. 1 à la prop. 4, le morphisme de groupes de Lie $g : Z \times \tilde{D}(G) \to G$ tel que $g(z, x) = z^{-1}p(x)$ est un revêtement; son noyau est formé des couples $(z, x)$ tels que $p(x) = z$, pour lesquels on a donc $x \in p^{-1}(Z) \subset \tilde{T}$. Puisque le morphisme $(z, x) \mapsto f_T(z^{-1})\tilde{f}(x)$ de $Z \times \tilde{D}(G)$ dans H applique Ker $g$ dans $\{e\}$, il existe un morphisme $f$ de G dans H tel que $f \circ p = \tilde{f}$ et $f(z) = f_T(z)$ pour $z \in Z$. Mais on a aussi $f(t) = f_T(t)$ pour $t \in p(\tilde{T})$; comme $T = Z.p(\tilde{T})$, la restriction de $f$ à T est bien $f_T$.

Si $f : G \to H$ est un morphisme de groupes de Lie tel que $L(f) = \varphi$, alors la restriction $f_T$ de $f$ à T est l’unique morphisme de T dans H tel que $L(f_T) = \varphi|L(T)$. Inversement, soit $f_T : T \to H$ un morphisme de groupes de Lie tel que $L(f_T) = \varphi|L(T)$. Soient $\tilde{D}(G)$ et $p$ comme ci-dessus; l’application $L(p)$ induit un isomorphisme de $L(\tilde{D}(G))$ sur l’algèbre dérivée b de $L(G)$. Il existe un morphisme de groupes de Lie $\tilde{f} : \tilde{D}(G) \to H$ tel que $L(\tilde{f}) = (\varphi|b) \circ L(p)$ (III, $§ 6$, no 1, th. 1). Les morphismes $t \mapsto \tilde{f}(t)$ et $t \mapsto f_T(p(t))$ de $\tilde{T}$ dans H induisent le même homomorphisme des algèbres de Lie, donc coïncident. Appliquant le lemme 2, on en déduit l’existence d’un morphisme $f : G \to H$ tel que $L(f)$ et $\varphi$ coïncident sur $L(T)$ et b. Comme $L(G) = b + L(T)$, on a bien $L(f) = \varphi$.

En effet d’après le th. 2 (no 2), le sous-groupe distingué Ker $f$ de G est réduit à l’élément neutre si et seulement si son intersection avec T est réduite à l’élément neutre.