Hàm $v \rightarrow$ F((Ad $v$)$(x), y$) từ K vào $\mathbf{R}$ là liên tục, và do đó đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm nào đó $k\in K$. Cho $u\in L(K)$ và đặt

$h(t) =$ F((Ad exp($tu$)$.k$)$(x), y$)$,t\in \mathbf{R}$.

Ta có $h(t)\geq h(0)$ với mọi $t$; hơn nữa, theo Ch. III, §3, no. 12, Mệnh đề 44,

$\frac{dh}{dt}(0) = F([u$,(Ad $k$)$(x)], y) = F(u$,[(Ad $k$)$(x), y])$,

do đó bổ đề được chứng minh (Functions of a Real Variable, Chap. I, §1, no. 7, Prop. 7).

Vì $\mathfrak{g}$ là khả quy, các đại số con Cartan của nó là giao hoán (Chap. VII, §2, no. 4, Cor. 3 of Th. 2). Ngược lại, cho $\mathfrak{t}$ là một đại số con giao hoán của $\mathfrak{g}$. Theo §1, no. 3, Prop. 1, ad $x$ là nửa đơn với mọi $x\in \mathfrak{t}$; theo Chap. VII, §2, no. 3, Prop. 10, tồn tại một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ chứa $\mathfrak{t}$. Điều này chứng minh mệnh đề thứ nhất của định lý.

Bây giờ cho $\mathfrak{t}$ và $\mathfrak{t}'$ là hai đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$. Ta chứng minh rằng tồn tại $u\in$ Int($\mathfrak{g}$) sao cho $u(\mathfrak{t}) =\mathfrak{t}'$. Theo Mệnh đề 1 của §1, no. 3, ta có thể giả thiết rằng $\mathfrak{g}$ có dạng L(G), trong đó G là một nhóm Lie compact liên thông, và có thể chọn một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến tách được F trên $\mathfrak{g}$. Cho $x$ (tương ứng $x'$) là một phần tử chính quy của $\mathfrak{g}$ sao cho $\mathfrak{t}=\mathfrak{g}^0(x)$ (tương ứng $\mathfrak{t}'=\mathfrak{g}^0(x')$) (Chương VII, §3, no. 3, Định lý 2). Áp dụng Bổ đề 1 với K = G, ta thấy rằng tồn tại $k\in G$ sao cho [(Ad $k$)$(x), x']$ trực giao với $\mathfrak{g}$ đối với F, và do đó bằng không; khi đó (Ad $k$)$(x)\in \mathfrak{g}^0(x') =\mathfrak{t}'$, nên $\mathfrak{g}^0$((Ad $k$)$(x)$) $=\mathfrak{t}'$ vì (Ad $k$)$(x)$ là chính quy. Ta kết luận rằng (Ad $k$)$(\mathfrak{t}) =\mathfrak{t}'$, do đó định lý được chứng minh.

Đặt G = Int($\mathfrak{g}$), và xét bộ cố định tử $Z_G(\mathfrak{a})$ của $\mathfrak{a}$ trong G; đó là một nhóm con Lie của G, với đại số Lie $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ gồm các phần tử của $\mathfrak{g}$ giao hoán với mọi phần tử của $\mathfrak{a}$ (Chương III, §9, no. 3, Mệnh đề 7). Khi đó $\mathfrak{t}$ và $u^{-1}(\mathfrak{t}')$ là hai đại số con Cartan của đại số Lie compact $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$. Theo Định lý 1, tồn tại một phần tử $v$ của $Z_G(\mathfrak{a})$ sao cho $v(\mathfrak{t}) =u^{-1}(\mathfrak{t}')$; mọi phần tử như vậy đều có các tính chất cần có.

a) Các đại số Lie của các xuyến cực đại của G là các đại số con Cartan của L(G).

b) Cho $T_1$ và $T_2$ là hai xuyến cực đại của G. Tồn tại $g\in G$ sao cho $T_2=gT_1g^{-1}$.

c) G là hợp của các xuyến cực đại của nó.

Cho $\mathfrak{t}$ là một đại số con Cartan của L(G); nhóm con nguyên của G có đại số Lie là $\mathfrak{t}$ thì đóng (Chương VII, §2, no. 1, Hệ quả 4 của Mệnh đề 4) và giao hoán (Định lý 1), và do đó là một xuyến của G. Nếu T là một xuyến cực đại của G, đại số Lie của nó là giao hoán, nên được chứa trong một đại số con Cartan của L(G) (Định lý 1). Suy ra các xuyến cực đại của G chính xác là các nhóm con nguyên của G liên kết với các đại số con Cartan của L(G), do đó a). Mệnh đề b) suy ra từ Định lý 1, vì đồng cấu chính tắc $G\rightarrow$ Int(L(G)) là toàn ánh (Chương III, §6, no. 4, Hệ quả 4 của Mệnh đề 10).

Ký hiệu X là hợp của các xuyến cực đại của G, và cho T là một xuyến cực đại của G. Ánh xạ liên tục $(g, t) \rightarrow gtg^{-1}$ từ $G\times T$ vào G có ảnh là X, vì thế X đóng trong G; do đó, để chứng minh c), chỉ cần chứng minh rằng X mở trong G; vì X bất biến dưới các tự đẳng cấu nội, chỉ cần chỉ ra rằng, với mọi $a\in T, X$ là một lân cận của $a$. Ta lập luận bằng quy nạp theo chiều của G và phân biệt hai trường hợp:

$1)a$ không trung tâm trong G. Cho H là thành phần liên thông chứa đơn vị của bộ tập trung của $a$ trong G; đó là một nhóm con compact liên thông của G khác G, chứa T, và do đó chứa $a$. Vì Ad $a$ là nửa đơn (§1, no. 1), đại số Lie của H là không gian-không của Ad $a-1$; khi đó từ Chương VII, §4, no. 2, Mệnh đề 4 suy ra rằng hợp Y của các liên hợp của H là một lân cận của $a$. Theo giả thiết quy nạp, $H\subset X$, và do đó $Y\subset X$; vậy X là một lân cận của $a$.

$2)a$ là trung tâm trong G. Chỉ cần chứng minh rằng $a$ exp $x$ thuộc X với mọi $x$ trong L(G). Bây giờ mọi phần tử $x$ của L(G) đều thuộc về một đại số con Cartan của G (Định lý 1); nhóm con nguyên tương ứng $T'$ chứa exp $x$; vì nó liên hợp với T, nó chứa $a$ và do đó chứa $a$ exp $x$, như phải chứng minh.

b) Với mọi $n\geq 1$, ánh xạ $g \rightarrow g^n$ từ G vào chính nó là toàn ánh.

Thật vậy, exp(L(G)) chứa mọi xuyến cực đại của G, do đó a). Mệnh đề b) suy ra từ công thức (exp $x$)$^n=$ exp $nx$ với $x$ trong L(G).

Cho $x$ là một phần tử của tâm của G; theo Định lý $2c)$, tồn tại một xuyến cực đại T của G chứa $x$; khi đó $x$ thuộc mọi liên hợp của T, nên thuộc mọi xuyến cực đại của G. Ngược lại, nếu $x$ thuộc mọi xuyến cực đại của G, nó giao hoán với mọi phần tử của G theo Định lý $2c)$.

Tồn tại một xuyến cực đại T của G chứa $g$ (Định lý $2c$)$)$, và do đó được chứa trong $C_0$. Hơn nữa, nhóm $C_0$ là một nhóm Lie compact liên thông, và do đó là hợp của các xuyến cực đại của nó (Định lý $2c$)$)$; các xuyến này đều chứa $g$ (Hệ quả 2), nên chính là các xuyến cực đại của G chứa $g$.

Vì Ad $g$ là nửa đơn, chiều của không gian riêng không của Ad $g-1$ cũng là chiều của trung tâm hóa tử C của $g$. Theo loc. cit., Mệnh đề 8, và Định lý $1$, $g$ là chính quy khi và chỉ khi $C_0$ là một xuyến cực đại của G. Kết luận bây giờ suy ra từ Hệ quả 3.

b) Cho $\mathfrak{s}$ là một đại số con giao hoán của L(G). Bộ phận cố định của $\mathfrak{s}$ trong G là liên thông; nó là hợp của các xuyến cực đại của G mà các đại số Lie của chúng chứa $\mathfrak{s}$.

Để chứng minh a), chỉ cần chứng minh rằng nếu một phần tử $g$ của G trung tâm hóa S, thì tồn tại một xuyến cực đại của G chứa S và $g$. Bây giờ, nếu C là trung tâm hóa tử của $g$, ta có $g\in C_0$ (Hệ quả 3) và $S\subset C_0$; nếu T là một xuyến cực đại của nhóm Lie compact liên thông $C_0$ chứa S, thì ta có $g\in T$ (Hệ quả 2), do đó a). Mệnh đề b) suy ra từ a) áp dụng cho bao đóng của nhóm con nguyên có đại số Lie là $\mathfrak{s}$, theo Chương III, §9, no. 3, Mệnh đề 9.

Cho T là một xuyến cực đại của G và C là trung tâm hóa tử của nó; vì L(T) là một đại số con Cartan của L(G), ta có L(T) = L(C), do đó C = T vì C là liên thông (Hệ quả 5).

Cho C là trung tâm hóa tử của A. Khi đó T và $s^{-1}(T')$ là hai xuyến cực đại của $C_0$; mọi phần tử $g$ của $C_0$ sao cho (Int $g$)$(T) =s^{-1}(T')$ đều có các tính chất cần có.

Cho $h\in H$. Khi đó $h^{-1}Th$ là một xuyến cực đại của $H_0$, do đó (Định lý 2) tồn tại $g\in H_0$ sao cho $hg\in N_H(T)$; vì thế $h$ thuộc $N_H(T).H_0$, do đó mệnh đề thứ nhất. Mệnh đề thứ hai suy ra ngay lập tức.

a) Cho $f: G\rightarrow G'$ là một cấu xạ toàn ánh của các nhóm Lie. Các xuyến cực đại của $G'$ là các ảnh qua $f$ của các xuyến cực đại của G. Nếu hạt nhân của $f$ là trung tâm trong G (chẳng hạn rời rạc), thì các xuyến cực đại của G là các ảnh ngược qua $f$ của các xuyến cực đại của $G'$.

b) Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G. Mọi xuyến cực đại của H đều là giao với H của một xuyến cực đại của G.

c) Cho H là một nhóm con đóng chuẩn tắc liên thông của G. Các xuyến cực đại của H là các giao với H của các xuyến cực đại của G.

a) Cho T là một xuyến cực đại của G; khi đó L(T) là một đại số con Cartan của L(G) (no. 2, Định lý $2a$)$)$, nên $L(f(T))$ là một đại số con Cartan của $L(G')$ (Chương VII, §2, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4); suy ra $f(T)$ là một xuyến cực đại của $G'$ (no. 2, Định lý $2a$)$)$. Nếu Ker $f$ là trung tâm trong G, thì nó được chứa trong T (Hệ quả 2 của Định lý 2), do đó $T =f^{-1}(f(T))$.

Ngược lại, cho $T'$ là một xuyến cực đại của $G'$; ta chứng minh rằng tồn tại một xuyến cực đại T của G sao cho $f(T) = T'$. Cho $T_1$ là một xuyến cực đại của G; khi đó $f(T_1)$ là một xuyến cực đại của $G'$ và tồn tại $g'\in G'$ sao cho $T'=g'f(T_1)g^{'-1}$ (Định lý $2b$)$)$; nếu $g\in G$ sao cho $f(g) =g'$, ta có $T'=f(T)$ với $T =gT_1g^{-1}$.

b) Cho S là một xuyến cực đại của H; đây là một xuyến của G nên tồn tại một xuyến cực đại T của G chứa S. Khi đó $T\cap H$ là một nhóm con giao hoán của H chứa S, vì thế bằng S (no. 2, Nhận xét 2).

c) Theo §1, no. 3, Mệnh đề $2c), L(G)$ là tích trực tiếp của L(H) với một iđêan; do đó, các đại số con Cartan của L(H) là các giao với L(H) của những đại số con Cartan của L(G). Vậy, với mọi xuyến cực đại T của $G, T\cap H$ chứa một xuyến cực đại S của H và $S = T\cap H$ (no. 2, Nhận xét 2).

a) Đa tạp compact $G/H$ là đơn liên.

b) Đồng cấu $\pi_1(H)\rightarrow \pi_1(G)$, cảm sinh bởi đơn ánh chính tắc từ H vào G, là toàn ánh.

Vì H liên thông, ta có một dãy khớp (Tôpô đại cương, Chương XI, đang chuẩn bị)

trong đó $\overline{e}$ là ảnh trong $G/H$ của phần tử đơn vị của G. Vì $G/H$ liên thông, điều này ngay lập tức kéo theo tính tương đương của các mệnh đề a) và b). Hơn nữa, nếu $f: G'\rightarrow G$ là một cấu xạ toàn ánh của các nhóm Lie compact liên thông mà hạt nhân là trung tâm, thì chứng minh mệnh đề (dưới dạng $a$)$)$ cho G cũng chính là chứng minh nó cho $G'$ (Mệnh đề 2). Vì vậy, trước hết ta có thể thay thế G bởi Ad(G), rồi giả sử rằng G là nửa đơn, và sau đó bằng cách thay thế G bởi một phủ phổ quát (§1, no. 4, Hệ quả 2), giả sử rằng G là đơn liên. Nhưng khi đó mệnh đề b) là tầm thường.

Thật vậy, đại số Lie của H chứa một đại số con Cartan của L(G). Do đó, theo Chương VII, §2, no. 1, Hệ quả 4 của Mệnh đề 4, H là thành phần đơn vị của N. Vì N compact, H có chỉ số hữu hạn trong N.

b) Các giao với T của các lớp liên hợp của G là các quỹ đạo của nhóm Weyl.

Cho $g\in G$; theo Định lý 2 ở no. 2, tồn tại $h\in G$ sao cho $g\in hTh^{-1}$, do đó suy ra a). Theo định nghĩa của nhóm Weyl, hai phần tử bất kỳ thuộc cùng một quỹ đạo của $W_G(T)$ trên T thì liên hợp trong G; ngược lại, cho $a, b$ là hai phần tử của T liên hợp dưới tác động của G. Tồn tại $h\in G$ sao cho $b=hah^{-1}$; áp dụng Hệ quả 7 của Định lý 2 (no. 2) với $A =\{a\},s=$ Int $h, T'= T$, ta thấy tồn tại $g\in G$ sao cho Int $hg$ ánh xạ T lên chính nó và $a$ lên $b$. Khi đó lớp của $hg$ trong $W_G(T)$ ánh xạ $a$ lên $b$, do đó suy ra mệnh đề.

Thật vậy, đó là một ánh xạ liên tục song ánh giữa hai không gian compact (xem General Topology, Chap. III, p. 29, Cor. 1).

Điều này suy ra từ Hệ quả 1 và từ việc các ánh xạ chính tắc $\mathrm{T}\to \mathrm{T}/\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ và $\mathrm{G}\to \mathrm{G}/\mathrm{Int}(\mathrm{G})$ là mở (General Topology, Chap. III, p. 10, Lemma 2).

Ký hiệu đại số Lie của $\mathrm{G}$ bởi $\mathfrak{g}$, và của $\mathrm{T}$ bởi $\mathfrak{t}$. Phép tác động của $\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ trên $\mathrm{T}$ cảm sinh một biểu diễn, gọi là biểu diễn chính tắc, của nhóm $\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ trên không gian vectơ $\mathbf{R}$ $\mathfrak{t}$.

b) Các giao với $\mathfrak{t}$ của các quỹ đạo của $\mathrm{G}$ là các quỹ đạo của $\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ trên $\mathfrak{t}$.

Mệnh đề a) suy ra từ Định lý 1 (no. 1). Cho $x,y$ là hai phần tử của $\mathfrak{t}$ liên hợp dưới $\mathrm{Ad}(\mathrm{G})$, và cho $h\in\mathrm{G}$ sao cho $(\mathrm{Ad}\,h)(x)=y$. Áp dụng hệ quả của Định lý 1 (no. 1) với $\mathfrak{a}=\{x\}$, $u=\mathrm{Ad}\,h$, $\mathfrak{t}'=\mathfrak{t}$, ta thấy tồn tại $g\in\mathrm{G}$ sao cho $\mathrm{Ad}\,hg$ ánh xạ $\mathfrak{t}$ vào $\mathfrak{t}$ và $x$ thành $y$. Khi đó $hg\in\mathrm{N}_{G}(\mathrm{T})$ (Chap. III, §9, no. 4, Prop. 11), và lớp của $hg$ trong $\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ ánh xạ $x$ thành $y$, do đó có mệnh đề.

Ký hiệu ánh xạ này bởi $j$; nó song ánh và liên tục (Mệnh đề 6). Ta có một biểu đồ giao hoán

trong đó $p$ và $q$ là các ánh xạ thương, còn $i$ là đơn ánh chính tắc. Vì $i$ và $q$ là thực sự (General Topology, Chap. I, §10, no. 1, Prop. 2 and General Topology, Chap. III, §4, no. 1, Prop. 2 c)) và vì $p$ là toàn ánh, suy ra $j$ là thực sự (General Topology, Chap. I, §10, no. 1, Prop. 5), và do đó là một đồng phôi.

a) Ký hiệu bởi $\mathrm{W}_{H}(\mathrm{T})$ nhóm con $\mathrm{N}_{H}(\mathrm{T})/\mathrm{T}$ của $\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$; nhóm $H/H_{0}$ đẳng cấu với nhóm thương $\mathrm{W}_{H}(\mathrm{T})/\mathrm{W}_{H_{0}}(\mathrm{T})$.

b) $H$ liên thông khi và chỉ khi mọi phần tử của $\mathrm{W}_{G}(\mathrm{T})$ có một đại diện trong $H$ đều thuộc $\mathrm{W}_{H_{0}}(\mathrm{T})$.

Mệnh đề a) suy ra từ Hệ quả 8 của Định lý 2 (no. 2), và mệnh đề b) là một trường hợp riêng của a).

Đặt $Z = C(G)_0$; theo §1, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4, cấu xạ các nhóm Lie $g: Z\times \widetilde{D}(G)\rightarrow G$ sao cho $g(z, x) =z^{-1}p(x)$ là một phủ; hạt nhân của nó gồm các cặp $(z, x)$ sao cho $p(x) =z$, khi đó $x\in p^{-1}(Z)\subset \widetilde{T}$. Vì cấu xạ $(z, x) \rightarrow f_T(z^{-1}) \widetilde{f}(x)$ từ $Z\times \widetilde{D}(G)$ đến H ánh xạ Ker $g$ vào $\{e\}$, nên tồn tại một cấu xạ $f$ từ G đến H sao cho $f\circ p= \widetilde{f}$ và $f(z) =f_T(z)$ với $z\in Z$. Nhưng ta cũng có $f(t) =f_T(t)$ với $t\in p( \widetilde{T})$; vì $T = Z.p( \widetilde{T})$, hạn chế của $f$ trên T đúng là $f_T$.

Nếu $f: G\rightarrow H$ là một cấu xạ các nhóm Lie sao cho $L(f) =\varphi$, thì hạn chế $f_T$ của $f$ trên T là cấu xạ duy nhất từ T đến H sao cho $L(f_T) =\varphi |L(T)$. Ngược lại, cho $f_T: T\rightarrow H$ là một cấu xạ các nhóm Lie sao cho $L(f_T) =\varphi |L(T)$. Gọi $\widetilde{D}(G)$ và $p$ như trên; ánh xạ $L(p)$ cảm sinh một đẳng cấu từ $L( \widetilde{D}(G))$ lên đại số dẫn xuất $\mathfrak{b}$ của L(G). Tồn tại một cấu xạ các nhóm Lie $\widetilde{f}: \widetilde{D}(G)\rightarrow H$ sao cho $L( \widetilde{f}) = (\varphi |\mathfrak{b})\circ L(p)$ (Chương III, §6, no. 1, Định lý 1). Các cấu xạ $t \rightarrow \widetilde{f}(t)$ và $t \rightarrow f_T(p(t))$ từ $\widetilde{T}$ đến H cảm sinh cùng một đồng cấu của các đại số Lie, và do đó trùng nhau. Áp dụng Bổ đề 2, ta suy ra sự tồn tại của một cấu xạ $f: G\rightarrow H$ sao cho $L(f)$ và $\varphi$ trùng nhau trên L(T) và $\mathfrak{b}$. Vì $L(G) =\mathfrak{b}+ L(T)$, ta có $L(f) =\varphi$.

Thật vậy, theo Định lý 2 (no. 2), nhóm con chuẩn tắc Ker $f$ của G quy về phần tử đơn vị khi và chỉ khi giao của nó với T quy về phần tử đơn vị.