(i) $\mathfrak{g}$ đẳng cấu với đại số Lie của một nhóm Lie compact.

(ii) Nhóm Int($\mathfrak{g}$) (Chương III, §6, no. 2, Định nghĩa 2) là compact.

(iii) $\mathfrak{g}$ có một dạng song tuyến tính bất biến (Chương I, §3, no. 6) đối xứng, dương và phân biệt.

(iv) $\mathfrak{g}$ là khả quy (Chương I, §6, no. 4, Định nghĩa 4); với mọi $x\in \mathfrak{g}$, tự đồng cấu ad $x$ là nửa đơn, với các trị riêng thuần ảo.

(v) $\mathfrak{g}$ là khả quy và dạng Killing B của nó là âm.

(i) $=\Rightarrow$ (ii): nếu $\mathfrak{g}$ là đại số Lie của một nhóm Lie compact G, thì nhóm Int($\mathfrak{g}$) là tách biệt và đẳng cấu với một thương của nhóm compact $G_0$ (Chương III, §6, no. 4, Hệ quả 4), do đó là compact.

(ii) $=\Rightarrow$ (iii): nếu nhóm Int($\mathfrak{g}$) là compact, thì tồn tại trên $\mathfrak{g}$ một dạng song tuyến tính đối xứng, dương, phân biệt và bất biến dưới Int($\mathfrak{g}$) (no. 1), do đó cũng bất biến dưới biểu diễn kề của $\mathfrak{g}$.

(iii) $=\Rightarrow$ (iv): nếu (iii) được thỏa mãn thì biểu diễn phụ hợp của $\mathfrak{g}$ là nửa đơn (no. 1), do đó $\mathfrak{g}$ là khả quy; hơn nữa, các nội cấu ad $x$, với $x\in \mathfrak{g}$, có các tính chất đã nêu (no. 1).

(iv) $=\Rightarrow$ (v): với mọi $x\in \mathfrak{g}, B(x, x) =$ Tr((ad $x$)$^2$); do đó, $B(x, x)$ là tổng các bình phương của các giá trị riêng của ad $x$, và vì thế là âm nếu các giá trị riêng ấy thuần túy ảo.

(v) $=\Rightarrow$ (i): giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là khả quy, do đó là tích của một đại số con giao hoán $\mathfrak{c}$ và một đại số con nửa đơn $\mathfrak{s}$ (Ch. I, §6, no. 4, Mệnh đề 5). Dạng Killing của $\mathfrak{s}$ là hạn chế của dạng B lên $\mathfrak{s}$, do đó là âm và phân ly nếu B là âm. Nhóm con Int($\mathfrak{s}$) của $\mathbf{G}\mathbf{L}(\mathfrak{s})$ là đóng (đó là thành phần đơn vị của Aut($\mathfrak{s}$), Ch. III, §10, no. 2, Hệ quả 2) và để dạng dương phân ly $-B$ bất biến; vì thế, nó là compact, và $\mathfrak{s}$ đẳng cấu với đại số Lie của nhóm Lie compact Int($\mathfrak{s}$). Hơn nữa, vì $\mathfrak{c}$ là giao hoán, nó đẳng cấu với đại số Lie của một xuyến T. Do đó $\mathfrak{g}$ đẳng cấu với đại số Lie của nhóm Lie compact Int($\mathfrak{s}$)$\times T$.

b) Một đại số con của một đại số Lie compact là compact.

c) Cho $\mathfrak{h}$ là một iđêan của một đại số Lie compact $\mathfrak{g}$. Khi đó đại số $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ là compact và mở rộng $\mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ là tầm thường.

Các khẳng định a) và b) suy ra từ đặc trưng hóa (iii) của Mệnh đề 1. Phần c) suy ra từ a) và sự kiện là, trong một đại số Lie khả quy, mọi iđêan đều là một nhân tử trực tiếp (Chương I, §6, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 5).

(i) Đại số Lie L(G) là compact.

(ii) Nhóm Ad(G) là compact.

(iii) Tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng dương phân ly trên L(G) bất biến đối với biểu diễn liên hợp của G.

\*(iv) G có một metric riemann bất biến dưới các phép tịnh tiến trái và phải.\*

(i) $=\Rightarrow$ (ii): nếu L(G) là compact, thì nhóm Ad(G$_0$) $=$ Int(L(G)) là compact; vì nó có chỉ số hữu hạn trong Ad(G), nên nhóm sau này cũng compact.

(ii) $=\Rightarrow$ (iii): điều này suy ra từ no. 1.

(iii) $=\Rightarrow$ (i): vì Int(L(G)) $\subset$ Ad(G), điều này suy ra từ đặc trưng hóa (iii) của Mệnh đề 1.

\*(iii) $\Leftarrow \Rightarrow$ (iv): điều này suy ra từ Chương III, §3, số 13.\*

Vì G là nửa đơn, tâm D của nó là rời rạc. Hơn nữa, nhóm thương $G/D$ đẳng cấu với Ad(G) (Chương III, §6, no. 4, Hệ quả 4), do đó compact (Mệnh đề 3). Sau cùng, nhóm $G/D$ bằng với nhóm dẫn xuất của nó (Chương III, §9, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4). Định lý nay suy ra từ Tích phân, Chương VII, §3, no. 2, Mệnh đề 5.

$^4$ Chú ý rằng một không gian vectơ tô pô thực không thể là một không gian tô pô compact

trừ khi nó thu về 0. thông S, một nhóm vectơ V và một cấu xạ toàn ánh $f: V\times T\times S\rightarrow G$ với hạt nhân hữu hạn. Nếu G là compact, nhóm V thu về phần tử đơn vị.

Cho C (tương ứng S) là một nhóm Lie đơn liên mà đại số Lie của nó đẳng cấu với tâm (tương ứng đại số dẫn xuất) của L(G). Khi đó C là một nhóm vectơ, S là một nhóm compact có tâm hữu hạn (Định lý 1) và G có thể được đồng nhất với nhóm thương của $C\times S$ bởi một nhóm con rời rạc D, là trung tâm (Tích phân, Chương VII, §3, no. 2, Bổ đề 4). Vì ảnh của phép chiếu của D lên S là trung tâm, do đó hữu hạn, $D\cap C$ có chỉ số hữu hạn trong D. Cho $C'$ là không gian con vectơ của C sinh bởi $D\cap C$, và V là một không gian con bù. Khi đó nhóm $T = C'/(D\cap C)$ là một xuyến, và G đẳng cấu với nhóm thương của nhóm tích $V\times T\times S$ bởi một nhóm hữu hạn.

Nếu G là compact, thì $V\times T\times S ($Tôpô đại cương, Chương III, §4, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2) cũng compact, do đó V cũng compact, điều này kéo theo $V =\{e\}$.

Với ký hiệu của Mệnh đề 4, ta có $V =\{e\}$ và các nhóm con $f(T)$ và $f(S)$ của G là compact, do đó đóng. Vì vậy chỉ cần chứng minh rằng $f(T) =$ $C(G)_0,f(S) = D(G)$. Bây giờ, $L(G) = L(f(T))\times L(f(S))$; vì S là nửa đơn và T là giao hoán, điều này kéo theo $L(f(T)) =\mathscr{C}(L(G)) = L(C(G)_0)$ (Chương III, §9, no. 3, Mệnh đề 8) và $L(f(S)) =\mathscr{D}L(G) = L(D(G))$ (Chương III, §9, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4), do đó được mệnh đề đã phát biểu.

Với ký hiệu của Mệnh đề 4, các nhóm V và T được rút về phần tử đơn vị; do đó S là một phủ phổ quát của G, và nhóm cơ bản của G đẳng cấu với Ker $f$, vì thế là hữu hạn. Tâm D của G là rời rạc vì G là nửa đơn, nên D là hữu hạn.

Thật vậy, với các ký hiệu của Hệ quả 1, nhóm cơ bản của $C(G)_0$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}^n$, với $n=$ dim $C(G)_0$, và nhóm cơ bản của D(G) là hữu hạn (Hệ quả 2).

(i) G là nửa đơn;

(ii) C(G) là hữu hạn;

(i) $\pi_1(G)$ là hữu hạn.

Nếu G là đơn liên, thì nó là nửa đơn.

Điều này suy ra từ các Hệ quả 1 đến 3.

Cho $f\in$ Aut(G)$_0$. Khi đó $f$ cảm sinh một tự đẳng cấu $f_1$ của $C(G)_0$ và một tự đẳng cấu $f_2$ của D(G), và ta có $f_1\in$ Aut(C(G)$_0$)$_0, f_2\in$ Aut(D(G))$_0$. Vì Aut(C(G)$_0$) là rời rạc (Topologie générale, Chap. VII, §2, no. 4, Prop. 5), nên ta có $f_1=$ Id; vì D(G) là nửa đơn, theo Chap. III, §10, no. 2, Cor. 2 của Th. 1 tồn tại một phần tử $g$ của D(G) sao cho $f_2(x) =gxg^{-1}$ với mọi $x\in$ D(G). Với mọi $x\in C(G)_0$, ta có $gxg^{-1}=x$ = $f_1(x)$; vì $G = C(G)_0.D(G)$, suy ra $gxg^{-1}=f(x)$ với mọi $x\in G$, vậy $f=$ Int $g$.

a) Giả sử rằng G liên thông. Khi đó G có một nhóm con compact lớn nhất K; nó liên thông. Tồn tại một nhóm con vectơ trung tâm đóng (no. 2) N của G sao cho G là tích trực tiếp $N\times K$.

b) Giả sử rằng nhóm các thành phần liên thông của G là hữu hạn. Khi đó:

(i) Mọi nhóm con compact của G đều được chứa trong một nhóm con compact cực đại.

(ii) Nếu $K_1$ và $K_2$ là hai nhóm con compact cực đại của G, thì tồn tại $g\in G$ sao cho $K_2=gK_1g^{-1}$.

(iii) Cho K là một nhóm con compact cực đại của G. Khi đó $K\cap G_0$ bằng $K_0$; nó là nhóm con compact lớn nhất của $G_0$.

(iv) Tồn tại một nhóm con vectơ trung tâm đóng N của $G_0$, chuẩn tắc trong G, sao cho, với mọi nhóm con compact cực đại K của G, $G_0$ là tích trực tiếp của $K_0$ với N, và G là tích nửa trực tiếp của K với N.

a) Ta giữ các ký hiệu của Mệnh đề 4. Phép chiếu của Ker $f$ lên V là một nhóm con hữu hạn của nhóm vectơ V, do đó thu về phần tử đơn vị. Suy ra Ker $f$ được chứa trong $T\times S$, và vì thế G là tích trực tiếp của nhóm vectơ $N =f(V)$ và nhóm compact $K =f(T\times S)$. Mọi nhóm con compact của G đều có một phép chiếu lên N thu về phần tử đơn vị, nên được chứa trong K. Điều này chứng minh a).

b) Bây giờ giả sử rằng $G/G_0$ là hữu hạn. Theo $a), G_0$ là tích trực tiếp của nhóm con compắc lớn nhất M của nó và một nhóm con vectơ P; nhóm con M của G rõ ràng là chuẩn tắc. Gọi $\mathfrak{n}$ là một không gian con vectơ bù của L(M) trong L(G), ổn định dưới biểu diễn phụ hợp của G (no. 1 và no. 3, Mệnh đề 3); đó là một iđêan của L(G) và ta có $L(G) = L(M)\times \mathfrak{n}$. Gọi N là nhóm con nguyên của G có đại số Lie là $\mathfrak{n}$; theo Chương III, §6, no. 6, Mệnh đề 14, nó là chuẩn tắc trong G. Phép chiếu của L(G) lên L(P) với hạt nhân L(M) gây ra một đẳng cấu từ $\mathfrak{n}$ lên L(P); suy ra rằng phép chiếu của $G_0$ lên P gây ra một cấu xạ étale từ N lên P; vì P đơn liên, đó là một đẳng cấu, và N là một nhóm vectơ. Cấu xạ $(x, y) \rightarrow xy$ từ $M\times N$ vào $G_0$ là một cấu xạ étale đơn ánh (vì $M\cap N$ thu về phần tử đơn vị), do đó là một đẳng cấu. Suy ra N là một nhóm con đóng của G và thương $G/N$ là compắc, vì $G_0/N$ là compắc và $G/G_0$ là hữu hạn (Topologie générale, Chương III, §4, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2).

Theo Integration, Chương VII, §3, no. 2, Mệnh đề 3, mọi nhóm con compact của G đều được chứa trong một nhóm con compact cực đại, các nhóm con này liên hợp với nhau, và với mọi nhóm con compact cực đại K của G, G là tích nửa trực tiếp của K bởi N. Vì $G_0$ chứa N nên nó là tích nửa trực tiếp của N bởi $G_0\cap K$; suy ra $G_0\cap K$ liên thông, do đó bằng $K_0$, vì $K/(G_0\cap K)$ đẳng cấu với $G/G_0$, nên hữu hạn; sau cùng, $K_0$ rõ ràng là nhóm con compact lớn nhất của $G_0$ theo a).

Thật vậy, theo (ii) tồn tại một phần tử $g\in G$ sao cho $gK_1g^{-1}= K_2$; theo (iv), tồn tại $n\in N$ và $k\in K_1$ sao cho $g=nk$. Khi đó phần tử $n$ có các tính chất cần có.