Có thể giả sử rằng $\phi(e) = 0$. Đặt $U' = \phi(U)$. Gọi $\psi : U' \to U$ là ánh xạ nghịch đảo của $\phi$. Cho V là một lân cận mở đối xứng của e sao cho $V^2 \subset U$ và đặt $V' = \phi(V)$. Ta định nghĩa các ánh xạ $\theta_1, \theta_2$ từ $V' \times V'$ vào $V' \times U'$ như sau:

Ngay lập tức kiểm tra được rằng $\theta_2(\theta_1(x, y)) = \theta_1(\theta_2(x, y)) = (x, y)$ với $x, y$ đủ gần 0. Mặt khác, $\theta_1$ và $\theta_2$ là giải tích và do đó khả vi nghiêm ngặt tại $(0, 0)$. Do đó (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 1.2.2) tồn tại một lân cận $W'$ của 0 trong $V'$ và các hằng số $a > 0, b > 0$ sao cho

với mọi $x_1, x_2, y_1, y_2$ trong $W'$. Đặt $x_1 = x_2 = y_2$, ta được

Với $\delta > 0$, đặt $N_\delta$ là tập hợp các cặp có thứ tự $(x, y) \in W' \times W'$ sao cho $\| x - y \| \leq \delta$. Các $N_\delta$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận đồng đều trong $W'$. Ta viết $W = \psi(W')$. Đặt $M_\delta$ là tập hợp các cặp có thứ tự $(u, v) \in W \times W$ sao cho $\| \phi(uv^{-1}) \| \leq \delta$. Các $M_\delta$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận đồng đều trong $W$ với cấu trúc đồng đều phải. Nhưng quan hệ (2) chứng minh rằng

và do đó $W$ có tính chất của bổ đề.

Vì $e$ có một lân cận mở đồng phôi với một quả cầu mở của một không gian định chuẩn, nên $e$ có một hệ cơ bản đếm được các lân cận có giao là $\{e\}$. Do đó $G$ là mêtric hóa được (General Topology, Chương III, § 1, Hệ quả của Mệnh đề 2 và Chương IX, § 3, Mệnh đề 1). Theo Bổ đề 1, tồn tại một lân cận của $e$ đầy đủ đối với cấu trúc đồng đều phải và do đó $G$ là đầy đủ (General Topology, Chương III, § 3, Mệnh đề 4).

Cho $U$ là một lân cận của $e$. Tồn tại một lân cận mở $U_1$ của $e$ được chứa trong $U$ và đồng phôi với một quả cầu mở của một không gian định chuẩn $E$ trên $K$. Nếu $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, $U_1$ liên thông, điều này chứng minh (i). Giả sử rằng $K$ là siêu mêtric. Tồn tại một lân cận $U_2$ của $e$ đóng trong $G$ và sao cho $U_2 \subset U_1$. Khi đó tồn tại một lân cận $U_3$ của $e$ sao cho $U_3 \subset U_2$ và $U_3$ vừa mở vừa đóng tương đối với $U_1$. Khi đó $U_3$ đóng tương đối với $U_2$ và do đó với $G$, và mở tương đối với $U_1$ và do đó với $G$. Điều này chứng minh (ii). Để $G$ là compact địa phương, điều kiện cần và đủ là $E$ compact địa phương; nếu $K$ compact địa phương, điều này tương đương với việc nói rằng $E$ hữu hạn chiều (Topological Vector Spaces, Chương I, § 2, Định lý 3), do đó có (iii). Giả sử rằng $G$ được sinh bởi một tập con $V$ và đặt $W = V \cup V^{-1}$; khi đó

nếu tồn tại một dãy trù mật trong $V$, ta thấy rằng tồn tại một dãy trù mật trong G và, vì G mêtric hóa được (Mệnh đề 1), tôpô trên G thừa nhận một cơ sở đếm được.

Khi đó tồn tại một lân cận mở W của e trong V và một tự đẳng cấu θ của đa tạp W sao cho θ(e) = e, θ(θ(x)) = x và m(x, θ(x)) = m(θ(x), x) = e với mọi x ∈ W.

m(e, y) = y với mọi y ∈ U và do đó, theo định lý hàm ẩn, tồn tại một lân cận mở W_1 của e trong V và một ánh xạ θ_1 thuộc lớp C^r từ W_1 vào V sao cho θ_1(e) = e, m(x, θ_1(x)) = e với mọi x ∈ W_1. Tương tự, tồn tại một lân cận mở W_2 của e trong V và một ánh xạ θ_2 thuộc lớp C^r từ W_2 vào V sao cho θ_2(e) = e, m(θ_2(x), x) = e với mọi x ∈ W_2. Với x ∈ W_1 ∩ W_2,

Gọi θ(x) là giá trị chung của θ_1(x) và θ_2(x) đối với x ∈ W_1 ∩ W_2. Gọi W là tập hợp các x ∈ W_1 ∩ W_2 sao cho θ(x) ∈ W_1 ∩ W_2. Tập hợp W là mở. Với x ∈ W,

và do đó θ(x) ∈ W. Ta thấy rằng θ | W xác định một tự đẳng cấu của đa tạp W.

Theo Bổ đề 2, G là một lân cận của phần tử đơn vị. Với mọi g ∈ G, ánh xạ x ↦ m(g, x) là một tự đẳng cấu của đa tạp X. Do đó ảnh của G qua ánh xạ này là một lân cận của g, hiển nhiên được chứa trong G. Vì vậy G là mở trong X. Rõ ràng các điều kiện (GL_1) và (GL_2) được thỏa mãn. Điều kiện (GL_3) được thỏa mãn theo Bổ đề 2.

Ví dụ về các nhóm Lie

(1) Cho E là một không gian định chuẩn đầy đủ trên K. Ánh xạ (x, y) ↦ x − y từ E × E vào E là liên tục và tuyến tính và do đó là giải tích.

Do đó E, với cấu trúc nhóm cộng và các cấu trúc đa tạp giải tích của nó, là một nhóm Lie.

Đặc biệt, K là một nhóm Lie.

(2) Cho A là một đại số kết hợp có đơn vị định chuẩn đầy đủ trên K. Phép nhân $(x, y) \mapsto xy$ của $A \times A$ vào A là song tuyến tính và liên tục và do đó là giải tích. Mệnh đề 3 chỉ ra rằng nhóm $A^*$ các phần tử khả nghịch của A là mở trong A (điều này cũng suy ra từ General Topology, Chương IX, § 3, Mệnh đề 13) và rằng $A^*$ là một nhóm Lie.

Ví dụ, cho E là một không gian định chuẩn đầy đủ trên K và cho $A = \mathscr{L}(E)$ (General Topology, Chương IX, § 3, Mệnh đề 5). Khi đó $A^*$ là nhóm tự đẳng cấu $\mathbf{GL}(E)$ của E. Nhóm này do đó có một cách chính tắc một cấu trúc nhóm Lie trên K. Cụ thể hơn, $\mathbf{GL}(n, K)$, với cấu trúc đa tạp cảm sinh bởi cấu trúc trên $\mathbf{M}_n(K)$, là một nhóm Lie. Với $n = 1$, ta thấy rằng nhóm nhân $K^*$ là một nhóm Lie với cấu trúc đa tạp cảm sinh bởi cấu trúc trên K.

(3) Cho G là một nhóm Lie trên K. Cho $K' = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ hoặc một trường siêu mêtric đầy đủ không rời rạc và $\sigma$ là một đẳng cấu của trường định giá $K'$ lên một trường con định giá của K. Khi đó nhóm G, với cấu trúc $K'$-đa tạp thu được bằng hạn chế vô hướng, là một nhóm Lie trên $K'$, được gọi là dẫn xuất từ nhóm Lie G bởi hạn chế vô hướng (từ K đến $K'$ bằng cách sử dụng $\sigma$). Ví dụ, mọi nhóm Lie phức có một cách chính tắc một cấu trúc nhóm Lie thực. Một lần nữa, với mỗi nhóm Lie phức G được liên kết một nhóm Lie phức gọi là liên hợp của G, dẫn xuất từ G bằng tự đẳng cấu $z \mapsto \overline{z}$ của $\mathbf{C}$.

Điều kiện hiển nhiên là cần. Giả sử điều kiện đó đúng. Với mọi $x_0 \in G$, $f(x_0x) = f(x_0)f(x)$ với mọi $x \in U$ và do đó $f|_{x_0U}$ là giải tích. Nhưng các tập hợp $x_0U$, với $x_0 \in G$, tạo thành một phủ mở của G.

Theo Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.8.3, H là đóng địa phương. Do đó H là đóng (Tôpô đại cương, Chương III, § 2, Mệnh đề 4). Mệnh đề (ii) là hiển nhiên. Mệnh đề (iii) suy ra từ Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.8.5.

Điều kiện hiển nhiên là cần. Giả sử điều kiện đó đúng. Với mọi h' ∈ H, phép tịnh tiến γ(h'h^{-1}) là một tự đẳng cấu của đa tạp G và biến đa tạp con H ∩ U của U vào đa tạp con (h'h^{-1}H) ∩ (h'h^{-1}U) của h'h^{-1}U. Vì h'h^{-1}H = H và h'h^{-1}U là một lân cận mở của h' trong G, ta thấy rằng mọi điểm của H có một lân cận mở V sao cho V ∩ H là một đa tạp con của G. Do đó H là một đa tạp con của G.

Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm con Lie của G. Nếu L là một nhóm con Lie của H, thì L là một nhóm con Lie của G theo Các đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.8.6. Cho M là một nhóm con Lie của G sao cho M ⊂ H. Khi đó M là một nhóm con Lie của H, vì đơn ánh chính tắc của M vào H hiển nhiên là một phép nhúng.

Cho k là một trường con đóng không rời rạc của K. Một nhóm con Lie k của G là một nhóm con Lie của nhóm Lie k nền của G.

Với $l, l'$ trong $L$ và $m, m'$ trong $M$,

do đó mệnh đề.

Nếu các điều kiện của Mệnh đề 7 được thỏa mãn, nhóm Lie $S$ được gọi là nhóm Lie tích nửa trực tiếp (ngoài) của $L$ bởi $M$ tương ứng với $\sigma$.

Rõ ràng đơn ánh chính tắc của $L$ (tương ứng $M$) vào $S$ là một đẳng cấu của $L$ (tương ứng $M$) lên một nhóm con Lie của $S$ mà ta đồng nhất với $L$ (tương ứng $M$). Ánh xạ chính tắc của $S$ lên $L$ là một cấu xạ nhóm Lie.

Ngược lại, cho $G$ là một nhóm Lie và $L$, $M$ là hai nhóm con Lie sao cho nhóm $G$ là tích nửa trực tiếp (Đại số) của $L$ bởi $M$ (Đại số, Chương I, § 6, no. 1). Ta viết $\sigma(l)m = lml^{-1}$ với $l \in L$ và $m \in M$. Khi đó $\sigma$ thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 7. Do đó ta có thể tạo thành nhóm Lie tích nửa trực tiếp $S$ của $L$ bởi $M$ ứng với $\sigma$. Ánh xạ $j: (m, l) \mapsto ml$ từ $S$ lên $G$ là một đẳng cấu nhóm và là giải tích. Nếu $j$ là một đẳng cấu nhóm Lie, nhóm Lie $G$ được gọi là (nội) tích nửa trực tiếp của $L$ bởi $M$ và $S$ và $G$ được đồng nhất. Với mọi $g \in G$, ta viết $g = p(g)q(g)$, trong đó $p(g) \in M$ và $q(g) \in L$. Để nhóm Lie $G$ là tích nửa trực tiếp của $L$ bởi $M$, điều kiện cần và đủ là một trong các ánh xạ $p: G \to M$ và $q: G \to L$ là giải tích, trong trường hợp đó cả hai đều là giải tích; hoặc tương đương, điều kiện cần và đủ là $T_e(G)$ là tổng trực tiếp tôpô của $T_e(M)$ và $T_e(L)$ (vì, nếu điều kiện này được thỏa mãn, $j$ là étale tại $e_S$).

$T_e(p) \circ T_e(s) = \mathrm{id}_{T_{e(H)}}$ và do đó $p$ (tương ứng, $s$) là một phép ngập chìm (tương ứng, một phép nhúng). Theo Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.10.5, N là một nhóm con Lie của G. Mặt khác, $s$ là một đồng phôi từ H lên $s(H)$ và do đó $s$ là một đẳng cấu từ H lên một nhóm con Lie của G (Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.8.3). Cuối cùng, với mọi $g \in G$, $g = (s \circ p)(g) \cdot n$ với một $n \in N$ nào đó; vì $s \circ p$ là giải tích, nhóm Lie G là tích nửa trực tiếp của $s(H)$ bởi N.

(i) Nếu $\rho(x)$ là một phép nhúng (tương ứng, một phép ngập chìm, một phép bán nhúng) tại $g_0$, thì, với mọi $g \in G$, $\rho(gx)$ là một phép nhúng (tương ứng, một phép ngập chìm, một phép bán nhúng).

(ii) Nếu $\rho(x)$ có hạng k tại $g_0$, thì với mọi $g \in G$, $\rho(gx)$ có hạng không đổi bằng k.

Điều này suy ra ngay lập tức từ các công thức (4) và (5) vì $T_g(\delta(g)), T_x(\tau(g))$ và $T_g(\gamma(g^{-1}))$ là các đẳng cấu.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 9 và Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.10.6.

Chú ý rằng, nếu $\eta$ ký hiệu ánh xạ $(g, x) \mapsto gx$ từ $G \times X$ vào X, thì, với $g \in G, x \in X, u \in T_g(G), v \in T_x(X)$,

tức là

(a) nhóm G tác động một cách đúng và tự do trên X;

(b) với mọi $x \in X$, $\rho(x)$ là một phép nhúng (điều này là một hệ quả của (a) nếu K có đặc số 0 và X hữu hạn chiều).

Khi đó quan hệ tương đương do G xác định trên X là chính quy (Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.9.5). Tồn tại trên tập thương X/G một và chỉ một cấu trúc đa tạp sao cho ánh xạ chính tắc $\pi : X \to X/G$ là một phép ngập chìm. Tôpô nền của cấu trúc đa tạp này là tôpô thương của tôpô trên X; nó là Hausdorff. Cuối cùng, $(X, G, X/G, \pi)$ là một bó sợi trái chính.\footnote{† Các bó sợi chính được định nghĩa trong Đa tạp khả vi và giải tích, R, 6.2.1 là các bó sợi phải chính. Định nghĩa các bó sợi trái chính có thể được suy ra từ đó theo một cách hiển nhiên.}

Cho $\theta$ là ánh xạ $(g, x) \mapsto (x, gx)$ từ $G \times X$ vào $X \times X$. Ánh xạ này thuộc lớp $C^\tau$. Ta sẽ chỉ ra rằng nó là một phép nhúng. Với $u \in T_g(G)$ và $v \in T_x(X)$, theo (6),

Nhưng $T_g(\rho(x))$ là đơn ánh theo giả thiết (b) và do đó $T_{(g, x)}(\theta)$ là đơn ánh. Ảnh của nó là tổng trực tiếp tôpô của không gian con $H_{g, x}$ gồm các vectơ $(v, T_x(\tau(g))v)$ với $v \in T_x(X)$ và không gian con

Theo giả thiết (b), $T_g(\rho(x))(T_g(G))$ nhận một phần bù tôpô $J_{g, x}$ trong $T_{gx}(X)$. Do đó ảnh của $T_{(g, x)}(\theta)$ nhận phần bù tôpô $\{0\} \times J_{g, x}$. Vậy ta đã chứng minh rằng $\theta$ là một phép ngâm của $G \times X$ vào $X \times X$.

Vì G tác động tự do trên X, $\theta$ là đơn ánh. Gọi C là đồ thị của quan hệ tương đương R do G xác định trên X. Vì G tác động đúng lên X, $\theta$ là một đồng phôi của $G \times X$ lên C (General Topology, Chapter I, § 10, Proposition 2). Theo Differentiable and Analytic Manifolds, R, 5.8.3, nó là một đa tạp con của $X \times X$ và $\theta$ là một đẳng cấu của đa tạp $G \times X$ lên đa tạp C. Không gian tiếp xúc $T_{(x, gx)}(C)$ được đồng nhất với

Gọi pr$_1$ và pr$_2$ là các phép chiếu chính tắc của $X \times X$ lên hai nhân tử. Ngay lập tức thấy rằng $T_{(x, gx)}(\mathrm{pr}_1)$ ánh xạ $H_{g, x}$ lên $T_x(X)$ và hạt nhân của $T_{(x, gx)}(\mathrm{pr}_1) | T_{(x, gx)}(C)$ là $I_{g, x}$. Vì thế $\mathrm{pr}_1 | C$ là một phép chìm từ C lên X. Theo Differentiable and Analytic Manifolds, R, 5.9.5, R là chính quy. Do đó theo định nghĩa, trên tập thương X/G tồn tại một và chỉ một cấu trúc đa tạp sao cho $\pi$ là một phép chìm. Tôpô nền của X/G là tôpô thương của tôpô của X (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 5.9.4). Tôpô này là Hausdorff (General Topology, Chapter III, § 4, Proposition 3).

Với mọi $b \in X/G$, tồn tại một lân cận mở W của b và một cấu xạ $\sigma : W \to X$ sao cho $\pi \circ \sigma = \mathrm{id}_W$ (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 5.9.1). Gọi $\phi$ là song ánh $(g, w) \mapsto g\sigma(w)$ từ $G \times W$ lên $\pi^{-1}(W)$. Nó thuộc lớp $C^\tau$. Khi đó $\pi(g\sigma(w)) = w$ và

và do đó song ánh ngược của $\phi$ thuộc lớp $C^r$. Rõ ràng $\phi(gg', w) = g\phi(g', w)$ với $w \in W,\ g \in G,\ g' \in G$. Vậy $(X, G, X/G, \pi)$ là một phân thớ chính trái.

(i) Trên tập hợp thuần nhất $X/G$ có một và chỉ một cấu trúc đa tạp giải tích sao cho phép chiếu chính tắc $\pi$ từ $X$ lên $X/G$ là một phép nhúng chìm. Luật phép toán của $X$ trên $X/G$ là giải tích. Với mọi $x \in X$, hạt nhân của $T_x(\pi)$ được suy ra từ $T_e(G)$ bởi $T_e(\gamma(x))$.

(ii) Nếu $G$ là chuẩn tắc trong $X$, thì $X/G$ là một nhóm Lie với cấu trúc nhóm của nó và cấu trúc đa tạp được xác định trong (i). Ánh xạ $\pi$ là một cấu xạ nhóm Lie.

Theo General Topology, Chapter III, § 4, no. 1, Example 1, $G$ tác động riêng và tự do trên $X$ bằng phép tịnh tiến phải. Do đó khẳng định thứ nhất của (i) suy ra từ

Mệnh đề 10 của no. 5. Mệnh đề thứ hai suy ra từ Nhận xét của no. 5. Vì $\pi$ là một phép ngập, hạt nhân của $T_x(\pi)$ là không gian tiếp xúc tại $x$ với

và do đó thu được từ $T_e(G)$ bởi $T_e(\gamma(x))$.

Giả sử rằng $G$ là chuẩn tắc. Gọi $m$ là ánh xạ $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ từ $(X/G) \times (X/G)$ vào $X/G$. Khi đó $(m \circ (\pi \times \pi))(x, y) = \pi(xy^{-1})$ với mọi $x, y$ trong $X$. Vậy $m \circ (\pi \times \pi)$ là giải tích. Vì $\pi \times \pi$ là một phép ngập toàn ánh, $m$ là giải tích (Differentiable and Analytic Manifolds, R. 5.9.5), do đó có (ii).

Tập hợp thuần nhất $X/G$ với cấu trúc đa tạp được xác định trong (i) được gọi là không gian thuần nhất Lie thương (trái) của $X$ theo $G$. Không gian thuần nhất Lie (phải) $G \setminus X$ được xác định tương tự. Khi $G$ là chuẩn tắc, nhóm Lie $X/G$ được xác định trong (ii) được gọi là nhóm Lie thương của $X$ theo $G$.

Vì ánh xạ chính tắc từ $X$ lên $X/X_y$ là một phép ngập, các tương đương (i) $\Leftrightarrow$ (ii), (i') $\Leftrightarrow$ (ii') là ngay lập tức. (i) $\Leftrightarrow$ (i') theo Mệnh đề 9 của no. 5. Tương đương (i') $\Leftrightarrow$ (iii) suy ra từ công thức (7) của no. 5.

Trong các điều kiện của Mệnh đề 12, $Y$ được gọi là một không gian thuần nhất Lie (trái) của $X$. Các không gian thuần nhất Lie phải của $X$ được định nghĩa tương tự.

(i) Luật tác động trái $(h, x) \mapsto hx$ của $H$ trên $X$ thỏa mãn các điều kiện (a) và (b) của Mệnh đề 10 (do đó ta có thể xét các đa tạp thương $X/G$ và $X/H$).

(ii) Luật tác động trái của $G$ trên $X$ xác định, khi lấy thương, một luật tác động trái lớp $C^r$ của $G/H$ trên $X/H$; luật này thỏa mãn các điều kiện (a) và (b) của Mệnh đề 10 (do đó ta có thể xét đa tạp thương $(X/H)/(G/H)$).

(iii) Ánh xạ chính tắc từ $X$ lên $X/H$ xác định, khi lấy thương, một song ánh từ $X/G$ lên $(X/H)/(G/H)$. Song ánh này là một đẳng cấu của các đa tạp lớp $C^r$.

Rõ ràng $H$ tác động tự do trên $X$; nó tác động đúng theo Topologie Générale, Chương III, § 4, no. 1, Ví dụ 1. Các ánh xạ quỹ đạo của $H$ trên $X$ là các phép nhúng vì đơn ánh chính tắc của $H$ vào $G$ là một phép nhúng. Điều này chứng minh (i).

Luật tác động trái của $G$ trên $X$ hiển nhiên xác định, khi lấy các thương, một luật tác động trái của $G/H$ trên $X/H$. Luật này thuộc lớp $C^r$ theo Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.9.6. Cho $g \in G$ và $x \in X$ sao cho $(Hg)(Hx) = Hx$; khi đó $H(gx) = Hx$ và do đó $gx \in Hx$ và $g \in H$; điều này chứng minh rằng $G/H$ tác động tự do trên $X/H$. Ánh xạ $\theta : (g, x) \mapsto (x, gx)$ từ $G \times X$ vào $X \times X$ là đóng; mặt khác, $\theta(Hg \times Hx) = Hx \times H(gx)$; do đó ngay lập tức suy ra rằng ánh xạ

từ $(G/H) \times (X/H)$ vào $(X/H) \times (X/H)$ là đóng; hơn nữa, vì $G/H$ tác động tự do trên $X/H$, Định lý 1 (c) của Tôpô đại cương, Chương I, § 10, no. 2 chứng minh rằng $G/H$ tác động đúng trên $X/H$.

Cho $\pi$ là ánh xạ chính tắc của $X$ lên $X/H$, $\sigma$ là ánh xạ chính tắc của $G$ lên $G/H$, $x$ là một phần tử của $X$ và $y = \pi(x)$.

Khi đó $\pi \circ \rho(x) = \rho(y) \circ \sigma$ và do đó

Cho $u \in T_e(G/H)$ sao cho $T_e(\rho(y))u = 0$. Có $v \in T_e(G)$ sao cho $u = T_e(\sigma)v$. Khi đó $T_x(\pi)(T_e(\rho(x))v) = 0$, do đó $T_e(\rho(x))v$ tiếp xúc với $Hx$ (Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.10.5) và vì vậy có dạng $T_e(\rho(x) | H)v'$ với một $v' \in T_e(H)$. Vì $T_e(\rho(x))$ đơn ánh, suy ra $v = v'$, do đó $v \in T_e(H)$ và vì vậy $u = 0$. Vậy $T_e(\rho(y))$ đơn ánh. Ảnh của $T_e(\rho(y))$ bằng ảnh của $T_x(\pi) \circ T_e(\rho(x))$; nay ảnh của $T_e(\rho(x))$ có một phần bù tôpô trong $T_x(X)$ và chứa hạt nhân của $T_x(\pi)$. Do đó thấy rằng $\rho(y)$ là một phép nhúng, điều này hoàn tất chứng minh của (ii).

Mệnh đề (iii) suy ra từ những điều trên và Đa tạp khả vi và giải tích, R, 5.9.7.