Chương III

Nhóm Lie

Trong suốt chương này, K ký hiệu hoặc trường định giá $\mathbf{R}$ của các số thực, hoặc trường định giá $\mathbf{C}$ của các số phức, hoặc một trường giao hoán đầy đủ ultramêtric không rời rạc. Ta giả sử rằng K có đặc số 0 từ § 4 trở đi, rằng $K = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ trong § 6, rằng K là ultramêtric trong § 7. Trừ khi có nói khác đi, tất cả các đa tạp, tất cả các đại số và tất cả các không gian vectơ được xét đều trên K. Nhắc lại rằng, khi ta nói đến một đa tạp thuộc lớp $C^r, r \in \mathbf{N}_K$, nghĩa là $r = \omega$ nếu $K \neq \mathbf{R}$ và $1 \leq r \leq \omega$ nếu $K = \mathbf{R}$.

Các quy ước về chuẩn, các không gian khả chuẩn và các không gian chuẩn là những quy ước của Các đa tạp khả vi và giải tích, R.

Nhắc lại rằng một đại số khả chuẩn trên K là một đại số A (không nhất thiết kết hợp) trên K, với một tôpô $\mathscr{T}$ có các tính chất sau: (1) $\mathscr{T}$ có thể được xác định bởi một chuẩn; (2) ánh xạ $(x, y) \mapsto xy$ từ $A \times A$ vào A là liên tục.

Nhóm các tự đẳng cấu song liên tục của A được ký hiệu là Aut(A). Mọi đại số hữu hạn chiều trên K đều là một đại số khả chuẩn với tôpô chính tắc. Một đại số chuẩn trên K là một đại số A trên K với một chuẩn sao cho $\|xy\| \leq \|x\|\|y\|$ với mọi $x, y$ trong A; đại số A với tôpô được xác định bởi chuẩn này là một đại số khả chuẩn. Nếu A là một đại số khả chuẩn, tồn tại một chuẩn trên A xác định tôpô của nó và làm cho A trở thành một đại số chuẩn.

Nếu G là một nhóm, $e_G$, hoặc đơn giản là e, ký hiệu phần tử đơn vị của G. Với $g \in G$, $\gamma(g)$, $\delta(g)$ và Int(g) ký hiệu các ánh xạ $g' \mapsto gg'$, $g' \mapsto g'g^{-1}$ và $g' \mapsto gg'g^{-1}$ từ G vào G. Nếu $f$ là một ánh xạ từ G vào một tập hợp E, $\dot{f}$ ký hiệu ánh xạ $g \mapsto f(g^{-1})$ từ G vào E.