Phụ lục

Hàm möbius

Cho n là một số nguyên $\geq 1$ . Nếu n chia hết cho bình phương của một số nguyên tố, ta viết $\mu(n) = 0$ . Nếu n không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố, ta viết $\mu(n) = (-1)^k$ , trong đó k là số các ước nguyên tố của n. Hàm $\mu : \mathbf{N}^* \to \{-1, 0, 1\}$ được xác định như vậy được gọi là hàm Möbius.

Nhắc lại rằng với hai số nguyên $n_1 \geq 1, n_2 \geq 1$ , ta viết $n_1 | n_2$ nếu $n_1$ chia $n_2$ .

Mệnh đề

(i) Hàm $\mu$ là ánh xạ duy nhất từ $\mathbf{N}^*$ vào $\mathbf{Z}$ sao cho $\mu(1) = 1$ và

\sum_{d|n} \mu(d) = 0

*đối với mọi số nguyên

n > 1

(ii) Cho s và t là hai ánh xạ từ $\mathbf{N}^*$ vào một nhóm giao hoán viết theo lối cộng. Để có

s(n) = \sum_{d|n} t(d) \quad \text{với mọi số nguyên } n \geq 1,

thì điều kiện cần và đủ là

t(n) = \sum_{d|n} \mu(d) s\left(\frac{n}{d}\right) \quad \text{với mọi số nguyên } n \geq 1.

Mệnh đề về tính duy nhất trong (i) là hiển nhiên, vì (1) cho phép ta xác định $\mu(n)$ bằng quy nạp theo n. Ta chỉ ra rằng hàm $\mu$ thỏa mãn (1). Cho n là một số nguyên $> 1$ . Gọi P là tập hợp các ước nguyên tố của n và đặt $n = \prod_{p \in P} p^{\nu_p(n)}$ là phân tích của n thành các thừa số nguyên tố. Nếu d là một ước của n, thì $\mu(d) = 0$ trừ khi d có dạng $\prod_{p \in H} p$ , trong đó H là một tập con của P. Khi đó

\sum_{d|n} \mu(d) = \sum_{H \subset P} (-1)^{\mathrm{Card}\ H} = \sum_{k=0}^{\mathrm{Card}\ P} \binom{n}{k} (-1)^k = (1 - 1)^{\mathrm{Card}\ P} = 0.

Cho s và t là hai ánh xạ từ $\mathbf{N}^*$ vào một nhóm giao hoán viết theo lối cộng. Cho $n \in \mathbf{N}^*$ . Nếu (2) đúng, thì

\sum_{d|n} \mu(d)s\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n} \mu(d) \sum_{\delta|(n/d)} t(\delta) = \sum_{d|n} \mu(d)t(\delta)

= \sum_{\delta|n} t(\delta) \sum_{d|(n/\delta)} \mu(d) = t(n).

Ngược lại, nếu (3) đúng, thì

\sum_{d|n} t(d) = \sum_{d|n} \sum_{\delta|d} \mu(\delta)s\left(\frac{d}{\delta}\right) = \sum_{d|n} s(d) \sum_{\delta|(n/d)} \mu(\delta) = s(n),

điều đó kết thúc chứng minh.

Công thức (3) được gọi là công thức đảo Möbius.

Bài tập

Xem bài tập của Phụ lục 0.