§ 8. Sự hội tụ của chuỗi Hausdorff (trường hợp ultrametric)

Trong tiết này ta giả sử rằng K là một trường giá trị đầy đủ không rời rạc có đặc số không, với một giá trị tuyệt đối ultrametric. Ta ký hiệu bởi $p$ đặc số của trường thặng dư của K (Đại số giao hoán, Chương VI, § 3, no. 2). Nếu $p \neq 0$ , ta đặt $a = |p|$ ; ta biết (Đại số giao hoán, Chương VI, § 6, nos. 2 and 3) rằng $0 < a < 1$ và tồn tại một và chỉ một giá trị $v$ trên K nhận giá trị trong $\mathbf{R}$ mà hạn chế của nó trên $\mathbf{Q}$ là giá trị $p$ -adic $v_p$ và sao cho $|x| = a^{v(x)}$ với mọi $x \in K$ . Ta còn đặt: (1) $\theta = \frac{1}{p-1}.$

Nếu $p = 0$ , ta ký hiệu bởi $a$ một số thực sao cho $0 < a < 1$ và bởi $v$ một định giá trên $\mathbf{K}$ nhận giá trị trong $\mathbf{R}$ sao cho $|x| = a^{v(x)}$ với mọi $x \in \mathbf{K}$ (loc. cit.). Khi đó $v(x) = 0$ với $x \in \mathbf{Q}^*$ . Ta cũng viết:

\theta = 0.

1. Các chặn trên $p$ -adic của các chuỗi exp, log và $\mathbf{H}$

Trong số này, ta giả sử rằng $p \neq 0$ .

Bổ đề 1

Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$ và cho $n = n_0 + n_1 p + \cdots + n_k p^k$ , với $0 \leqslant n_i \leqslant p - 1$ , là khai triển $p$ -adic của $n$ . Đặt $S(n) = n_0 + n_1 + \cdots + n_k$ . Khi đó*

v_p(n!) = \frac{n - S(n)}{p - 1}.

v_p(n!) = \sum_{i=1}^n v_p(i)

và số các số nguyên

i

nằm giữa 1 và

n

sao cho

v_p(i) \geqslant j

bằng phần nguyên

[n/p^j]

của

n/p^j

. Do đó

v_p(n!) = \sum_{j \geqslant 0} j ([n/p^j] - [n/p^{j+1}]) = \sum_{j \geqslant 1} [n/p^j].

Vì

[n/p^j] = \sum_{i \geqslant j} n_i p^{i-j}

, nên suy ra bổ đề.

Bổ đề 2

$v(n) \leqslant v(n!) \leqslant (n - 1)\theta$ và $v(n) \leqslant (\log n)/(\log p)$ với mọi số nguyên $n \geqslant 1$ . $v(n!) = v_p(n!) = (n - S(n))\theta \leqslant (n - 1)\theta$ theo Bổ đề 1. Mặt khác, $n \geqslant p^{v(n)}$ , do đó $v(n) \leqslant (\log n)/(\log p)$ . Cho $I = \{ U, V \}$ là một tập hợp gồm hai phần tử và

\mathbf{H} = \sum_{r,s \geqslant 0} H_{r,s}(U, V) \in \hat{\mathbf{L}}_{\mathbf{Q}}(I)

là chuỗi Hausdorff (§ 6, no. 4, Định nghĩa 1). Cho

\mathbf{Z}_{(p)}

là vành địa phương của

\mathbf{Z}

đối với iđêan nguyên tố

(p)

và

(e_b)_{b \in B}

là một cơ sở của

\mathbf{L}_{\mathbf{Z}_{(p)}}(I)

trên

\mathbf{Z}

(§ 2, no. 11, Định lý 1). Nó cũng là một cơ sở của

\mathbf{L}_{\mathbf{Q}}(I)

trên

\mathbf{Q}

Mệnh đề 1

Nếu $r$ và $s$ là hai số nguyên $\geqslant 0$ . Nếu $H_{r,s} = \sum_{b \in B} \lambda_b e_b$ , trong đó $\lambda_b \in \mathbf{Q}$ , là phân tích của $\mathbf{H}$ theo cơ sở $(e_b)_{b \in B}$ , thì*

v_p(\lambda_b) \geqslant -(r + s - 1)\theta \quad \text{với mọi } b \in B.

Vành

\mathbf{A}_{\mathbf{Z}_{(p)}}(I)

được đồng nhất với môđun con trên

\mathbf{Z}_{(p)}

của

\mathbf{A}_{\mathbf{Q}}(I)

sinh bởi các từ

w \in \mathrm{Mo}(I)

. Vì

\mathbf{L}_{\mathbf{Z}_{(p)}}(I)

là một nhân tử trực tiếp của

\mathbf{A}_{\mathbf{Z}_{(p)}}(I)

\mathbf{L}_{\mathbf{Z}_{(p)}}(I) = \mathbf{A}_{\mathbf{Z}_{(p)}}(I) \cap \mathbf{L}_{\mathbf{Q}}(I).

Cho $f$ là số nguyên sao cho $f \leq (r + s - 1)\theta < f + 1$ . Quan hệ (4) tương đương với $v_p(\lambda_b) \geq -f$ với mọi $b \in B$ , nghĩa là $H_{r,s} \in p^{-f}L_{\mathbf{Z}(p)}$ . Nhưng điều này, theo (5), cũng tương đương với $H_{r,s} \in p^{-f}A_{\mathbf{Z}(p)}(I)$ .

Theo công thức (11) của § 6, no. 4, chỉ cần chứng minh rằng, với mọi số nguyên $m \geq 1$ và mọi số nguyên $r_1, \ldots, r_m, s_1, \ldots, s_m$ sao cho

r_1 + \cdots + r_m = r, \quad s_1 + \cdots + s_m = s,

r_i + s_i \geq 1 \quad \text{với } 1 \leq i \leq m,

ta có

v_p(m!r!\ldots r_m!s_1!\ldots s_m!) \leq f.

Nhưng theo Bổ đề 2,

v_p(r_i!s_i!) \leq (r_i + s_i - 1)\theta

và

v_p(m!) \leq v_p(m!) \leq (m - 1)\theta

; do đó vế trái của (7) bị chặn trên bởi

\theta(m - 1 + \sum_{i=1}^m (r_i + s_i - 1)) = \theta(r + s - 1);

vì nó là một số nguyên, nên nó

\leq f

, điều này hoàn tất chứng minh.

2. Đại số Lie chuẩn

Định nghĩa 1

Một đại số Lie có chuẩn trên K* là một đại số Lie được trang bị một chuẩn sao cho

\|x + y\| \leq \sup(\|x\|, \|y\|)

\|[x, y]\| \leq \|x\| \cdot \|y\|

với mọi

x, y

trong

g

Trong suốt phần còn lại của đoạn này, g ký hiệu một đại số Lie có chuẩn đầy đủ.

Với mọi tập hợp hữu hạn I, như trong § 7, no. 1, ta định nghĩa một đồng cấu đại số Lie liên tục $u \mapsto \tilde{u}$ từ $\hat{L}(I)$ vào $\hat{P}(g^I; g)$ . Ta thấy như trong § 7 rằng nếu $u = \sum_v u_v$ , với $u_v \in L^v(I)$ đối với $v \in \mathbf{N}^I$ , thì $\tilde{u} = \sum_v \tilde{u}_v$ , trong đó $\tilde{u}_v$ là ánh xạ đa thức $(t_i)_{i \in I} \mapsto u_v((t_i))$ được định nghĩa trong § 2, no. 4. Công thức hợp thành (2) của § 7, no. 1, vẫn còn đúng.

3. Nhóm được xác định bởi một đại số Lie có chuẩn đầy đủ

Cho $H = \sum_{r, s \geq 0} H_{r,s} \in \hat{L}(\{U, V\})$ là chuỗi Hausdorff (§ 6, no. 4, Định nghĩa 1). Ta sẽ chỉ ra rằng chuỗi lũy thừa hình thức tương ứng có các thành phần liên tục

\tilde{H} = \sum_{r, s \geq 0} \tilde{H}_{r,s} \in \hat{P}(g \times g, g)

là hội tụ (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 4.1.1).

Cho $r \geq 0, s \geq 0$ sao cho $r + s \neq 0$ và gọi $\| \tilde{H}_{r,s} \|$ là chuẩn của đa thức liên tục $\tilde{H}_{r,s}$ (Đa tạp khả vi và giải tích, R, Phụ lục, no. 2).

Bổ đề 3

\| \tilde{H}_{r,s} \| \leq a^{-(r+s-1)\theta}.

Cho B là một tập Hall đối với I và cho $H_{r,s} = \sum_{b \in B} \lambda_b e_b$ là phân tích của $H_{r,s}$ theo cơ sở tương ứng của $L(\{U, V\})$ . Khi đó

|\lambda_b| \leq a^{-(r+s-1)\theta}.

Điều này là tầm thường đối với

p = 0

, vì

\lambda_b \in \mathbf{Q}

; và nó suy ra từ Mệnh đề 1 của no. 1 khi

p \neq 0

Hơn nữa,

\| \tilde{e}_b \| \leq 1 \quad \text{với } b \in B.

Nói chung hơn, ta chứng minh bằng quy nạp theo

n

rằng, với mọi alternant

b

bậc

n

theo hai bất định U và V (§ 2, no. 6), ta có

\| \tilde{b} \| \leq 1

. Nếu

n = 1

\tilde{b}

là một trong các phép chiếu của

g \times g

lên

g

và do đó có chuẩn

\leq 1

; nếu

n > 1

, tồn tại hai alternant

b_1

và

b_2

có bậc

< n

sao cho

b = [b_1, b_2]

. Vì ánh xạ

\gamma : (x, y) \mapsto [x, y]

từ

g \times g

vào

g

là song tuyến tính và có chuẩn

\leq 1

, nên ta có (Đa tạp khả vi và giải tích, R, phụ lục, no. 4)

\| \tilde{b} \| = \| \gamma \circ (\tilde{b}_1, \tilde{b}_2) \| \leq \| \tilde{b}_1 \| \cdot \| \tilde{b}_2 \| \leq 1.

Các hệ thức (11) và (12) suy ra bổ đề.

Mệnh đề 2

Chuỗi lũy thừa hình thức $\tilde{H}$ là một chuỗi hội tụ (Đa tạp Khả vi và Giải tích, R, 4.1.1). Nếu G là quả cầu $\{ x \in g \mid \| x \| < a^\theta \}$ , thì miền hội tụ tuyệt đối của $\tilde{H}$ (Đa tạp Khả vi và Giải tích, R, 4.1.3) chứa $G \times G$ .

Nếu $u$ và $v$ là hai số thực $> 0$ sao cho $u < a^\theta$ và $v < a^\theta$ , thì (Bổ đề 3)

\| \tilde{H}_{r,s} \| u^r v^s \leq a^\theta (u a^{-\theta})^r (v a^{-\theta})^s

và

\| H_{r,s} \| u^r v^s

tiến tới 0 khi

r + s

tiến tới vô hạn.

Ta ký hiệu bởi $h : G \times G \to g$ hàm giải tích (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 4.2.4) được xác định bởi $\tilde{H}$ , nghĩa là bởi công thức

h(x, y) = \sum_{r, s \geq 0} \tilde{H}_{r,s}(x, y) = \sum_{r, s \geq 0} H_{r,s}(x, y) \quad \text{với } (x, y) \in G \times G.

Hàm này được gọi là hàm Hausdorff của

g

Cho $(x, y) \in G \times G$ . Khi đó

\| \tilde{H}_{r,s}(x, y) \| \leq \sup(\| x \|, \| y \|) \\ \| h(x, y) \| \leq \sup(\| x \|, \| y \|).

(17) suy ra ngay lập tức từ (16) và (16) là tầm thường đối với $r = s = 0$ ; nếu $r \geq 1$ , thì

\| \tilde{H}_{r,s}(x, y) \| \leq \| \tilde{H}_{r,s} \| \| x \|^{r} \| y \|^{s}

\leq \| x \| \left( \frac{\| x \|}{a^{\theta}} \right)^{r-1} \left( \frac{\| y \|}{a^{\theta}} \right)^{s}

\leq \| x \|;

ta lập luận tương tự nếu

s \geq 1

Đặc biệt, $\| h(x, y) \| < a^{\theta}$ với $(x, y) \in G \times G$ .

Mệnh đề 3

Cho $G$ là quả cầu $\{ x \in g | \| x \| < a^{\theta} \}$ . Ánh xạ giải tích*

h : G \times G \to G

biến $G$ thành một nhóm, trong đó $0$ là phần tử đơn vị và $-x$ là nghịch đảo của $x$ với mọi $x \in G$ . Hơn nữa, nếu $R$ là một số thực sao cho $0 < R < a^{\theta}$ , thì quả cầu

\{ x \in g | \| x \| < R \}

(resp. $\{ x \in g | \| x \| \leq R \}$ ) là một nhóm con mở của $G$ .

Vì $H(U, -U) = 0$ và $H(0, U) = H(U, 0) = U$ , nên $h(x, -x) = 0$ và

h(0, x) = h(x, 0) = x

với mọi

x \in G

. Do đó còn phải chứng minh công thức tính kết hợp

h(h(x, y), z) = h(x, h(y, z)) \quad \text{với } x, y, z \text{ trong } G.

Vì

H(H(U, V), W) = H(U, H(V, W))

trong

\hat{L}(\{ U, V, W \})

(§ 6, no. 5, Mệnh đề 4), nên ta có

\tilde{H} \circ (\tilde{H} \times \mathrm{Id}_g) = \tilde{H} \circ (\mathrm{Id}_g \times \tilde{H})

trong

\hat{P}(g \times g \times g; g)

(no. 2) và (19) suy ra (18) theo (16) và Variétés différentiables et analytiques, R, 4.1.5.

Nói cách khác (Chương III, § 1), $G$ cùng với hàm Hausdorff là một nhóm Lie.

4. Hàm mũ trong các đại số kết hợp có chuẩn đầy đủ

Trong số này, A sẽ ký hiệu một đại số kết hợp có đơn vị với một chuẩn $x \mapsto \| x \|$ thỏa mãn các điều kiện:

\| x + y \| \leq \sup(\| x \|, \| y \|) \\ \| xy \| \leq \| x \| \cdot \| y \| \\ \| 1 \| = 1

với $x, y$ trong $A$ , và đầy đủ đối với chuẩn này. Các kết quả của đoạn thứ hai và thứ ba của § 7, no. 3, vẫn còn đúng.

Ta đặt $I = \{ U \}$ và xét các ảnh $\tilde{e}$ và $\tilde{l}$ của các chuỗi $e(U) = \sum_{n \geq 1} \frac{U^n}{n!}$ và $l(U) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} \frac{U^n}{n}$ trong $\hat{P}(A; A)$ . Khi đó:

\left\| \left( \frac{U^n}{n!} \right)^{\sim} \right\| \leq a^{-(n-1)\theta}

\left\| \left( \frac{U^n}{n} \right)^{\sim} \right\| \leq a^{-\frac{\log n}{\log p}}

theo Bổ đề 2 của no. 1. Do đó bán kính hội tụ tuyệt đối của chuỗi $\tilde{e}$ (tương ứng, $\tilde{l}$ ) là $\geq a^\theta$ (tương ứng, $\geq 1$ ) (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 4.1.3). Với $R > 0$ , đặt $G_R = \{ x \in A \mid \|x\| < R \}$ ; ta viết $G = G_0$ . Chuỗi $\tilde{e}$ (tương ứng, $\tilde{l}$ ) xác định một ánh xạ giải tích $e_A$ (tương ứng, $l_A$ ) từ $G$ (tương ứng, $G_1$ ) vào $A$ . Ta viết:

\exp_A(x) = 1 + e_A(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} \quad \text{với } x \in G

\log_A(x) = l_A(x-1) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} \frac{(x-1)^n}{n} \quad \text{với } x-1 \in G_1'

(ta bỏ chỉ số

A

khi không thể gây ra nhầm lẫn nào). Với

x \in G_R

và

n \geq 1

\left\| \frac{x^n}{n} \right\| \leq \left\| \frac{x^n}{n!} \right\| < R^n a^{-(n-1)\theta} = R \left( \frac{R}{a^\theta} \right)^{n-1}

và do đó

e_A(G_R) \subset G_R

l_A(G_R) \subset G_R

với

R \leq a^\theta

Mệnh đề 4

Cho $R$ là một số thực sao cho $0 < R \leq a^\theta$ . Ánh xạ $\exp_A$ xác định một đẳng cấu giải tích từ $G_R$ lên $1 + G_R$ và đẳng cấu nghịch đảo là hạn chế của $\log_A$ trên $1 + G_R$ .

$e(l(X)) = l(e(X)) = X$ . Theo (20), (21) và Differentiable and Analytic Manifolds, R, 4.1.5, ta suy ra rằng $e_A(l_A(x)) = l_A(e_A(x))$ với $x \in G_R$ . Khi đó

\exp_A(\log_A x) = x \quad \text{với } x \in 1 + G_R \\ \log_A(\exp_A x) = x \quad \text{với } x \in G_R

điều này hoàn tất chứng minh.

Nếu $A$ được trang bị ngoặc $[x, y] = xy - yx$ , thì $A$ trở thành một đại số Lie định chuẩn đầy đủ, vì $\|xy - yx\| \leq \sup(\|xy\|, \|yx\|) \leq \|x\| \cdot \|y\|$ . Mệnh đề 2 của no. 3 suy ra rằng miền hội tụ tuyệt đối của $\tilde{H}$ chứa $G \times G$ và do đó $\tilde{H}$ xác định một hàm giải tích $h : G \times G \to A$ ; khi đó

h(x, y) = \sum_{r, s \geq 0} H_{r,s}(x, y).

Mệnh đề 5

Với x, y trong G,

\exp_A \cdot \exp_A y = \exp_A h(x, y).

e^{U e^V} = e^{H(U, V)}

và do đó

m \circ (1 + \tilde{\epsilon}, 1 + \tilde{\epsilon}) = (1 + \tilde{\epsilon}) \circ \tilde{H}

trong

\tilde{H}(A \times A; A)

(ở đây m ký hiệu phép nhân trên A). Khi đó mệnh đề suy ra từ Mệnh đề 2, Bổ đề 3 và Đa tạp khả vi và giải tích, R, 4.1.5.

Bài tập

Ta giả sử rằng đặc số thặng dư $p$ của trường $K$ là >0. Ta ký hiệu bởi $\mathfrak{o}_K$ vành của định giá $v$ của $K$ .

Xem các bài tập của § 8.