§ 8. Convergence de la série de Hausdorff (cas ultramétrique)

Dans ce paragraphe, on suppose que K est un corps valué complet non discret de caractéristique zéro, à valeur absolue ultramétrique. On désigne par $p$ la caractéristique du corps résiduel de K (AC, VI, § 3, n° 2).

Si $p \neq 0$ , on pose $a = |p|$ ; on sait (AC, VI, § 6, n°s 2 et 3) que $0 < a < 1$ , et qu’il existe une valuation $v$ de K à valeurs dans $\mathbf{R}$ , et une seule, dont la restriction à $\mathbf{Q}$ est la valuation $p$ -adique $v_p$ , et qui est telle que $|x| = a^{v(x)}$ pour tout $x \in K$ . On pose d’autre part:

\theta = \frac{1}{p - 1}.

Si $p = 0$ , on désigne par $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$ , et par $v$ une valuation de K à valeurs dans $\mathbf{R}$ telle que $|x| = a^{v(x)}$ pour tout $x \in K$ (loc. cit.). On a $v(x) = 0$ pour $x \in \mathbf{Q}^*$ . On pose d’autre part:

\theta = 0.

1. Majoration $p$ -adique des séries exp, log et H

Dans ce numéro, on suppose $p \neq 0$ .

Lemme 1

Soit $n$ un entier $\geqslant 0$ , et soit $n = n_0 + n_1 p + \cdots + n_k p^k$ , avec $0 \leqslant n_i \leqslant p - 1$ , le développement $p$ -adique de $n$ . Soit $S(n) = n_0 + n_1 + \cdots + n_k$ . Alors

v_p(n!) = \frac{n - S(n)}{p - 1}.

En effet, on a $v_p(n!) = \sum_{i=1}^n v_p(i)$ , et le nombre d’entiers $i$ compris entre 1 et $n$ pour lesquels $v_p(i) \geqslant j$ est égal à la partie entière $[n/p^j]$ de $n/p^j$ . On a donc:

v_p(n!) = \sum_{j \geqslant 0} j ([n/p^j] - [n/p^{j+1}]) = \sum_{j \geqslant 1} [n/p^j].

Comme $[n/p^j] = \sum_{i \geqslant j} n_i p^{i-j}$ , le lemme en résulte.

Lemme 2

On a $v(n) \leqslant v(n!) \leqslant (n - 1)\theta$ et $v(n) \leqslant (\log n)/(\log p)$ pour tout entier $n \geqslant 1$ .

En effet $v(n!) = v_p(n!) = (n - S(n))\theta \leqslant (n - 1)\theta$ d’après le lemme 1. D’autre part, $n \geqslant p^{v(n)}$ , d’où $v(n) \leqslant (\log n)/(\log p)$ .

Soit $I = \{U, V\}$ un ensemble à deux éléments, et soit

H = \sum_{r,s \geqslant 0} H_{r,s}(U, V) \in \hat{L}_{\mathbf{Q}}(I)

la série de Hausdorff (§ 6, n° 4, déf. 1). Soient $\mathbf{Z}_{(p)}$ l’anneau local de $\mathbf{Z}$ relativement à l’idéal premier $(p)$ , et $(e_b)_{b \in B}$ une base de $L_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I})$ sur $\mathbf{Z}_{(p)}$ (§ 2, n° 11, th. 1). C’est aussi une base de $L_\mathbf{Q}(\mathbf{I})$ sur $\mathbf{Q}$ .

Proposition 1

Soient r et s deux entiers $\geqslant 0$ . Si $H_{r,s} = \sum_{b \in B} \lambda_b e_b$ , où $\lambda_b \in \mathbf{Q}$ , est la décomposition de $H_{r,s}$ par rapport à la base $(e_b)_{b \in B}$ , on a*

v_p(\lambda_b) \geqslant -(r + s - 1)\theta \quad \text{pour tout } b \in B.

L’anneau

A_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I})

s’identifie au sous-

\mathbf{Z}_{(p)}

-module de

A_\mathbf{Q}(\mathbf{I})

engendré par les mots

w \in Mo(\mathbf{I})

. Comme

L_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I})

est facteur direct dans

A_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I})

, on a

L_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I}) = A_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I}) \cap L_\mathbf{Q}(\mathbf{I}).

Soit

f

l’entier tel que

f \leqslant (r + s - 1)\theta < f + 1

. La relation (4) équivaut à

v_p(\lambda_b) \geqslant -f

pour tout

b \in B

, c’est-à-dire à

H_{r,s} \in p^{-f}L_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I})

. Or cela équivaut aussi, d’après (5), à

H_{r,s} \in p^{-f}A_{\mathbf{Z}_{(p)}}(\mathbf{I})

D’après la formule (11) du § 6, n° 4, il suffit de montrer que, quel que soit l’entier $m \geqslant 1$ et quels que soient les entiers $r_1, \ldots, r_m, s_1, \ldots, s_m$ tels que

r_1 + \cdots + r_m = r, \qquad s_1 + \cdots + s_m = s,

r_i + s_i \geqslant 1 \quad \text{pour } 1 \leqslant i \leqslant m,

on a

v_p(m!r_1!\ldots r_m!s_1!\ldots s_m!) \leqslant f.

Or, d’après le lemme 2,

v_p(r_i!s_i!) \leqslant (r_i + s_i - 1)\theta

v_p(m!) \leqslant v_p(m!) \leqslant (m - 1)\theta

; le premier membre de (7) est donc majoré par

\theta(m - 1 + \sum_{i=1}^m (r_i + s_i - 1)) = \theta(r + s - 1)

; comme c’est un entier, il est

\leqslant f

, ce qui achève la démonstration.

2. Algèbres de Lie normées

Définition 1

On appelle algèbre de Lie normée sur $\mathbf{K}$ une algèbre de Lie munie d’une norme telle que*

\|x + y\| \leqslant \sup(\|x\|, \|y\|)

\|[x, y]\| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|

*quels que soient x, y dans g.

Dans tout le reste de ce paragraphe, on désigne par $g$ une algèbre de Lie normée complète.

Pour tout ensemble fini $\mathbf{I}$ , on définit comme au § 7, n° 1, un homomorphisme continu $u \mapsto \tilde{u}$ d’algèbres de Lie de $\hat{L}(\mathbf{I})$ dans $\hat{P}(g^\mathbf{I}; g)$ . On voit comme au § 7 que si $u = \sum_v u_v$ , avec $u_v \in L^v(\mathbf{I})$ pour $v \in \mathbf{N}^\mathbf{I}$ , alors $\tilde{u} = \sum_v \tilde{u}_v$ , où $\tilde{u}_v$ est l’application polynomiale $(t_i)_{i \in \mathbf{I}} \mapsto u_v((t_i))$ définie au § 2, n° 4. La formule de composition (2) du § 7, n° 1, reste valable.

3. Groupe défini par une algèbre de Lie normée complète

Soit $H = \sum_{r \geq 0} H_{r,s} \in \hat{L}(\{U, V\})$ la série de Hausdorff (§ 6, n° 4, déf. 1). Nous allons montrer que la série formelle à composantes continues correspondante

(10)

\tilde{H} = \sum_{r,s \geq 0} \tilde{H}_{r,s} \in \hat{P}(g \times g, g)

est convergente (VAR, R, 4.1.1).

Soient $r \geq 0, s \geq 0$ , tels que $r + s \neq 0$ et soit $\| \tilde{H}_{r,s} \|$ la norme du polynôme continu $\tilde{H}_{r,s}$ (VAR, R, App., n° 2).

Lemme 3

On a*

\| \tilde{H}_{r,s} \| \leq a^{-(r+s-1)\theta}.

Soit B un ensemble de Hall relatif à I, et soit $H_{r,s} = \sum_{b \in B} \lambda_b e_b$ la décomposition de $H_{r,s}$ par rapport à la base correspondante de $L(\{U, V\})$ . On a (11)

|\lambda_b| \leq a^{-(r+s-1)\theta}.

En effet, cela est trivial pour

p = 0

, car

\lambda_b \in \mathbf{Q}

; et cela résulte de la prop. 1 du n° 1 pour

p \neq 0

De plus, on a (12)

\| \tilde{e}_b \| \leq 1 \quad \text{pour } b \in B.

En effet, montrons, plus généralement, par récurrence sur

n

, que pour tout alternant

b

de degré

n

en les deux indéterminées U et V (§ 2, n° 6), on a

\| \tilde{b} \| \leq 1

. Si

n = 1

\tilde{b}

est une des projections de

g \times g

sur

g

, donc est de norme

\leq 1

; si

n > 1

, il existe deux alternants

b_1

b_2

de degrés

< n

, tels que

b = [b_1, b_2]

. Comme l’application

\gamma : (x, y) \mapsto [x, y]

g \times g \to g

est bilinéaire de norme

\leq 1

, on a (VAR, R, App., n° 4) (13)

\| \tilde{b} \| = \| \gamma \circ (\tilde{b}_1, \tilde{b}_2) \| \leq \| \tilde{b}_1 \| \cdot \| \tilde{b}_2 \| \leq 1.

Les relations (11) et (12) entraînent le lemme.

Proposition 2

La série formelle $\tilde{H}$ est une série convergente* (VAR, R, 4.1.1). Si G est la boule $\{ x \in g \mid \| x \| < a^\theta \}$ , le domaine de convergence strict de $\tilde{H}$ (VAR, R, 4.1.3) contient $G \times G$ .

En effet, si $u$ et $v$ sont deux nombres réels $> 0$ tels que $u < a^\theta$ et $v < a^\theta$ , on a (lemme 3) (14)

\| \tilde{H}_{r,s} \| u^r v^s \leq a^\theta (u a^{-\theta})^r (v a^{-\theta})^s

\| \tilde{H}_{r,s} \| u^r v^s

tend vers 0 lorsque

r + s

tend vers l’infini.

Notons $h : G \times G \to g$ la fonction analytique (VAR, R, 4.2.4) définie par $\tilde{H}$ , c’est-à-dire par la formule

(15) \quad h(x, y) = \sum_{r,s \geq 0} \tilde{H}_{r,s}(x, y) = \sum_{r,s \geq 0} H_{r,s}(x, y) \quad \text{pour } (x, y) \in G \times G.

Cette fonction s’appelle la fonction de Hausdorff de

g

. Soit

(x, y) \in G \times G

. On a

(16) \quad \| \tilde{H}_{r,s}(x, y) \| \leq \sup(\|x\|, \|y\|)

(17) \quad \| h(x, y) \| \leq \sup(\|x\|, \|y\|).

En effet (17) résulte aussitôt de (16), et (16) est trivial pour

r = s = 0

; si

r \geq 1

, on a

\| \tilde{H}_{r,s}(x, y) \| \leq \| \tilde{H}_{r,s} \| \|x\|^r \|y\|^s \\ \leq \|x\| \left( \frac{\|x\|}{a^\theta} \right)^{r-1} \left( \frac{\|y\|}{a^\theta} \right)^s \\ \leq \|x\|;

on raisonne de façon analogue si

s \geq 1

. En particulier,

\|h(x, y)\| < a^\theta

pour

(x, y) \in G \times G

Proposition 3

Soit $G$ la boule $\{ x \in g \mid \|x\| < a^\theta \}$ . L’application analytique $h : G \times G \to G$ fait de $G$ un groupe, dans lequel $0$ est élément neutre et $-x$ inverse de $x$ pour tout $x \in G$ . De plus, si $R$ est un nombre réel tel que $0 < R < a^\theta$ , la boule $\{ x \in g \mid \|x\| < R \}$ (resp. $\{ x \in g \mid \|x\| \leq R \}$ ) est un sous-groupe ouvert de $G$ . Comme $H(U, -U) = 0$ et $H(0, U) = H(U, 0) = U$ , on a $h(x, -x) = 0$ et $h(0, x) = h(x, 0) = x$ pour tout $x \in G$ . Il ne reste donc qu’à démontrer la formule d’associativité

(18) \quad h(h(x, y), z) = h(x, h(y, z)) \quad \text{pour } x, y, z \text{ dans } G.

Comme on a

H(H(U, V), W) = H(U, H(V, W))

dans

\hat{L}(\{U, V, W\})

(§ 6, n° 5, prop. 4), on a

(19) \quad \tilde{H} \circ (\tilde{H} \times \mathrm{Id}_g) = \tilde{H} \circ (\mathrm{Id}_g \times \tilde{H})

dans

\hat{P}(g \times g \times g; g)

(n° 2), et (19) entraîne (18) d’après (16) et VAR, R, 4.1.5. *Autrement dit (chap. III, § 1), G, muni de la fonction de Hausdorff, est un groupe de Lie.

4. Exponentielle dans les algèbres associatives normées complètes

Dans ce n°, on désigne par A une algèbre associative unifière munie d’une norme $x \mapsto \|x\|$ satisfaisant aux conditions:

\begin{align*} \|x + y\| &\leq \sup(\|x\|, \|y\|) \\ \|xy\| &\leq \|x\| \cdot \|y\| \\ \|1\| &= 1 \end{align*}

pour $x, y$ dans $A$ , et complète pour cette norme. Les résultats des deuxième et troisième alinéas du , n° 3 restent valables

Prenons $I = \{ U \}$ et considérons les images $\tilde{e}$ et $\tilde{l}$ des séries $e(U) = \sum_{n \geq 1} \frac{U^n}{n!}$ et

l(U) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} \frac{U^n}{n} \text{ dans } \hat{P}(A; A). \text{ On a:}

(20)

\left\| \left( \frac{U^n}{n!} \right)^{\sim} \right\| \leq a^{-(n-1)\theta}

(21)

\left\| \left( \frac{U^n}{n} \right)^{\sim} \right\| \leq a^{-\frac{\log n}{\log p}}

d’après le lemme 2 du n° 1. Donc le rayon de convergence strict de la série

\tilde{e}

(resp.

\tilde{l}

) est

\geq a^\theta

(resp.

\geq 1

) (VAR, R, 4.1.3). Pour

R > 0

, soit

G_R = \{ x \in A \mid \|x\| < R \}

; posons

G = G_{a^\theta}

. La série

\tilde{e}

(resp.

\tilde{l}

) définit une application analytique

e_A

(resp.

l_A

) de

G

(resp.

G_1

) dans

A

. On posera: (22)

\exp_A(x) = 1 + e_A(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} \quad \text{pour } x \in G

(23)

\log_A(x) = l_A(x-1) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} \frac{(x-1)^n}{n} \quad \text{pour } x-1 \in G_1

(on omet l’indice

A

quand aucune confusion n’est à craindre). Pour

x \in G_R

n \geq 1

, on a (24)

\left\| \frac{x^n}{n} \right\| \leq \left\| \frac{x^n}{n!} \right\| < R^n a^{-(n-1)\theta} = R \left( \frac{R}{a^\theta} \right)^{n-1}

donc

e_A(G_R) \subset G_R, l_A(G_R) \subset G_R

pour

R \leq a^\theta

Proposition 4

Soit $R$ un nombre réel tel que $0 < R \leq a^\theta$ . L’application $\exp_A$ définit un isomorphisme analytique de $G_R$ sur $1 + G_R$ , et l’isomorphisme réciproque est la restriction de $\log_A$ à $1 + G_R$ .

On a $e(l(X)) = l(e(X)) = X$ . D’après (20), (21), et VAR, R, 4.1.5, on en déduit que $e_A(l_A(x)) = l_A(e_A(x))$ pour $x \in G_R$ . Donc

\begin{align*} \exp_A(\log_A x) &= x & \text{pour } x \in 1 + G_R \\ \log_A(\exp_A x) &= x & \text{pour } x \in G_R \end{align*}

ce qui achève la démonstration.

Si on munit $A$ du crochet $[x, y] = xy - yx$ , $A$ devient une algèbre de Lie normée complète, car $\|xy - yx\| \leq \sup(\|xy\|, \|yx\|) \leq \|x\| \cdot \|y\|$ . La prop. 2 du n° 3 entraîne que le domaine de convergence strict de $\tilde{H}$ contient $G \times G$ , et $\tilde{H}$ définit donc une fonction analytique $h : G \times G \to A$ ; on a (25)

h(x, y) = \sum_{r, s \geq 0} H_{r,s}(x, y).

Proposition 5

Pour $x, y$ dans $G$ , on a

\exp_A x \cdot \exp_A y = \exp_A h(x, y).

En effet, on a $e^U e^V = e^{H(U, V)}$ , donc

m \circ (1 + \tilde{\epsilon}, 1 + \tilde{\epsilon}) = (1 + \tilde{\epsilon}) \circ \tilde{H}

dans $\tilde{H}(A \times A; A)$ (en désignant par $m$ la multiplication de $A$ ). La proposition résulte alors de la prop. 2, du lemme 3, et de VAR, R, 4.1.5.

Exercices

On suppose que la caractéristique résiduelle $p$ du corps $K$ est $> 0$ . On note $\mathfrak{o}_K$ l’anneau de la valuation $v$ de $K$ .

See the exercises for § 8.