App. 0. Fonction de Möbius · Groupes et algèbres de Lie

APPENDICE Fonction de Möbius

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$ . Si $n$ est divisible par le carré d’un nombre premier, on pose $\mu(n) = 0$ . Si $n$ n’est divisible par le carré d’aucun nombre premier, on pose $\mu(n) = (-1)^k$ , où $k$ est le nombre de diviseurs premiers de $n$ . La fonction $\mu : \mathbf{N}^* \to \{-1, 0, 1\}$ ainsi définie s’appelle fonction de Möbius.

Rappelons qu’étant donnés deux entiers $n_1 \geqslant 1, n_2 \geqslant 1$ , on écrit $n_1 \mid n_2$ si $n_1$ divise $n_2$ .

Proposition

(i) La fonction $\mu$ est l’unique application de $\mathbf{N}^*$ dans $\mathbf{Z}$ telle que $\mu(1) = 1$ et que

\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0

pour tout entier $n > 1$ .

(ii) Soient $s$ et $t$ deux applications de $\mathbf{N}^*$ dans un groupe commutatif noté additivement. Pour que l’on ait

s(n) = \sum_{d \mid n} t(d) \quad \text{pour tout entier } n \geqslant 1,

il faut et il suffit que l’on ait

t(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) s\left( \frac{n}{d} \right) \quad \text{pour tout entier } n \geqslant 1.

L’assertion d’unicité dans (i) est évidente, car (1) permet de déterminer $\mu(n)$ par récurrence sur $n$ . Montrons que la fonction $\mu$ satisfait bien à (1). En effet, soit $n$ un entier $> 1$ . Soit $P$ l’ensemble des diviseurs premiers de $n$ et soit $n = \prod_{p \in P} p^{v_p(n)}$ la décomposition de $n$ en facteurs premiers. Si $d$ est un diviseur de $n$ , on a $\mu(d) = 0$ sauf si $d$ est de la forme $\prod_{p \in \mathbf{H}} p$ , où $\mathbf{H}$ est une partie de $\mathbf{P}$ . On a donc

\sum_{d|n} \mu(d) = \sum_{\mathbf{H} \subset \mathbf{P}} (-1)^{\mathrm{Card}\,\mathbf{H}}

= \sum_{k=0}^{\mathrm{Card}\,\mathbf{P}} \binom{n}{k}(-1)^k = (1 - 1)^{\mathrm{Card}\,\mathbf{P}} = 0.

Soient $s$ et $t$ deux applications de $\mathbf{N}^*$ dans un groupe commutatif noté additivement. Soit $n \in \mathbf{N}^*$ . Si (2) est vérifiée, on a

\sum_{d|n} \mu(d)s\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n} \mu(d) \sum_{\delta|\frac{n}{d}} t(\delta) = \sum_{d\delta|n} \mu(d)t(\delta)

= \sum_{\delta|n} t(\delta) \sum_{d|\frac{n}{\delta}} \mu(d) = t(n).

Réciproquement, si (3) est vérifiée, on a

\sum_{d|n} t(d) = \sum_{d|n} \sum_{\delta|d} \mu(\delta)s\left(\frac{d}{\delta}\right) = \sum_{d|n} s(d) \sum_{\delta|\frac{n}{d}} \mu(\delta) = s(n),

ce qui achève la démonstration.

La formule (3) s'appelle formule d'inversion de Möbius.

Exercices

See the exercises for Appendix 0.