Chapitre III

Groupes de Lie

Dans tout le chapitre, K désigne soit le corps valué $\mathbf{R}$ des nombres réels, soit le corps valué $\mathbf{C}$ des nombres complexes, soit un corps commutatif ultramétrique complet non discret. On suppose que K est de caractéristique 0 à partir du § 4, que $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ au § 6, que K est ultramétrique au § 7. Sauf mention du contraire, toutes les variétés, toutes les algèbres et tous les espaces vectoriels considérés sont sur K. Rappelons que, lorsqu’on parle d’une variété de classe $C^r$, on a $r \in N_K$ c’est-à-dire que $r = \omega$ si $K \neq \mathbf{R}$, et $1 \leq r \leq \omega$ si $K = \mathbf{R}$.

Les conventions sur les normes, les espaces normables et les espaces normés sont les mêmes que dans VAR, R.

Rappelons qu’on appelle algèbre normable sur K une algèbre A (non nécessairement associative) sur K, munie d’une topologie $\mathscr{T}$ possédant les propriétés suivantes:

1) $\mathscr{T}$ peut être définie par une norme; 2) l’application $(x, y) \mapsto xy$ de $A \times A$ dans A est continue.

On note Aut(A) le groupe des automorphismes bicontinu de A. Toute algèbre de dimension finie sur K est une algèbre normable pour la topologie canonique. On appelle algèbre normée sur K une algèbre A sur K, munie d’une norme telle que $\|xy\| \leq \|x\|\|y\|$ quels que soient $x, y$ dans A; l’algèbre A, munie de la topologie définie par cette norme, est une algèbre normable. Si A est une algèbre normable, il existe une norme sur A définissant sa topologie et faisant de A une algèbre normée.

Si G est un groupe, on note $e_G$, ou simplement $e$, l’élément neutre de G. Pour $g \in G$, on note $\gamma(g)$, $\delta(g)$ et Int($g$) les applications $g' \mapsto gg'$, $g' \mapsto g'g^{-1}$ et $g' \mapsto gg'g^{-1}$ de G dans G. Si $f$ est une application de G dans un ensemble E, on note $\check{f}$ l’application $g \mapsto f(g^{-1})$ de G dans E.