§ 7. Sự hội tụ của chuỗi Hausdorff (trường hợp thực hoặc phức)

Trong đoạn này ta giả sử rằng $K$ là một trong các trường $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ với trị tuyệt đối thông thường của nó. Nhắc lại rằng một đại số chuẩn hóa được trên $K$ là một đại số trên $K$ (không nhất thiết kết hợp) với một tôpô $\mathscr{T}$ có các tính chất sau: (1) $\mathscr{T}$ có thể được xác định bởi một chuẩn: (2) ánh xạ $(x, y) \mapsto xy$ từ $A \times A$ vào $A$ là liên tục. Một đại số định chuẩn trên $K$ là một đại số $A$ trên $K$ với một chuẩn sao cho $\|xy\| \leq \|x\|\ \|y\|$ với mọi $x, y$ trong $A$. Ta ký hiệu bởi $g$ một đại số Lie chuẩn hóa được đầy đủ trên $K$. Ta chọn một chuẩn trên $g$ và một số $M > 0$ sao cho

1. Các đa thức-liên tục nhận giá trị trong $g$

Cho $I$ là một tập hợp hữu hạn và gọi $P(g^I; g)$ (tương ứng $\hat{P}(g^I; g)$) là không gian vectơ các đa thức-liên tục (tương ứng chuỗi lũy thừa hình thức có các thành phần liên tục) trên $g^I$ nhận giá trị trong $g$. Nhắc lại (Đa tạp khả vi và giải tích, R, Phụ lục) rằng $P(g^I; g)$ có một phân bậc kiểu $\mathbf{N}^I$ và $\hat{P}(g^I; g)$ được đồng nhất với đầy đủ hóa của không gian vectơ $P(g^I; g)$ đối với tôpô được xác định bởi bộ lọc liên kết với phân bậc của $P(g^I; g)$. Hơn nữa, $P(g^I; g)$ là một đại số Lie phân bậc với dấu ngoặc được xác định bởi $[f, g](x) = [f(x), g(x)]$ với f, g thuộc P(g^I; g), x \in g^I; cấu trúc đại số Lie này có thể được mở rộng bằng tính liên tục lên $\hat{P}(g^I; g)$ và biến nó thành một đại số Lie lọc Hausdorff đầy đủ.

Theo mệnh đề 2 của § 6, no. 3, tồn tại một và chỉ một đồng cấu đại số Lie liên tục $\phi_I : u \mapsto \tilde{u}$ từ $\hat{L}(I)$ vào $\hat{P}(g^I; g)$ ánh xạ bất định nguyên có chỉ số i tới $\mathrm{pr}_i$ với mọi $i \in I$, vì $\mathrm{pr}_i \in P(g^I; g)$. Suy ra $\tilde{u} \in P(g^I; g)$ đối với $u \in L(I)$; chính xác hơn, khi $u \in L(I)$, $\tilde{u}$ chính là ánh xạ đa thức $(t_i) \mapsto u((t_i))$ của § 2, no. 4. Mặt khác, rõ ràng $\phi_I$ tương thích với các đa phân bậc của $L(I)$ và $P(g^I; g)$. Nếu $u = \sum_{v \in \mathbf{N}^I} u_v$, trong đó $u_v \in L^v(I)$ với $v \in \mathbf{N}^I$, thì

Cho $u = (u_j)_{j \in J}$ là một họ hữu hạn các phần tử của $\hat{L}(I)$, cho $v \in \hat{L}(J)$ và đặt $w = v \circ u$ (§ 6, no. 3). Ta viết $\tilde{u} = (\tilde{u}_j)_{j \in J} \in \mathfrak{g}$. Khi đó

(2)

Điều này suy ra bằng cách mở rộng theo tính liên tục công thức (7) của § 6, no. 3 và từ Differentiable and Analytic Manifolds, R, phụ lục, no. 6.

2. Mầm nhóm được xác định bởi một đại số Lie định chuẩn đầy đủ

Cho $H = \sum_{r,s \geq 0} H_{r,s} \in \hat{L}(U, V)$ là chuỗi Hausdorff (§ 6, no. 4, Định nghĩa 1). Ta sẽ chỉ ra rằng chuỗi lũy thừa hình thức tương ứng

(3)

là hội tụ (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 3.1.1).

Ta đưa vào chuỗi lũy thừa hình thức sau đây $\eta \in \mathbf{Q}[[U, V]]$

(4)

Do đó

(7)

trong đó

3. Hàm mũ trong các đại số kết hợp có đơn vị định chuẩn đầy đủ

Trong số này, ta ký hiệu bởi A một đại số kết hợp có đơn vị định chuẩn đầy đủ (Tôpô đại cương, Chương IX, § 3, no. 7). Khi đó \|x.y\| ≤ \|x\|. \|y\| với x, y trong A.

Cho I là một tập hợp hữu hạn và gọi $\hat{P}(A^I; A)$ là không gian vectơ các chuỗi lũy thừa hình thức có các thành phần liên tục trên $A^I$ nhận giá trị trong A (Đa tạp khả vi và giải tích, R, Phụ lục, no. 5), với cấu trúc đại số thu được bằng cách viết

trong đó $m : A \times A \to A$ ký hiệu phép nhân trên A. Lập luận như trong no. 1 và dùng Mệnh đề 1 của § 5, no. 1, ta định nghĩa một đồng cấu liên tục của các đại số có đơn vị $u \mapsto \tilde{u}$ từ $\hat{A}(I)$ vào $\hat{P}(A^I; A)$ biến ẩn bất định có chỉ số i thành $pr_i$; đồng cấu này mở rộng đồng cấu đại số Lie từ $\hat{L}(I)$ vào $\hat{P}(A^I; A)$ được định nghĩa trong no. 1. Nếu $u = \sum_v u_v$ với $u_v \in A^v(I)$ đối với $v \in \mathbf{N}^I$, thì $\tilde{u} = \sum_v \tilde{u}_v$, trong đó $\tilde{u}_v$ là ánh xạ đa thức $(t_i)_{i \in I} \mapsto u_v((t_i))$.

Cho $u = (u_j)_{j \in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử của $\hat{A}(I)$, cho $v \in \hat{A}(J)$ và viết $w = v \circ u$ (§ 5, no. 1). Khi đó

Điều này suy ra bằng cách kéo dài theo tính liên tục công thức (2) của § 5, no. 1 và từ Differentiable and Analytic Manifolds, R, phụ lục, no. 6.

Đặc biệt, ta lấy I = {U}, đồng nhất A với $A^{(U)}$ và xét các ảnh $\tilde{e}$ và $\tilde{l}$ của các chuỗi $e(U) = \sum_{n \geq 1} U^n/n!$ và $l(U) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} U^n/n$ trong $\hat{P}(A; A)$. Khi đó $\|\tilde{U}^n\| \leq 1$ vì $\|x_1 \ldots x_n\| \leq \|x_1\| \ldots \|x_n\|$ với $x_1, \ldots, x_n$ trong A. Do đó bán kính hội tụ tuyệt đối của $\tilde{e}$ (tương ứng của $\tilde{l}$) là vô hạn (tương ứng $\geq 1$).

Ta sẽ ký hiệu bởi $e_A$ (tương ứng $l_A$) ánh xạ giải tích của A vào A (tương ứng của B vào A, trong đó B là quả cầu đơn vị mở của A) được xác định bởi chuỗi hội tụ $\tilde{e}$ (tương ứng $\tilde{l}$), và ta sẽ viết $\exp_A(x) = 1 + e_A(x)$ (với $x \in A$) và

(với $x \in A, \|x - 1\| < 1$). Khi đó

(20) $\log_A x = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} \frac{(x-1)^n}{n} \quad (x \in A, \|x-1\| < 1).$

Vì $(e \circ l)(U) = (l \circ e)(U) = U$ (x. § 6, no. 1), theo (18) ta có $\tilde{e} \circ \tilde{l} = \tilde{l} \circ \tilde{e} = \mathrm{Id}_A$. Do đó (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 3.1.9) (21) $\exp_A(\log_A(x)) = x \quad (x \in A, \|x-1\| \leq 1)$ (22) $\log_A(\exp_A(x)) = x \quad (x \in A, \|x\| < \log 2)$ vì với $\|x\| < \log 2$ thì suy ra $\|\exp_A(x) - 1\| \leq \exp \|x\| - 1 < 1$.

Cuối cùng ta xét A như một đại số Lie chuẩn đầy đủ. Khi đó

Bài tập

Xem các bài tập cho § 7.