Nếu m là kết hợp, thì $m \circ (m \times \mathrm{Id}_X) = m \circ (\mathrm{Id}_X \times m)$, do đó

và do đó $T(m)$ là kết hợp. Gọi $s$ là ánh xạ $(x, y) \mapsto (y, x)$ của $X \times X$ vào $X \times X$. Nếu $m$ là giao hoán, thì $m \circ s = m$ và do đó

Nhưng $T(s)$ là ánh xạ $(u, v) \mapsto (v, u)$ của $T(X) \times T(X)$ vào $T(X) \times T(X)$. Do đó $T(m)$ là giao hoán.

(i) *Vectơ $0_e$ là một phần tử đơn vị đối với $T(m)$. (ii) *$T_e(X)$ là ổn định đối với $T(m)$ và luật hợp thành cảm sinh trên $T_e(X)$ bởi $T(m)$ là phép cộng của không gian vectơ $T_e(X)$. (iii) *Cho $U$ là một tập con mở của $X$ và $\alpha$ là một ánh xạ thuộc lớp $C^r$ của $U$ vào $X$ sao cho, với mọi $x \in U$, $\alpha(x)$ là nghịch đảo của $x$ đối với $m$. Khi đó, với mọi $u \in T(U)$, $T(\alpha)u$ là nghịch đảo của $u$ đối với $T(m)$.

Các tính chất (3) và (4) chỉ ra rằng $T(m)(0_e, u) = T(m)(u, 0_e) = u$ với mọi $u \in T(X)$, do đó (i). Với $u, v$ trong $T_e(X)$,

do đó (ii). Cuối cùng các hệ thức $m(x, \alpha(x)) = m(\alpha(x), x) = e$ với mọi $x \in U$ kéo theo

với mọi $u \in T(U)$, do đó (iii).

Chứng minh tương tự như chứng minh của Mệnh đề 1.

Điều này suy ra từ các Mệnh đề 1 và 2.

Ta biết rằng $T(f')$ là giải tích. Mặt khác, gọi $m$ (tương ứng $n$) là phép nhân trên $G$ (tương ứng $H$). Khi đó $f \circ m = n \circ (f \times f)$, do đó

điều này biểu thị rằng $T(f)$ là một đồng cấu nhóm.

$\mathrm{pr}_i$ là một cấu xạ từ $G_1 \times \cdots \times G_n$ vào $G_i$ và do đó $T(\mathrm{pr}_i)$ là một cấu xạ từ $T(G_1 \times \cdots \times G_n)$ vào $T(G_i)$.

Mệnh đề (i) suy ra từ (5). Mệnh đề (ii) là hiển nhiên khi tính đến Mệnh đề 2 (ii). Các mệnh đề (iii) và (iv) suy ra từ (6) và § 1, Mệnh đề 8.

Cho $u \in T(G)$ và $g \in G$. Theo (3) và (4), các tích $ug, gu$ được tính trong nhóm $T(G)$ là các ảnh của $u$ qua $T(\delta(g^{-1}))$ và $T(\gamma(g))$. Suy ra từ § 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 17 rằng ánh xạ $(g, u) \mapsto gu$ từ $G \times T_e(G)$ vào $T(G)$ là một đẳng cấu của bó vectơ tầm thường $G \times T_e(G)$ với không gian cơ sở $G$ lên bó vectơ $T(G)$. Đẳng cấu nghịch đảo được gọi là phép tầm thường hóa trái của $T(G)$. Bằng cách xét ánh xạ $(g, u) \mapsto ug$, phép tầm thường hóa phải của $T(G)$ được định nghĩa tương tự.

Cho $m$ là phép nhân của $G$. Khi đó $fg = m \circ (f, g)$. Bây giờ

do đó $T(fg)u = T(f)u.T(g)u$. Khi đó chỉ cần áp dụng (1) với $f$ được thay bởi $m$.

Đối với $n \geqslant 0$, điều này suy ra bằng quy nạp theo $n$ từ Mệnh đề 7. Mặt khác, ánh xạ tiếp xúc tại $e$ của ánh xạ $g \mapsto g^{-1}$ là ánh xạ $x \mapsto -x$ (no. 1, Mệnh đề 2).

Cho G là một nhóm Lie, X là một đa tạp lớp C^r và $(g, x) \mapsto gx$ là một luật phép toán trái lớp C^r của G trên X. Lập luận như đối với Mệnh đề 1, ta suy ra một luật phép toán trái lớp C^{r-1} của T(G) trên T(X), mà ta cũng sẽ ký hiệu bởi $(u, v) \mapsto uv$. Đồng nhất G (tương ứng X) với ảnh của tiết diện không của T(G) (tương ứng T(X)), ta thấy theo (6) rằng luật phép toán trái của T(G) trên T(X) mở rộng luật phép toán trái của G trên X. Với mọi $u \in T_g(G)$ và $v \in T_x(X)$, theo (1),

Nếu $g \in G$ và $v \in T_x(X)$, thì gv, theo (3), là ảnh của v qua ánh xạ tiếp xúc tại x của ánh xạ $y \mapsto gy$ của X vào X. Ánh xạ tiếp xúc này là một đẳng cấu của $T_x(X)$ lên $T_{gx}(X)$. Đặc biệt,

Nếu $x \in X$ và $u \in T_g(G)$, thì ux, theo (4), là ảnh của u qua ánh xạ tiếp xúc tại g của ánh xạ $h \mapsto hx$ của G vào X. Do đó

Điều trên có thể áp dụng cho trường hợp một nhóm Lie tác động lên chính nó bởi phép tịnh tiến trái (tương ứng phải). Luật phép toán tương ứng của T(G) trên T(G) được xác định bởi phép tịnh tiến trái (tương ứng phải) của nhóm Lie T(G). Vì vậy các công thức (7), (8) và (9) đúng trong T(G).

$f_2 \circ (\phi \times \psi) = \psi \circ f_1$, do đó

Cho G là một nhóm Lie, X là một đa tạp lớp C^r và $(g, x) \mapsto gx$ là một luật phép toán trái lớp C^r của G trên X. Cho I là một tập con mở của K chứa 0 và $\gamma: I \to G$ là một ánh xạ lớp C^r sao cho $\gamma(0) = e$. Cho

Cho $x \in X$. Sử dụng (4), ax là ảnh qua ánh xạ tiếp xúc của $\lambda \mapsto \gamma(\lambda)x$ của vectơ tiếp xúc 1 của I tại 0. Do đó trường vectơ $x \mapsto ax$ trên X là trường vectơ được xác định bởi ánh xạ $(\lambda, x) \mapsto \gamma(\lambda)x$ theo nghĩa của Differentiable and Analytic Manifolds, R, 8.4.5.