§ 2. Groupe des vecteurs tangents à un groupe de Lie

1. Lois de composition tangentes

Soient X et Y des variétés de classe $C^r$ . On sait (VAR, R, 8.1.4) que $X \times Y$ est une variété de classe $C^r$ et que l’application $(T(\mathrm{pr}_1), T(\mathrm{pr}_2))$ , produit des applications tangentes aux projections canoniques, est un isomorphisme de classe $C^{r-1}$ de $T(X \times Y)$ sur $T(X) \times T(Y)$ .\footnote{Pour $r = 1$ , cela signifie que $(T(\mathrm{pr}_1), T(\mathrm{pr}_2))$ est un homéomorphisme de $T(X \times Y)$ sur $T(X) \times T(Y)$ .} Cet isomorphisme est compatible avec les structures de fibré vectoriel de base $X \times Y$ , et permet d’identifier $T(X \times Y)$ avec $T(X) \times T(Y)$ . Soient $a \in X, b \in Y, u \in T_a(X), v \in T_b(Y)$ ; l’identification précédente permet de considérer $(u, v)$ comme un élément de $T_{(a,b)}(X \times Y)$ ; on a

(u, v) = (u, 0) + (0, v),

(u, 0)

(resp.

(0, v)

) est l’image de

u

par l’application tangente à l’immersion

x \mapsto (x, b)

(resp.

y \mapsto (a, y)

) de X (resp. Y) dans

X \times Y

. Quand il sera nécessaire de préciser, on notera

0_a

l’élément nul de

T_a(X)

Soient maintenant X, Y, Z des variétés de classe $C^r$ , et $f$ une application de classe $C^r$ de $X \times Y$ dans Z. L’application tangente est, compte tenu de l’identification précédente, une application de classe $C^{r-1}$ de $T(X) \times T(Y)$ dans $T(Z)$ . Pour $u \in T_a(X)$ et $v \in T_b(Y)$ , on a

\begin{align*} (1) \quad & T(f)(u, v) = T(f)(u, 0_b) + T(f)(0_a, v), \\ (2) \quad & T(f)(0_a, 0_b) = 0_{f(a,b)}. \end{align*}

D’autre part, l’application

y \mapsto f(a, y)

est composée de l’immersion

y \mapsto (a, y)

et de

f

; on en déduit que (3)

T(f)(0, v)

est l’image de

v

par l’application tangente à

y \mapsto f(a, y)

. De même (4)

T(f)(u, 0)

est l’image de

u

par l’application tangente à

x \mapsto f(x, b)

Si l’application $f$ de $X \times Y$ dans Z est notée $(x, y) \mapsto xy$ , on note souvent $uv$ l’élément $T(f)(u, v)$ pour $u \in T(X), v \in T(Y)$ .

Soient X une variété de classe $C^r$ , et $m : X \times X \to X$ une loi de composition de classe $C^r$ sur X. Alors $T(m)$ est une loi de composition de classe $C^{r-1}$ sur $T(X)$ . On l’appelle la loi de composition tangente à m. La projection canonique $p$ de $T(X)$ sur X est compatible avec les lois $m$ et $T(m)$ ; autrement dit, on a

p \circ T(m) = m \circ (p \times p).

Il résulte de (2) que

T(m)(0_x, 0_y) = 0_{m(x, y)}

quels que soient $x, y$ dans $X$ ; autrement dit, la section nulle $x \mapsto 0_x$ de $T(X)$ est compatible avec les lois $m$ et $T(m)$ .

Proposition 1

Soient $X$ une variété de classe $C^r$ , et $m$ une loi de composition de classe $C^r$ sur $X$ . Si $m$ est associative (resp. commutative), alors $T(m)$ est associative (resp. commutative).

Si $m$ est associative, on a $m \circ (m \times \mathrm{Id}_X) = m \circ (\mathrm{Id}_X \times m)$ , d’où

T(m) \circ (T(m) \times \mathrm{Id}_{T(X)}) = T(m) \circ (\mathrm{Id}_{T(X)} \times T(m))

donc $T(m)$ est associative. Soit $s$ l’application $(x, y) \mapsto (y, x)$ de $X \times X$ dans $X \times X$ . Si $m$ est commutative, on a $m \circ s = m$ , donc

T(m) \circ T(s) = T(m).

Mais $T(s)$ est l’application $(u, v) \mapsto (v, u)$ de $T(X) \times T(X)$ dans $T(X) \times T(X)$ . Donc $T(m)$ est commutative.

Proposition 2

Soient $X$ une variété de classe $C^r$ , $m$ une loi de composition de classe $C^r$ sur $X$ , $e$ un élément neutre pour $m$ . (i) Le vecteur $0_e$ est élément neutre pour $T(m)$ . (ii) $T_e(X)$ est stable pour $T(m)$ , et la loi de composition induite sur $T_e(X)$ par $T(m)$ est l’addition de l’espace vectoriel $T_e(X)$ . (iii) Soient $U$ une partie ouverte de $X$ , et $\alpha$ une application de classe $C^r$ de $U$ dans $X$ telle que, pour tout $x \in U$ , $\alpha(x)$ soit inverse de $x$ pour $m$ . Alors, pour tout $u \in T(U)$ , $T(\alpha)u$ est inverse de $u$ pour $T(m)$ .

Les propriétés (3) et (4) montrent que $T(m)(0_e, u) = T(m)(u, 0_e) = u$ pour tout $u \in T(X)$ , d’où (i). Pour $u, v$ dans $T_e(X)$ , on a

T(m)(u, v) = T(m)(u, 0_e) + T(m)(0_e, v) = u + v

d’où (ii). Enfin, les relations $m(x, \alpha(x)) = m(\alpha(x), x) = e$ pour tout $x \in U$ entraînent

T(m)(u, T(\alpha)(u)) = T(m)(T(\alpha)u, u) = 0_e

pour tout $u \in T(U)$ , d’où (iii).

Proposition 3

Soient $X_1, X_2, \ldots, X_p, Y$ des variétés de classe $C^r$ , $i$ un entier de $[1, p]$ , $m_i$ (resp. $n$ ) une loi de composition de classe $C^r$ sur $X_i$ (resp. $Y$ ), $u$ une application de classe $C^r$ de $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_p$ dans $Y$ . Si $u$ est distributive relativement à la variable d’indice $i$ , alors $T(u)$ est distributive relativement à la variable d’indice $i$ .

La démonstration est analogue à celle de la prop. 1.

2. Groupe des vecteurs tangents à un groupe de Lie

Proposition 4

Soit $G$ un groupe de Lie. Alors $T(G)$ , muni de la loi de composition tangente à la multiplication de $G$ , est un groupe de Lie. L’élément neutre de $T(G)$ est le vecteur $0_e$ .

Cela résulte des prop. 1 et 2.

Proposition 5

Soient $G$ et $H$ des groupes de Lie, $f$ un morphisme de $G$ dans $H$ . Alors $T(f)$ est un morphisme du groupe de Lie $T(G)$ dans le groupe de Lie $T(H)$ .

On sait que $T(f)$ est analytique. D’autre part, soit $m$ (resp. $n$ ) la multiplication dans $G$ (resp. $H$ ). On a $f \circ m = n \circ (f \times f)$ , d’où

T(f) \circ T(m) = T(n) \circ (T(f) \times T(f)),

ce qui exprime que $T(f)$ est un homomorphisme de groupes.

Corollaire

Soient $G_1, \ldots, G_n$ des groupes de Lie. L’isomorphisme canonique de la variété $T(G_1 \times \cdots \times G_n)$ sur la variété $T(G_1) \times \cdots \times T(G_n)$ est un isomorphisme de groupes de Lie.

En effet, $\mathrm{pr}_i$ est un morphisme de $G_1 \times \cdots \times G_n$ dans $G_i$ , donc $T(\mathrm{pr}_i)$ est un morphisme de $T(G_1 \times \cdots \times G_n)$ dans $T(G_i)$ .

Proposition 6

Soit $G$ un groupe de Lie.

(i) La projection canonique $p : T(G) \to G$ est un morphisme de groupes de Lie.

(ii) Le noyau de $p$ est $T_e(G)$ . C’est un sous-groupe de Lie de $T(G)$ . La structure de groupe de Lie induite sur $T_e(G)$ par celle de $T(G)$ est la structure de groupe de Lie de l’espace normable complet $T_e(G)$ .

(iii) La section nulle $s$ est un isomorphisme du groupe de Lie $G$ sur un sous-groupe de Lie $s(G)$ de $T(G)$ (sous-groupe qu’on identifie à $G$ ).

(iv) Le groupe de Lie $T(G)$ est produit semi-direct de $G$ par $T_e(G)$ .

L’assertion (i) résulte de (5). L’assertion (ii) est évidente compte tenu de la prop. 2 (ii). Les assertions (iii) et (iv) résultent de (6) et du § 1, prop. 8.

C.Q.F.D.

Soient $u \in T(G)$ et $g \in G$ . D’après (3) et (4), les produits $ug, gu$ calculés dans le groupe $T(G)$ sont les images de $u$ par $T(\delta(g^{-1})), T(\gamma(g))$ . Il résulte du § 1, cor. 2 de la prop. 17, que l’application $(g, u) \mapsto gu$ de $G \times T_e(G)$ dans $T(G)$ est un isomorphisme du fibré vectoriel trivial $G \times T_e(G)$ de base $G$ sur le fibré vectoriel $T(G)$ . L’isomorphisme réciproque s’appelle la trivialisation gauche de $T(G)$ . En considérant l’application $(g, u) \mapsto ug$ , on définit de même la trivialisation droite de $T(G)$ .

Proposition 7

Soient G un groupe de Lie, M une variété de classe C^r, f et g des applications de classe C^r de M dans G, de sorte que fg est une application de classe C^r de M dans G. Soient m \in M, x = f(m), y = g(m), u \in T_m(M). On a

T(fg)u = T(f)u.y + x.T(g)u.

Soit m la multiplication de G. On a

fg = m \circ (f, g)

. Or

T(f, g)(u) = (T(f)u, T(g)u),

donc

T(fg)u = T(f)u.T(g)u

. Il suffit alors d’appliquer (1) où l’on remplace f par m.

Corollaire

Soit $n \in \mathbf{Z}$ . L’application tangente en e à l’application $g \mapsto g^n$ de G dans G est l’application $x \mapsto nx$ de $T_e(G)$ dans $T_e(G)$ .

Pour $n \geqslant 0$ , cela résulte par récurrence sur n de la prop. 7. D’autre part, l’application tangente en e à l’application $g \mapsto g^{-1}$ est l’application $x \mapsto -x$ (n° 1, prop. 2).

Soient G un groupe de Lie, X une variété de classe C^r, et $(g, x) \mapsto gx$ une loi d’opération à gauche de classe C^r de G dans X. Raisonnant comme pour la prop. 1, on en déduit une loi d’opération à gauche de classe C^{r-1} de T(G) dans T(X), que nous noterons encore $(u, v) \mapsto uv$ . Identifiant G (resp. X) à l’image de la section nulle de T(G) (resp. T(X)), on voit, d’après (6), que la loi d’opération à gauche de T(G) dans T(X) prolonge la loi d’opération à gauche de G dans X. Quels que soient $u \in T_g(G)$ et $v \in T_x(X)$ , on a, d’après (1),

uv = gv + ux.

g \in G

v \in T_x(X)

, gv est, d’après (3), l’image de v par l’application tangente en x à l’application

y \mapsto gy

de X dans X. Cette application tangente est un isomorphisme de

T_x(X)

sur

T_{gx}(X)

. En particulier,

g(v + v') = gv + gv', \quad g(\lambda v) = \lambda(gv) \quad \text{pour } v, v' \text{ dans } T_x(X), \lambda \in \mathbf{K}.

x \in X

u \in T_g(G)

, ux est, d’après (4), l’image de u par l’application tangente en g à l’application

h \mapsto hx

de G dans X. Donc

(u + u')x = ux + u'x, \quad (\lambda u)x = \lambda(ux) \quad \text{pour } u, u' \text{ dans } T_g(G), \lambda \in \mathbf{K}.

Ce qui précède s’applique au cas d’un groupe de Lie opérant dans lui-même par translations à gauche (resp. à droite). La loi d’opération correspondante de T(G) dans T(G) est définie par les translations à gauche (resp. à droite) du groupe de Lie T(G). Les formules (7), (8), (9) sont donc valables dans T(G).

Proposition 8

Soient $G_1$ et $G_2$ des groupes de Lie, $X_1$ et $X_2$ des variétés de classe C^r, $f_i$ une loi d’opération à gauche de classe C^r de $G_i$ dans $X_i$ ( $i = 1, 2$ ). Soient $\varphi$ un morphism de $G_1$ dans $G_2$ , $\psi$ un $\varphi$ -morphisme de $X_1$ dans $X_2$ . Alors $T(\psi)$ est un $T(\varphi)$ -morphisme de $T(X_1)$ dans $T(X_2)$ .

En effet, on a $f_2 \circ (\varphi \times \psi) = \psi \circ f_1$ , d’où

T(f_2) \circ (T(\varphi) \times T(\psi)) = T(\psi) \circ T(f_1).

Soient $G$ un groupe de Lie, $X$ une variété de classe $C^r$ , et $(g, x) \mapsto gx$ une loi d’opération à gauche de classe $C^r$ de $G$ dans $X$ . Soient $I$ une partie ouverte de $K$ contenant $0$ , et $\gamma : I \to G$ une application de classe $C^r$ telle que $\gamma(0) = e$ . Soit $a = T_0(\gamma)1 \in T_e(G)$ . Soit $x \in X$ . Compte tenu de (4), $ax$ est l’image, par l’application tangente à $\lambda \mapsto \gamma(\lambda)x$ , du vecteur tangent $1$ à $I$ en $0$ . Donc le champ de vecteurs $x \mapsto ax$ sur $X$ est le champ de vecteurs défini par l’application $(\lambda, x) \mapsto \gamma(\lambda)x$ au sens de VAR, R, 8.4.5.

3. Cas des groupuscules

Soient $(G, e, \theta, m)$ un groupuscule de Lie, $\Omega$ l’ensemble de définition de $m$ . Alors $T(\Omega)$ s’identifie à une partie ouverte de $T(G) \times T(G)$ , et $T(m)$ est une application analytique de $T(\Omega)$ dans $T(G)$ . On vérifie comme au n° 2 que $(T(G), 0_e, T(\theta), T(m))$ est un groupuscule de Lie. On note souvent multiplicativement les produits dans $G$ et $T(G)$ . La projection canonique de $T(G)$ dans $G$ est un morphisme de groupuscules de Lie. La restriction de $T_e(m)$ à $T_e(G)$ est l’addition de l’espace vectoriel $T_e(G)$ . La section nulle de $T(G)$ est un isomorphisme du groupuscule de Lie $G$ sur un sous-groupuscule de Lie de $T(G)$ qu’on identifie à $G$ . Si $f$ est un morphisme de $G$ dans un groupuscule de Lie $H$ , $T(f) : T(G) \to T(H)$ est un morphisme de groupuscules de Lie.

L’application $\varphi : (g, u) \mapsto gu$ de $G \times T_e(G)$ dans $T(G)$ est un isomorphisme du fibré vectoriel trivial $G \times T_e(G)$ de base $G$ sur le fibré vectoriel $T(G)$ ; en effet, $\varphi$ et $\varphi^{-1}$ sont analytiques, et sont des morphismes de fibration, de sorte qu’il suffit d’appliquer VAR, R, 7.2.1. (On pourrait aussi adapter la démonstration du n° 2.) L’isomorphisme $\varphi^{-1}$ s’appelle la trivialisation gauche de $T(G)$ . L’isomorphisme réciproque de l’application $(g, u) \mapsto ug$ s’appelle la trivialisation droite.

Soient $X$ une variété de classe $C^r$ , $\psi$ un morceau de loi d’opération à gauche de classe $C^r$ de $G$ dans $X$ . Alors $T(\psi)$ est un morceau de loi d’opération à gauche de classe $C^{r-1}$ de $T(G)$ dans $T(X)$ , prolongeant $\psi$ . Les formules (7), (8), (9) restent valables si $gx$ est défini. Si $I$ est une partie ouverte de $K$ contenant $0$ , si $\gamma : I \to G$ est une application de classe $C^r$ telle que $\gamma(0) = e$ , et si $a = T_0(\gamma)1$ , le champ de vecteurs $x \mapsto ax$ , défini sur $X$ , est le champ de vecteurs défini par l’application $(\lambda, x) \mapsto \gamma(\lambda)x$ au sens de VAR, R, 8.4.5.