(i) $[H, X^n] = 2nX^n$ với mọi số nguyên $n\geq 0$.

(ii) Nếu $Z$ là một phần tử của A sao cho $[Z, X] =H$, thì, với mọi số nguyên $n >0$,

Ánh xạ $T \rightarrow [H, T]$ từ A vào A là một đạo hàm, điều đó suy ra (i). Với các giả thiết trong (ii),

Mặt khác, $X^{n-1}(H+n-1) = (H-n+ 1)X^{n-1}$ theo (i). Q.E.D.

Nhớ rằng ta ký hiệu bởi $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ đại số Lie gồm các ma trận vuông cấp 2, vết không, và với các phần tử trong $k$. Đại số Lie này là đơn, chiều 3 (Chap. I, §6, no. 7, Ví dụ). Cơ sở chính tắc của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ là cơ sở $(X_+, X_-, H)$, trong đó

$(01)($ 0 $0)(1$ 0 $)$

$X_+=$ 0 0 $X_-=-1$ 0 $H=$ 0 $-1$.

Ta có

Vì biểu diễn đồng nhất của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ là đơn ánh, $H$ là một phần tử nửa đơn của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ và $X_+, X_-$ là những phần tử lũy linh của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ (Chap. I, §6, no. 3, Định lý 3). Theo Chap. VII, §2, no. 1, Ví dụ $4,kH$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$. Ánh xạ $U \rightarrow -^tU$ là một tự đẳng cấu đối hợp của đại số Lie $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$, được gọi là đối hợp chính tắc của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$; nó biến $(X_+, X_-, H)$ thành $(X_-, X_+,-H)$.

Các hệ thức thứ nhất và thứ ba suy ra từ Bổ đề 1. Các hệ thức khác có thể được suy ra từ chúng bằng cách dùng phép đối hợp chính tắc của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$.

Thật vậy, $HX_+x= [H, X_+]x+X_+Hx= 2X_+x+X_+\lambda x= (\lambda + 2)X_+x$, và tương tự $HX_-x= (\lambda -2)X_-x$ (xem thêm cả Chap. VII, §1, no. 3, Mệnh đề 10 (ii)).

Vì $X_+$ là một phần tử lũy linh của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k),X_{+E}$ là lũy linh. Giả sử rằng $X_{+E}^{m-1}\not= 0$ và $X_{+E}^m$ = 0. Theo Bổ đề 2,

và do đó các phần tử của $X_+^{m-1}(E)$-- $\{0\}$ là nguyên thủy.

Công thức thứ nhất suy ra từ Bổ đề 3, và công thức thứ hai suy ra từ định nghĩa của các $e_n$. Ta chứng minh công thức thứ ba bằng quy nạp theo $n$. Nó được thỏa mãn với $n= 0$ vì $e_{-1}= 0$. Nếu $n >0$,

Điều này suy ra từ các công thức (2).

Các số nguyên $n\geq 0$ sao cho $e_n\not= 0$ tạo thành một khoảng trong $\mathbf{N}$, và các phần tử tương ứng $e_n$ lập thành một cơ sở trên $k$ của môđun con sinh bởi $e$ (thật vậy, chúng độc lập tuyến tính vì chúng là các phần tử khác không có các trọng số phân biệt). Cơ sở này sẽ được gọi là liên kết với phần tử nguyên thủy $e$.

(i) trọng số $\lambda$ của $e$ là nguyên và bằng dim $V-1$;

(ii) $(e_0, e_1, . . . , e_{\lambda})$ là một cơ sở của V, và $e_n= 0$ với $n > \lambda$;

(iii) các giá trị riêng của $H_V$ là $\lambda , \lambda -2, \lambda -4, . . . ,-\lambda$; tất cả đều có bội số 1;

(iv) mọi phần tử nguyên thủy của V đều tỉ lệ với $e$;

(v) hoán tập của môđun V thu về các vô hướng; đặc biệt, V là đơn tuyệt đối.

Gọi $m$ là số nguyên lớn nhất sao cho $e_m\not= 0$. Khi đó $0 =X_+e_{m+1}=$ $(\lambda -m)e_m$, nên $\lambda =m$; vì $(e_0, e_1, . . . , e_m)$ là một cơ sở của V, điều này chứng minh (i) và (ii). Mệnh đề (iii) suy ra từ đẳng thức $He_n= (\lambda -2n)e_n$. Ta có $X_+e_n\not= 0$ với $1\leq n\leq m$, do đó có (iv). Gọi $c$ là một phần tử của hoán tập của môđun V. Khi đó $Hc(e) =cH(e) =\lambda c(e)$, nên tồn tại $\mu\in k$ sao cho $c(e) =\mu e$; khi đó

với mọi $q\geq 0$, nên $c=\mu.1$, điều đó chứng minh (v).

(i) Tự đồng cấu $H_E$ chéo hóa được và các giá trị riêng của nó là các số nguyên.

(ii) Với mọi $p\in \mathbf{Z}$, gọi $E_p$ là không gian riêng của $H_E$ tương ứng với trị riêng $p$. Cho $i$ là một số nguyên $\geq 0$. Ánh xạ $X_{-E}^i|E_p: E_p\rightarrow E_{p-2i}$ là đơn ánh với $i\leq p$, song ánh với $i=p$, và toàn ánh với $i\geq p$. Ánh xạ $X_{+E}^i|E_{-p}: E_{-p}\rightarrow E_{-p+2i}$ là đơn ánh với $i\leq p$, song ánh với $i=p$, và toàn ánh với $i\geq p$.

(iii) Độ dài của E bằng chiều của Ker$X_{+E}$ và chiều của Ker$X_{-E}$.

(iv) Gọi $E'$ (tương ứng, $E''$) là tổng của các $E_p$ với $p$ chẵn (tương ứng, lẻ). Khi đó $E'$ (tương ứng, $E''$) là tổng của các môđun con đơn của E có chiều lẻ (tương ứng, chẵn); và $E = E'\oplus E''$. Độ dài của $E'$ là chiều của $E_0$, và độ dài của $E''$ là chiều của $E_1$.

(v) Ker$X_{+E}\cap$ Im$X_{+E}\subset \sum_{p>0}E_p$ và Ker$X_{-E}\cap$ Im$X_{-E}\subset \sum_{p<0}E_p$.

Nếu E đơn, thì E được sinh bởi một phần tử nguyên thủy (Bổ đề 4), và chỉ cần áp dụng các Mệnh đề 1 và 2. Trường hợp tổng quát suy ra vì mọi $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun hữu hạn chiều đều là nửa đơn.

Ta có $X_+u^m= 0$ và $Hu^m=mu^m$, nên $u^m$ là nguyên thủy có trọng số $m$. Môđun con của $V(m)$ sinh bởi $u^m$ có số chiều hữu hạn $m+ 1$ (Mệnh đề 2 (i)) và do đó bằng $V(m)$. Theo Mệnh đề 2 (v), $V(m)$ là đơn tuyệt đối.

Điều này suy ra từ Bổ đề 4 và các Mệnh đề 1, 2 và 3.

Ánh xạ này rõ ràng là tuyến tính, và nó là đơn ánh vì $u^m$ sinh ra $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun $V(m)$. Nếu $f\in L$,

do đó $f(u^m)\in P_m\cup \{0\}$. Cho $e\in P_m$, và V là môđun con của E sinh bởi $e$. Theo Mệnh đề 1, tồn tại một đẳng cấu từ môđun $V(m)$ lên môđun V biến $u^m$ thành $e$. Khi đó $L(u^m) = P_m\cup \{0\}$.

dim(P$_m\cup \{0\}$.

(i) Tồn tại một biểu diễn tuyến tính duy nhất $\pi$ của $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ trên E tương thích với $\rho$.

(ii) Một không gian con vectơ F của E là ổn định dưới $\pi$ khi và chỉ khi nó ổn định dưới $\rho$.

(iii) Cho $x\in E$. Khi đó $\pi (s)x=x$ với mọi $s\in \mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ khi và chỉ khi $x$ là bất biến dưới $\rho ($nghĩa là, $\rho (a)x= 0$ với mọi $a\in \mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k))$.

Sự tồn tại của $\pi$ suy ra từ điều trước và Đl. 1. Mặt khác, ta biết rằng nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ được sinh bởi các phần tử có dạng

$e^+=e$ =

0 1 $t$ 1

trong đó $t\in k($đại số, Chương III, §8, no. 9, Mệnh đề 17). Điều này chứng minh tính duy nhất của $\pi$.

Các khẳng định (ii) và (iii) suy ra từ những điều ta đã nói, cùng với Chương VII, §3, no. 1, Bổ đề 1 (i). C.Q.F.D.

Vì vậy, mọi $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun hữu hạn chiều đều có một cấu trúc môđun $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ duy nhất, được gọi là liên kết với cấu trúc môđun $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$) của nó.

(i) $f$ là một đồng cấu của các $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$-môđun;

(ii) $f$ là một đồng cấu của các $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$-môđun.

Điều kiện (i) có nghĩa là $f$ là một phần tử bất biến của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun Hom$_k(E,F)$, và điều kiện (ii) có nghĩa là $f$ là một phần tử bất biến của $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k$)-môđun Hom$_k(E,F)$. Vì các cấu trúc môđun này được liên kết bởi Chương VII, §5, no. 4, Bổ đề 1 (iii), mệnh đề suy ra từ Định lý 2 (iii).

(i) $\theta (t)_E|E_p$ là một song ánh từ $E_p$ lên $E_{-p}$.

(ii) $h(t)_E|E_p$ là phép vị tự có tỷ số $t^p$ trên $E_p$.

Nếu $E = V(n)$, mệnh đề suy ra từ các công thức (4) và (6). Trường hợp tổng quát suy ra từ Định lý 1.

0 $-1$

và bởi $-1$ trên $E''$.

Điều này suy ra từ (ii), áp dụng cho $t=-1$.