Bourbaki

§ 1. Hệ nghiệm

Trong đoạn này, kk ký hiệu một trường có đặc số không. Từ no. 3 trở đi, ta giả sử rằng k=Rk = \mathbf{R}.

1. Định nghĩa của một hệ nghiệm

Bổ đề 1

Cho VV là một không gian vectơ trên kk, RR là một tập con hữu hạn của VV sinh ra VV. Với mọi α∈R\alpha \in R sao cho α≠0\alpha \neq 0, tồn tại nhiều nhất một phép phản xạ ss của VV sao cho s(α)=−αs(\alpha) = -\alpha và s(R)=Rs(R) = R.

Cho GG là nhóm các tự đẳng cấu của VV giữ RR ổn định. Vì RR sinh ra VV, GG đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng của RR, và do đó là hữu hạn. Cho s,s′s, s' là các phép phản xạ của VV sao cho s(α)=s′(α)=−αs(\alpha) = s'(\alpha) = -\alpha, s(R)=Rs(R) = R, s′(R)=Rs'(R) = R. Khi đó t=ss′t = ss' thuộc GG, và do đó có cấp hữu hạn mm. Mặt khác,

t(α)=αvaˋt(x)≡xmod  .kαvới mọi x∈V. t(\alpha) = \alpha \quad \text{và} \quad t(x) \equiv x \mod. k\alpha \quad \text{với mọi } x \in V.

Suy ra tồn tại một dạng tuyến tính ff trên VV sao cho

t(x)=x+f(x)αvới mọi x∈V t(x) = x + f(x)\alpha \quad \text{với mọi } x \in V

và f(α)=0f(\alpha) = 0. Theo quy nạp trên nn, suy ra rằng

tn(x)=x+nf(x)α với mọi x∈V. t^n(x) = x + nf(x)\alpha \text{ với mọi } x \in V.

Lấy nn bằng mm, ta thấy rằng mf(x)=0mf(x) = 0 với mọi x∈Vx \in V, do đó f=0f = 0, t=1t = 1 và s=s′s = s'.

Định nghĩa 1

Cho VV là một không gian vectơ trên kk, và RR là một tập con của VV. Khi đó RR được gọi là một hệ nghiệm trong VV nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(RS_I) RR là hữu hạn, không chứa 0, và sinh ra VV. (RS_{II}) Với mọi α∈R\alpha \in R, tồn tại một phần tử α∨\alpha^\vee của đối ngẫu V∗V^* của VV sao cho ⟨α,α∨⟩=2\langle \alpha, \alpha^\vee \rangle = 2 và phép phản xạ sα,α∨s_{\alpha, \alpha^\vee} (xem Chương V, § 2) giữ RR ổn định.

(RS_{\text{III}}) Với mọi α∈R\alpha \in \mathbf{R}, α∼(R)⊆Z\alpha^{\sim}(R) \subseteq \mathbf{Z}.

Theo Bổ đề 1, phép đối xứng sα,α∼s_{\alpha,\alpha^{\sim}} (và do đó cả dạng tuyến tính α∼\alpha^{\sim}) được xác định duy nhất bởi α\alpha, nên (RS_{\text{III}}) có nghĩa. Ta đặt sα,α∼=sαs_{\alpha,\alpha^{\sim}} = s_{\alpha}. Khi đó sα(x)=x−⟨α∼,x⟩αs_{\alpha}(x) = x - \langle \alpha^{\sim}, x \rangle \alpha với mọi x∈Vx \in V.

Các phần tử của R được gọi là các nghiệm (của hệ đang xét). Chiều của V được gọi là hạng của hệ.

Các tự đẳng cấu của V giữ R ổn định được gọi là các tự đẳng cấu của R. Chúng tạo thành một nhóm hữu hạn ký hiệu là A(R). Nhóm con của A(R) sinh bởi các sαs_{\alpha} được gọi là nhóm Weyl của R và được ký hiệu bởi W(R), hoặc đơn giản là W.

Nhận xét 1

Cho k′k' là một mở rộng của kk. Đồng nhất một cách chính tắc V với một tập con của V⊗k′V \otimes k' và V∗V^* với một tập con của V∗⊗k′=(V⊗k′)∗V^* \otimes k' = (V \otimes k')^*. Khi đó, R là một hệ nghiệm trong V⊗k′V \otimes k', và các α∼\alpha^{\sim} cũng giống như trước.

Bổ đề 2

Cho R là một hệ nghiệm trong V. Cho (x∣y)(x|y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V, không suy biến và bất biến dưới W(R). Đồng nhất V với V∗V^* nhờ dạng này. Nếu α∈R\alpha \in R, thì α\alpha là không đẳng hướng và

α∼=2α(α∣α). \alpha^{\sim} = \frac{2\alpha}{(\alpha|\alpha)}.

Điều này suy ra từ công thức (4) của Chương V, § 2, no. 3.

Mệnh đề 1

Cho VQV_Q (tương ứng VQ∗V_Q^*) là không gian con Q-vectơ của V (tương ứng V∗V^*) sinh bởi các α\alpha (tương ứng các α∼\alpha^{\sim}). Khi đó VQV_Q (tương ứng VQ∗V_Q^*) là một cấu trúc Q trên V (tương ứng V∗V^*) (Đại số, Chương II, § 8, no. 1). Hạn chế của dạng song tuyến tính chính tắc trên VQ×VQ∗V_Q \times V_Q^* của V×V∗V \times V^* cho một sự đồng nhất mỗi không gian VQ,VQ∗V_Q, V_Q^* với đối ngẫu của không gian kia. Tập hợp R là một hệ nghiệm trong VQV_Q.

Nếu k=Rk = \mathbf{R}, tồn tại một tích vô hướng trên V bất biến dưới tác dụng của W(R) (Integration, Chap. VII, § 3, no. 1, Prop. 1); Bổ đề 2 chỉ ra rằng các α∼\alpha^{\sim} sinh V∗V^*. Theo Nhận xét 1, các α∼\alpha^{\sim} lại sinh V∗V^* nếu k=Qk = \mathbf{Q}. Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát. Đặt E = VQV_Q. Theo (RS_{\text{III}}), mỗi α∼\alpha^{\sim} ánh xạ E vào Q\mathbf{Q}, và do đó xác định một phần tử α~\tilde{\alpha} của E∗E^*. Điều này là ngay lập tức rằng R là một hệ nghiệm trong E, và rằng phần tử tương ứng với α\alpha trong E∗E^* là α~\tilde{\alpha}. Theo điều đã nói ở trên, các α~\tilde{\alpha} sinh không gian vectơ E∗E^*. Xét đồng cấu chính tắc i:E⊗Qk→Vi : E \otimes_Q k \to V, và chuyển vị của nó ti:V∗→E∗⊗Qk^t i : V^* \to E^* \otimes_Q k. Vì R sinh V, ti^t i là đơn ánh; nhưng ảnh của ti^t i chứa các α~\tilde{\alpha}, nên ti^t i là toàn ánh. Từ đó ta kết luận cuối cùng rằng i và ti^t i là các đẳng cấu. Do đó ta có thể đồng nhất V với E⊗kE \otimes k, V∗V^* với E∗⊗kE^* \otimes k, α∼\alpha^{\sim} với α~\tilde{\alpha}, và VQ∗V_Q^* với E∗E^*. Như vậy, VQV_Q (resp. VQ∗V_Q^*) là một cấu trúc Q trên V (resp. V∗V^*). Hạn chế xuống VQ×VQ∗V_Q \times V_Q^* của dạng song tuyến tính chính tắc trên V×V∗V \times V^* có thể được đồng nhất với dạng song tuyến tính chính tắc trên E×E∗E \times E^*, do đó ta có mệnh đề.

Nhận xét 2

Mệnh đề 1 quy việc nghiên cứu các hệ nghiệm về trường hợp k=Qk = \mathbf{Q}. Nhận xét 1 quy tiếp nó về việc nghiên cứu các hệ nghiệm trong không gian vectơ thực VR=VQ⊗QRV_{\mathbf{R}} = V_{\mathbf{Q}} \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{R}. Các nhóm Weyl liên kết với các hệ khác nhau này được đồng nhất một cách chính tắc.

Nhận xét 3

Vì các α~\alpha \tilde{} sinh V∗V^*, nhóm W(R)W(R), được xem như một nhóm con của GL(VR)\mathbf{GL}(V_{\mathbf{R}}), là cốt yếu (Chap. V, § 3, no. 7). Hơn nữa, Hệ quả của Định lý 1 của Chap. V, § 3, no. 2 chỉ ra rằng các phép phản xạ duy nhất thuộc W(R)W(R) là các sαs_{\alpha}.

Mệnh đề 2

Các α~\alpha \tilde{} tạo thành một hệ nghiệm trong V∗V^*, và α~=α\alpha \tilde{} = \alpha với mọi α∈R\alpha \in R.

Các α~\alpha \tilde{} thỏa mãn (RS_I) theo Mệnh đề 1. Vì sα,α~s_{\alpha, \alpha \tilde{}} là một tự đẳng cấu của không gian vectơ VV được trang bị tập con RR, t(sα,α~)−1{}^t(s_{\alpha, \alpha \tilde{}})^{-1} giữ ổn định tập hợp R~R \tilde{} của các α~\alpha \tilde{}; nhưng t(sα,α~)−1=sα~,α{}^t(s_{\alpha, \alpha \tilde{}})^{-1} = s_{\alpha \tilde{}, \alpha}, điều này chứng minh rằng R~R \tilde{} thỏa mãn (RS_{II}) và rằng α~=α\alpha \tilde{} = \alpha. Cuối cùng, ⟨α~,β⟩∈Z\langle \alpha \tilde{}, \beta \rangle \in \mathbf{Z} với mọi α~∈R~\alpha \tilde{} \in R \tilde{} và β∈R\beta \in R, do đó R~R \tilde{} thỏa mãn (RS_{III}).

Tập hợp R~R \tilde{} được gọi là hệ nghiệm nghịch đảo của RR. Ánh xạ α↦α~\alpha \mapsto \alpha \tilde{} là một song ánh từ RR đến R~R \tilde{}, được gọi là song ánh chính tắc từ RR đến R~R \tilde{}. Chú ý rằng, nếu α,β\alpha, \beta là các phần tử của RR sao cho α+β∈R\alpha + \beta \in R, thì nói chung (α+β)~≠α~+β~(\alpha + \beta) \tilde{} \neq \alpha \tilde{} + \beta \tilde{}.

Vì sα(α)=−αs_{\alpha}(\alpha) = -\alpha, tiên đề (RS_{II}) cho thấy rằng −R=R-R = R. Hiển nhiên (−α)~=−α~(-\alpha) \tilde{} = -\alpha \tilde{} và −1∈A(R)-1 \in A(R) (nhưng không phải lúc nào cũng đúng rằng −1∈W(R)-1 \in W(R)).

Đẳng thức t(sα,α~)−1=sα~,α{}^t(s_{\alpha, \alpha \tilde{}})^{-1} = s_{\alpha \tilde{}, \alpha} cho thấy rằng ánh xạ u↦tu−1u \mapsto {}^t u^{-1} là một đẳng cấu từ nhóm W(R)W(R) đến nhóm W(R~)W(R \tilde{}). Ta đồng nhất hai nhóm này bằng đẳng cấu này; nói cách khác, ta xét W(R)W(R) như tác động đồng thời trong VV và trong V∗V^*. Tương tự đối với A(R)A(R).

Mệnh đề 3

Với x,y∈Vx, y \in V, đặt*

(x∣y)=∑α∈R⟨α~,x⟩⟨α~,y⟩. (x|y) = \sum_{\alpha \in R} \langle \alpha \tilde{}, x \rangle \langle \alpha \tilde{}, y \rangle.
Khi đó (x∣y)(x|y) là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên VV, bất biến dưới tác động của A(R)A(R). Với x,y∈VQx, y \in V_{\mathbf{Q}} ta có (x∣y)∈Q(x|y) \in \mathbf{Q}. Mở rộng chính tắc của (x∣y)(x|y) đến
VR=VQ⊗QR V_{\mathbf{R}} = V_{\mathbf{Q}} \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{R}
là không suy biến và dương.

Hiển nhiên (x∣y)(x|y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên VV. Nếu g∈A(R)g \in A(R),

(g(x)∣g(y))=∑α∈R⟨tg(α~),x⟩⟨tg(α~),y⟩=(x∣y) (g(x)|g(y)) = \sum_{\alpha \in R} \langle {}^t g(\alpha \tilde{}), x \rangle \langle {}^t g(\alpha \tilde{}), y \rangle = (x|y)
vì tg)(R~)=R~{}^t g)(R \tilde{}) = R \tilde{}. Nếu x,y∈VQx, y \in V_{\mathbf{Q}}, thì (x∣y)∈Q(x|y) \in \mathbf{Q} theo (RS_{III}). Nếu z∈VRz \in V_{\mathbf{R}}, thì (z∣z)=∑α∈R⟨α~,z⟩2≥0(z|z) = \sum_{\alpha \in R} \langle \alpha \tilde{}, z \rangle^2 \geq 0, và (z∣z)>0(z|z) > 0 nếu z≠0z \neq 0 theo Mệnh đề 1, do đó mở rộng chính tắc của (x∣y)(x|y) lên VRV_{\mathbf{R}} là dương và không suy biến. Hạn chế của (x∣y)(x|y) trên VQV_{\mathbf{Q}} do đó là không suy biến, và vì thế dạng (x∣y)(x|y) trên VV là không suy biến.

Mệnh đề 4

(i) *Cho XX là một tập con của R\mathbf{R}, cho VXV_X là không gian con vectơ của VV sinh bởi XX, và cho VX′V'_X là không gian con vectơ của V∗V^* sinh bởi các α−\alpha^-, với α∈X\alpha \in X. Khi đó VV là tổng trực tiếp của VXV_X và phần bù trực giao của VX′V'_X; V∗V^* là tổng trực tiếp của VX′V'_X và phần bù trực giao của VXV_X, và VX′V'_X được đồng nhất với đối ngẫu của VXV_X.

(ii) R∩VXR \cap V_X là một hệ nghiệm trong VXV_X, và song ánh chính tắc từ R∩VXR \cap V_X đến hệ nghiệm nghịch đảo của nó được đồng nhất với hạn chế của ánh xạ α↦α−\alpha \mapsto \alpha^- trên R∩VXR \cap V_X.

Theo Nhận xét 2, ta có thể giả sử rằng k=Rk = \mathbf{R}. Đồng nhất VV với V∗V^* bằng dạng song tuyến tính đối xứng của Mệnh đề 3. Ta có α−=2α(α∣α)\alpha^- = \frac{2\alpha}{(\alpha|\alpha)} với mọi α∈R\alpha \in R (Bổ đề 2). Mọi không gian con vectơ của VV đều không đẳng hướng, và mệnh đề bây giờ là hiển nhiên.

Hệ quả

Cho V1V_1 là một không gian con vectơ của VV, và cho V2V_2 là không gian con vectơ sinh bởi R∩V1R \cap V_1. Khi đó R∩V1R \cap V_1 là một hệ nghiệm trong V2V_2.

Điều này suy ra từ (ii) áp dụng cho X=R∩V1X = R \cap V_1.

Với α,β∈R\alpha, \beta \in R, đặt

⟨α,β−⟩=n(α,β). \langle \alpha, \beta^- \rangle = n(\alpha, \beta).
(1)

Khi đó

n(α,α)=2 n(\alpha, \alpha) = 2
(2)
n(−α,β)=n(α,−β)=−n(α,β). n(-\alpha, \beta) = n(\alpha, -\beta) = -n(\alpha, \beta).
(3)

Theo (RSIII),

n(α,β)∈Z. n(\alpha, \beta) \in \mathbf{Z}.
(4)

Theo định nghĩa của n(α,β)n(\alpha, \beta),

sβ(α)=α−n(α,β)β. s_\beta(\alpha) = \alpha - n(\alpha, \beta)\beta.
(5)

Công thức (1) và Mệnh đề 2 suy ra rằng

n(α,β)=n(β−,α−). n(\alpha, \beta) = n(\beta^-, \alpha^-).
(6)

Cho (x∣y)(x|y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên VV, không suy biến và bất biến dưới W(R)W(R) (Mệnh đề 3). Theo Bổ đề 2,

n(α,β)=2(α∣β)(β∣β). n(\alpha, \beta) = \frac{2(\alpha|\beta)}{(\beta|\beta)}.
(7)

Suy ra rằng

n(α,β)=0  ⟺  n(β,α)=0  ⟺  (α∣β)=0  ⟺  sα vaˋ sβ giao hoaˊn. n(\alpha, \beta) = 0 \iff n(\beta, \alpha) = 0 \iff (\alpha|\beta) = 0 \iff s_\alpha \text{ và } s_\beta \text{ giao hoán.}
(8)

Nếu (α∣β)≠0(\alpha|\beta) \neq 0, thì

n(β,α)n(α,β)=(β∣β)(α∣α). \frac{n(\beta, \alpha)}{n(\alpha, \beta)} = \frac{(\beta|\beta)}{(\alpha|\alpha)}.
(9)

2. Tổng trực tiếp của các hệ nghiệm

Cho V là một không gian vectơ trên kk là tổng trực tiếp của một họ (Vi)1≤i≤r(V_i)_{1 \leq i \leq r} các không gian vectơ. Đồng nhất V∗V^* với tổng trực tiếp của các Vi∗V_i^*. Với mọi ii, cho RiR_i là một hệ nghiệm trong ViV_i. Khi đó R=⋃iRiR = \bigcup_i R_i là một hệ nghiệm trong V có hệ ngược là R−=⋃iRi−R^- = \bigcup_i R_i^-; song ánh chính tắc từ R đến R−R^- mở rộng, với mọi ii, song ánh chính tắc từ RiR_i đến Ri−R_i^-. Tập hợp R được gọi là tổng trực tiếp của các hệ nghiệm RiR_i. Cho α∈Ri\alpha \in R_i. Nếu j≠ij \neq i, hạt nhân của α−\alpha^- chứa VjV_j, do đó sαs_\alpha cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên VjV_j; mặt khác, kα⊆Vik\alpha \subseteq V_i, nên sαs_\alpha giữ ViV_i ổn định. Các nhận xét này chỉ ra rằng W(R)W(R) có thể được đồng nhất với ∏i=1rW(Ri)\prod_{i=1}^r W(R_i).

Một hệ nghiệm R được gọi là bất khả quy nếu R≠∅R \neq \varnothing và nếu R không là tổng trực tiếp của hai hệ nghiệm khác rỗng.

Mệnh đề 5

Cho V là một không gian vectơ trên k là tổng trực tiếp của các không gian vectơ* V1,…,VrV_1, \ldots, V_r. Cho R là một hệ nghiệm trong V. Đặt Ri=R∩ViR_i = R \cap V_i. Ba điều kiện sau là tương đương:

(i) các ViV_i ổn định dưới W(R)W(R); (ii) R⊆V1∪V2∪⋯∪VrR \subseteq V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_r; (iii) với mọi ii, RiR_i là một hệ nghiệm trong ViV_i, và R là tổng trực tiếp của các RiR_i. (iii) ⟹\Longrightarrow (i): điều này suy ra từ điều đã nói ở đầu số này.

(i) ⟹\Longrightarrow (ii): giả sử rằng các ViV_i ổn định dưới W(R)W(R). Cho α∈R\alpha \in R và cho H là hạt nhân của α−\alpha^-. Theo Mệnh đề 3 của Chương V, § 2, no. 2, mỗi ViV_i là tổng của một không gian con của H và một không gian con của kαk\alpha. Do đó một trong các ViV_i chứa kαk\alpha, vậy α∈V1∪V2∪⋯∪Vr\alpha \in V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_r.

(ii) ⟹\Longrightarrow (iii): nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, RiR_i sinh ra ViV_i với mọi ii, do đó RiR_i là một hệ nghiệm trong ViV_i (Mệnh đề 4). Rõ ràng rằng R là tổng trực tiếp của các RiR_i.

Hệ quả

Cho R là một hệ nghiệm trong V. Các điều kiện sau là tương đương*: (i) R là bất khả quy; (ii) V là W(R)W(R)*-môđun đơn*; (iii) V là W(R)W(R)*-môđun đơn tuyệt đối*. (ii) ⟺\Longleftrightarrow (i): điều này suy ra từ Mệnh đề 5 và Định lý Maschke (Chương V, Phụ lục, Mệnh đề 2). (iii) ⟺\Longleftrightarrow (ii): điều này suy ra từ Mệnh đề 1 của Chương V, § 2, no. 1.

Mệnh đề 6

Mọi hệ nghiệm* R trong V là tổng trực tiếp của một họ (Ri)i∈I(R_i)_{i \in I} các hệ nghiệm bất khả quy và duy nhất sai khác một song ánh của tập chỉ số.

Sự tồn tại của các RiR_i được chứng minh bằng quy nạp theo Card R: nếu R không rỗng và không bất khả quy, R là tổng trực tiếp của hai hệ nghiệm R′,R′′R', R'' sao cho Card R′<R' < Card RR, Card R′′<R'' < Card RR, và giả thiết quy nạp áp dụng cho R′R' và R′′R''. Để chứng minh tính duy nhất, chỉ cần chứng minh rằng, nếu RR là tổng trực tiếp của R′R' và R′′R'', mọi RiR_i nhất thiết được chứa trong R′R' hoặc trong R′′R''. Cho V′,V′′,Vi′,Vi′′V', V'', V'_i, V''_i là các không gian con vectơ của VV được sinh bởi R′,R′′,R′∩Ri,R′′∩RiR', R'', R' \cap R_i, R'' \cap R_i. Vì tổng V′+V′′V' + V'' là trực tiếp, tổng Vi′+Vi′′V'_i + V''_i là trực tiếp. Vì Ri⊆R′∪R′′R_i \subseteq R' \cup R'', RiR_i là tổng trực tiếp của các hệ nghiệm R′∩RiR' \cap R_i và R′′∩RiR'' \cap R_i; do đó hoặc R′∩Ri=∅R' \cap R_i = \varnothing hoặc R′′∩Ri=∅R'' \cap R_i = \varnothing, điều này chứng minh mệnh đề.

Các RiR_i được gọi là các thành phần bất khả quy của RR. Với mọi vô hướng khác không λi\lambda_i, hợp của các λiRi\lambda_i R_i là một hệ nghiệm trong VV, có hệ ngược là hợp của các λi−1Ri\lambda_i^{-1} R_i, và có nhóm Weyl là W(R)W(R).

Mệnh đề 7

Cho RR là một hệ nghiệm trong VV, (Ri)(R_i) là họ các thành phần bất khả quy của nó, ViV_i là không gian con vectơ của VV được sinh bởi RiR_i, BB là dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên VV được xác định trong Mệnh đề 3, và B′B' là một dạng song tuyến tính đối xứng trên VV bất biến dưới tác động của W(R)W(R). Khi đó các ViV_i trực giao từng đôi một đối với B′B', và, với mọi ii, các hạn chế của BB và B′B' lên ViV_i tỉ lệ với nhau.

Nếu vi∈Vi,vj∈Vj,i≠jv_i \in V_i, v_j \in V_j, i \neq j, và nếu w∈W(Rj)w \in W(R_j), thì

B′(vi,w(vj))=B′(vi,vj), B'(v_i, w(v_j)) = B'(v_i, v_j),
điều này cho thấy rằng w(vj)−vjw(v_j) - v_j trực giao với viv_i đối với B′B'. Vì VjV_j là bất khả quy đối với W(Rj)W(R_j), nó được sinh bởi các w(vj)−vjw(v_j) - v_j, và do đó nó trực giao với ViV_i.

Sự kiện rằng các hạn chế của BB và B′B' lên mỗi ViV_i là tỉ lệ với nhau suy ra từ Mệnh đề 1 của Chương V, § 2, no. 1.

Nhận xét

Chọn một tích vô hướng trên VRV_R bất biến dưới W(R)W(R). Khi đó có thể nói về độ dài của một nghiệm và góc giữa hai nghiệm. Mệnh đề 7 cho thấy rằng góc này độc lập với lựa chọn tích vô hướng, cũng như tỉ số độ dài của hai nghiệm, với điều kiện chúng thuộc cùng một thành phần bất khả quy của RR.

3. Quan hệ giữa hai nghiệm

Nhắc lại rằng từ nay về sau ta giả sử rằng k=Rk = \mathbf{R}. (Ta để cho độc giả nhiệm vụ mở rộng các định nghĩa và kết quả sang trường hợp tổng quát, bằng cách sử dụng phương pháp được chỉ ra trong Nhận xét 2 của no. 1.)

Trong toàn bộ phần sau, RR ký hiệu một hệ nghiệm trong một không gian vectơ VV; và VV được trang bị một tích vô hướng (x,y)↦(x∣y)(x, y) \mapsto (x|y) bất biến dưới W(R)W(R), cf. Mệnh đề 3.

Cho α,β∈R\alpha, \beta \in R. Theo công thức (7) của no. 1,

n(α,β)n(β,α)=4cos⁡2(α,β^)≤4. n(\alpha, \beta)n(\beta, \alpha) = 4 \cos^2 (\widehat{\alpha, \beta}) \leq 4.

Do đó, số nguyên n(α,β)n(β,α)n(\alpha, \beta)n(\beta, \alpha) phải nhận một trong các giá trị 0, 1, 2, 3, 4. Theo Chương V, § 2, no. 5, Hệ quả của Mệnh đề 6, và chú thích cuối trang ở trang của Chương V, § 4, no. 8, ta thấy rằng các khả năng duy nhất là sau đây, sai khác bởi đổi chỗ α\alpha và β\beta:

1) n(α,β)=n(β,α)=0;n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha) = 0;

(α,β‾)=π2;sαsβ coˊ caˆˊp 2; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{\pi}{2}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 2;
2) n(α,β)=n(β,α)=1;n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha) = 1;
(α,β‾)=π3;sαsβ coˊ caˆˊp 3; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{\pi}{3}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 3;
∥α∥=∥β∥; \| \alpha \| = \| \beta \|;
3) n(α,β)=n(β,α)=−1;n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha) = -1;
(α,β‾)=2π3;sαsβ coˊ caˆˊp 3; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{2\pi}{3}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 3;
∥α∥=∥β∥; \| \alpha \| = \| \beta \|;
4) n(α,β)=1, n(β,α)=2;n(\alpha, \beta) = 1,\ n(\beta, \alpha) = 2;
(α,β‾)=π4;sαsβ coˊ caˆˊp 4; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{\pi}{4}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 4;
∥β∥=2 ∥α∥; \| \beta \| = \sqrt{2}\ \| \alpha \|;
5) n(α,β)=−1, n(β,α)=−2;n(\alpha, \beta) = -1,\ n(\beta, \alpha) = -2;
(α,β‾)=3π4;sαsβ coˊ caˆˊp 4; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{3\pi}{4}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 4;
∥β∥=2 ∥α∥; \| \beta \| = \sqrt{2}\ \| \alpha \|;
6) n(α,β)=1, n(β,α)=3;n(\alpha, \beta) = 1,\ n(\beta, \alpha) = 3;
(α,β‾)=π6;sαsβ coˊ caˆˊp 6; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{\pi}{6}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 6;
∥β∥=3 ∥α∥; \| \beta \| = \sqrt{3}\ \| \alpha \|;
7) n(α,β)=−1, n(β,α)=−3;n(\alpha, \beta) = -1,\ n(\beta, \alpha) = -3;
(α,β‾)=5π6;sαsβ coˊ caˆˊp 6; (\overline{\alpha, \beta}) = \frac{5\pi}{6}; \quad s_{\alpha}s_{\beta} \text{ có cấp } 6;
∥β∥=3 ∥α∥; \| \beta \| = \sqrt{3}\ \| \alpha \|;
8) n(α,β)=n(β,α)=2;n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha) = 2;
α=β; \alpha = \beta;
9) n(α,β)=n(β,α)=−2;n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha) = -2;
α=−β; \alpha = -\beta;
10) n(α,β)=1, n(β,α)=4;n(\alpha, \beta) = 1,\ n(\beta, \alpha) = 4;
β=2α; \beta = 2\alpha;
11) n(α,β)=−1, n(β,α)=−4;n(\alpha, \beta) = -1,\ n(\beta, \alpha) = -4;
β=−2α. \beta = -2\alpha.

Đặc biệt:

Mệnh đề 8

(i) *Nếu hai nghiệm tỉ lệ với nhau, nhân tử tỉ lệ chỉ có thể là ±1,±12,±2\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2.

(ii) Nếu α\alpha và β\beta là hai nghiệm không tỉ lệ, và nếu ∥α∥≤∥β∥\| \alpha \| \leq \| \beta \|, thì n(α,β)n(\alpha, \beta) nhận một trong các giá trị 0, 1, -1.

Nếu một nghiệm α∈R\alpha \in \mathbf{R} sao cho 12α∉R\frac{1}{2}\alpha \notin \mathbf{R}, thì α\alpha được gọi là một nghiệm không thể phân chia.

Định lý 1

Cho α,β\alpha, \beta là hai nghiệm.

(i) Nếu n(α,β)>0n(\alpha, \beta) > 0, α−β\alpha - \beta là một nghiệm trừ khi α=β\alpha = \beta. (ii) Nếu n(α,β)<0n(\alpha, \beta) < 0, α+β\alpha + \beta là một nghiệm trừ khi α=−β\alpha = -\beta.

Nếu n(α,β)>0n(\alpha, \beta) > 0, các khả năng, theo danh sách ở trên, là các khả năng sau:

1) n(α,β)=1n(\alpha, \beta) = 1; khi đó α−β−sβ(α)∈R\alpha - \beta - s_{\beta}(\alpha) \in \mathbf{R}; 2) n(β,α)=1n(\beta, \alpha) = 1; khi đó β−α=sα(β)∈R\beta - \alpha = s_{\alpha}(\beta) \in \mathbf{R}, do đó α−β∈R\alpha - \beta \in \mathbf{R}; 3) β=α\beta = \alpha.

Điều này chứng minh (i), và (ii) suy ra bằng cách thay β\beta bởi −β-\beta.

Hệ quả

Cho α\alpha và β\beta là hai nghiệm.

(i) Nếu (α∣β)>0(\alpha|\beta) > 0, α−β\alpha - \beta là một nghiệm trừ khi α=β\alpha = \beta. (ii) Nếu (α∣β)<0(\alpha|\beta) < 0, α+β\alpha + \beta là một nghiệm trừ khi α=−β\alpha = -\beta. (iii) Nếu α−β∉R∪{0}\alpha - \beta \notin \mathbf{R} \cup \{0\} và α+β∉R∪{0}\alpha + \beta \notin \mathbf{R} \cup \{0\}, thì (α∣β)=0(\alpha|\beta) = 0.

Các mệnh đề (i) và (ii) suy ra từ Đ.lý 1 và công thức (7) của no. 1. Mệnh đề (iii) suy ra từ (i) và (ii).

Có thể xảy ra α+β∈R\alpha + \beta \in \mathbf{R}, (α∣β)=0(\alpha|\beta) = 0 (xem Plate X, Hệ B_2). Khi α−β∉R∪{0}\alpha - \beta \notin \mathbf{R} \cup \{0\} và α+β∉R∪{0}\alpha + \beta \notin \mathbf{R} \cup \{0\}, α\alpha và β\beta được gọi là trực giao mạnh.

Mệnh đề 9

Cho α\alpha và β\beta là hai nghiệm không tỷ lệ.

(i) Tập hợp I của các số nguyên j sao cho β+jα\beta + j\alpha là một nghiệm là một khoảng [−q,p][ -q, p ] trong Z\mathbf{Z} chứa 0. (ii) Cho S là tập hợp của β+jα\beta + j\alpha với j∈Ij \in \mathrm{I}. Khi đó,

sα(S)=Svaˋsα(β+pα)=β−qα. s_{\alpha}(S) = S \quad \text{và} \quad s_{\alpha}(\beta + p\alpha) = \beta - q\alpha.
(iii) p−q=−n(β,α)p - q = -n(\beta, \alpha).

Rõ ràng, 0∈I0 \in \mathrm{I}. Gọi pp (tương ứng −q-q) là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của I. Nếu không phải tất cả các số nguyên trong [−q,p][ -q, p ] đều thuộc I, tồn tại hai số nguyên r,sr, s trong [−q,p][ -q, p ] có các tính chất sau: s>r+1,s∈I,r∈I,r+k∉Is > r + 1, s \in \mathrm{I}, r \in \mathrm{I}, r + k \notin \mathrm{I} với 1≤k≤s−r−11 \leq k \leq s - r - 1. Với ký hiệu của Hệ quả của Đ.lý 1, (α∣β+sα)≤0,(α∣β+rα)≥0(\alpha|\beta + s\alpha) \leq 0, (\alpha|\beta + r\alpha) \geq 0, điều này là vô lý vì

(α∣β+sα)≤0>(α∣β+rα). (\alpha|\beta + s\alpha) \leq 0 > (\alpha|\beta + r\alpha).
Điều này chứng minh (i).

Ta có sα(β+jα)=β−n(β,α)α−jα=β+j′αs_{\alpha}(\beta + j\alpha) = \beta - n(\beta, \alpha)\alpha - j\alpha = \beta + j'\alpha với j′=−j−n(β,α)j' = -j - n(\beta, \alpha). Do đó sα(S)⊆Ss_{\alpha}(S) \subseteq S và hệ quả là sα(S)=Ss_{\alpha}(S) = S. Bây giờ j↦−j−n(β,α)j \mapsto -j - n(\beta, \alpha) là một song ánh giảm từ I vào I. Suy ra rằng, j′=−qj' = -q khi j=pj = p, do đó −q=−p−n(β,α)-q = -p - n(\beta, \alpha). Điều này chứng minh (ii) và (iii).

Tập hợp S được gọi là chuỗi nghiệm α\alpha xác định bởi β\beta, β−qα\beta - q\alpha là gốc của nó, β+pα\beta + p\alpha là đầu của nó, và p+qp + q là độ dài của nó.

Hệ quả

Cho S là một chuỗi nghiệm α\alpha, và γ\gamma là gốc của S. Độ dài của S là −n(γ,α)-n(\gamma, \alpha); nó bằng 0, 1, 2 hoặc 3.

Mệnh đề đầu tiên suy ra từ Mđ. 9, (iii), được áp dụng cho β=γ\beta = \gamma, và sử dụng sự kiện rằng q=0q = 0.

Mặt khác, vì γ\gamma không tỷ lệ với α\alpha, danh sách được cho ở đầu số này cho thấy rằng ∣n(γ,α)∣≤3|n(\gamma, \alpha)| \leq 3, do đó có hệ quả.

Nhận xét

Ta giữ lại ký hiệu ở trên. Khi đó:

1) Nếu độ dài của S bằng 0, thì (α∣γ)=0(\alpha|\gamma) = 0.

2) Nếu độ dài của S bằng 1, thì n(γ,α)=−1n(\gamma, \alpha) = -1, và có ba trường hợp:

n(α,γ)=−1,(α∣α)=(γ∣γ),(α∣γ)=−12(α∣α),(α,γ‾)=2π3 n(\alpha, \gamma) = -1, \quad (\alpha|\alpha) = (\gamma|\gamma), \quad (\alpha|\gamma) = -\frac{1}{2}(\alpha|\alpha), \quad (\overline{\alpha, \gamma}) = \frac{2\pi}{3}
n(α,γ)=−2,(α∣α)=2(γ∣γ),(α∣γ)=−12(α∣α),(α,γ‾)=3π4 n(\alpha, \gamma) = -2, \quad (\alpha|\alpha) = 2(\gamma|\gamma), \quad (\alpha|\gamma) = -\frac{1}{2}(\alpha|\alpha), \quad (\overline{\alpha, \gamma}) = \frac{3\pi}{4}
n(α,γ)=−3,(α∣α)=3(γ∣γ),(α∣γ)=−12(α∣α),(α,γ‾)=5π6 n(\alpha, \gamma) = -3, \quad (\alpha|\alpha) = 3(\gamma|\gamma), \quad (\alpha|\gamma) = -\frac{1}{2}(\alpha|\alpha), \quad (\overline{\alpha, \gamma}) = \frac{5\pi}{6}

!Ba biểu đồ thể hiện các hệ nghiệm với các góc được ghi nhãn π/3, π/4, 2π/3, và các vectơ γ + α, γ, γ + 2α

3) Nếu độ dài của S bằng 2, thì n(γ,α)=−2n(\gamma, \alpha) = -2, do đó

n(α,γ)=−1,(α∣α)=12(γ∣γ),(α∣γ)=−(α∣α),(α,γ‾)=3π4. n(\alpha, \gamma) = -1, \quad (\alpha|\alpha) = \frac{1}{2}(\gamma|\gamma), \quad (\alpha|\gamma) = -(\alpha|\alpha), \quad (\overline{\alpha, \gamma}) = \frac{3\pi}{4}.

!Biểu đồ thể hiện hệ nghiệm với các góc π/4, π/4, và các vectơ γ, γ + α, γ + 2α

4) Nếu độ dài của S bằng 3, thì n(γ,α)=−3n(\gamma, \alpha) = -3, do đó

n(α,γ)=−1,(α∣α)=13(γ∣γ),(α∣γ)=−32(α∣α),(α,γ‾)=5π6. n(\alpha, \gamma) = -1, \quad (\alpha|\alpha) = \frac{1}{3}(\gamma|\gamma), \quad (\alpha|\gamma) = -\frac{3}{2}(\alpha|\alpha), \quad (\overline{\alpha, \gamma}) = \frac{5\pi}{6}.

!Biểu đồ thể hiện hệ nghiệm với các góc π/6, π/3, π/6, và các vectơ γ, γ + α, γ + 2α, γ + 3α

Ta sẽ thấy (Bản X, các hệ A₂, B₂, G₂) rằng tất cả các trường hợp này thực sự đều xảy ra.

Mệnh đề 10

Cho α,β\alpha, \beta là hai nghiệm không tỷ lệ với nhau sao cho β+α\beta + \alpha là một nghiệm. Cho p,qp, q là các số nguyên trong Mệnh đề 9. Khi đó

(β+α∣β+α)(β∣β)=q+1p. \frac{(\beta + \alpha|\beta + \alpha)}{(\beta|\beta)} = \frac{q + 1}{p}.

Cho S là chuỗi nghiệm α\alpha xác định bởi β\beta, γ\gamma là gốc của nó; độ dài ll của nó là ≥1\geq 1 vì β+α\beta + \alpha là một nghiệm. Các trường hợp sau đây có thể xảy ra:

1) l=1l = 1; khi đó β=γ,q=0,p=1,(β+α∣β+α)=(β∣β)\beta = \gamma, q = 0, p = 1, (\beta + \alpha|\beta + \alpha) = (\beta|\beta). 2) l=2,β=γl = 2, \beta = \gamma; khi đó q=0,p=2,(β+α∣β+α)=12(β∣β)q = 0, p = 2, (\beta + \alpha|\beta + \alpha) = \frac{1}{2}(\beta|\beta). 3) l=2,β=γ+αl = 2, \beta = \gamma + \alpha; khi đó q=1,p=1,(β+α∣β+α)=2(β∣β)q = 1, p = 1, (\beta + \alpha|\beta + \alpha) = 2(\beta|\beta).

4) l=3,β=γl = 3, \beta = \gamma; khi đó q=0,p=3,(β+α∣β+α)=13(β∣β)q = 0, p = 3, (\beta + \alpha|\beta + \alpha) = \frac{1}{3}(\beta|\beta). 5) l=3,β=γ+αl = 3, \beta = \gamma + \alpha; khi đó q=1,p=2,(β+α∣β+α)=(β∣β)q = 1, p = 2, (\beta + \alpha|\beta + \alpha) = (\beta|\beta). 6) l=3,β=γ+2αl = 3, \beta = \gamma + 2\alpha; khi đó q=2,p=1,(β+α∣β+α)=3(β∣β)q = 2, p = 1, (\beta + \alpha|\beta + \alpha) = 3(\beta|\beta).

Trong mỗi trường hợp, công thức cần chứng minh đều được thỏa mãn.

Mệnh đề 11

Giả sử rằng R là bất khả quy. Cho α\alpha và β\beta là hai nghiệm sao cho ∥α∥=∥β∥\| \alpha \| = \| \beta \|. Tồn tại g∈W(R)g \in W(R) sao cho g(α)=βg(\alpha) = \beta.

Các ảnh của α\alpha qua W(R)W(R) sinh V (no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5). Do đó tồn tại g∈W(R)g \in W(R) sao cho (g(α)∣β)≠0(g(\alpha)|\beta) \neq 0. Từ nay ta giả sử rằng (α∣β)≠0(\alpha|\beta) \neq 0. Theo công thức (9) của no. 1, n(α,β)=n(β,α)n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha). Thay thế β\beta nếu cần thiết bởi sβ(β)=−βs_\beta(\beta) = -\beta, ta có thể giả sử rằng n(α,β)>0n(\alpha, \beta) > 0. Khi đó, theo danh sách ở đầu no. 3, hoặc là α=β\alpha = \beta (trong trường hợp đó mệnh đề là hiển nhiên), hoặc là n(α,β)=n(β,α)=1n(\alpha, \beta) = n(\beta, \alpha) = 1; trong trường hợp đó

sαsβsα(β)=sαsβ(β−α)=sα(−β−α+β)=α. s_\alpha s_\beta s_\alpha(\beta) = s_\alpha s_\beta(\beta - \alpha) = s_\alpha(-\beta - \alpha + \beta) = \alpha.

4. Hệ nghiệm rút gọn

Một hệ nghiệm được gọi là rút gọn nếu mọi nghiệm của hệ là không phân chia được (no. 3).

Mệnh đề 12

Giả sử rằng R là bất khả quy và rút gọn.

(i) Tỉ số (β∣β)(α∣α)\frac{(\beta|\beta)}{(\alpha|\alpha)} với α∈R,β∈R\alpha \in R, \beta \in R phải nhận một trong các giá trị 1, 2, 12\frac{1}{2}, 3, 13\frac{1}{3}.

(ii) Tập hợp các (α∣α)(\alpha|\alpha) với α∈R\alpha \in R có nhiều nhất hai phần tử.

Vì R là bất khả quy, các ảnh của một nghiệm qua W(R)W(R) sinh V (no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5). Do đó, với mọi nghiệm α,β\alpha, \beta, tồn tại một nghiệm β′\beta' sao cho (α∣β′)≠0(\alpha|\beta') \neq 0 và (β′∣β′)=(β∣β)(\beta'|\beta') = (\beta|\beta). Theo công thức (9) của no. 1 và danh sách của no. 3, (β′∣β′)(α∣α)\frac{(\beta'|\beta')}{(\alpha|\alpha)} nhận một trong các giá trị 1, 2, 12\frac{1}{2}, 3, 13\frac{1}{3} (nhớ rằng hệ được giả sử là rút gọn). Bằng cách nhân (x∣y)(x|y) với một vô hướng thích hợp, ta có thể giả sử rằng (α∣α)=1(\alpha|\alpha) = 1 đối với một số nghiệm và các giá trị có thể khác của (β∣β)(\beta|\beta) đối với β∈R\beta \in R là 2 và 3. Các giá trị 2 và 3 không thể đồng thời đạt được, vì trong trường hợp đó sẽ tồn tại β∈R,γ∈R\beta \in R, \gamma \in R sao cho (γ∣γ)(β∣β)=32\frac{(\gamma|\gamma)}{(\beta|\beta)} = \frac{3}{2}, trái với điều ta đã thấy ở trên.

Mệnh đề 13

Giả sử rằng R là bất khả quy, không rút gọn và có hạng ≥2\geq 2.

(i) Tập hợp R0R_0 các nghiệm không phân chia được là một hệ nghiệm trong V; hệ này là bất khả quy và rút gọn; và W(R0)=W(R)W(R_0) = W(R).

(ii) Gọi A là tập hợp các nghiệm α\alpha mà (α∣α)(\alpha|\alpha) nhận giá trị nhỏ nhất λ\lambda. Khi đó mọi hai phần tử không tỉ lệ với nhau của A là trực giao.

(iii) Gọi B là tập hợp các β∈R\beta \in R sao cho (β∣β)=2λ(\beta|\beta) = 2\lambda. Khi đó B≠∅B \neq \varnothing, R0=A∪BR_0 = A \cup B, R=A∪B∪2AR = A \cup B \cup 2A.

Nếu α∈R−R0\alpha \in R - R_0, thì 12α∈R\frac{1}{2} \alpha \in R, nhưng 12(12α)∉R\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \alpha) \notin R (Mệnh đề 8), do đó 12α∈R0\frac{1}{2} \alpha \in R_0. Điều này chứng minh rằng R0R_0 thỏa mãn (RS1_1). Hiển nhiên rằng, với mọi α∈R\alpha \in R, sα,α−(R0)=R0s_{\alpha, \alpha^-}(R_0) = R_0, do đó R0R_0 thỏa mãn (RSII_{II}) và (RSIII_{III}). Vì α∈R−R0\alpha \in R - R_0 kéo theo 12α∈R0\frac{1}{2} \alpha \in R_0 và vì sα=sα/2s_\alpha = s_{\alpha/2}, ta có W(R)=W(R0)W(R) = W(R_0). Do đó R0R_0 là bất khả quy (Hệ quả của Mệnh đề 5), và hiển nhiên nó là rút gọn.

Vì RR không rút gọn, tồn tại α∈R0\alpha \in R_0 sao cho 2α∈R2\alpha \in R. Vì R0R_0 là bất khả quy và dim⁡V≥2\dim V \geq 2, α\alpha không thể tỉ lệ hoặc vuông góc với mọi nghiệm. Cho β∈R0\beta \in R_0 sao cho n(β,α)≠0n(\beta, \alpha) \neq 0 và β\beta không tỉ lệ với α\alpha. Nếu cần thì thay β\beta bởi −β-\beta, ta có thể giả sử rằng n(β,α)>0n(\beta, \alpha) > 0. Khi đó 12n(β,α)=n(β,2α)∈Z\frac{1}{2} n(\beta, \alpha) = n(\beta, 2\alpha) \in \mathbf{Z}, do đó n(β,α)∈2Zn(\beta, \alpha) \in 2\mathbf{Z}. Từ danh sách trong no. 3, n(β,α)=2n(\beta, \alpha) = 2, (β∣β)=2(α∣α)(\beta|\beta) = 2(\alpha|\alpha). Vì R0R_0 rút gọn, Mệnh đề 12 cho thấy rằng, với mọi γ∈R0\gamma \in R_0, hoặc (γ∣γ)=(α∣α)(\gamma|\gamma) = (\alpha|\alpha) hoặc (γ∣γ)=2(α∣α)(\gamma|\gamma) = 2(\alpha|\alpha). Ngoài ra, điều trên cho thấy rằng, với mọi γ∈R−R0\gamma \in R - R_0, vectơ 12γ\frac{1}{2} \gamma là một phần tử của R0R_0 sao cho (12γ∣12γ)=(α∣α)(\frac{1}{2} \gamma|\frac{1}{2} \gamma) = (\alpha|\alpha). Như vậy, λ=(α∣α)\lambda = (\alpha|\alpha), B≠∅B \neq \varnothing, R0=A∪BR_0 = A \cup B, và R⊆A∪B∪2AR \subseteq A \cup B \cup 2A; mặt khác, nếu γ∈A\gamma \in A, tồn tại g∈W(R)g \in W(R) sao cho γ=g(α)\gamma = g(\alpha) (Mệnh đề 11), do đó 2γ=g(2α)∈R2\gamma = g(2\alpha) \in R; vậy 2A⊆R2A \subseteq R và R=A∪B∪2AR = A \cup B \cup 2A. Cuối cùng, cho γ,γ′\gamma, \gamma' là hai phần tử không tỉ lệ của AA. Khi đó

n(2γ,γ′)=2n(γ,γ′)=4n(γ,2γ′)∈4Z,vaˋ∣n(γ,γ′)∣≤1 n(2\gamma, \gamma') = 2n(\gamma, \gamma') = 4n(\gamma, 2\gamma') \in 4\mathbf{Z}, \quad \text{và} \quad |n(\gamma, \gamma')| \leq 1

vì γ\gamma và γ′\gamma' có cùng độ dài, do đó n(γ,γ′)=0n(\gamma, \gamma') = 0 và (γ∣γ′)=0(\gamma|\gamma') = 0.

Mệnh đề 14

Giả sử rằng RR là bất khả quy và rút gọn, và rằng (α∣α)(\alpha|\alpha) nhận các giá trị λ\lambda và 2λ2\lambda với α∈R\alpha \in R. Gọi AA là tập hợp các nghiệm α\alpha sao cho (α∣α)=λ(\alpha|\alpha) = \lambda. Giả sử rằng mọi hai phần tử không tỉ lệ của AA đều vuông góc. Khi đó R1=R∪2AR_1 = R \cup 2A là một hệ nghiệm bất khả quy không rút gọn và RR là tập hợp các nghiệm không chia hết của R1R_1.

Hiển nhiên rằng R1R_1 thỏa mãn (RS1_1) và (RSIII_{III}). Ta chứng minh rằng, nếu α,β∈R1\alpha, \beta \in R_1, thì ⟨α−,β⟩∈Z\langle \alpha^-, \beta \rangle \in \mathbf{Z}. Điều này hiển nhiên nếu α∈R\alpha \in R. Vì (2α)−=12α−(2\alpha)^- = \frac{1}{2} \alpha^- với α∈A\alpha \in A, điều này cũng ngay lập tức đúng nếu α,β∈2A\alpha, \beta \in 2A. Cuối cùng, giả sử rằng β∈R\beta \in R và α=2γ\alpha = 2\gamma với γ∈A\gamma \in A.

1) Nếu γ=±β\gamma = \pm \beta, thì ⟨α−,β⟩=±12⟨γ−,γ⟩=±1\langle \alpha^-, \beta \rangle = \pm \frac{1}{2} \langle \gamma^-, \gamma \rangle = \pm 1. 2) Nếu γ\gamma không tỷ lệ với β\beta và nếu β∈A\beta \in A, giả thiết về AA suy ra rằng ⟨γ−,β⟩=0\langle \gamma^-, \beta \rangle = 0, do đó ⟨α−,β⟩=0\langle \alpha^-, \beta \rangle = 0. 3) Nếu β∈R−A\beta \in R - A, thì (β∣β)=2λ=2(γ∣γ)(\beta|\beta) = 2\lambda = 2(\gamma|\gamma), do đó ⟨β,γ−⟩\langle \beta, \gamma^- \rangle bằng 0, 2 hoặc -2 theo danh sách trong no. 3. Vì vậy ⟨β,α−⟩=12⟨β,γ−⟩∈Z\langle \beta, \alpha^- \rangle = \frac{1}{2} \langle \beta, \gamma^- \rangle \in \mathbf{Z}.

Vậy R1R_1 là một hệ nghiệm trong VV, và các khẳng định khác là hiển nhiên.

5. Các phòng và cơ sở của các hệ nghiệm

Với mọi α∈R\alpha \in R, cho LαL_\alpha là siêu phẳng của VV gồm các điểm bất biến dưới sαs_\alpha. Các phòng trong VV được xác định bởi tập hợp các LαL_\alpha (Chương V, § 1, no. 3) được gọi là các phòng của RR. Song ánh V→V∗V \to V^* được xác định bởi tích vô hướng (x∣y)(x|y) đưa α\alpha thành 2α−(α−∣α−)\frac{2\alpha^-}{(\alpha^-|\alpha^-)} với α∈R\alpha \in R, do đó đưa LαL_\alpha thành Lα−L_{\alpha^-}, và do đó đưa các phòng của RR thành các phòng của R−R^-. Nếu CC là một phòng của RR, thì phòng tương ứng của R−R^- được ký hiệu là C−C^-. Theo Mệnh đề 7 của no. 2, C−C^- chỉ phụ thuộc vào CC chứ không phụ thuộc vào lựa chọn của (x∣y)(x|y).

Định lý 2

(i) Nhóm W(R)W(R) tác động đơn bắc cầu lên tập hợp các phòng.

(ii) Cho CC là một phòng. Khi đó C‾\overline{C} là một miền cơ bản đối với W(R)W(R).

(iii) CC là một nón đơn hình mở (Chương V, § 1, no. 6).

(iv) Gọi L1,L2,…,LlL_1, L_2, \ldots, L_l là các tường của CC. Với mọi ii, tồn tại duy nhất một nghiệm bất khả quy αi\alpha_i sao cho Li=LαiL_i = L_{\alpha_i} và sao cho αi\alpha_i nằm cùng phía của LiL_i với CC.

(v) Tập hợp B(C)={α1,…,αl}B(C) = \{ \alpha_1, \ldots, \alpha_l \} là một cơ sở của VV.

(vi) CC là tập hợp các x∈Vx \in V sao cho ⟨αi,x⟩>0\langle \alpha_i, x \rangle > 0 với mọi ii (hay, tương đương, là tập hợp các x∈Vx \in V sao cho (x∣αi)>0(x|\alpha_i) > 0 với mọi ii).

(vii) Gọi SS là tập hợp các sαis_{\alpha_i}. Cặp (W(R),S)(W(R), S) là một hệ Coxeter (Chương IV, § 1, no. 3).

Các mệnh đề (i) và (vii) suy ra từ Chương V, § 3, no. 2, Định lý 1. Mệnh đề (ii) suy ra từ Chương V, § 3, no. 3, Định lý 2. Mệnh đề (iv) là hiển nhiên. Nghiệm αi\alpha_i vuông góc với LiL_i, và αi−\alpha_i^- được đồng nhất với 2αi/(αi∣αi)2\alpha_i / (\alpha_i|\alpha_i). Vì W(R)W(R) là cốt yếu (no. 1, Nhận xét 3), các mệnh đề (iii), (v) và (vi) suy ra từ Chương V, § 3, no. 9, Mệnh đề 7.

Nhận xét 1

Mệnh đề (vii) chỉ ra đặc biệt rằng W(R)W(R) được sinh bởi các phép đối xứng sαis_{\alpha_i}.

Nhận xét 2

Nếu x,y∈Cx, y \in C, thì (x∣y)>0(x|y) > 0 (Chương V, § 3, no. 5, Bổ đề 6), nói cách khác góc (x,y)(x, y) là nhọn.

Nhận xét 3

Gọi m(α,β)m(\alpha, \beta) là cấp của sαsβs_{\alpha} s_{\beta} (α,β∈B(C)\alpha, \beta \in B(C)). Ma trận (m(α,β))(m(\alpha, \beta)) được đồng nhất với ma trận Coxeter (Chương IV, § 1, no. 9) của (W,S)(W, S). Nếu α≠β\alpha \neq \beta, Mệnh đề 3 của Chương V, § 3, no. 4 chỉ ra rằng góc (α,β)(\alpha, \beta) bằng π−πm(α,β)\pi - \frac{\pi}{m(\alpha, \beta)}; đặc biệt, góc này hoặc tù hoặc bằng π\pi, và (α∣β)≤0(\alpha|\beta) \leq 0. Bằng cách sử dụng danh sách trong no. 3, suy ra rằng m(α,β)m(\alpha, \beta) bằng 2, 3, 4 hoặc 6.

Định nghĩa 2

Một tập con* BB của RR được gọi là một cơ sở của RR nếu tồn tại một phòng CC của RR sao cho B=B(C)B = B(C). Nếu CC là một phòng, B(C)B(C) được gọi là cơ sở của RR được xác định bởi CC.

Nhận xét 4

Mệnh đề (vi) của Định lý 2 chỉ ra rằng ánh xạ C↦B(C)C \mapsto B(C) là một song ánh từ tập hợp các phòng đến tập hợp các cơ sở. Do đó, W(R)W(R) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các cơ sở.

Nhận xét 5

Cho CC là một buồng của RR, và cho BB là cơ sở tương ứng. Nếu α∈B\alpha \in B, đặt φ(α)=α−\varphi(\alpha) = \alpha^- nếu 2α∉R2\alpha \notin R và φ(α)=12α−\varphi(\alpha) = \frac{1}{2}\alpha^- nếu 2α∈R2\alpha \in R. Khi đó φ(B)\varphi(B) là cơ sở của R−R^- được định nghĩa bởi C−C^-; điều này suy ra từ sự kiện rằng các siêu phẳng của C−C^- là các Lα−L_{\alpha^-}, với α∈B\alpha \in B.

Định nghĩa 3

Cho B là một cơ sở của R. Ma trận Cartan của R (đối với B) là ma trận (n(α,β))α,β∈B(n(\alpha, \beta))_{\alpha, \beta \in B}.

Với mọi α∈B\alpha \in B, n(α,α)=2n(\alpha, \alpha) = 2. Với α,β∈B\alpha, \beta \in B,

n(α,β)=2(α∣β)(β∣β)=−2∥α∥∥β∥cos⁡πm(α,β), n(\alpha, \beta) = 2 \frac{(\alpha|\beta)}{(\beta|\beta)} = -2 \frac{\|\alpha\|}{\|\beta\|} \cos \frac{\pi}{m(\alpha, \beta)},

trong đó m(α,β)m(\alpha, \beta) chỉ cấp của sαsβs_\alpha s_\beta như trên. Nếu α≠β\alpha \neq \beta, n(α,β)=0,−1,−2n(\alpha, \beta) = 0, -1, -2 hoặc −3-3 (xem no. 3).

Nhận xét 6

Ma trận Cartan (n(α,β))(n(\alpha, \beta)) không nên bị nhầm lẫn với ma trận Coxeter (m(α,β))(m(\alpha, \beta)). Đặc biệt chú ý rằng ma trận Cartan không nhất thiết đối xứng.

Nhận xét 7

Đánh chỉ số chính tắc. Nếu B và B′B' là hai cơ sở của R, tồn tại một phần tử duy nhất w∈Ww \in W sao cho w(B)=B′w(B) = B'. Ta có

n(w(α),w(β))=n(α,β)vaˋm(w(α),w(β))=m(α,β) n(w(\alpha), w(\beta)) = n(\alpha, \beta) \quad \text{và} \quad m(w(\alpha), w(\beta)) = m(\alpha, \beta)

với α,β∈B\alpha, \beta \in B. Do đó, các ma trận Cartan và Coxeter liên kết với B có thể nhận được từ các ma trận liên kết với B′B' bằng cách hợp thành với song ánh

α↦w(α) \alpha \mapsto w(\alpha)

từ B đến B′B'.

Các ma trận Cartan và Coxeter thực ra có thể được định nghĩa một cách chính tắc theo cách sau. Gọi X là tập hợp các cặp (B,α)(B, \alpha), trong đó B là một cơ sở của R và α∈B\alpha \in B. Nhóm W tác động một cách hiển nhiên lên X và mỗi quỹ đạo của W trên X gặp mỗi tập hợp {B}×B\{B\} \times B tại đúng một điểm. Nếu I là tập hợp các quỹ đạo này, mỗi cơ sở B thừa nhận một cách đánh chỉ số chính tắc (αi)i∈I(\alpha_i)_{i \in I}. Hơn nữa, tồn tại một ma trận duy nhất N=(nij)N = (n_{ij}) (tương ứng M=(mij)M = (m_{ij})), kiểu I×II \times I, sao cho với mọi cơ sở B, ma trận Cartan (tương ứng Coxeter) liên kết với B có thể nhận được từ N (tương ứng M) bằng cách hợp thành với phép đánh chỉ số chính tắc của B; nó được gọi là ma trận Cartan chính tắc (tương ứng ma trận Coxeter chính tắc) của R.

Mệnh đề 15

Cho B là một cơ sở của R và α\alpha là một nghiệm không phân chia. Tồn tại β∈B\beta \in B và w∈W(R)w \in W(R) sao cho α=w(β)\alpha = w(\beta).

Cho C là buồng sao cho B=B(C)B = B(C). Siêu phẳng LαL_\alpha là một tường của một buồng C′C' của R, và tồn tại một phần tử của W(R)W(R) biến C′C' thành C. Do đó ta quy về trường hợp LαL_\alpha là một tường của C. Khi đó α\alpha tỉ lệ với một phần tử β\beta của R. Vì α\alpha và β\beta không phân chia, α=±β\alpha = \pm \beta. Nếu α=−β\alpha = -\beta, thì α=sβ(β)\alpha = s_\beta(\beta), do đó có mệnh đề.

Hệ quả

Cho R1R_1 và R2R_2 là hai hệ nghiệm rút gọn trong các không gian vectơ V1V_1 và V2V_2, và cho B1B_1 và B2B_2 là các cơ sở của R1R_1 và R2R_2. Cho f:B1→B2f : B_1 \to B_2 là một song ánh biến ma trận Cartan của R1R_1 thành ma trận Cartan của R2R_2. Khi đó tồn tại một đẳng cấu F:V1→V2F : V_1 \to V_2 biến R1R_1 thành R2R_2 và α\alpha thành f(α)f(\alpha) với mọi α∈B1\alpha \in B_1.

Cho FF là đẳng cấu từ V1V_1 đến V2V_2 lấy α\alpha thành f(α)f(\alpha) với mọi α∈B1\alpha \in B_1. Khi đó FF biến sαs_\alpha thành sf(α)s_{f(\alpha)}, do đó W(R1)W(R_1) thành W(R2)W(R_2) (Đl. 2), và do đó R1R_1 thành R2R_2 (Mđ. 15).

Mệnh đề 16

Cho BB là một cơ sở của RR, và GG là nhóm con của A(R)A(R) gồm các phần tử giữ BB ổn định. Khi đó W(R)W(R) là một nhóm con chuẩn của A(R)A(R) và A(R)A(R) là tích nửa trực tiếp của GG và W(R)W(R).

Nếu α∈R\alpha \in R và t∈A(R)t \in A(R), thì tsαt−1=st(α)ts_\alpha t^{-1} = s_{t(\alpha)}; vì W(R)W(R) được sinh bởi các sαs_\alpha, ta thấy rằng W(R)W(R) là một nhóm con chuẩn của A(R)A(R). Bằng phép chuyển cấu trúc, A(R)A(R) biến một cơ sở của RR thành một cơ sở của RR. Vì W(R)W(R) tác động bắc cầu đơn giản trên tập hợp các cơ sở, mỗi phần tử của A(R)A(R) có thể được viết duy nhất dưới dạng g1g2g_1 g_2, trong đó g1∈W(R)g_1 \in W(R) và g2∈Gg_2 \in G.

Nhận xét 8

Cho R1,…,RpR_1, \ldots, R_p là các hệ nghiệm trong các không gian vectơ V1,…,VpV_1, \ldots, V_p, RR là tổng trực tiếp của các RiR_i trong V=∏iViV = \prod_i V_i, CiC_i là một buồng của RiR_i, và Bi=B(Ci)B_i = B(C_i). Ngay lập tức ta thấy rằng C=∏iCiC = \prod_i C_i là một buồng của RR và rằng B(C)=⋃iBiB(C) = \bigcup_i B_i. Từ Đl. 2 suy ra rằng tất cả các buồng và cơ sở của RR đều thu được theo cách này.

6. Các nghiệm dương

Cho CC là một buồng của RR, và cho B(C)={α1,…,αl}B(C) = \{ \alpha_1, \ldots, \alpha_l \} là cơ sở tương ứng của RR. Quan hệ thứ tự trên VV (tương ứng V∗V^*) được xác định bởi CC là quan hệ thứ tự tương thích với cấu trúc không gian vectơ của VV (tương ứng V∗V^*), trong đó các phần tử ≥0\geq 0 là các tổ hợp tuyến tính của các αi\alpha_i (tương ứng các αi∗\alpha_i^*) với các hệ số ≥0\geq 0. Một phần tử dương đối với một trong các quan hệ này được gọi là dương đối với CC, hay dương đối với cơ sở B(C)B(C). Các quan hệ thứ tự này cũng được xác định bởi C∗C^*, như thấy được bằng cách đồng nhất VV với V∗V^* nhờ sử dụng một tích vô hướng bất biến dưới W(R)W(R). Theo Đl. 2, no. 5, một phần tử của V∗V^* là ≥0\geq 0 khi và chỉ khi các giá trị của nó trên CC là ≥0\geq 0. Một phần tử xx của VV là ≥0\geq 0 khi và chỉ khi các giá trị của nó trên C∗C^* là ≥0\geq 0, hay, tương đương, nếu (x∣y)≥0(x|y) \geq 0 với mọi y∈Cy \in C.

Các phần tử của C‾\overline{C} là ≥0\geq 0 đối với CC theo Bổ đề 6 của Ch. V, § 3, no. 5. Nhưng tập hợp các phần tử ≥0\geq 0 đối với CC nói chung là phân biệt với C‾\overline{C} (xem Plate X, các hệ A2,B2,G2A_2, B_2, G_2).

Định lý 3

Mọi nghiệm đều là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên cùng dấu của các phần tử của B(C)B(C). Đặc biệt, mọi nghiệm đều hoặc dương hoặc âm đối với CC.

Nếu α∈R\alpha \in R, hạt nhân LαL_\alpha của α\alpha không gặp C∗C^*, do đó α\alpha hoặc là >0> 0 trên toàn bộ C∗C^* hoặc là <0< 0 trên toàn bộ C∗C^*, suy ra mệnh đề thứ hai. Còn lại phải chứng minh rằng α\alpha được chứa trong nhóm con PP của VV sinh bởi B(C)B(C); ta có thể giả sử rằng α\alpha không phân chia được. Khi đó nhóm PP rõ ràng ổn định dưới các sγs_{\gamma}, với γ∈B(C)\gamma \in B(C), do đó cũng ổn định dưới W(R)W(R) theo Đl. 2. Vì α\alpha có dạng w(β)w(\beta), với w∈W(R)w \in W(R) và β∈B(C)\beta \in B(C) (xem Mđ. 15), ta có α∈P\alpha \in P. Đpcm.

Ký hiệu R+(C)R_+(C) là tập hợp các nghiệm dương đối với CC. Khi đó,

R=R+(C)∪(−R+(C)) R = R_+(C) \cup (-R_+(C))
là một phân hoạch của RR.

Hệ quả

Cho γ\gamma là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm với các hệ số nguyên, và α\alpha là một nghiệm không phân chia được. Nếu γ\gamma tỉ lệ với α\alpha, thì γ∈Zα\gamma \in \mathbf{Z}\alpha.

Theo Mđ. 15 của no. 5, có thể chọn CC sao cho α∈B(C)\alpha \in B(C). Theo Đl. 3,

γ=∑β∈B(C)nββvớinβ∈Z. \gamma = \sum_{\beta \in B(C)} n_{\beta} \beta \quad \text{với} \quad n_{\beta} \in \mathbf{Z}.
Do đó, nếu γ\gamma tỉ lệ với α\alpha, thì γ=nαα\gamma = n_{\alpha} \alpha, điều này chứng minh hệ quả.

Bây giờ cho SS là tập hợp các phép phản xạ sαs_{\alpha} với α∈B(C)\alpha \in B(C) và cho TT là hợp của các liên hợp của SS theo WW. Với α∈B(C)\alpha \in B(C) và w∈Ww \in W, phần tử t=wsαw−1t = ws_{\alpha}w^{-1} của TT là phép phản xạ trực giao sβs_{\beta} liên kết với nghiệm β=w(α)\beta = w(\alpha); ngược lại, với mọi nghiệm không phân chia được β\beta, tồn tại một phần tử w∈Ww \in W sao cho α=w−1(β)∈B(C)\alpha = w^{-1}(\beta) \in B(C) (Mệnh đề 15) và sβ=wsαw−1∈Ts_{\beta} = ws_{\alpha}w^{-1} \in T. Suy ra rằng một song ánh ψ\psi từ tập hợp các nghiệm không phân chia được đến {±1}×T\{\pm 1\} \times T được thu được bằng cách liên kết với một nghiệm không phân chia được β\beta cặp (ε,sβ)(\varepsilon, s_{\beta}), trong đó ε=+1\varepsilon = +1 nếu β\beta là dương và ε=−1\varepsilon = -1 nếu β\beta là âm.

Mặt khác, (W,S)(W, S) là một hệ Coxeter (Định lý 2) và các kết quả của Chương IV, § 1, no. 4 có thể được áp dụng. Ta đã thấy rằng, nếu ww là một phần tử của WW có độ dài (đối với SS) bằng qq, tồn tại một tập con TwT_w của TT, với qq phần tử, sao cho, nếu w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q với si∈Ss_i \in S và nếu

ti=s1…si−1sisi−1…s1 t_i = s_1 \ldots s_{i-1} s_i s_{i-1} \ldots s_1
(với 1≤i≤q1 \leq i \leq q), thì Tw={t1,…,tq}T_w = \{t_1, \ldots, t_q\}. Nhắc lại rằng ta cũng đã định nghĩa trong no. 4 của § 1 một số η(w,t)\eta(w, t) (với w∈Ww \in W và t∈Tt \in T) bằng +1+1 nếu t∉Twt \notin T_w và bằng −1-1 nếu t∈Twt \in T_w. Cuối cùng, nhắc lại rằng, nếu ta định nghĩa một ánh xạ UwU_w từ tập hợp {±1}×T\{\pm 1\} \times T vào chính nó bởi công thức
Uw(ε,t)=(εη(w−1,t),wtw−1), U_w(\varepsilon, t) = (\varepsilon \eta(w^{-1}, t), wt w^{-1}),
ánh xạ w↦Uww \mapsto U_w là một đồng cấu từ WW đến nhóm các phép hoán vị của tập hợp {±1}×T\{\pm 1\} \times T (Chương IV, § 1, no. 4, Bổ đề 1).

Mệnh đề 17

Giả sử rằng RR là thu gọn và cho w∈Ww \in W và α∈R\alpha \in R.

(i) Ta có ψ(w(α))=Uw(ψ(α))\psi(w(\alpha)) = U_w(\psi(\alpha)). (ii) Giả sử rằng α\alpha là dương. Nghiệm w(α)w(\alpha) là âm khi và chỉ khi

η(w−1,sα)=−1, \eta(w^{-1}, s_{\alpha}) = -1,
hay nói cách khác nếu sα∈Tw−1s_{\alpha} \in T_{w^{-1}}.

(iii) Ta có η(w,sα)=−1\eta(w, s_\alpha) = -1 khi và chỉ khi các phòng C và w(C)w(C) nằm ở hai phía đối nhau của siêu phẳng LαL_\alpha. Nói cách khác, tập hợp TwT_w gồm các phép đối xứng qua các tường ngăn cách C và w(C)w(C).

Cho β∈B(C)\beta \in B(C) và đặt s=sβs = s_\beta. Rõ ràng Ts={s}T_s = \{ s \} và do đó

Us(ε,t)={(ε,sts−1)neˆˊu t≠s(−ε,s)neˆˊu t=s. U_s(\varepsilon, t) = \begin{cases} (\varepsilon, st s^{-1}) & \text{nếu } t \neq s \\ (-\varepsilon, s) & \text{nếu } t = s. \end{cases}

Mặt khác, cho ρ=∑γ∈B(C)nγ(ρ)γ\rho = \sum_{\gamma \in B(C)} n_\gamma(\rho) \gamma là một nghiệm dương. Đặt

s(ρ)=∑γ∈B(C)nγ(s(ρ))γ. s(\rho) = \sum_{\gamma \in B(C)} n_\gamma(s(\rho)) \gamma.

Nếu ρ≠β\rho \neq \beta, tồn tại một phần tử γ∈B(C)\gamma \in B(C) với γ≠β\gamma \neq \beta, sao cho nγ(ρ)>0n_\gamma(\rho) > 0, và ta có nγ(s(ρ))=nγ(ρ)>0n_\gamma(s(\rho)) = n_\gamma(\rho) > 0 (no. 1, công thức (5)). Do đó s(ρ)s(\rho) là dương. Ta suy ra ngay lập tức rằng

ψ(s(ε,ρ))={(ε,ssρs−1)neˆˊu ρ≠β(−ε,s)neˆˊu ρ=β. \psi(s(\varepsilon, \rho)) = \begin{cases} (\varepsilon, ss_\rho s^{-1}) & \text{nếu } \rho \neq \beta \\ (-\varepsilon, s) & \text{nếu } \rho = \beta. \end{cases}

So sánh (12) và (13) cho thấy rằng Us(ψ(γ))=ψ(s(γ))U_s(\psi(\gamma)) = \psi(s(\gamma)) với mọi nghiệm γ\gamma và mọi s∈Ss \in S. Vì S sinh ra W, suy ra (i).

Mặt khác, nói rằng w(α)w(\alpha) là âm tương đương với nói rằng

ψ(w(α))=(−1,wsαw−1), \psi(w(\alpha)) = (-1, ws_\alpha w^{-1}),

hoặc, theo (i), rằng Uw(ψ(α))=(−1,wsαw−1)U_w(\psi(\alpha)) = (-1, ws_\alpha w^{-1}). Nếu thêm rằng α\alpha là dương, thì ψ(α)=(+1,sα)\psi(\alpha) = (+1, s_\alpha) và Uw(ψ(α))=(η(w−1,sα),wsαw−1)U_w(\psi(\alpha)) = (\eta(w^{-1}, s_\alpha), ws_\alpha w^{-1}), do đó (ii).

Cuối cùng, theo (ii), η(w,sα)=−1\eta(w, s_\alpha) = -1 khi và chỉ khi một trong các nghiệm α\alpha và w−1(α)w^{-1}(\alpha) là dương còn nghiệm kia là âm. Điều này tương đương với nói rằng (α∣x).(w−1(α)∣x)=(α∣x).(w∣x)<0(\alpha|x).(w^{-1}(\alpha)|x) = (\alpha|x).(w|x) < 0 với mọi x∈Cx \in C, do đó có mệnh đề đầu tiên trong (iii). Mệnh đề thứ hai trong (iii) suy ra ngay lập tức.

Hệ quả 1

Cho β∈B(C)\beta \in B(C). Phép đối xứng sβs_\beta hoán vị các nghiệm dương không tỉ lệ với β\beta.

Ta rút gọn ngay lập tức về trường hợp R là rút gọn. Trong trường hợp đó, mệnh đề của ta suy ra từ (ii) và sự kiện rằng Tsβ=sβT_{s_\beta} = s_\beta.

Hệ quả 2

Giả sử rằng R là rút gọn. Cho w∈Ww \in W, gọi q là độ dài của ww đối với S (Chap. IV, § 1, no. 1), và cho w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q là một phân tích rút gọn của ww. Cho α1,…,αq\alpha_1, \ldots, \alpha_q là các phần tử của B(C)B(C) tương ứng với s1,…,sqs_1, \ldots, s_q. Đặt

θi=sqsq−1…si+1(αi),i=1,…,q. \theta_i = s_q s_{q-1} \ldots s_{i+1}(\alpha_i), \quad i = 1, \ldots, q.

Các nghiệm θi\theta_i là >0> 0, từng đôi một phân biệt, w(θi)<0w(\theta_i) < 0, và mọi nghiệm α>0\alpha > 0 sao cho w(α)<0w(\alpha) < 0 đều bằng một trong các θi\theta_i.

Gọi X là tập hợp các α>0\alpha > 0 sao cho w(α)<0w(\alpha) < 0. Theo (ii),

Card⁡(X)=Card⁡(Tw−1)=l(w−1)=l(w)=q. \operatorname{Card}(X) = \operatorname{Card}(T_{w^{-1}}) = l(w^{-1}) = l(w) = q.

Mặt khác, nếu α∈X\alpha \in X thì rõ ràng tồn tại i∈{1,q}i \in \{1, q\} sao cho

si+1…sq(α)>0vaˋsisi+1…sq(α)<0. s_{i+1} \ldots s_q(\alpha) > 0 \quad \text{và} \quad s_i s_{i+1} \ldots s_q(\alpha) < 0.

Theo Hệ quả 1, điều này suy ra rằng si+1…sq(α)=αis_{i+1} \ldots s_q(\alpha) = \alpha_i và do đó α=θi\alpha = \theta_i. Vì vậy tập hợp X được chứa trong tập hợp các θi\theta_i. Vì Card⁡(X)=q\operatorname{Card}(X) = q, điều này chỉ có thể xảy ra nếu X bằng tập hợp các θi\theta_i và các phần tử này từng đôi một phân biệt. Do đó có hệ quả.

Hệ quả 3

Giả sử rằng R là rút gọn. Tồn tại một phần tử dài nhất duy nhất w0w_0 trong W. Độ dài của nó bằng số các nghiệm dương và w0w_0 biến phòng C thành −C-C. Ta có w02=1w_0^2 = 1 và l(ww0)=l(w0)−l(w)l(ww_0) = l(w_0) - l(w) với mọi w∈Ww \in W.

Hiển nhiên rằng −C-C là một phòng. Do đó tồn tại một phần tử w0w_0 của W biến C thành −C-C. Khi đó w0(α)<0w_0(\alpha) < 0 với mọi nghiệm dương α\alpha và hai khẳng định đầu tiên của Hệ quả 3 là các hệ quả ngay lập tức của Hệ quả 2. Ta có w02(C)=Cw_0^2(C) = C, nên w02=1w_0^2 = 1. Cuối cùng, nếu w∈Ww \in W, độ dài l(w)l(w) (tương ứng l(ww0)l(ww_0)) bằng, theo Mệnh đề 17 (iii), số các tường ngăn cách C và w(C)w(C) (tương ứng ww0(C)=−w(C)ww_0(C) = -w(C)). Vì w(C)w(C) và −w(C)-w(C) nằm ở hai phía đối của mỗi tường, tổng l(w)+l(w0)l(w) + l(w_0) bằng tổng số các tường, tức là bằng l(w0)l(w_0).

Mệnh đề 18

Cho x∈Vx \in V. Ba tính chất sau là tương đương:

(i) x∈C‾x \in \overline{C}; (ii) x≥sα(x)x \geq s_\alpha(x) với mọi α∈B(C)\alpha \in B(C) (theo quan hệ thứ tự được xác định bởi C); (iii) x≥w(x)x \geq w(x) với mọi w∈Ww \in W.

Vì sα(x)=x−⟨x,α∨⟩αs_\alpha(x) = x - \langle x, \alpha^\vee \rangle \alpha và vì C‾\overline{C} là tập hợp các phần tử x∈Vx \in V sao cho ⟨x,α∨⟩≥0\langle x, \alpha^\vee \rangle \geq 0 với mọi α∈B(C)\alpha \in B(C), sự tương đương của (i) và (ii) là hiển nhiên. Mặt khác, rõ ràng là (iii) ⟹\Longrightarrow (ii). Ta chứng minh rằng (i) ⟹\Longrightarrow (iii). Cho x∈C‾x \in \overline{C}, và cho w∈Ww \in W. Ta lập luận bằng quy nạp theo độ dài l(w)l(w) của ww. Trường hợp l(w)=0l(w) = 0 là tầm thường. Nếu l(w)≥1l(w) \geq 1, ww có thể được viết dưới dạng w=w′sαw = w' s_\alpha, với α∈B(C)\alpha \in B(C) và l(w′)=l(w)−1l(w') = l(w) - 1. Khi đó

x−w(x)=x−w′(x)+w′(x−sα(x)). x - w(x) = x - w'(x) + w'(x - s_\alpha(x)).

Giả thiết quy nạp chỉ ra rằng x−w′(x)x - w'(x) là dương. Mặt khác,

w′(x−sα(x))=w(sα(x)−x)=−⟨x,α∨⟩w(α). w'(x - s_\alpha(x)) = w(s_\alpha(x) - x) = -\langle x, \alpha^\vee \rangle w(\alpha).

Bây giờ sα∈Tw−1s_\alpha \in T_{w^{-1}}, và Mệnh đề 17 (ii) chỉ ra rằng w(α)<0w(\alpha) < 0. Do đó có kết quả.

Hệ quả

Một phần tử x∈Cx \in C khi và chỉ khi x>w(x)x > w(x) với mọi w∈Ww \in W sao cho w≠1w \neq 1.

Mệnh đề 19

Cho (βi)1≤i≤n(\beta_i)_{1 \leq i \leq n} là một dãy các nghiệm dương đối với phòng CC sao cho β1+β2+⋯+βn\beta_1 + \beta_2 + \cdots + \beta_n là một nghiệm. Khi đó tồn tại một phép hoán vị π∈Sn\pi \in S_n sao cho, với mọi i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \ldots, n\}, βπ(1)+βπ(2)+⋯+βπ(i)\beta_{\pi(1)} + \beta_{\pi(2)} + \cdots + \beta_{\pi(i)} là một nghiệm.

Ta lập luận bằng quy nạp theo nn, mệnh đề hiển nhiên đối với n≤2n \leq 2. Đặt β=β1+⋯+βn\beta = \beta_1 + \cdots + \beta_n. Khi đó ∑i=1n(β∣βi)=(β∣β)>0\sum_{i=1}^n (\beta|\beta_i) = (\beta|\beta) > 0, do đó tồn tại một chỉ số kk sao cho (β∣βk)>0(\beta|\beta_k) > 0. Nếu β=βk\beta = \beta_k, thì n=1n = 1 vì βi>0\beta_i > 0 với mọi ii. Ngược lại β−βk\beta - \beta_k là một nghiệm (no. 3, Hệ quả của Định lý 1); khi đó chỉ cần áp dụng giả thiết quy nạp cho β−βk=∑i≠kβi\beta - \beta_k = \sum_{i \neq k} \beta_i.

Hệ quả 1

Cho α∈R+(C)\alpha \in R_+(C). Khi đó α∈B(C)\alpha \in B(C) khi và chỉ khi α\alpha là tổng của hai nghiệm dương.

Nếu α\alpha là tổng của hai nghiệm dương, Định lý 3 cho thấy rằng α∈B(C)\alpha \in B(C). Nếu α∉B(C)\alpha \notin B(C), Định lý 3 cho thấy rằng α=∑k=1nβk\alpha = \sum_{k=1}^n \beta_k với βk∈B(C)\beta_k \in B(C) với mọi kk và n≥2n \geq 2.

Hoán vị các βk\beta_k nếu cần, ta có thể giả sử rằng ∑k=1n−1\sum_{k=1}^{n-1} là một nghiệm (Mệnh đề 19), và do đó α\alpha là tổng của các nghiệm dương ∑k=1n−1βk\sum_{k=1}^{n-1} \beta_k và βn\beta_n.

Hệ quả 2

Cho φ\varphi là một ánh xạ từ RR vào một nhóm Abel Γ\Gamma có các tính chất sau:

1) φ(−α)=−φ(α)\varphi(-\alpha) = -\varphi(\alpha) với α∈R\alpha \in R; 2) nếu α∈R,β∈R\alpha \in R, \beta \in R là sao cho α+β∈R\alpha + \beta \in R, thì φ(α+β)=φ(α)+φ(β)\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta).

Gọi QQ là nhóm con của VV sinh bởi RR. Khi đó φ\varphi mở rộng thành một đồng cấu từ QQ đến Γ\Gamma.

Cho BB là một cơ sở của RR. Cho ψ\psi là đồng cấu duy nhất từ QQ đến Γ\Gamma trùng với φ\varphi trên BB. Chỉ cần chứng minh rằng ψ(α)=φ(α)\psi(\alpha) = \varphi(\alpha) khi α\alpha là một nghiệm dương đối với BB. Ta có α=β1+⋯+βm\alpha = \beta_1 + \cdots + \beta_m với βi∈B\beta_i \in B với mọi ii, và β1+⋯+βh∈R\beta_1 + \cdots + \beta_h \in R với mọi hh (Mệnh đề 19). Ta chứng minh rằng ψ(α)=φ(α)\psi(\alpha) = \varphi(\alpha) bằng quy nạp theo mm. Điều này là hiển nhiên nếu m=1m = 1. Giả thiết quy nạp cho

ψ(β1+⋯+βm−1)=φ(β1+⋯+βm−1), \psi(\beta_1 + \cdots + \beta_{m-1}) = \varphi(\beta_1 + \cdots + \beta_{m-1}),

và ta có ψ(βm)=φ(βm)\psi(\beta_m) = \varphi(\beta_m), do đó ψ(α)=φ(α)\psi(\alpha) = \varphi(\alpha), điều này chứng minh hệ quả.

Với mọi nghiệm α=∑β∈B(C)nββ\alpha = \sum_{\beta \in B(C)} n_\beta \beta trong RR, ký hiệu Y(α)Y(\alpha) là tập hợp các β∈B(C)\beta \in B(C) sao cho nβ≠0n_\beta \neq 0. Hơn nữa, nhận xét rằng B(C)B(C) có thể được đồng nhất với tập hợp các đỉnh của đồ thị của hệ Coxeter được tạo bởi W(R)W(R) và các sαis_{\alpha_i} (xem Ch. IV, § 1, no. 9 và Ch. V, § 3, no. 2).

Hệ quả 3

a) Cho α∈R\alpha \in \mathbf{R}. Khi đó Y(α)Y(\alpha) là một tập con liên thông của B(C)B(C) (Ch. IV, Phụ lục).

b) Cho YY là một tập con liên thông khác rỗng của B(C)B(C). Khi đó ∑β∈Yβ\sum_{\beta \in Y} \beta thuộc về R\mathbf{R}.

Để chứng minh a), ta có thể giả sử rằng α\alpha là dương. Ta lập luận bằng quy nạp theo Card(Y(α))\mathrm{Card}(Y(\alpha)), với mệnh đề là tầm thường nếu Card(Y(α))=1\mathrm{Card}(Y(\alpha)) = 1. Theo Mệnh đề 19, tồn tại β∈B(C)\beta \in B(C) sao cho α−β∈R\alpha - \beta \in \mathbf{R}. Gọi pp là số nguyên lớn nhất ⩾0\geqslant 0 sao cho γ=α−pβ∈R\gamma = \alpha - p\beta \in \mathbf{R}. Vì γ−β∉R\gamma - \beta \notin \mathbf{R} và γ+pβ∈R\gamma + p\beta \in \mathbf{R}, nên (γ∣β)≠0(\gamma|\beta) \neq 0 (Mệnh đề 9); do đó β\beta được nối với ít nhất một phần tử của Y(γ)Y(\gamma). Nhưng Y(α)=Y(γ)∪{β}Y(\alpha) = Y(\gamma) \cup \{\beta\}, và Y(γ)Y(\gamma) là liên thông theo giả thiết quy nạp. Vậy Y(α)Y(\alpha) là liên thông, điều này chứng minh a).

Bây giờ lấy YY là một tập con liên thông không rỗng của B(C)B(C); ta chứng minh bằng quy nạp theo Card(Y)\mathrm{Card}(Y) rằng ∑β∈Yβ\sum_{\beta \in Y} \beta là một nghiệm. Trường hợp Card(Y)⩽1\mathrm{Card}(Y) \leqslant 1 là tầm thường. Giả sử rằng Card(Y)⩾2\mathrm{Card}(Y) \geqslant 2. Vì XX là một rừng (Chương V, § 4, no. 8, Mệnh đề 8), YY là một cây và có một đỉnh tận cùng β\beta (Chương IV, Phụ lục). Tập hợp Y−{β}Y - \{\beta\} là liên thông, và một trong các phần tử của nó được nối với β\beta. Theo giả thiết quy nạp, α=∑γ∈Y−{β}γ∈R\alpha = \sum_{\gamma \in Y - \{\beta\}} \gamma \in \mathbf{R}, và vì (α∣β)<0(\alpha|\beta) < 0, suy ra rằng α+β∈R\alpha + \beta \in \mathbf{R} (Định lý 1). Đpcm.

7. Các tập hợp đóng của các nghiệm

Định nghĩa 4

Cho PP là một tập con của R\mathbf{R}.

(i) PP được gọi là đóng nếu các điều kiện α∈P,β∈P,α+β∈R\alpha \in P, \beta \in P, \alpha + \beta \in \mathbf{R} kéo theo α+β∈P\alpha + \beta \in P.

(ii) PP được gọi là parabol nếu PP là đóng và nếu P∪(−P)=RP \cup (-P) = \mathbf{R}.

(iii) PP được gọi là đối xứng nếu P=−PP = -P.

Bổ đề 3

Cho CC là một phòng của R\mathbf{R} và PP là một tập con đóng của R\mathbf{R} chứa R+(C)R_+(C) (theo ký hiệu của no. 6). Đặt Σ=B(C)∩(−P)\Sigma = B(C) \cap (-P), và gọi QQ là tập hợp các nghiệm là các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của Σ\Sigma với hệ số nguyên không dương. Khi đó, P=R+(C)∪QP = R_+(C) \cup Q.

Chỉ cần chứng minh rằng P∩(−R+(C))=QP \cap (-R_+(C)) = Q. Cho −α∈Q-\alpha \in Q. Khi đó α\alpha là tổng của nn phần tử của Σ\Sigma. Ta chứng minh, bằng quy nạp theo nn, rằng −α∈P-\alpha \in P. Điều này hiển nhiên nếu n=1n = 1. Nếu n>1n > 1, thì theo Mệnh đề 19 của no. 6 ta có thể viết α=β+γ\alpha = \beta + \gamma với γ∈Σ\gamma \in \Sigma và β\beta là tổng của n−1n - 1 phần tử của Σ\Sigma. Theo giả thiết quy nạp, −β∈P-\beta \in P; vì −γ∈P-\gamma \in P và vì PP là đóng, nên −α∈P-\alpha \in P. Do đó, Q⊆P∩(−R+(C))Q \subseteq P \cap (-R_+(C)). Ngược lại, cho −α∈P∩(−R+(C))-\alpha \in P \cap (-R_+(C)). Khi đó α\alpha là tổng của pp phần tử của B(C)B(C). Ta chứng minh, bằng quy nạp theo pp, rằng −α∈Q-\alpha \in Q. Điều này hiển nhiên nếu p=1p = 1. Nếu p>1p > 1, thì theo Mệnh đề 19, ta có thể viết α=β+γ\alpha = \beta + \gamma với γ∈B(C)\gamma \in B(C) và β\beta là một nghiệm là tổng của p−1p - 1 phần tử của B(C)B(C). Vì −γ=β+(−α)-\gamma = \beta + (-\alpha) và vì PP là đóng, nên −γ∈P-\gamma \in P, do đó γ∈Σ\gamma \in \Sigma. Hơn nữa, −β=γ+(−α)-\beta = \gamma + (-\alpha) nên −β∈P-\beta \in P vì PP là đóng. Theo giả thiết quy nạp, −β∈Q-\beta \in Q, do đó −α=−β−γ∈Q-\alpha = -\beta - \gamma \in Q. Do đó, P∩(−R+(C))⊆QP \cap (-R_+(C)) \subseteq Q.

Mệnh đề 20

Cho PP là một tập con của RR. Các điều kiện sau là tương đương*:

(i) PP là parabolic; (ii) PP là đóng và tồn tại một phòng CC của RR sao cho P⊇R+(C)P \supseteq R_+(C); (iii) tồn tại một phòng CC của RR và một tập con Σ\Sigma của B(C)B(C) sao cho PP là hợp của R+(C)R_+(C) và tập hợp QQ gồm các nghiệm là các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của Σ\Sigma với các hệ số nguyên không dương.

(ii) ⟹\Longrightarrow (iii): điều này suy ra từ Bổ đề 3.

(iii) ⟹\Longrightarrow (i): ta áp dụng các giả thiết và ký hiệu của (iii). Rõ ràng là P∪(−P)=RP \cup (-P) = R. Ta chứng minh rằng, nếu α,β∈P\alpha, \beta \in P sao cho α+β∈R\alpha + \beta \in R, thì α+β∈P\alpha + \beta \in P. Điều này là hiển nhiên nếu nghiệm α+β\alpha + \beta là dương. Giả sử rằng α+β\alpha + \beta là âm. Khi đó α+β=∑γ∈B(C)nγγ\alpha + \beta = \sum_{\gamma \in B(C)} n_\gamma \gamma, với nγ≤0n_\gamma \leq 0. Nhưng hệ số của mọi phần tử γ\gamma của B(C)−ΣB(C) - \Sigma trong α\alpha hoặc β\beta là ≥0\geq 0; do đó nγ=0n_\gamma = 0 nếu γ∈B(C)−Σ\gamma \in B(C) - \Sigma, vậy α+β∈Q⊆P\alpha + \beta \in Q \subseteq P.

(i) ⟹\Longrightarrow (ii): giả sử rằng PP là parabol. Cho CC là một phòng sao cho Card(P∩R+(C))\mathrm{Card}(P \cap R_+(C)) là lớn nhất có thể. Cho α∈B(C)\alpha \in B(C) và giả sử rằng α∈P\alpha \in P, sao cho −α∈P-\alpha \in P. Với mọi β∈P∩R+(C)\beta \in P \cap R_+(C), β\beta không tỷ lệ với α\alpha (vì giả thiết β=2α\beta = 2\alpha sẽ kéo theo α=2α+(−α)∈P\alpha = 2\alpha + (-\alpha) \in P do PP đóng). Do đó sα(β)∈R+(C)s_\alpha(\beta) \in R_+(C) (no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 17). Nếu đặt C′=sα(C)C' = s_\alpha(C), thì β=sα(sα(β))∈sα(R+(C))=R+(C)\beta = s_\alpha(s_\alpha(\beta)) \in s_\alpha(R_+(C)) = R_+(C), vậy −α∈P∩R+(C′)-\alpha \in P \cap R_+(C') và do đó Card(P∩R+(C′))>Card(P∩R+(C))\mathrm{Card}(P \cap R_+(C')) > \mathrm{Card}(P \cap R_+(C)). Điều này là vô lý, vì α∈P\alpha \in P. Do đó B(C)⊆PB(C) \subseteq P, và do đó R+(C)⊆PR_+(C) \subseteq P theo Mệnh đề 19 và do PP đóng.

Hệ quả 1

Cho PP là một tập con của RR. Các điều kiện sau là tương đương*:

(i) tồn tại một phòng CC sao cho P=R+(C)P = R_+(C); (ii) PP đóng và {P,−P}\{P, -P\} là một phân hoạch của RR.

Phòng CC sao cho P=R+(C)P = R_+(C) khi đó là duy nhất.

Nếu P=R+(C)P = R_+(C), CC là tập hợp các x∗∈V∗x^* \in V^* sao cho ⟨x∗,x⟩>0\langle x^*, x \rangle > 0 với mọi x∈Px \in P, do đó CC có tính duy nhất.

Hệ quả 2

Giả sử rằng VV được trang bị cấu trúc của một không gian vectơ có thứ tự sao cho, đối với cấu trúc này, mọi nghiệm của RR đều là dương hoặc âm. Cho PP là tập hợp các nghiệm dương đối với cấu trúc này. Khi đó tồn tại duy nhất một phòng CC của RR sao cho P=R+(C)P = R_+(C)*.

Quả thực, PP thỏa mãn điều kiện (ii) của Hệ quả 1.

Hệ quả này đặc biệt áp dụng khi cấp đang được xét là toàn phần, khi đó điều kiện trên RR được thỏa mãn một cách tự động. Nhắc lại rằng một cấp như vậy có thể thu được, chẳng hạn, bằng cách chọn một cơ sở (ei)1≤i≤n(e_i)_{1 \leq i \leq n} của VV và lấy cấp từ điển trên VV, sao cho x=∑iξieix = \sum_i \xi_i e_i là ≥0\geq 0 nếu tất cả các ξi\xi_i đều là 0, hoặc nếu ξi>0\xi_i > 0 với chỉ số nhỏ nhất ii sao cho ξi≠0\xi_i \neq 0.

Hệ quả 3

Một tập con B của R là một cơ sở của R khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) các phần tử của B độc lập tuyến tính; (ii) mọi nghiệm của R là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của B trong đó các hệ số hoặc đều dương hoặc đều âm; (iii) mọi nghiệm của B là không phân chia được.

Ta đã biết rằng các điều kiện là cần thiết (no. 5, Định lý 2, và no. 6, Định lý 3). Giả sử rằng các điều kiện (i), (ii), (iii) được thỏa mãn. Gọi P là tập hợp các nghiệm là các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của B với các hệ số ≥0\geq 0. Vì P thỏa mãn điều kiện (ii) của Hệ quả 1, tồn tại một phòng C sao cho P=R+(C)P = R_+(C); đặt B′=B(C)B' = B(C), và gọi X và X′X' là các nón lồi sinh bởi B và B′B'. Khi đó

B⊆P⊆XvaˋB′⊆P⊆X′, B \subseteq P \subseteq X \quad \text{và} \quad B' \subseteq P \subseteq X',

điều này cho thấy X và X′X' đều được sinh bởi P, và do đó trùng nhau. Nhưng các nửa đường thẳng sinh bởi các phần tử của B (tương ứng bởi B′B') là các phần tử sinh cực biên của X (tương ứng của X′X'); vì một nửa đường thẳng như vậy chỉ chứa một nghiệm không phân chia được, nên B=B′B = B'.

Hệ quả 4

Cho B là một cơ sở của R, B′B' là một tập con của B, V′V' là không gian con vectơ của V sinh bởi B′B', và R′=R∩V′R' = R \cap V'. Khi đó B′B' là một cơ sở của hệ nghiệm B′B'.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 3 và Hệ quả của Mệnh đề 4.

Ta gọi R′R' là hệ nghiệm sinh bởi B′B'.

Hệ quả 5

Cho B là một cơ sở của R, A1,A2,…,ArA_1, A_2, \ldots, A_r là các tập con của B trực giao từng đôi một, và A=A1∪A2∪⋯∪ArA = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_r. Khi đó mọi nghiệm α\alpha là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của A thực sự là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của một trong các AiA_i. Đặc biệt, nếu R là bất khả quy, không có phân hoạch nào của B thành các tập con trực giao từng đôi một.

Gọi E1,…,Er,EE_1, \ldots, E_r, E là các không gian con vectơ của V lần lượt sinh bởi A1,…,Ar,AA_1, \ldots, A_r, A. Theo Hệ quả 4, ta có thể giả sử rằng E=VE = V. Khi đó, theo Định lý 2 (vii) của no. 5, các EiE_i ổn định dưới tác động của W(R)W(R), do đó R là hợp của các R∩EiR \cap E_i (no. 2, Mệnh đề 5).

Hệ quả 6

Ta chấp nhận các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 20. Gọi V1V_1 là không gian con vectơ của V sinh bởi Σ\Sigma. Khi đó P∩(−P)=Q∪(−Q)=V1∩RP \cap (-P) = Q \cup (-Q) = V_1 \cap R là một hệ nghiệm trong V1V_1 với cơ sở Σ\Sigma.

Ta có P∩(−P)=(R+(C)∪Q)∩((−R+(C))∪(−Q))=Q∪(−Q)P \cap (-P) = (R_+(C) \cup Q) \cap ((-R_+(C)) \cup (-Q)) = Q \cup (-Q). Định lý 3 chứng minh rằng Q∪(−Q)=V1∩RQ \cup (-Q) = V_1 \cap R. Cuối cùng, Σ\Sigma là một cơ sở của hệ nghiệm V1∩RV_1 \cap R theo Hệ quả 4.

Mệnh đề 21

Cho C (tương ứng C′C') là một buồng của R, Σ\Sigma (tương ứng Σ′\Sigma') là một tập con của B(C)B(C) (tương ứng B(C′)B(C')), Q (tương ứng Q′Q') là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của Σ\Sigma (tương ứng Σ′\Sigma') với các hệ số nguyên âm, và P=Q∪R+(C)P = Q \cup R_+(C) (tương ứng P′=Q′∪R+(C′)P' = Q' \cup R_+(C')). Nếu tồn tại một phần tử của nhóm Weyl biến đổi P thành P′P', thì tồn tại một phần tử của nhóm Weyl biến đổi C thành C′C' và Σ\Sigma thành Σ′\Sigma'.

Ta rút gọn ngay lập tức về trường hợp P=P′P = P'. Cho V1V_1 là không gian con vectơ của V sinh bởi P∩(−P)P \cap (-P). Khi đó Σ\Sigma và Σ′\Sigma' là các cơ sở của hệ nghiệm R1=P∩(−P)R_1 = P \cap (-P) trong V1V_1 (Hệ quả 6 của Mệnh đề 20). Do đó tồn tại g1∈W(R1)g_1 \in W(R_1) sao cho g1(Σ)=Σ′g_1(\Sigma) = \Sigma'. Rõ ràng g1g_1 được cảm sinh bởi một phần tử gg của W(R)W(R) là tích của các phép đối xứng sσs_\sigma với σ∈Σ\sigma \in \Sigma. Cho γ=∑β∈B(C)cββ\gamma = \sum_{\beta \in B(C)} c_\beta \beta là một phần tử của P−R1P - R_1. Khi đó cβ>0c_\beta > 0 với ít nhất một β∈B(C)−Σ\beta \in B(C) - \Sigma. Hơn nữa, nếu σ∈Σ\sigma \in \Sigma, thì sσ(γ)−γ∈V1s_\sigma(\gamma) - \gamma \in V_1, do đó sσ(γ)s_\sigma(\gamma) có ít nhất một tọa độ >0> 0 đối với B(C)B(C) (no. 1, công thức (5)), suy ra sσ(γ)∈R+(C)s_\sigma(\gamma) \in R_+(C) và cuối cùng sσ(γ)∈P−R1s_\sigma(\gamma) \in P - R_1. Suy ra P−R1P - R_1 ổn định dưới các sσ,σ∈Σs_\sigma, \sigma \in \Sigma, và do đó dưới g, nên g(P)=Pg(P) = P. Vì vậy ta quy về việc chứng minh mệnh đề trong trường hợp P=P′P = P' và Σ=Σ′\Sigma = \Sigma'. Trong trường hợp này, Q=Q′Q = Q', do đó R+(C)=P−Q=P−Q′=R+(C′)R_+(C) = P - Q = P - Q' = R_+(C'), và vì thế C=C′C = C' (Hệ quả 1 của Mệnh đề 20).

Hệ quả

Cho P, P′P' là hai tập con parabolic của R được biến đổi thành nhau bởi một phần tử của nhóm Weyl. Nếu tồn tại một buồng C của R sao cho R+(C)⊆PR_+(C) \subseteq P và R+(C)⊆P′R_+(C) \subseteq P', thì P=P′P = P'.

Điều này suy ra từ Bổ đề 3 và Mệnh đề 21 vì phần tử duy nhất của W(R)W(R) biến đổi C thành C là 1, xem no. 5, Định lý 2.

Mệnh đề 22

Cho P là một tập hợp đóng của R sao cho P∩(−P)=∅P \cap (-P) = \varnothing. Khi đó tồn tại một buồng C của R sao cho P⊆R+(C)P \subseteq R_+(C).

1) Theo Hệ quả của Định lý 1, no. 3, các giả thiết α∈P,β∈P,(α∣β)<0\alpha \in P, \beta \in P, (\alpha|\beta) < 0 kéo theo α+β∈P\alpha + \beta \in P.

2) Ta chứng minh rằng không có tổng nào α1+⋯+αq\alpha_1 + \cdots + \alpha_q (q⩾1q \geqslant 1) của các phần tử của P là không. Ta tiến hành bằng quy nạp theo qq. Mệnh đề hiển nhiên đối với q=1q = 1, giả sử rằng q⩾2q \geqslant 2. Nếu α1+⋯+αq=0\alpha_1 + \cdots + \alpha_q = 0, thì

−α1=α2+⋯+αq, -\alpha_1 = \alpha_2 + \cdots + \alpha_q,

do đó (−α1∣α2+⋯+αq)>0(-\alpha_1|\alpha_2 + \cdots + \alpha_q) > 0, suy ra tồn tại j∈{2,q}j \in \{2, q\} sao cho (α1∣αj)<0(\alpha_1|\alpha_j) < 0. Theo phần 1) của chứng minh, α1+αj∈P\alpha_1 + \alpha_j \in P, và quan hệ (α1+αj)+∑i≠1,jαi=0(\alpha_1 + \alpha_j) + \sum_{i \neq 1, j} \alpha_i = 0 mâu thuẫn với giả thiết quy nạp.

3) Ta chứng minh rằng tồn tại một phần tử khác không γ\gamma trong VV sao cho (γ∣α)⩾0(\gamma|\alpha) \geqslant 0 với mọi α∈P\alpha \in P. Nếu không, kết quả của 1) sẽ cho thấy rằng có thể tìm được một dãy vô hạn α1,α2,…\alpha_1, \alpha_2, \ldots các phần tử của PP sao cho

βi=α1+⋯+αi∈P \beta_i = \alpha_1 + \cdots + \alpha_i \in P
với mọi ii; sẽ tồn tại hai số nguyên phân biệt i,ji, j sao cho βi=βj\beta_i = \beta_j, điều này sẽ mâu thuẫn với kết quả của 2).

4) Để chứng minh mệnh đề, chỉ cần (Hệ quả 2 của Mệnh đề 20) chỉ ra rằng tồn tại một cơ sở (αk)1≤k≤l(\alpha_k)_{1 \leq k \leq l} của VV sao cho, đối với thứ tự từ điển được xác định bởi cơ sở này, mọi phần tử của PP đều >0> 0. Ta tiến hành bằng quy nạp theo l=dim⁡Vl = \dim V, và giả sử rằng mệnh đề đã được thiết lập cho mọi số chiều <l< l. Cho γ∈V\gamma \in V là sao cho γ≠0\gamma \neq 0 và (γ∣α)⩾0(\gamma|\alpha) \geqslant 0 với mọi α∈P\alpha \in P (xem 3)). Gọi LL là siêu phẳng trực giao với γ\gamma, và V′V' là không gian con của LL sinh bởi R∩LR \cap L. Khi đó R∩LR \cap L là một hệ nghiệm trong V′V' và P∩LP \cap L là đóng trong R∩LR \cap L. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một cơ sở (β1,…,βl′)(\beta_1, \ldots, \beta_{l'}) của V′V' sao cho các phần tử của P∩LP \cap L là >0> 0 đối với thứ tự từ điển được xác định bởi cơ sở này. Khi đó mọi cơ sở của VV mà l′+1l' + 1 phần tử đầu tiên là γ,β1,…,βl′\gamma, \beta_1, \ldots, \beta_{l'} và các phần tử còn lại thuộc LL đều có tính chất cần có.

Mệnh đề 23

Cho PP là một tập con của RR và V1V_1 (tương ứng Γ\Gamma) là không gian con vectơ (tương ứng nhóm con) của VV sinh bởi PP. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) P là đóng và đối xứng; (ii) P là đóng, và P là một hệ nghiệm trong V1V_1; (iii) Γ∩R=P\Gamma \cap R = P.

Giả sử rằng các điều kiện này được thỏa mãn. Với mọi α∈P\alpha \in P, gọi α1~\alpha_1 \tilde{} là hạn chế của α~\alpha \tilde{} lên V1V_1. Khi đó ánh xạ α↦α1~\alpha \mapsto \alpha_1 \tilde{} là song ánh chính tắc từ hệ nghiệm PP đến P~P \tilde{}.

(iii) ⟹\Longrightarrow (i): hiển nhiên.

(i) ⟹\Longrightarrow (ii): giả sử rằng PP đóng và đối xứng. Trước hết, PP thỏa mãn (RS_I) trong V1V_1. Ta chứng minh rằng, nếu α,β∈P\alpha, \beta \in P, thì sα(β)∈Ps_\alpha(\beta) \in P. Điều này hiển nhiên nếu α\alpha và β\beta tỉ lệ. Nếu không, sα(β)=β−n(β,α)αs_\alpha(\beta) = \beta - n(\beta, \alpha)\alpha và β−pα∈R\beta - p\alpha \in R với mọi số nguyên hữu tỉ pp nằm giữa 0 và n(β,α)n(\beta, \alpha) (Mệnh đề 9, no. 3), do đó

β−n(β,α)α∈P \beta - n(\beta, \alpha)\alpha \in P
vì PP đóng và đối xứng. Vậy, sα,α1(P)=Ps_{\alpha, \alpha_1}(P) = P, và PP thỏa mãn (RS_{II}). Hiển nhiên rằng PP thỏa mãn (RS_{III}). Vậy, PP thỏa mãn (ii), và đồng thời ta đã chứng minh khẳng định cuối cùng của mệnh đề.

(ii) ⟹\Longrightarrow (iii): ta chứng minh rằng, nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, thì Γ∩R=P\Gamma \cap R = P. Hiển nhiên rằng P⊆Γ∩RP \subseteq \Gamma \cap R. Cho β∈Γ∩R\beta \in \Gamma \cap R. Vì β∈Γ\beta \in \Gamma và P=−PP = -P, ta có β=α1+α2+⋯+αk\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k với α1,…,αk∈P\alpha_1, \ldots, \alpha_k \in P. Ta sẽ chứng minh rằng β∈P\beta \in P. Điều này hiển nhiên nếu k=1k = 1. Ta lập luận bằng quy nạp theo kk. Ta có

0<(β∣β)=∑i=1k(β∣αi), 0 < (\beta|\beta) = \sum_{i=1}^{k} (\beta|\alpha_i),
nên (β∣αi)>0(\beta|\alpha_i) > 0 với một chỉ số ii nào đó. Nếu β=αi\beta = \alpha_i, thì β∈P\beta \in P. Nếu không, β−αi∈R\beta - \alpha_i \in R (Hệ quả của Định lý 1, no. 3), do đó β−αi∈P\beta - \alpha_i \in P theo giả thiết quy nạp, suy ra β∈P\beta \in P vì PP đóng.

Các điều kiện của Mệnh đề 23 có thể được thực hiện với V1=VV_1 = V nhưng vẫn có P≠RP \neq R. Ví dụ, đây là trường hợp khi RR là một hệ kiểu G2G_2 và PP là một hệ kiểu A2A_2; cf. Bản X.

Mệnh đề 24

Cho R′R' là giao của RR với một không gian con vectơ của VV, sao cho R′R' là một hệ nghiệm trong không gian con vectơ V′V' mà nó sinh ra (cf. Hệ quả của Mệnh đề 4, no. 1). Cho B′B' là một cơ sở của R′R'.

(i) Tồn tại một cơ sở của RR chứa B′B'. (ii) R′R' là tập hợp các phần tử của RR là các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của B′B'.

Mệnh đề (ii) là rõ ràng. Ta chứng minh (i). Cho (ε1,ε2,…,εl)(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_l) là một cơ sở của VV sao cho B′=(εp+1,εp+2,…,εl)B' = (\varepsilon_{p+1}, \varepsilon_{p+2}, \ldots, \varepsilon_l). Thứ tự từ điển trên VV tương ứng với cơ sở này xác định một buồng CC của RR. Rõ ràng rằng mọi phần tử của B′B' đều là cực tiểu trong R+(C)R_+(C). Do đó B′⊆B(C)B' \subseteq B(C).

8. Nghiệm cao nhất

Mệnh đề 25

Giả sử rằng RR là bất khả quy. Cho CC là một buồng của RR, và cho B(C)={α1,…,αl}B(C) = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\} là cơ sở tương ứng.

(i) Tồn tại một nghiệm α~=∑i=1lniαi\tilde{\alpha} = \sum_{i=1}^{l} n_i \alpha_i sao cho, với mọi nghiệm ∑i=1lpiαi\sum_{i=1}^{l} p_i \alpha_i, ta có n1≥p1,n2≥p2,…,nl≥pln_1 \geq p_1, n_2 \geq p_2, \ldots, n_l \geq p_l. Nói cách khác, RR có một phần tử lớn nhất đối với quan hệ thứ tự được xác định bởi CC. (ii) Ta có α~∈C‾\tilde{\alpha} \in \overline{C}. (iii) Ta có (α~∣α~)≥(α∣α)(\tilde{\alpha}|\tilde{\alpha}) \geq (\alpha|\alpha) với mọi nghiệm α\alpha. (iv) Với mọi nghiệm dương α′\alpha' không tỉ lệ với α~\tilde{\alpha}, ta có n(α′,α~)=0n(\alpha', \tilde{\alpha}) = 0 hoặc 11.

1) Cho α=∑i=1lniαi\alpha = \sum_{i=1}^{l} n_i \alpha_i, β=∑i=1lpiαi\beta = \sum_{i=1}^{l} p_i \alpha_i là hai nghiệm lớn nhất đối với quan hệ thứ tự được xác định bởi CC. Ta sẽ chứng minh rằng α=β\alpha = \beta, điều này sẽ thiết lập (i).

2) Nếu (α∣αi)<0(\alpha|\alpha_i) < 0 với một chỉ số ii nào đó, suy ra rằng hoặc α+αi∈R\alpha + \alpha_i \in R hoặc α=−αi\alpha = -\alpha_i (Hệ quả của Định lý 1, no. 3), và cả hai khả năng đều vô lý do tính lớn nhất của α\alpha. Vì vậy (α∣αi)≥0(\alpha|\alpha_i) \geq 0 với mọi ii.

3) Nếu α<0\alpha < 0, thì α<−α\alpha < -\alpha, điều này là vô lý. Do đó ni≥0n_i \geq 0 với mọi ii. Gọi JJ là tập hợp các ii sao cho ni>0n_i > 0, và J′J' là phần bù của JJ trong {1,2,…,l}\{1, 2, \ldots, l\}. Khi đó J≠∅J \neq \varnothing. Nếu J′J' không rỗng, tồn tại một i∈Ji \in J và một i′∈J′i' \in J' sao cho (αi∣αi′)<0(\alpha_i|\alpha_{i'}) < 0 (Hệ quả 5 của Mệnh đề 20, no. 7); khi đó ta có

(α∣αi′)=∑i∈Ini(αi∣αi′)<0(\alpha | \alpha_{i'}) = \sum_{i \in I} n_i (\alpha_i | \alpha_{i'}) < 0

vì (αj∣αk)≤0(\alpha_j | \alpha_k) \leq 0 với mọi jj và kk phân biệt, điều này sẽ mâu thuẫn với 2). Do đó J′=∅J' = \varnothing và ni>0n_i > 0 với mọi ii.

4) Ta có (β∣αi)≥0(\beta | \alpha_i) \geq 0 với mọi ii theo 2). Ta không thể có (β∣αi)=0(\beta | \alpha_i) = 0 với mọi ii vì β≠0\beta \neq 0. Từ 3) ta suy ra rằng

(β∣α)=∑ini(β∣αi)>0.(\beta | \alpha) = \sum_i n_i (\beta | \alpha_i) > 0.

Nếu γ=α−β∈R\gamma = \alpha - \beta \in \mathbf{R}, thì hoặc α>β\alpha > \beta hoặc β>α\beta > \alpha (Đl. 3, no. 6), điều này mâu thuẫn với tính cực đại của α\alpha và β\beta. Do đó α=β\alpha = \beta (Hệ quả của Đl. 1, no. 3).

5) Theo 2), α~∈C‾\tilde{\alpha} \in \overline{C}. Ta sẽ chứng minh rằng (α′∣α′)≤(α~∣α~)(\alpha' | \alpha') \leq (\tilde{\alpha} | \tilde{\alpha}) với mọi α′∈R\alpha' \in \mathbf{R}. Vì C‾\overline{C} là một miền cơ bản của W(R)W(\mathbf{R}), ta có thể giả sử rằng α′∈C‾\alpha' \in \overline{C}. Ta có α~−α′≥0\tilde{\alpha} - \alpha' \geq 0, do đó (α~−α′∣x)≥0(\tilde{\alpha} - \alpha' | x) \geq 0 với mọi x∈C‾x \in \overline{C}. Đặc biệt (α~−α′∣α~)≥0(\tilde{\alpha} - \alpha' | \tilde{\alpha}) \geq 0 và (α~−α′∣α′)≥0(\tilde{\alpha} - \alpha' | \alpha') \geq 0, suy ra (α~∣α~)≥(α′∣α~)≥(α′∣α′)(\tilde{\alpha} | \tilde{\alpha}) \geq (\alpha' | \tilde{\alpha}) \geq (\alpha' | \alpha'). Như vậy n(α′,α~)n(\alpha', \tilde{\alpha}) phải bằng 0, 1 hoặc -1 nếu α′\alpha' không tỉ lệ với α~\tilde{\alpha}. Nếu α′≥0\alpha' \geq 0, thì (α~∣α′)≥0(\tilde{\alpha} | \alpha') \geq 0 theo 2), do đó n(α′,α~)≥0n(\alpha', \tilde{\alpha}) \geq 0 và n(α′,α~)n(\alpha', \tilde{\alpha}) phải bằng 0 hoặc 1. Q.E.D.

Nhận xét

Nghiệm

α~=∑iniαi\tilde{\alpha} = \sum_i n_i \alpha_i

trong (i) được gọi là nghiệm cao nhất của R\mathbf{R} (đối với CC). Chú ý rằng, theo (i), ta có ni≥1n_i \geq 1 với mọi ii.

9. Các trọng lượng, các trọng lượng căn

Cho l=dim⁡Vl = \dim V. Ký hiệu Q(R)Q(\mathbf{R}) là nhóm con của VV sinh bởi R\mathbf{R}; các phần tử của Q(R)Q(\mathbf{R}) được gọi là các trọng lượng căn của R\mathbf{R}. Theo Đl. 3 của no. 6, Q(R)Q(\mathbf{R}) là một nhóm con rời rạc của VV có hạng ll, và mọi cơ sở của R\mathbf{R} là một cơ sở của Q(R)Q(\mathbf{R}).

Tương tự, nhóm Q(R∗)Q(\mathbf{R}^*) là một nhóm con rời rạc của V∗V^* có hạng ll.

Mệnh đề 26

Tập hợp các x∈Vx \in V sao cho ⟨x,y∗⟩∈Z\langle x, y^* \rangle \in \mathbf{Z} với mọi y∗∈Q(R∗)y^* \in Q(\mathbf{R}^*) (hay, tương đương, với mọi y∗∈R∗y^* \in \mathbf{R}^*) là một nhóm con rời rạc GG của VV chứa Q(R)Q(\mathbf{R}). Nếu B′B' là một cơ sở của R∗\mathbf{R}^*, thì cơ sở của VV đối ngẫu với B′B' là một cơ sở của GG*.

Cho x∈Vx \in V. Ba tính chất sau là tương đương:

(i) ⟨x,y∗⟩∈Z\langle x, y^* \rangle \in \mathbf{Z} với mọi y∗∈Q(R∗)y^* \in Q(\mathbf{R}^*); (ii) ⟨x,y∗⟩∈Z\langle x, y^* \rangle \in \mathbf{Z} với mọi y∗∈B′y^* \in B'; (iii) các tọa độ của xx đối với cơ sở đối ngẫu của B′B' thuộc Z\mathbf{Z}.

Từ đó suy ra rằng cơ sở đối ngẫu với B′B' là một cơ sở của GG. Mặt khác, (RSIII) chứng minh rằng R⊆G\mathbf{R} \subseteq G, do đó Q(R)⊆GQ(\mathbf{R}) \subseteq G.

Nhóm GG của Mệnh đề 26 được ký hiệu là P(R)P(\mathbf{R}), và các phần tử của nó được gọi là các trọng số của R\mathbf{R}. Ta cũng có thể xét nhóm P(R∗)P(\mathbf{R}^*) gồm các trọng số của R∗\mathbf{R}^*.

P(R)/Q(R),P(R~)/Q(R~) P(R)/Q(R), \quad P(\tilde{R})/Q(\tilde{R})

là các nhóm hữu hạn đối ngẫu trên Q/Z\mathbf{Q}/\mathbf{Z}, và do đó là đẳng cấu. Cấp chung của hai nhóm này được gọi là chỉ số liên kết của R (hoặc của R~\tilde{R}).

Nếu R là một tổng trực tiếp của các hệ nghiệm RiR_i, nhóm Q(R) (tương ứng P(R)) được đồng nhất một cách chính tắc với tổng trực tiếp của Q(RiR_i) (tương ứng P(RiR_i)).

Mệnh đề 27

Cho R1R_1 là một tập con của R, Q1Q_1 là nhóm con của Q(R) được sinh bởi R1R_1, và W1W_1 là nhóm con của W(R) được sinh bởi các sαs_\alpha (α∈R1\alpha \in R_1). Nếu p∈P(R)p \in P(R) và w∈W1w \in W_1, thì p−w(p)∈Q1p - w(p) \in Q_1.

Nếu w=sαw = s_\alpha với α∈R1\alpha \in R_1, thì

p−w(p)=⟨p,α∨⟩α∈Zα⊆Q1. p - w(p) = \langle p, \alpha^\vee \rangle \alpha \in \mathbf{Z}\alpha \subseteq Q_1.

Nếu w=sα1sα2…sαrw = s_{\alpha_1} s_{\alpha_2} \ldots s_{\alpha_r}, với α1,…,αr∈R1\alpha_1, \ldots, \alpha_r \in R_1, thì vẫn đúng rằng p−w(p)∈Q1p - w(p) \in Q_1, như ta thấy bằng quy nạp theo r.

Nhóm A(R) giữ bất biến P(R) và Q(R), và do đó tác động trên nhóm thương P(R)/Q(R). Theo Mệnh đề 27, nhóm W(R) tác động tầm thường trên P(R)/Q(R). Chuyển qua nhóm thương, ta thấy rằng nhóm thương A(R)/W(R) (xem Mệnh đề 16, no. 5) tác động một cách chính tắc trên P(R)/Q(R).

10. Các trọng số cơ bản, các trọng số trội

Giả sử rằng R là rút gọn. Cho C là một phòng của R, và cho B là cơ sở tương ứng của R. Vì R là rút gọn, B∨={α∨}α∈BB^\vee = \{ \alpha^\vee \}_{\alpha \in B} là một cơ sở của R∨R^\vee. Cơ sở đối ngẫu (ω‾α)α∈B(\overline{\omega}_\alpha)_{\alpha \in B} của B∨B^\vee do đó là một cơ sở của nhóm các trọng số; các phần tử của nó được gọi là các trọng số cơ bản (đối với B, hoặc đối với C); nếu các phần tử của B được ký hiệu bởi (α1,…,αl)(\alpha_1, \ldots, \alpha_l), thì các trọng số cơ bản tương ứng được ký hiệu bởi (ω‾1,…,ω‾l)(\overline{\omega}_1, \ldots, \overline{\omega}_l).

Cho x∈Vx \in V. Khi đó, x∈Cx \in C khi và chỉ khi ⟨x,α∨⟩>0\langle x, \alpha^\vee \rangle > 0 với mọi α∈B\alpha \in B. Suy ra rằng C là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các ω‾α\overline{\omega}_\alpha với các hệ số ≥0\geq 0.

Các phần tử n(α,β)=⟨α,β∨⟩n(\alpha, \beta) = \langle \alpha, \beta^\vee \rangle của ma trận Cartan là, với α\alpha cố định, các tọa độ của α\alpha đối với cơ sở (ω‾β)β∈B(\overline{\omega}_\beta)_{\beta \in B}:

α=∑β∈Bn(α,β)ω‾β. \alpha = \sum_{\beta \in B} n(\alpha, \beta) \overline{\omega}_\beta.

Do đó, ma trận Cartan là ma trận chuyển vị của ma trận của đơn ánh chính tắc

Q(R)→P(R) Q(R) \to P(R)

đối với các cơ sở B và (ω‾α)α∈B(\overline{\omega}_\alpha)_{\alpha \in B} của các Z\mathbf{Z}-môđun Q(R) và P(R).

Một trọng số ω‾\overline{\omega} được gọi là trội nếu nó thuộc C‾\overline{C}, nói cách khác nếu các tọa độ của nó đối với (ω‾α)α∈B(\overline{\omega}_\alpha)_{\alpha \in B} là các số nguyên ≥0\geq 0, hoặc tương đương nếu g(ω‾)≤ω‾g(\overline{\omega}) \leq \overline{\omega} với mọi g∈W(R)g \in W(R) (no. 6, Mệnh đề 18). Vì C‾\overline{C} là một miền cơ bản đối với W(R)W(R) (Định lý 2), tồn tại, với mọi trọng số ω‾\overline{\omega}, một trọng số duy nhất ω‾′\overline{\omega}' sao cho ω‾′\overline{\omega}' là một biến đổi của ω‾\overline{\omega} bởi W(R)W(R).

Ta có

⟨ω‾α,β∨⟩=(ω‾α∣2β(β∣β))=δαβ \langle \overline{\omega}_\alpha, \beta^\vee \rangle = (\overline{\omega}_\alpha | \frac{2\beta}{(\beta|\beta)}) = \delta_{\alpha\beta}
với α,β∈B\alpha, \beta \in B (δαβ\delta_{\alpha\beta} ký hiệu Kronecker), do đó
sβ(ω‾α)=ω‾α−δαββvaˋ(ω‾α∣β)=12(β∣β)δαβ. s_\beta(\overline{\omega}_\alpha) = \overline{\omega}_\alpha - \delta_{\alpha\beta}\beta \quad \text{và} \quad (\overline{\omega}_\alpha |\beta) = \frac{1}{2}(\beta|\beta)\delta_{\alpha\beta}.
Nói cách khác, ω‾α\overline{\omega}_\alpha vuông góc với β\beta đối với β≠α\beta \neq \alpha, và phép chiếu vuông góc của nó lên RαR\alpha là 12α\frac{1}{2}\alpha. Vì ω‾α∈C‾\overline{\omega}_\alpha \in \overline{C}, (ω‾α∣ω‾β)⩾0(\overline{\omega}_\alpha |\overline{\omega}_\beta) \geqslant 0 với α,β∈B\alpha, \beta \in B, nghĩa là góc (ω‾α,ω‾β)(\overline{\omega}_\alpha, \overline{\omega}_\beta) là nhọn hoặc là góc vuông. Các trọng số trội là các ω‾∈V\overline{\omega} \in V sao cho 2(ω‾∣α)/(∣α∣α)2(\overline{\omega}|\alpha)/(|\alpha|\alpha) là một số nguyên ⩾0\geqslant 0 với mọi α∈B\alpha \in B.

Mệnh đề 28

Cho* BB là một cơ sở của RR, B′B' một tập con của BB, V′V' không gian con vectơ của VV sinh bởi B′B', R′=R∩V′R' = R \cap V' (là một hệ nghiệm trong V′V'*),* R′~R'\tilde{} hệ nghiệm nghịch đảo (được đồng nhất với ảnh chính tắc của R′R' trong R′~R'\tilde{}), V1V_1 phần bù trực giao của R′~R'\tilde{} trong VV, và pp phép chiếu của VV lên V′V' song song với V1V_1. Khi đó, Q(R′)=Q(R)∩V′Q(R') = Q(R) \cap V', P(R′)=p(P(R))P(R') = p(P(R)). Tập hợp các trọng số trội của R′R' là ảnh qua pp của tập hợp các trọng số trội của RR.

Thật vậy, Q(R)Q(R) là nhóm con của VV có cơ sở BB, Q(R′)Q(R') là nhóm con của V′V' có cơ sở B′B' (no. 7, Hệ quả 4 của Mệnh đề 20), từ đó Q(R′)=Q(R)∩V′Q(R') = Q(R) \cap V' là ngay lập tức. Nếu ω‾∈P(R)\overline{\omega} \in P(R) và α∈R′\alpha \in R', ⟨p(ω‾),α∨⟩=⟨ω‾,α∨⟩∈Z\langle p(\overline{\omega}), \alpha^\vee \rangle = \langle \overline{\omega}, \alpha^\vee \rangle \in \mathbf{Z}, nên p(ω‾)∈P(R′)p(\overline{\omega}) \in P(R'), và do đó p(P(R))⊆P(R′)p(P(R)) \subseteq P(R'). Nếu ω‾′∈P(R′)\overline{\omega}' \in P(R'), ω‾′\overline{\omega}' mở rộng thành một dạng tuyến tính ω‾\overline{\omega} trên V∗V^* triệt tiêu trên (B−B′)~(B - B')\tilde{}; ta có ⟨ω‾,α∨⟩∈Z\langle \overline{\omega}, \alpha^\vee \rangle \in \mathbf{Z} với mọi α∈B\alpha \in B, nên ω‾∈P(R)\overline{\omega} \in P(R), và ω‾′=p(ω‾)\overline{\omega}' = p(\overline{\omega}); do đó P(R′)⊆p(P(R))P(R') \subseteq p(P(R)). Vậy P(R′)=p(P(R))P(R') = p(P(R)), và mệnh đề về các trọng số trội được chứng minh theo cùng cách.

Mệnh đề 29

Cho* ρ\rho là một nửa tổng của các nghiệm >0> 0.

(i) ρ=∑α∈Bω‾α\rho = \sum_{\alpha \in B} \overline{\omega}_\alpha; đây là một phần tử của CC. (ii) sα(ρ)=ρ−αs_\alpha(\rho) = \rho - \alpha với mọi α∈B\alpha \in B. (iii) (2ρ∣α)=(α∣α)(2\rho|\alpha) = (\alpha|\alpha) với mọi α∈B\alpha \in B.

Vì RR là rút gọn, ta có sα(R+(C)−{α})=R+(C)−{α}s_\alpha(R_+(C) - \{\alpha\}) = R_+(C) - \{\alpha\} và sα(α)=−αs_\alpha(\alpha) = -\alpha với α∈B\alpha \in B (no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 17), do đó sα(2ρ)=2ρ−2αs_\alpha(2\rho) = 2\rho - 2\alpha. Vì sα(ρ)=ρ−⟨ρ,α∨⟩s_\alpha(\rho) = \rho - \langle \rho, \alpha^\vee \rangle, ta thấy rằng

⟨ρ,α∨⟩=1=⟨∑β∈Bω‾β,α∨⟩. \langle \rho, \alpha^\vee \rangle = 1 = \langle \sum_{\beta \in B} \overline{\omega}_\beta, \alpha^\vee \rangle.
Suy ra, ρ=∑βω‾β\rho = \sum_{\beta} \overline{\omega}_\beta, và do đó ρ∈C\rho \in C. Cuối cùng, (iii) tương đương với ⟨ρ,α∨⟩=1\langle \rho, \alpha^\vee \rangle = 1.

Hệ quả

Gọi σ\sigma là một nửa tổng của các phần tử >0> 0 của R−R^- (đối với B−B^-). Với mọi α∈V\alpha \in V, tổng các tọa độ của α\alpha đối với cơ sở BB là ⟨α,σ⟩\langle \alpha, \sigma \rangle. Nếu α∈R\alpha \in R, tổng này bằng 12∑β∈R+(C)n(α,β)\frac{1}{2} \sum_{\beta \in R_+ (\mathbf{C})} n(\alpha, \beta).

Đổi chỗ vai trò của RR và R−R^- ở trên, ta có ⟨α,σ⟩=1\langle \alpha, \sigma \rangle = 1 với mọi α∈B\alpha \in B, do đó suy ra hệ quả.

11. Phép biến đổi Coxeter

Cho CC là một ngăn của RR, cho {α1,…,αl}\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_l \} là cơ sở tương ứng của RR, và đặt c=sα1⋯sαlc = s_{\alpha_1} \cdots s_{\alpha_l}. Phần tử cc của WW được gọi là phép biến đổi Coxeter của WW xác định bởi CC và song ánh i↦αii \mapsto \alpha_i (Ch. V, § 6, no. 1). Cấp hh của nó được gọi là số Coxeter của WW (hoặc của RR).

Mệnh đề 30

Giả sử rằng RR là bất khả quy. Cho mm là một số nguyên giữa 1 và h−1h - 1 và nguyên tố cùng nhau với hh. Khi đó exp⁡(2iπmh)\exp(\frac{2i\pi m}{h}) là một trị riêng của cc có bội số 1.

Đặc biệt, mm là một số mũ của WW, xem Ch. V, § 6, no. 2.

Trước hết ta chứng minh một bổ đề:

Bổ đề 4

Với mọi w∈Ww \in W, đa thức đặc trưng của ww có các hệ số nguyên.

Ta biết (no. 6, Định lý 3) rằng {α1,…,αl}\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_l \} là một cơ sở của nhóm con Q(R)Q(R) của VV được sinh bởi RR. Vì ww giữ ổn định Q(R)Q(R), ma trận của nó đối với {α1,…,αl}\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_l \} có các phần tử nguyên; do đó đa thức đặc trưng của nó có các hệ số nguyên.

Cho PP là đa thức đặc trưng của cc. Bổ đề trên cho thấy các hệ số của PP là các số nguyên. Theo Chap. V, § 6, no. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3, nghiệm nguyên thủy thứ hh của đơn vị z=exp⁡(2iπh)z = \exp(\frac{2i\pi}{h}) là một nghiệm đơn của PP. Do đó, mọi liên hợp của zz trên Q\mathbf{Q} cũng là một nghiệm đơn của PP. Nhưng ta biết (Đại số, Chap. V) rằng các nghiệm nguyên thủy thứ hh của đơn vị là liên hợp trên Q\mathbf{Q}. Vậy tất cả chúng đều là các nghiệm đơn của PP, điều này chứng minh mệnh đề.

Mệnh đề 31

Giả sử RR là bất khả quy và thu gọn, và đặt β=n1α1+⋯+nlαl\beta = n_1 \alpha_1 + \cdots + n_l \alpha_l là nghiệm cao nhất của RR (xem no. 8). Khi đó n1+⋯+nl=h−1n_1 + \cdots + n_l = h - 1.

Cho R+R_+ là tập hợp các nghiệm dương tương ứng với CC. Khi đó (no. 10, Hệ quả của Mệnh đề 29):

n1+⋯+nl=12∑α∈R+n(β,α) n_1 + \cdots + n_l = \frac{1}{2} \sum_{\alpha \in R_+} n(\beta, \alpha)
=1+12∑α∈R+,α≠βn(β,α)=1+∑α∈R+,α≠β(α∣β)(α∣α) = 1 + \frac{1}{2} \sum_{\alpha \in R_+, \alpha \neq \beta} n(\beta, \alpha) = 1 + \sum_{\alpha \in R_+, \alpha \neq \beta} \frac{(\alpha | \beta)}{(\alpha | \alpha)}

Theo no. 8, Mệnh đề 25 (iv), với mọi α∈R+\alpha \in R_+ và α≠β\alpha \neq \beta, n(α,β)=0n(\alpha, \beta) = 0 hoặc 1, do đó n(α,β)2=n(α,β)n(\alpha, \beta)^2 = n(\alpha, \beta), tức là 4(α∣β)2(β∣β)2=2(α∣β)(β∣β)\frac{4(\alpha | \beta)^2}{(\beta | \beta)^2} = \frac{2(\alpha | \beta)}{(\beta | \beta)}. Suy ra:

n1+⋯+nl+1=2+2∑α∈R+,α≠β(α∣β)2(α∣α)(β∣β)=2∑α∈R+(α∣β)2(α∣α)(β∣β)=(β∣β)−1∑α∈R(α∥α∥∣β)2. n_1 + \cdots + n_l + 1 = 2 + 2 \sum_{\alpha \in R_+, \alpha \neq \beta} \frac{(\alpha | \beta)^2}{(\alpha | \alpha)(\beta | \beta)} = 2 \sum_{\alpha \in R_+} \frac{(\alpha | \beta)^2}{(\alpha | \alpha)(\beta | \beta)} = (\beta | \beta)^{-1} \sum_{\alpha \in R} \left( \frac{\alpha}{\| \alpha \|} | \beta \right)^2.

Theo Chap. V, § 6, no. 2, Hệ quả của Định lý 1,

∑α∈R(α∥α∥∣β)2=h(β∣β) \sum_{\alpha \in R} \left( \frac{\alpha}{\| \alpha \|} | \beta \right)^2 = h(\beta | \beta)

nên n1+⋯+nl+1=hn_1 + \cdots + n_l + 1 = h.

Mệnh đề 32

Giả sử RR là bất khả quy, và mọi nghiệm đều có cùng độ dài. Cho α∈R\alpha \in R. Số phần tử của RR không trực giao với α\alpha là 4h−64h - 6.

Cho R′R' là tập hợp các nghiệm không tỉ lệ với và không trực giao với α\alpha. Theo Chap. V, § 6, no. 2, Hệ quả của Định lý 1,

(α∣α)2+(α∣−α)2+∑β∈R′(α∣β)2=h(α∣α)2, (\alpha | \alpha)^2 + (\alpha | -\alpha)^2 + \sum_{\beta \in R'} (\alpha | \beta)^2 = h(\alpha | \alpha)^2,

tức là

∑β∈R′(α∣β)2=(h−2)(α∣α)2. \sum_{\beta \in R'} (\alpha | \beta)^2 = (h - 2)(\alpha | \alpha)^2.

Nếu β∈R′\beta \in R', thì (α∣β)=±12(α∣α)(\alpha | \beta) = \pm \frac{1}{2} (\alpha | \alpha) theo danh sách trong no. 3. Do đó

14Card⁡R′=h−2,Card⁡R′=4h−8, \frac{1}{4} \operatorname{Card} R' = h - 2, \quad \operatorname{Card} R' = 4h - 8,

và số nghiệm không trực giao với α\alpha là Card⁡R′+2=4h−6\operatorname{Card} R' + 2 = 4h - 6.

Mệnh đề 33

Giả sử RR là bất khả quy và thu gọn. Đặt sαi=sis_{\alpha_i} = s_i, và cho Γ\Gamma là nhóm con của WW sinh bởi c=s1…slc = s_1 \ldots s_l.

(i) Cho θi=slsl−1…si+1(αi)\theta_i = s_l s_{l-1} \ldots s_{i+1} (\alpha_i) (i=1,…,li = 1, \ldots, l). Khi đó, θi>0,c(θi)<0\theta_i > 0, c(\theta_i) < 0. (ii) Nếu α\alpha là một nghiệm >0> 0 sao cho c(α)<0c(\alpha) < 0, thì α\alpha bằng một trong các θi\theta_i. (iii) Họ (θi)1≤i≤l(\theta_i)_{1 \leq i \leq l} là một cơ sở của Q(R). (iv) Cho Ωi\Omega_i là quỹ đạo của θi\theta_i dưới tác động của Γ\Gamma. Các tập hợp Ωi\Omega_i rời nhau từng đôi một, chúng là tất cả các quỹ đạo của Γ\Gamma trên RR, và mỗi tập có hh phần tử.

Trước hết, lưu ý rằng (s1,…,sl)(s_1, \ldots, s_l) là một phân tích thu gọn của cc (Chap. IV, § 1, no. 1) đối với tập hợp S của các sis_i. Thật vậy, nếu không, sẽ tồn tại một tập con X=S−{j}X = S - \{ j \} gồm l−1l - 1 phần tử của S sao cho c∈WXc \in W_X, điều này mâu thuẫn với Hệ quả 2 của Mệnh đề 7 của Chap. IV, § 1, no. 8.

Áp dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 17 của no. 6 cho cc ta được các khẳng định (i) và (ii).

Gọi QiQ_i là nhóm con của Q(R) được sinh bởi các αj,j>i\alpha_j, j > i. Ngay lập tức thấy rằng QiQ_i ổn định dưới các sj,j>is_j, j > i, và rằng sj(αi)=αis_j (\alpha_i) = \alpha_i mod. QiQ_i với j>ij > i. Do đó:

θi=sl…si+1(αi)=αi mod. Qi. \theta_i = s_l \ldots s_{i+1} (\alpha_i) = \alpha_i \text{ mod. } Q_i.

Nói cách khác, tồn tại các số nguyên cijc_{ij} sao cho

θi=αi+∑j>icijαj. \theta_i = \alpha_i + \sum_{j > i} c_{ij} \alpha_j.
Phần (iii) suy ra ngay lập tức.

Cuối cùng, cho α\alpha là một nghiệm. Phần tử ∑k=0h−1ck(α)\sum_{k=0}^{h-1} c^k(\alpha) là bất biến dưới cc, và do đó bằng không (Chap. V, § 6, no. 2). Vì vậy các ck(α)c^k(\alpha) không thể đều có cùng dấu, và tồn tại một kk sao cho ck(α)>0c^k(\alpha) > 0 và ck+1(α)<0c^{k+1}(\alpha) < 0. Theo (ii), ck(α)c^k(\alpha) là một trong các θi\theta_i. Do đó mọi quỹ đạo của Γ\Gamma trên R đều là một trong các Ωi\Omega_i. Mở rộng (x∣y)(x|y) thành một dạng Hermit trên V⊗CV \otimes \mathbf{C}. Mỗi quỹ đạo của Γ\Gamma trong R có nhiều nhất hh phần tử, và theo các nhận xét trên, có nhiều nhất ll quỹ đạo phân biệt. Bây giờ (Chap. V, § 6, no. 2, Định lý 2, ii)), lực lượng của RR bằng hlhl, điều này ngay lập tức suy ra (iv).

12. Dạng song tuyến tính chính tắc

Ta đã thấy (no. 1, Mệnh đề 3) rằng dạng song tuyến tính đối xứng

(x,y)↦BR(x,y)=∑α∈R⟨α∗,x⟩⟨α∗,y⟩ (x, y) \mapsto B_R(x, y) = \sum_{\alpha \in R} \langle \alpha^*, x \rangle \langle \alpha^*, y \rangle
trên VV là không suy biến và bất biến dưới A(R)A(R). Đổi chỗ vai trò của RR và R∗R^*, suy ra rằng dạng song tuyến tính đối xứng (x∗,y∗)↦BR∗(x∗,y∗)=∑α∈R⟨α,x∗⟩⟨α,y∗⟩(x^*, y^*) \mapsto B_{R^*}(x^*, y^*) = \sum_{\alpha \in R} \langle \alpha, x^* \rangle \langle \alpha, y^* \rangle trên V∗V^* là không suy biến và bất biến dưới A(R)A(R).

Dạng nghịch đảo của BR∗B_{R^*} (tương ứng BRB_R) trên VV (tương ứng V∗V^*) sẽ được gọi là dạng song tuyến tính chính tắc trên VV (tương ứng V∗V^*) và được ký hiệu bởi ΦR\Phi_R (tương ứng ΦR∗\Phi_{R^*}). Nó không suy biến và bất biến dưới A(R)A(R). Gọi σ\sigma là đẳng cấu từ VV đến V∗V^* được xác định bởi BR∗B_{R^*}. Khi đó, với x∈Vx \in V và y∈Vy \in V:

ΦR(x,y)=BR∗(σ(x),σ(y))=∑α∈R⟨α,σ(x)⟩⟨α,σ(y)⟩. \Phi_R(x, y) = B_{R^*}(\sigma(x), \sigma(y)) = \sum_{\alpha \in R} \langle \alpha, \sigma(x) \rangle \langle \alpha, \sigma(y) \rangle.
Nhưng ⟨α,σ(x)⟩=BR∗(σ(α),σ(x))=ΦR(α,x)\langle \alpha, \sigma(x) \rangle = B_{R^*}(\sigma(\alpha), \sigma(x)) = \Phi_R(\alpha, x). Do đó,
ΦR(x,y)=∑α∈RΦR(α,x)Φ(α,y). \Phi_R(x, y) = \sum_{\alpha \in R} \Phi_R(\alpha, x) \Phi(\alpha, y).
(16) Theo Mệnh đề 7 của no. 2, ΦR\Phi_R là dạng song tuyến tính đối xứng khác không duy nhất bất biến dưới W(R)W(R) thỏa mãn đồng nhất thức (16).

Với β∈R\beta \in R, (16) cho

ΦR(β,β)=∑α∈RΦR(α,β)2=14ΦR(β,β)2∑α∈Rn(α,β)2, \Phi_R(\beta, \beta) = \sum_{\alpha \in R} \Phi_R(\alpha, \beta)^2 = \frac{1}{4} \Phi_R(\beta, \beta)^2 \sum_{\alpha \in R} n(\alpha, \beta)^2,
suy ra
4ΦR(β,β)−1=∑α∈Rn(α,β)2. 4 \Phi_R(\beta, \beta)^{-1} = \sum_{\alpha \in R} n(\alpha, \beta)^2.
Hơn nữa, theo Bổ đề 2 của no. 1, ta có, với x,y∈Vx, y \in V:

BR(x,y)=∑α∈RΦR(2αΦR(α,α),x)(2αΦR(α,α),y)=4∑α∈RΦR(α,x)ΦR(α,y)ΦR(α,α)−2. B_R(x, y) = \sum_{\alpha \in R} \Phi_R \left( \frac{2\alpha}{\Phi_R(\alpha, \alpha)}, x \right) \left( \frac{2\alpha}{\Phi_R(\alpha, \alpha)}, y \right) = 4 \sum_{\alpha \in R} \Phi_R(\alpha, x) \Phi_R(\alpha, y) \Phi_R(\alpha, \alpha)^{-2}.

Suy ra rằng, nếu RR là bất khả quy, tồn tại một hằng γ(R)>0\gamma(R) > 0 sao cho

∑α∈RΦR(α,x)ΦR(α,y)ΦR(α,α)−2=γ(R)ΦR(x,y). \sum_{\alpha \in R} \Phi_R(\alpha, x) \Phi_R(\alpha, y) \Phi_R(\alpha, \alpha)^{-2} = \gamma(R) \Phi_R(x, y).
(18)

Theo định nghĩa của γ(R)\gamma(R), ta có BR(x,y)=4γ(R)ΦR(x,y)B_R(x, y) = 4\gamma(R) \Phi_R(x, y), do đó

ΦR∼(x∗,y∗)=(4γ(R))−1BR∼(x∗,y∗) \Phi_{R^{\sim}}(x^*, y^*) = (4\gamma(R))^{-1} B_{R^{\sim}}(x^*, y^*)

với x∗,y∗∈V∗x^*, y^* \in V^*. Điều này chứng minh rằng γ(R)=γ(R∼)\gamma(R) = \gamma(R^{\sim}). Mặt khác, với β∈R\beta \in R,

ΦR∼(β∼,β∼)=(4γ(R))−1∑α∈R⟨β∼,α⟩2=γ(R)−1∑α∈RΦR(α,β)2ΦR(β,β)2 \Phi_{R^{\sim}}(\beta^{\sim}, \beta^{\sim}) = (4\gamma(R))^{-1} \sum_{\alpha \in R} \langle \beta^{\sim}, \alpha \rangle^2 = \gamma(R)^{-1} \sum_{\alpha \in R} \frac{\Phi_R(\alpha, \beta)^2}{\Phi_R(\beta, \beta)^2}

do đó, theo (16),

ΦR∼(β∼,β∼)=γ(R)−1ΦR(β,β)−2ΦR(β,β) \Phi_{R^{\sim}}(\beta^{\sim}, \beta^{\sim}) = \gamma(R)^{-1} \Phi_R(\beta, \beta)^{-2} \Phi_R(\beta, \beta)

hay cuối cùng

ΦR(β,β)ΦR∼(β∼,β∼)=γ(R)−1. \Phi_R(\beta, \beta) \Phi_{R^{\sim}}(\beta^{\sim}, \beta^{\sim}) = \gamma(R)^{-1}.
(19)

Hơn nữa, nếu tất cả các nghiệm của RR có cùng độ dài λ\lambda đối với ΦR\Phi_R, (16) và (18) cho thấy rằng

γ(R)=λ−4. \gamma(R) = \lambda^{-4}.
(20)

Ngoài ra, nếu hh là số Coxeter của WW, Hệ quả của Định lý 1 của Chương V, § 6, no. 2 cho thấy rằng:

hΦR(x,x)=∑α∈R(x,αλ)2 với mọi x∈V. h \Phi_R(x, x) = \sum_{\alpha \in R} \left( x, \frac{\alpha}{\lambda} \right)^2 \text{ với mọi } x \in V.

So sánh với (16), ta suy ra rằng

λ=h−1/2hoặcγ(R)=h2. \lambda = h^{-1/2} \quad \text{hoặc} \quad \gamma(R) = h^2.
(21)

Cuối cùng, công thức (19) cho thấy rằng các nghiệm của R∼R^{\sim} có độ dài λ\lambda đối với ΦR∼\Phi_{R^{\sim}}.

Bài tập

Tất cả các hệ nghiệm được xét dưới đây đều là tương đối với các không gian vectơ thực. Ta ký hiệu bởi (x∣y)(x|y) một tích vô hướng bất biến dưới nhóm Weyl (xem no. 3).

Xem các bài tập của § 1.

Machine translation of the English, by gpt-5-6-mini, gpt-5-6, gpt-5-mini, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.