Vì W được sinh bởi các phép đối xứng $s_\alpha$, nó được chứa trong $W_a$. Mặt khác, $t(\alpha^\sim) = s_{\alpha,1} \circ s_\alpha$ nếu $\alpha \in \mathbf{R}$, điều này cho thấy rằng $Q \subseteq W_a$.

Vì W làm cho $Q(\mathbf{R}^\sim)$ ổn định (§ 1, no. 9), nên nhóm G các phép biến đổi afin sinh bởi W và Q là tích nửa trực tiếp của W bởi Q. Theo trên, $G \subseteq W_a$ và $s_{\alpha,k} \in G$ với mọi $\alpha \in \mathbf{R}$ và $k \in \mathbf{Z}$ theo (1). Suy ra $W_a = G$.

Vì $Q(\mathbf{R}^\sim)$ là một nhóm con rời rạc của $V^*$, nên nhóm Q tác động đúng lên E. Do đó $W_a = W.Q$ cũng vậy, vì W là hữu hạn. Hơn nữa, với $\alpha, \beta \in \mathbf{R}$ và $k \in \mathbf{Z}$:

trong đó $n(\alpha,\beta) = \langle \beta^\sim, \alpha \rangle$ là một số nguyên, do đó có mệnh đề thứ hai.

Như vậy ta có thể áp dụng các kết quả của Chương V, § 3 cho $W_a$ tác động trên E. Để tránh mọi nhầm lẫn với các buồng của nhóm Weyl W trong $V^*$, ta sẽ gọi các buồng được xác định bởi hệ các siêu phẳng $L_{\alpha,k}$ (với $\alpha \in \mathbf{R}$ và $k \in \mathbf{Z}$) trong E là các ngách. Nhóm $W_a$ do đó tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các ngách và bao đóng của một ngách là một miền cơ bản đối với $W_a$ tác động trên E (Chương V, § 3, no. 2, Định lý 1 và no. 3, Định lý 2). Hiển nhiên nhóm Weyl W được đồng nhất với ảnh chính tắc $U(W_a)$ của $W_a$ trong nhóm trực giao của V* (xem Chương V, § 3, no. 6). Suy ra rằng W_a là cốt yếu (Chương V, § 3, no. 7) và W_a là bất khả quy khi và chỉ khi hệ nghiệm R là như vậy (§ 1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5). Nếu R là bất khả quy, mọi ngách đều là một đơn hình mở (Chương V, § 3, no. 9, Mệnh đề 8). Trong trường hợp tổng quát, phân tích tích chính tắc của không gian afin E (Chương V, § 3, no. 8) tương ứng với phân tích của R thành các thành phần bất khả quy. Đặc biệt, các ngách là những tích của các đơn hình mở.

Cũng chú ý rằng Hệ quả của Định lý 1 của Chương V, § 3, no. 2 cho thấy rằng các s_{\alpha,k} là những phép đối xứng duy nhất trong W_a.

Cho x_0 \in E và cho \alpha \in R. Siêu phẳng L song song với Ker \alpha và đi qua x_0 có phương trình \langle \alpha, x \rangle = \langle \alpha, x_0 \rangle. Để bằng một siêu phẳng nào đó L_{\beta,k}, một mặt cần rằng \alpha và \beta tỉ lệ với nhau, và do đó, vì R là rút gọn, rằng \beta = \pm \alpha, và mặt khác cần rằng \langle \alpha, x_0 \rangle là một số nguyên. Ngay lập tức suy ra rằng x_0 là một điểm đặc biệt của W_a khi và chỉ khi \langle \alpha, x_0 \rangle \in \mathbf{Z} với mọi \alpha \in R, nói cách khác, khi và chỉ khi x_0 \in P(R') (§ 1, no. 9).

Điều này suy ra từ Mệnh đề 3, xét đến Hệ quả của Mệnh đề 11 của Chương V, § 3, no. 10 và Mệnh đề 12 của Chương V, § 3, no. 10.

(i) Tồn tại một ngách duy nhất C được chứa trong C' sao cho 0 \in \overline{C}. (ii) Hợp của các w(\overline{C}) với w \in W là một lân cận của 0 trong E. (iii) Mọi vách của C' đều là một vách của C.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 11 của Chương V, § 3, no. 10.

Bây giờ giả sử rằng R là bất khả quy. Cho (\alpha_i)_{i \in I} là một cơ sở của R (§ 1, no. 5, Định nghĩa 2), và cho (\overline{\omega}_i)_{i \in I} là cơ sở đối ngẫu. Các \overline{\omega}_i là các trọng số cơ bản của R' đối với buồng D' của R' tương ứng với cơ sở (\alpha_i). Đặt

là nghiệm cao nhất của R (§ 1, no. 8), và gọi J là tập hợp các i \in I sao cho n_i = 1.

(i) $C$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $\langle \alpha_i, x \rangle > 0$ với mọi $i \in I$ và $\langle \tilde{\alpha}, x \rangle < 1$.

(ii) Tập hợp $\overline{C} \cap P(R^-)$ gồm 0 và các $\overline{\omega}_i$ với $i \in J$.

Gọi $D$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $\langle \tilde{\alpha}, x \rangle < 1$ và đặt $C_1 = C' \cap D$. Vì $0 \in \overline{C}$, ta có $C \subseteq D$ và do đó $C \subseteq C_1$. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, với mọi $\alpha \in R$ và mọi $k \in \mathbf{Z}$, các tập hợp $C$ và $C_1$ nằm cùng một phía đối với siêu phẳng $L_{\alpha,k}$. Điều này sẽ chứng minh rằng $C_1 \subseteq C$ và do đó thiết lập mệnh đề (i). Nếu $k = 0$, toàn bộ buồng $C'$ nằm về một phía của $L_{\alpha,0}$, điều này thiết lập mệnh đề của chúng ta trong trường hợp này. Nếu $k \neq 0$, bằng cách thay thế $\alpha$ bởi $-\alpha$, ta có thể giả sử rằng $k > 0$. Khi đó $\langle \alpha, x \rangle < k$ trên $C$, vì $0 \in \overline{C}$. Mặt khác, $\tilde{\alpha} - \alpha$ là dương trên $C'$ (§ 1, no. 8, Mệnh đề 25). Vì thế, với $y \in C_1$, ta có $\langle \alpha, y \rangle \leq \langle \tilde{\alpha}, y \rangle < 1 \leq k$. Do đó, $C$ và $C_1$ nằm cùng một phía đối với $L_{\alpha,k}$.

Bây giờ, cho $\overline{\omega} \in P(R^-)$. Khi đó $\overline{\omega} = \sum_i p_i \overline{\omega}_i$, với $p_i \in \mathbf{Z}$ (§ 1, no. 10), và $\overline{\omega} \in \overline{C'}$ khi và chỉ khi các số nguyên $p_i$ là dương. Nếu $\overline{\omega} \in \overline{C'}$, thì $\overline{\omega} \in \overline{C}$ khi và chỉ khi $\langle \tilde{\alpha}, \overline{\omega} \rangle = \sum_i n_i p_i$ là $\leq 1$, do đó được (ii).

Điều này suy ra từ (i).

Trước hết ta nhận xét rằng nghiệm $w_i(\tilde{\alpha})$ có dạng

và do đó là dương.

Ta chỉ ra rằng, nếu $i \in J$, thì $\gamma_i \in \Gamma_C$. Thật vậy, cho $a \in C$ và $b = \gamma_i(a)$. Với $1 \leq j \leq l$ và $j \neq i$,

vì $w_0(a) \in -C'$ và $w_i(\alpha_j)$ là âm. Mặt khác, vì $w_0(a) \in -C'$, $\tilde{\alpha} - w_i(\alpha_i)$ nhận các giá trị âm trên $-C'$, và $\langle w_0(a), \tilde{\alpha} \rangle > -1$. Cuối cùng, vì $w_0(a) \in -C'$ và $w_i(\tilde{\alpha})$ là một nghiệm dương. Khi đó các hệ thức (2), (3) và (4) suy ra rằng $b \in C$, và do đó $\gamma_i \in \Gamma_C$. Rõ ràng ánh xạ $i \mapsto \gamma_i$ là đơn ánh, vì $\gamma_i(0) = \overline{\omega}_i$. Cuối cùng, cho $\gamma \in \Gamma_C$ với $\gamma \neq 1$, và đặt $\gamma = tw$ với $t \in P$ và $w \in W$. Khi đó $t \neq 1$ vì $\Gamma_C \cap W = \{1\}$. Mặt khác, $t(0) = \gamma(0) \in \overline{C} \cap P(R^-)$ và Mệnh đề 5 suy ra rằng tồn tại $i \in J$ sao cho $t(0) = \overline{\omega}_i$. Khi đó $\gamma_i^{-1}\gamma(0) = 0$, nên $\gamma = \gamma_i$ vì $\Gamma_C \cap W = \{1\}$. Điều này kết thúc chứng minh.

Thật vậy, nếu ta đồng nhất $\Gamma_c$ với $P(R^-)/Q(R^-)$, thì phần tử $\gamma_i$ được đồng nhất với lớp của $\overline{\omega}_i$ mod. $Q(R^-)$.

Cho $(s_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các đại diện của các lớp kề phải của $G'$ trong $G$. Gọi $U_1$ là hợp của các $s_\lambda U$. Khi đó các $s'U_1$, với $s' \in G'$, rời nhau từng đôi một và có hợp là $M = \bigcup_{s \in G} sU$. Đặt $M' = \bigcup_{s' \in G'} s'U'$. Hợp của $U'$ (tương ứng $U_1$) với một tập con thích hợp của $X - M'$ (tương ứng $X - M$) là một miền cơ bản, hiển nhiên $\mu$-đo được, đối với $G'$. Theo Tích phân, Chương VII, § 2, no. 10, Hệ quả của Định lý 4, $\mu(U') = \mu(U_1)$. Điều này chứng tỏ rằng Card $\Lambda = (G : G')$ là hữu hạn, và $\mu(U') = (\text{Card } \Lambda)\mu(U)$.

Cho $(\overline{\omega}_1, \ldots, \overline{\omega}_l)$ là cơ sở của $P(R^-)$ đối ngẫu với $B$. Theo Hệ quả của Mệnh đề 5, đơn hình mở $C$ có các đỉnh $0, n_1^{-1} \overline{\omega}_1, \ldots, n_l^{-1} \overline{\omega}_l$ là một buồng của $E$. Chọn một độ đo Haar $\mu$ trên nhóm cộng $V^*$. Gọi $A$ là tập hợp các phần tử của $V^*$ có dạng $\xi_1 \overline{\omega}_1 + \cdots + \xi_l \overline{\omega}_l$, với $0 < \xi_i < 1$ đối với $i = 1, \ldots, l$. Theo Hệ quả 2 của Mệnh đề 15 của Tích phân, Chương VII, § 1, no. 10,

Mặt khác, gọi $A'$ là tập hợp các phần tử của $V^*$ có dạng với $0 < \xi_i < 1$ đối với $i = 1, \ldots, l$. Vì $(\alpha_{\tilde{1}}, \ldots, \alpha_{\tilde{l}})$ là một cơ sở của $\mathbf{Z}$-môđun $Q(R^-)$, ta có thể áp dụng Bổ đề 1 với $X = V^*$, $G = W_a$, $G' = Q$, $U = C$ và $U' = A'$. Điều này cho

Sau cùng, có thể lại áp dụng Bổ đề 1, lấy X = V*, G = P, G' = Q, U = A và U' = A'. Điều này cho

Mệnh đề nay suy ra bằng cách so sánh các công thức (5), (6) và (7).

Trước hết ta nhận xét rằng giả thiết trên T kéo theo G là cốt yếu: nếu không, không gian afin F sẽ phân tích thành một tích $F_0 \times F_1$, với $\dim F_1 < l$, nhóm G được đồng nhất với một nhóm các phép dời hình tác động một cách proper trên $F_1$ (Ch. V, § 3, no. 8, Mệnh đề 6), và T sẽ không có hạng l.

Gọi $\mathfrak{H}_0$ là tập hợp các $H \in \mathfrak{H}$ sao cho $0 \in H$. Với $H \in \mathfrak{H}_0$, gọi $\mathfrak{H}_H$ là tập hợp các phần tử của $\mathfrak{H}$ song song với H. Vì 0 là một điểm đặc biệt, $\mathfrak{H}$ là hợp của các $\mathfrak{H}_H$ với $H \in \mathfrak{H}_0$. Vì T có hạng l, tồn tại một $v \in F$ sao cho phép tịnh tiến theo vectơ v thuộc T và $v \notin H$. Các siêu phẳng $H + kv$ với $k \in \mathbf{Z}$ là từng đôi một phân biệt và thuộc $\mathfrak{H}_H$. Bây giờ gọi a là một vectơ đơn vị của F vuông góc với H: khi đó $H + (v|a)a \in \mathfrak{H}_H$ và vì $\mathfrak{H}$ là hữu hạn địa phương (Chương V, § 1, no. 1, Bổ đề 1), nên có một số thực nhỏ nhất $\lambda > 0$ sao cho $H + \lambda a \in \mathfrak{H}$. Ta sẽ chứng minh rằng $\mathfrak{H}_H$ là tập hợp các siêu phẳng $H + k\lambda a$ với $k \in \mathbf{Z}$. Thật vậy,

và phần tử $s_{H'} \circ s_H$ của G là phép tịnh tiến theo vectơ $2\lambda a$ (Chương V, § 2, no. 4, Mệnh đề 5). Do đó, $H + 2n\lambda a = (s_{H'} s_H)^n(H)$ và $H + (2n + 1)\lambda a = (s_{H'} s_H)^n(H')$ đều thuộc $\mathfrak{H}_H$. Mặt khác, nếu $L \in \mathfrak{H}_H$, thì tồn tại $\xi \in \mathbf{R}$ sao cho $L = H + \xi \lambda a$ và tồn tại một số nguyên n sao cho

hoặc $2n < \xi \leq 2n + 1$, hoặc $2n - 1 < \xi \leq 2n$.

Trong trường hợp thứ nhất, $(s_H s_{H'})^n(L) = H + (\xi - 2n)\lambda a$ với

và định nghĩa của $\lambda$ kéo theo $\xi = 2n + 1$; trong trường hợp thứ hai,

và định nghĩa của $\lambda$ suy ra rằng $\xi = 2n$.

Suy ra rằng nếu $\alpha_H$ là dạng tuyến tính trên $F$ sao cho

thì tập hợp $\mathscr{H}_H$ là tập hợp các siêu phẳng $L_{\alpha_H, k} = \{ x \in F \mid \langle \alpha_H, x \rangle = k \}$ với $k \in \mathbf{Z}$, và $\alpha_H$ và $-\alpha_H$ là những dạng tuyến tính duy nhất có tính chất này.

Do đó, mệnh đề sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng tập R gồm các phần tử của V có dạng $\pm \alpha_H$ là một hệ căn rút gọn trong V.

a) Ta chứng minh điều kiện (RS_I): hiển nhiên là R hữu hạn (vì $\mathscr{H}_0$ là hữu hạn) và không chứa 0. Hơn nữa, R sinh ra V. Thật vậy, nếu $x \in F$ trực giao với R, thì $x \in H$ với mọi $H \in \mathscr{H}_0$ và phép tịnh tiến theo vectơ $x$ giao hoán với mọi phần tử của G. Vì G là cốt yếu, điều này kéo theo $x = 0$.

b) Ta chứng minh (RS_{II}). Với $v \in V$ và $r \in \mathbf{R}$, đặt $L_{v, r} = \{ x \in F \mid \langle v, x \rangle = r \}$ như trên; nếu $\alpha \in R$, đặt $H_\alpha = L_{\alpha, 0}$, và gọi $s_\alpha$ là chuyển vị của $s_{H_\alpha}$. Tồn tại một phần tử duy nhất $\alpha^\sim \in F$ trực giao với $H_\alpha$ và sao cho $\langle \alpha^\sim, \alpha \rangle = 2$. Khi đó $s_{H_\alpha} = s_{\alpha^\sim, \alpha}$ và $s_\alpha = s_{\alpha, \alpha^\sim}$. Với $\beta \in R$,

và tồn tại $\gamma \in R$ và $n \in \mathbf{N}^*$ sao cho $L_{s_\alpha(\beta), 1} = L_{\gamma, n}$. Khi đó và do đó $1/n \in \mathbf{Z}$. Vậy $n = 1$ và $s_\alpha(\beta) = \gamma \in R$. Điều này chứng minh (RS_{II}).

c) Ta chứng minh (RS_{III}). Cho $\alpha \in R$ và đặt $H'_\alpha = L_{\alpha, 1}$. Khi đó

vì phép tịnh tiến $t(\alpha^\sim)$ theo vectơ $\alpha^\sim$ là tích $s_{H'_\alpha} s_{H_\alpha}$ (Chương V, § 2, no. 4, Mệnh đề 5), nên nó thuộc T và $\alpha^\sim = t(\alpha^\sim)(0)$ là một điểm đặc biệt đối với G. Do đó, với mọi $\beta \in R$, tồn tại một siêu phẳng $L_{\beta, k}$ đi qua $\alpha^\sim$, với $k$ là một số nguyên, điều này cho thấy rằng $\langle \beta, \alpha^\sim \rangle \in \mathbf{Z}$, và chứng minh (RS_{III}).

d) Cuối cùng, hiển nhiên là R là giảm được, vì nếu $H, H' \in \mathscr{H}_0, H \neq H'$, thì các dạng tuyến tính $\alpha_H$ và $\alpha_{H'}$ không tỉ lệ.

(i) Tồn tại một nhóm con rời rạc của V có hạng l và ổn định dưới G. (ii) Tồn tại một $\mathbf{Q}$-cấu trúc trên V (Đại số, Chương II, § 8, no. 1, Định nghĩa 1) bất biến dưới G. (iii) Tồn tại một hệ nghiệm trong V mà nhóm Weyl của nó là G. (iv) Tồn tại một nhóm rời rạc $G'$ các phép dời hình của V, tác động đúng trên V, và sinh bởi các phản xạ, sao cho $G'$ là tích nửa trực tiếp của G và một nhóm các phép tịnh tiến có hạng l.

(ii) $\Longrightarrow$ (i): giả sử $V' \subseteq V$ là một $\mathbf{Q}$-cấu trúc trên V bất biến dưới G. Gọi A là một tập con hữu hạn của $V'$ sinh không gian vectơ $\mathbf{Q}$ $V'$. Thay thế A bằng $\bigcup_{s \in G} s(A)$, ta có thể giả sử rằng A ổn định dưới G. Gọi B là nhóm con của V sinh bởi A. Khi đó B ổn định dưới G, thuộc kiểu hữu hạn và không xoắn, nên có một cơ sở trên $\mathbf{Z}$ đồng thời là một cơ sở của $V'$ trên $\mathbf{Q}$ và một cơ sở của V trên $\mathbf{R}$.

(iii) $\Longrightarrow$ (ii): điều này suy ra từ Mệnh đề 1 của § 1, no. 1, chẳng hạn. (iv) $\Longrightarrow$ (iii): giả sử $G'$ là một nhóm thỏa mãn điều kiện (iv). Nhóm các phép tịnh tiến của $G'$ có hạng l, và 0 là một điểm đặc biệt đối với $G'$ theo Mệnh đề 9 của Chương V, § 3, no. 10. Mệnh đề 6 cho thấy tồn tại một hệ căn rút gọn $R_0$ trong $V^*$ sao cho $G'$ được đồng nhất với $W_\alpha(R_0)$; khi đó nhóm G là nhóm Weyl của hệ nghiệm nghịch đảo của $R_0$.

(i) $\Longrightarrow$ (iv): giả sử rằng G để ổn định một nhóm con rời rạc M của V, hạng l. Với mọi phép đối xứng $s \in G$, ta có $s(x) - x \in M$ với mọi $x \in M$, nên đường thẳng $D_s$ trực giao với $H_s$ cắt M; gọi $\alpha_s, -\alpha_s$ là các phần tử sinh của nhóm cyclic $D_s \cap M$; tập hợp A của các $\alpha_s$ và $-\alpha_s$ là ổn định dưới tác dụng của G, do đó sinh ra một nhóm con $M'$ của M ổn định dưới tác dụng của G; nhóm rời rạc $M'$ có hạng l vì G là cốt yếu. Gọi $G'$ là nhóm các phép biến đổi afin của V là tích nửa trực tiếp của G và nhóm các phép tịnh tiến có vectơ thuộc $M'$. Gọi $G'_1$ là nhóm con của $G'$ được sinh bởi các phép đối xứng của $G'$. Ta sẽ chỉ ra rằng $G'_1 = G'$, điều này sẽ hoàn tất chứng minh. Trước hết, $G'_1 \supseteq G$ vì G được sinh bởi các phép đối xứng. Mặt khác, với mọi phép đối xứng s của G, gọi $t_s$ là phép tịnh tiến có vectơ $\alpha_s$. Phép biến đổi $s \circ t_s$ là một phép đối xứng, và $s \circ t_s \in G'$; do đó $t_s$ là một tích của hai phép đối xứng của $G'$; điều này đúng với mọi phép đối xứng s của G, nên các phép tịnh tiến có vectơ thuộc $M'$ đều nằm trong $G'_1$.