Comme W est engendré par les réflexions $s_\alpha$, il est contenu dans $W_a$. D’autre part, on a $t(\alpha^\vee) = s_{\alpha, 1} \circ s_\alpha$ si $\alpha \in R$, ce qui montre que $Q \subset W_a$.

Comme W laisse stable $Q(R^\vee)$ (§ 1, no 9), le groupe de transformations affines G engendré par W et Q est le produit semi-direct de W par Q. On a $G \subset W_a$ d’après ce qui précède et $s_{\alpha, k} \in G$ quels que soient $\alpha \in \mathbf{R}$ et $k \in \mathbf{Z}$ d’après (1). On en conclut que $W_a = G$.

Comme $Q(R^\vee)$ est un sous-groupe discret de $V^*$, le groupe Q opère proprement sur E. Il en est donc de même de $W_a = W.Q$, puisque W est fini. De plus, on a, pour $\alpha, \beta \in \mathbf{R}$ et $k \in \mathbf{Z}$:

où $n(\alpha, \beta) = \langle \beta^\vee, \alpha \rangle$ est un entier, d’où la deuxième assertion.

On peut donc appliquer à $W_a$ opérant sur E les résultats du chapitre V, § 3. Pour éviter toute confusion avec les chambres du groupe de Weyl W dans $V^*$, nous appellerons alcôves les chambres déterminées par le système des hyperplans $L_{\alpha, k}$ (pour $\alpha \in \mathbf{R}$ et $k \in \mathbf{Z}$) dans E. Le groupe $W_a$ opère donc de façon simplement transitive sur l’ensemble des alcôves et l’adhérence d’une alcôve est un domaine fondamental pour $W_a$ opérant sur E (chap. V, § 3, no 2, th. 1 et no 3, th. 2). Il est clair que le groupe de Weyl W s’identifie à l’image canonique $U(W_a)$ de $W_a$ dans le groupe orthogonal de $V^*$ (cf. chap. V, § 3, no 6). Il en résulte que $W_a$ est essentiel (chap. V, § 3, no 7) et que $W_a$ est irréductible si et seulement si le système de racines R l’est (§ 1, no 2, cor. de la prop. 5). Si R est irréductible, chaque alcôve est un simplexe ouvert (chap. V, § 3, no 9, prop. 8). Dans le cas général, la décomposition canonique de l’espace affine E en produit (chap. V, § 3, no 8) correspond à la décomposition de R en composants irréductibles. En particulier, les alcôves sont des produits de simplexés ouverts.

Notons encore que le cor. du th. 1 du chap. V, § 3, no 2 montre que les $s_{\alpha, k}$ sont les seules réflexions appartenant à $W_a$.

Soit $x_0 \in E$ et soit $\alpha \in \mathbf{R}$. L’hyperplan L parallèle à Ker $\alpha$ et passant par $x_0$ a pour équation $\langle \alpha, x \rangle = \langle \alpha, x_0 \rangle$. Pour qu’il soit égal à $L_{\beta, k}$, il faut d’une part que $\alpha$ et $\beta$ soient proportionnelles, ou encore, puisque R est réduit, que $\beta = \pm \alpha$, et d’autre part que $\langle \alpha, x_0 \rangle$ soit entier. On en déduit aussitôt que $x_0$ est un point spécial de $W_a$ si et seulement si $\langle \alpha, x_0 \rangle \in \mathbf{Z}$ pour tout $\alpha \in \mathbf{R}$, c’est-à-dire si et seulement si $x_0 \in P(R^\vee)$ (§ 1, no 9).

(ii) Si $C$ est une alcôve, $\overline{C} \cap Q(R^\vee)$ se réduit à un point et ce point est point extrémal de $\overline{C}$.

Cela résulte de la prop. 3, compte tenu du cor. de la prop. 11 du chap. V, § 3, no 10 et de la prop. 12 du chap. V, § 3, no 10.

Cela résulte de la prop. 11 du chap. V, § 3, no 10.

Supposons maintenant $R$ irréductible. Soit $(\alpha_i)_{i \in I}$ une base de $R$ (§ 1, no 5, déf. 3), et soit $(\omega_i)_{i \in I}$ la base duale. Les $\omega_i$ sont les poids fondamentaux de $R^\vee$ pour la chambre $C'$ de $R^\vee$ correspondant à la base $(\alpha_i)$. Soit

la plus grande racine de $R$ (§ 1, no 8), et soit $J$ l’ensemble des $i \in I$ tels que $n_i = 1$.

Soit $D$ l’ensemble des $x \in E$ tels que $\langle \tilde{\alpha}, x \rangle < 1$ et posons $C_1 = C' \cap D$. Comme $0 \in \overline{C}$, on a $C \subset D$, d’où $C \subset C_1$. Nous allons montrer que, pour tout $\alpha \in R$ et tout $k \in \mathbf{Z}$, les ensembles $C$ et $C_1$ sont du même côté de l’hyperplan $L_{\alpha, k}$. Ceci prouvera que $C_1 \subset C$ et établira l’assertion (i). Si $k = 0$, la chambre $C'$ est toute entière d’un même côté de $L_{\alpha, 0}$, ce qui établit notre assertion dans ce cas. Si $k \neq 0$, on peut, quitte à changer $\alpha$ en $-\alpha$, supposer que $k > 0$. On a alors $\langle \alpha, x \rangle < k$ sur $C$, puisque $0 \in \overline{C}$. D’autre part, $\tilde{\alpha} - \alpha$ est positive sur $C'$ (§ 1, no 8, prop. 25). Pour $y \in C_1$, on a donc $\langle \alpha, y \rangle \leq \langle \tilde{\alpha}, y \rangle < 1 \leq k$. Par suite, $C$ et $C_1$ sont bien du même côté de $L_{\alpha, k}$.

Soit maintenant $\omega \in P(R^\vee)$. On a $\omega = \sum_i p_i \omega_i$, avec $p_i \in \mathbf{Z}$ (§ 1, no 10). Pour que $\omega \in \overline{C}'$, il faut et il suffit que les entiers $p_i$ soient tous positifs. Si $\omega \in \overline{C}'$, pour que $\omega \in \overline{C}$ il faut et il suffit que $\langle \tilde{\alpha}, \omega \rangle = \sum_i n_i p_i$ soit $\leq 1$, d’où (ii).

Remarquons tout d’abord que la racine $w_i(\tilde{\alpha})$ est de la forme

donc est positive.

Montrons que, si $i \in J$, on a $\gamma_i \in \Gamma_C$. Soient en effet $a \in C$ et $b = \gamma_i(a)$.

n° 2.4.

Pour $1 \leq j \leq l$ et $j \neq i$, on a :

(2)

puisque $w_0(a) \in -\mathbf{C}'$ et que $w_i(\alpha_j)$ est négative. D’autre part, on a : (3) puisque $w_0(a) \in -\mathbf{C}'$, que $\tilde{\alpha} - w_i(\alpha_i)$ prend des valeurs négatives sur $-\mathbf{C}'$ et que $\langle w_0(a), \tilde{\alpha} \rangle > -1$. Enfin, on a : (4) puisque $w_0(a) \in -\mathbf{C}'$ et que $w_i(\tilde{\alpha})$ est une racine positive. Les relations (2), (3) et (4) entraînent alors que $b \in \mathbf{C}$, d’où $\gamma_i \in \Gamma_C$. Il est clair que l’application $i \mapsto \gamma_i$ est injective, puisque $\gamma_i(0) = \overline{\omega}_i$. Enfin, soit $\gamma \in \Gamma_C$, avec $\gamma \neq 1$ et posons $\gamma = t w$, avec $t \in \mathbf{P}$ et $w \in W$. On a $t \neq 1$ puisque $\Gamma_C \cap W = \{1\}$. D’autre part, on a $t(0) = \gamma(0) \in \overline{\mathbf{C}} \cap \mathbf{P}(R^\vee)$ et la prop. 5 entraîne qu’il existe $i \in J$ tel que $t(0) = \overline{\omega}_i$. On a alors $\gamma_i^{-1} \gamma(0) = 0$, d’où $\gamma = \gamma_i$ puisque $\Gamma_C \cap W = \{1\}$. Ceci achève la démonstration.

En effet, si l’on identifie $\Gamma_C$ à $\mathbf{P}(R^\vee)/\mathbf{Q}(R^\vee)$, l’élément $\gamma_i$ est transformé en la classe de $\overline{\omega}_i$ mod. $\mathbf{Q}(R^\vee)$.

Soit $(s_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille de représentants des classes à droite de $G$ suivant $G'$. Soit $U_1$ la réunion des $s_\lambda U$. Alors les $s'U_1$, pour $s' \in G'$, sont deux à deux disjoints et de réunion $M = \bigcup_{s \in G} sU$. Soit $M' = \bigcup_{s' \in G'} s'U'$. La réunion de $U'$ (resp. $U_1$) et d’une partie convenable de $X - M'$ (resp. $X - M$) est un domaine fondamental, évidemment $\mu$-mesurable, pour $G'$. D’après Intégr., chap. VII, § 2, n° 10, cor. du th. 4, on a $\mu(U') = \mu(U_1)$. Ceci prouve que Card $\Lambda = (G : G')$ est fini, et que $\mu(U') = (\text{Card } \Lambda)\mu(U)$.

Soit $(\overline{\omega}_1, \ldots, \overline{\omega}_l)$ la base de $P(R^\vee)$ duale de B. D’après le cor. de la prop. 5, le simplexe ouvert C de sommets 0, $n_1^{-1} \overline{\omega}_1, \ldots, n_l^{-1} \overline{\omega}_l$ est une alcôve de E. Choisissons une mesure de Haar $\mu$ sur le groupe additif V*. Soit A l’ensemble des éléments de V* de la forme $\xi_1 \overline{\omega}_1 + \cdots + \xi_l \overline{\omega}_l$, avec $0 < \xi_i < 1$ pour $i = 1, \ldots, l$. D’après le cor. 2 de la prop. 15 de Intégr., chap. VII, § 1, n° 10, on a:

(5)

Soit d’autre part $A'$ l’ensemble des éléments de V* de la forme

avec $0 < \xi_i < 1$ pour $i = 1, \ldots, l$. Comme $(\alpha_1^\vee, \ldots, \alpha_l^\vee)$ est une base du $\mathbf{Z}$-module $Q(R^\vee)$, on peut appliquer le lemme 1 avec $X = V^*$, $G = W_a$, $G' = Q$, $U = C$ et $U' = A'$. On obtient:

(6)

Enfin, on peut appliquer une autre fois le lemme 1, en prenant $X = V^*$, $G = P$, $G' = Q$, $U = A$ et $U' = A'$. On obtient:

(7)

La proposition résulte alors de la comparaison des formules (5), (6) et (7).

Remarquons tout d’abord que l’hypothèse faite sur T entraîne que G est essentiel : sinon, l’espace affine F se décomposerait en produit $F_0 \times F_1$, avec $\dim F_1 < l$, le groupe G s’identifiant à un groupe de déplacements opérant proprement dans $F_1$ (chap. V, § 3, no 8, prop. 6), et T ne serait pas de rang $l$.

Soit $\mathfrak{H}_0$ l’ensemble des $H \in \mathfrak{H}$ tels que $0 \in H$. Pour $H \in \mathfrak{H}_0$, soit $\mathfrak{H}_H$ l’ensemble des éléments de $\mathfrak{H}$ parallèles à H. Puisque 0 est point spécial, $\mathfrak{H}$ est la réunion des $\mathfrak{H}_H$ pour $H \in \mathfrak{H}_0$. Soit $H \in \mathfrak{H}_0$. Puisque T est de rang $l$, il existe un $v \in F$ tel que la translation de vecteur $v$ appartienne à T et que $v \notin H$. Les hyperplans $H + kv$ pour $k \in \mathbf{Z}$ sont deux à deux distincts et appartiennent à $\mathfrak{H}_H$. Soit alors $a$ un vecteur unitaire de F orthogonal à H : on a $H + (v|a)a \in \mathfrak{H}_H$ et comme $\mathfrak{H}$ est localement fini (chap. V, § 3, no 1, lemme 1), il existe un plus petit nombre réel $\lambda > 0$ tel que $H + \lambda a \in \mathfrak{H}_H$. Nous allons montrer que $\mathfrak{H}_H$ est l’ensemble des hyperplans $H + k\lambda a$ pour $k \in \mathbf{Z}$. En effet,

et l’élément $s_{H'} \circ s_H$ de G est la translation de vecteur $2\lambda a$ (chap. V, § 2, no 4, prop. 5). Par suite, $H + 2n\lambda a = (s_{H'} s_H)^n(H)$ et $H + (2n+1)\lambda a = (s_{H'} s_H)^n(H')$ appartiennent à $\mathfrak{H}_H$. D’autre part, si $L \in \mathfrak{H}_H$, il existe $\xi \in \mathbf{R}$ tel que $L = H + \xi \lambda a$ et il existe un entier $n$ tel que

ou bien $2n < \xi \leq 2n + 1$, ou bien $2n - 1 < \xi \leq 2n$.

Dans le premier cas, on a $(s_H s_{H'})^n(L) = H + (\xi - 2n)\lambda a$ avec

et la définition de $\lambda$ entraîne $\xi = 2n + 1$; dans le second cas, on a

et la définition de $\lambda$ entraîne que $\xi = 2n$.

Il en résulte que si $\alpha_H$ est la forme linéaire sur F telle que

l’ensemble $\mathfrak{H}_H$ est l’ensemble des hyperplans $L_{\alpha_H, k} = \{ x \in F | \langle \alpha_H, x \rangle = k \}$ pour $k \in \mathbf{Z}$, et les formes linéaires $\alpha_H$ et $-\alpha_H$ sont les seules à posséder cette propriété.

Par suite, la proposition sera démontrée si nous montrons que l’ensemble R des éléments de V de la forme $\pm \alpha_H$ est un système de racines réduit dans V.

a) Démontrons la condition (SR₁) : il est clair que R est fini (puisque $\mathfrak{H}_0$ est fini) et ne contient pas 0. De plus, R engendre V. En effet, si $x \in F$ est orthogonal à R, on a $x \in H$ pour tout $H \in \mathfrak{H}_0$ et la translation de vecteur $x$ commute avec tout élément de G. Comme G est essentiel, ceci entraîne $x = 0$.

b) Démontrons (SR_{II}). Pour $v \in V$ et $r \in \mathbf{R}$, posons comme précédemment $L_{v,r} = \{ x \in F | \langle v, x \rangle = r \}$; si $\alpha \in \mathbf{R}$, posons $H_\alpha = L_{\alpha,0}$, et soit $s_\alpha$ le transposé de $s_{H_\alpha}$. Il existe un élément $\alpha^\vee \in F$ et un seul orthogonal à $H_\alpha$ et tel que $\langle \alpha^\vee, \alpha \rangle = 2$. On a alors $s_{H_\alpha} = s_{\alpha^\vee,\alpha}$ et $s_\alpha = s_{\alpha,\alpha^\vee}$. Pour $\beta \in \mathbf{R}$, on a

et il existe $\gamma \in \mathbf{R}$ et $n \in \mathbf{N}^*$ tels que $L_{s_{\alpha(\beta)},1} = L_{\gamma,n}$. On a alors et par suite $1/n \in \mathbf{Z}$. On a donc $n = 1$ et $s_\alpha(\beta) = \gamma \in \mathbf{R}$. Ceci démontre (SR_{II}).

c) Démontrons (SR_{III}). Soit $\alpha \in \mathbf{R}$ et posons $H'_\alpha = L_{\alpha,1}$. On a

comme la translation $t(\alpha^\vee)$ de vecteur $\alpha^\vee$ est le produit $s_{H'_\alpha}s_{H_\alpha}$ (chap. V, § 2, no 4, prop. 5), elle appartient à T et $\alpha^\vee = t(\alpha^\vee)(0)$ est un point spécial pour G. Par suite, pour tout $\beta \in \mathbf{R}$, il existe un hyperplan $L_{\beta,k}$ passant par $\alpha^\vee$, avec $k$ entier, ce qui démontre que $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle \in \mathbf{Z}$, c’est-à-dire (SR_{III}).

d) Enfin, il est évident que R est réduit, car si $H, H' \in \mathfrak{H}_0, H \neq H'$, les formes linéaires $\alpha_H$ et $\alpha_{H'}$ ne sont pas proportionnelles.

Remarque 1). — L’hypothèse que T est de rang l est en particulier vérifiée lorsque G est irréductible et infini. En effet l’espace vectoriel engendré par les vecteurs des translations de T est invariant par l’image canonique de G dans le groupe linéaire de F. Il est différent de $\{0\}$ si G est infini et est donc égal à F tout entier si G est infini et irréductible.

Un groupe fini engendré par des réflexions n’est pas toujours le groupe de Weyl d’un système de racines. Plus précisément :

(i) Il existe un sous-groupe discret de rang l de V stable par G. (ii) Il existe une $\mathbf{Q}$-structure sur V (Alg., chap. II, 3e éd., § 8, no 1, déf. 1) invariante par G. (iii) Il existe un système de racines dans V dont le groupe de Weyl est G. (iv) Il existe un groupe discret G’ de déplacements de V, opérant proprement dans V, engendré par des réflexions, tel que G’ soit produit semi-direct de G et d’un groupe de translations de rang l.

(ii) $\Longrightarrow$ (i) : soit $V' \subset V$ une $\mathbf{Q}$-structure sur V invariante par G. Soit A une partie finie de $V'$ engendrant le $\mathbf{Q}$-espace vectoriel $V'$. En remplaçant A par $\bigcup_{s \in G} s(A)$, on peut supposer A stable par G. Soit B le sous-groupe de V engendré par A. Alors B est stable par G, de type fini et sans torsion, donc admet une base sur $\mathbf{Z}$ qui est en même temps une base de $V'$ sur $\mathbf{Q}$, donc une base de $V$ sur $\mathbf{R}$.

(iii) $\Longrightarrow$ (ii) : ceci résulte par exemple de la prop. 1 du § 1, no 1.

(iv) $\Longrightarrow$ (iii) : soit $G'$ un groupe vérifiant la condition (iv). Le groupe des translations de $G'$ est de rang $l$, et 0 est point spécial pour $G'$ d’après la prop. 9 du chap. V, § 3, no 10. La prop. 8 montre qu’il existe un système de racines réduit $R_0$ dans $V^*$ tel que $G'$ s’identifie à $W_a(R_0)$; le groupe $G$ est alors le groupe de Weyl du système de racines inverse de $R_0$.

(i) $\Longrightarrow$ (iv) : supposons que $G$ laisse stable un sous-groupe discret $M$ de $V$, de rang $l$. Munissons $V$ d’un produit scalaire invariant par $G$. Pour toute réflexion $s \in G$, on a $s(x) — x \in M$ quel que soit $x \in M$, donc la droite $D_s$ orthogonale à $H_s$ rencontre $M$; soient $\alpha_s, — \alpha_s$ les générateurs du groupe cyclique $D_s \cap M$. L’ensemble $A$ des $\alpha_s$ et des $— \alpha_s$ est stable par $G$, donc engendre un sous-groupe $M'$ de $M$ stable par $G$; le groupe discret $M'$ est de rang $l$ parce que $G$ est essentiel. Soit $G'$ le groupe de transformations affines de $V$ produit semi-direct de $G$ et du groupe des translations dont les vecteurs appartiennent à $M'$. Soit $G'_1$ le sous-groupe de $G'$ engendré par les réflexions de $G'$. On va montrer que $G'_1 = G'$, ce qui achèvera la démonstration. D’abord, $G'_1 \supseteq G$ puisque $G$ est engendré par des réflexions. D’autre part, pour toute réflexion $s$ de $G$, soit $t_s$ la translation de vecteur $\alpha_s$. La transformation $s \circ t_s$ est une réflexion, et $s \circ t_s \in G'$; donc $t_s$ est un produit de deux réflexions de $G'$; ceci étant vrai pour toute réflexion $s$ de $G$, les translations dont le vecteur appartient à $M'$ sont toutes dans $G'_1$.