(i) L’anneau $A[P]$ est factoriel.

(ii) Si $u, v$ sont des éléments non proportionnels de $P$, les éléments $1 - e^u, 1 - e^v$ de $A[P]$ sont étrangers.

Soient $(p_1, p_2, \ldots, p_l)$ une base de $P$, et $X_1, X_2, \ldots, X_l$ des indéterminées. L’application $A$-linéaire de $A[X_1, \ldots, X_l, X_1^{-1}, \ldots, X_l^{-1}]$ sur $A[P]$ qui transforme $X_1^{n_1} X_2^{n_2} \ldots X_l^{n_l}$ (où $n_1, n_2, \ldots, n_l \in \mathbf{Z}$) en $e^{n_1 p_1 + \cdots + n_l p_l}$ est un isomorphisme d’anneaux. Or $A[X_1, \ldots, X_l]$ est un anneau factoriel (Alg. comm., chap. VII, § 3, no 5), et $A[X_1, \ldots, X_l, X_1^{-1}, \ldots, X_l^{-1}]$ est un anneau de fractions de $A[X_1, \ldots, X_l]$, donc est factoriel.

Soit $P'$ (resp. $P''$) l’ensemble des éléments de $P$ dont un multiple appartient à $\mathbf{Z}u + \mathbf{Z}v$ (resp. à $\mathbf{Z}u$). Alors les groupes $P/P'$ et $P'/P''$ sont sans torsion, donc il existe un supplémentaire de $P''$ dans $P'$ et un supplémentaire de $P'$ dans $P$. Par suite, il existe une base $(z_1, z_2, \ldots, z_l)$ du $\mathbf{Z}$-module $P$ et des entiers rationnels $j, m, n$ tels que $u = jz_1, v = mz_1 + nz_2, j > 0, n > 0$. Posant $X_i = e^{z_i}$ pour $1 \leq i \leq l$, on a donc $1 - e^u = 1 - X_1^j, 1 - e^v = 1 - X_1^m X_2^n$. Soit $K$ une clôture algébrique du corps des fractions de $A$, de sorte que $A[P]$ s’identifie à un sous-anneau de l’anneau $B = K[X_1, \ldots, X_l, X_1^{-1}, \ldots, X_l^{-1}]$. Pour toute racine $j$-ème de l’unité $z$, $1 - z X_1$ est extrémal dans

de plus l’idéal engendré par $1 - z X_1$ ne contient aucun monôme en les $X_i$. On en conclut que l’idéal $(1 - z X_1)B$ de $B$ est un idéal premier de hauteur 1 (Alg. comm., chap. VII, § 1, no 6), donc que $1 - z X_1$ est extrémal dans $B$. Les facteurs extrémaux de $1 - X_1^j$ dans $B$ sont donc de la forme $1 - z X_1$. Or aucun de ces facteurs ne divise $1 - X_1^m X_2^n$ dans $B$ (car l’homomorphisme $f$ de $B$ dans $B$ tel que $f(X_1) = z^{-1}, f(X_i) = X_i$ pour $i \geq 2$, vérifie

Ainsi, $1 - X_1^j$ et $1 - X_1^m X_2^n$ sont étrangers dans $B$. Par suite un diviseur commun de $1 - X_1^j$ et $1 - X_1^m X_2^n$ dans $A[P]$ est inversible dans $B$, donc, à la multiplication près par un élément de la forme $X_1^{k_1} X_2^{k_2} \ldots X_l^{k_l}$, est égal à un élément $a$ de $A$; en outre, $a$ doit diviser 1 dans $A$, donc être inversible dans $A$. En définitive, $1 - X_1^j$ et $1 - X_1^m X_2^n$ sont étrangers dans $A[P]$.

Posons $x = \sum_p x_p e^p, y = \sum_r y_r e^r$ et $xy = \sum_t z_t e^t$. On a $r \leq q$ pour tout $r \in P$ tel que $y_r \neq 0$ et $z_t = \sum_{p+r=t} x_p y_r$.

Si $t = p + q = p' + r$ avec $p \in X$ et $x_p y_r \neq 0$, on a $r \leq q$, d’où $p' \geq p$ et par suite $p' = p$. On a donc $z_{p+q} = x_p y_q = x_p \neq 0$. Ceci montre que $X + q$ est contenu dans le support du produit xy.

D’autre part, si $t = p' + r$ avec $x_p y_r \neq 0$, il existe $p \in X$ tel que $p' \leq p$ et on a $t \leq p + q$. Le support maximal de xy est donc contenu dans $X + q$. Comme deux éléments de $X + q$ ne sont pas comparables, il en résulte que $X + q$ est exactement le support maximal de xy et nous avons vu ci-dessus que $z_{p+q} = x_p$ pour $p \in X$, ce qui achève la démonstration du lemme.

Les poids $w(p)$ pour $w \in W$ et $p \in P \cap C$ sont deux à deux distincts. Il en résulte que les $J(e^p)$ pour $p \in P \cap C$ sont linéairement indépendants.

Soit d’autre part $x = \sum_p x_p e^p$ un élément anti-invariant de $A[P]$. Si $p_0$ appartient à un mur, il est invariant par une réflexion $s \in W$ et l’on a

On en déduit $2x_{p_0} = 0$, d’où $x_{p_0} = 0$. Comme tout élément n’appartenant à aucun mur s’écrit d’une façon unique sous la forme $w(p)$ avec $w \in W$ et $p \in P \cap C$, on a par suite :

(2)

Comme $w(x) = \sum_p x_p e^{w(p)} = \varepsilon(w) \sum_p x_p e^p$, on a $x_{w(p)} = \varepsilon(w)x_p$ et on déduit de (2) que

ce qui achève la démonstration. Considérons maintenant l’élément $d$ de l’algèbre $A[\frac{1}{2} P]$ défini par Puisque $\rho \in P$, on a $d \in A[P]$.

On sait que, pour $1 \leq i \leq l$, la réflexion $s_i = s_{\alpha_i}$ laisse stable l’ensemble des racines positives distinctes de $\alpha_i$ et que $s_i(\alpha_i) = -\alpha_i$ (§ 1, n° 6, cor. 1 de la prop. 17). On a donc

Comme les $s_i$ engendrent W, ceci démontre la première assertion de (i). La deuxième assertion de (i) résulte aussitôt de (3) et du lemme 2, compte tenu de ce que 1 est l’unique terme maximal de $1 - e^{-\alpha}$ pour $\alpha \in \mathbf{R}, \alpha > 0$.

Supposons maintenant que $A = \mathbf{Z}$. D’après la prop. 1, on a:

D’autre part, on vient de voir que Si $p \in P \cap C$ avec $p \neq \rho$, on a $p > \rho$ et le coefficient de $e^p$ dans $d$ est nul d’après (5). On a donc $c_p = 0$. De plus, la comparaison des coefficients de $e^\rho$ dans (4) et (5) montre que $c_\rho = 1$ et par suite $d = J(e^\rho)$.

Supposons toujours $A = \mathbf{Z}$. Soient $p \in P, \alpha \in \mathbf{R}$ et M un système de représentants des classes à droite de W suivant le sous-groupe $\{1, s_\alpha\}$. On a:

Or $s_\alpha w(p) = w(p) - \langle \alpha^\vee, w(p) \rangle \alpha = w(p) + n_w \alpha$, avec $n_w \in \mathbf{Z}$. Donc

Si $n_w \geq 0$, il est clair que $1 - e^{n_w \alpha}$ est divisible par $1 - e^\alpha$ et ceci est encore vrai pour $n_w < 0$ puisque $1 - e^{n_w \alpha} = -e^{n_w \alpha} (1 - e^{-n_w \alpha})$. Par suite, $J(e^p)$ est divisible par $1 - e^\alpha$ dans $\mathbf{Z}[P]$.

D'après le lemme 1, $\mathbf{Z}[P]$ est factoriel et les éléments $1 - e^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbf{R}$ et $\alpha > 0$ sont deux à deux étrangers. Il s'ensuit que $J(e^p)$ est divisible dans $\mathbf{Z}[P]$ par le produit $\prod_{\alpha > 0} (1 - e^\alpha)$, donc aussi par $d = e^{-\rho} \prod_{\alpha > 0} (e^\alpha - 1)$.

Revenons maintenant au cas général : par extension des scalaires de $\mathbf{Z}$ à $A$, on déduit de ce qui précède que $d = J(e^\rho)$ et que tout élément $J(e^p)$ est divisible par $d$. Comme $d$ admet $e^\rho$ comme unique terme maximal, la Remarque du no 2 montre qu'il existe un seul élément $y \in A[P]$ tel que $J(e^p) = dy$ et il en résulte aussitôt que $y$ est invariant par $W$, puisque $d$ et $J(e^p)$ sont anti-invariants. Ceci démontre (i) et (ii).

Enfin, si 2 n'est pas diviseur de zéro dans $A$, la Remarque du no 2 et la prop. 1 entraînent (iii).

Plus généralement :

Démontrons tout d’abord un lemme :

Pour toute partie J de I, soit $E_J$ le sous-module de E de base $(e_i)_{i \in J}$. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des parties J de I possédant les deux propriétés suivantes : (a) Si $i' \leq i$ et $i \in J$, on a $i' \in J$; (b) $(x_i)_{i \in J}$ est une base de $E_J$.

On vérifie immédiatement que $\mathscr{S}$, ordonné par inclusion, est inductif et non vide. Il possède donc un élément maximal J. Si $J \neq I$, soit $i_0$ un élément minimal de $I - J$ et posons $J' = J \cup \{i_0\}$. Tout élément $i \in I$ tel que $i < i_0$ appartient alors à J : on en déduit que $J'$ satisfait à (a). D’autre part, $J'$ satisfait aussi à (b); en effet, on a

d’où (b). Par suite $J' \in \mathscr{S}$, d’où une contradiction. On a donc $J = I$, ce qui démontre le lemme.

Démontrons maintenant la prop. 3. Nous allons appliquer le lemme 4, avec $I = P \cap \overline{C}$. Soit $q \in I$, et soit $I_q$ l’ensemble des $p \in I$ tels que $p \leq q$. Si $p \in I_q$, les relations

entraînent d’où

L’ensemble $I_q$ est donc borné. Comme I est discret, il s’ensuit que $I_q$ est fini, et il est clair que I satisfait à la condition (MIN). D’autre part, pour tout $p \in I$, on a

d’où aussi d’après (6)

La proposition résulte alors des lemmes 3 et 4.

Le lemme 2 entraîne que l’image par $\varphi$ du monôme $X_1^{n_1} \cdots X_l^{n_l}$ est un élément admettant comme unique terme maximal $e^{n_1 \omega_1 + \cdots + n_l \omega_l}$. Comme tout élément de $P \cap \overline{C}$ s’écrit de façon unique sous la forme $n_1 \omega_1 + \cdots + n_l \omega_l$, la prop. 3 montre que les images par $\varphi$ des monômes $X_1^{n_1} \cdots X_l^{n_l}$ forment une base de $A[P]^w$, d’où le théorème.