Theo loc. cit., Hệ quả, đồng cấu $\theta$ là đơn ánh. Ảnh của nó được chứa trong Hom$^f_A(E,F)$. Cho $u\in$ Hom$^f_A(E,F)$; ta sẽ chứng minh rằng $u$ thuộc ảnh của $\theta$.

Trước hết, giả sử rằng A-môđun F là tự do. Cho $(f_i)_{i\in I}$ là một cơ sở của F, và cho $(f_i^*)_{i\in I}$ là cơ sở của $F^*$ đối ngẫu với $(f_i)_{i\in I}$. Cho J là một tập con hữu hạn của I sao cho ảnh của $u$ được chứa trong môđun con của F sinh bởi các $f_j$ với $j\in J$. Ta có

với mọi $x\in E$, và do đó

Trong trường hợp tổng quát, tồn tại một A-môđun tự do L và các đồng cấu $i: F\rightarrow L$ và $p: L\rightarrow F$ sao cho $p\circ i= 1_F$. Đồng cấu $i\circ u$ thuộc Hom$^f_A(E,L)$. Theo điều trên, tồn tại một tập hữu hạn J và, với mọi $j\in J$, các phần tử $x^*_j$ của $E^*$ và $y_j$ của L sao cho ta có

với mọi $x\in E$. Khi đó ta có

với mọi $x\in E$, và do đó $u=\theta (\sum_{j\in J}x^*_j\otimes p(y_j))$.

Chỉ cần xét trường hợp $u$ có dạng $\theta_E(x^*\otimes x)$ với $x\in E$ và $x^*\in E^*$. Khi đó họ $(\langle x, e^*_i\rangle )_{i\in I}$ có giá hữu hạn, và ta có $x=\sum_{i\in I}\langle x, e^*_i\rangle e_i$. Do đó, họ $(\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle )_{i\in I}$ cũng có giá hữu hạn, và ta có $\langle x, x^*\rangle =\sum_{i\in I}\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle$. Mặt khác, ta có $\langle u(e_i), e^*_i\rangle =\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle$ với mọi $i\in I$. Điều này chứng minh mệnh đề.

(3) Tr($v\circ u$) $=$ Tr($u\circ v$).

Chỉ cần chứng minh mệnh đề trong trường hợp $u$ có dạng $\theta (x^*\otimes y)$ với $x^*\in E^*$ và $y\in F$. Trong trường hợp này, ta có

$v\circ u=\theta_E(x^*\otimes v(y))$ and $u\circ v=\theta_F(^tv(x^*)\otimes y)$,

và do đó

Tr($v\circ u$) $=\langle v(y), x^*\rangle =\langle y,^tv(x^*)\rangle =$ Tr($u\circ v$).

(4) Tr($u$) $=$ Tr($u_F$).

Ký hiệu bởi $i$ đơn ánh chính tắc của F vào E và bởi $v: E\rightarrow F$ đồng cấu suy ra từ $u$. Ta có $u_F=v\circ i$ và $u=i\circ v$. Hệ quả được suy ra.

Cho E là một A-môđun xạ ảnh và $u\in$ End$^f_A(E)$. Với mọi số tự nhiên $p$, A-môđun $\wedge^pE$ là xạ ảnh (III, §7, No. 8, p. 519, Hệ quả 2), và tự đồng cấu $\wedge^pu$ thuộc End$^f_A(\wedge^pE)$ (III, §7, No. 3, p. 511, Mệnh đề 6) và bằng không với $p$ đủ lớn. Tập hợp $1_E+$ End$^f_A(E)$ ổn định đối với hợp thành. Ta định nghĩa một ánh xạ det từ $1_E+$ End$^f_A(E)$ vào A bằng cách đặt

det(1$_E+u$) $=\sum_{p\geqslant 0}$ Tr $\wedge^pu$

với $u\in$ End$^f_A(E)$.

Nếu E tự do và hữu hạn chiều, thì định nghĩa này trùng với định nghĩa ở III, §8, No. 1, p. 522, theo hệ quả của III, §8, No. 5, p. 530.

a) Cho $u\in$ End$^f_A(E)$. Cho F là một A-môđun con xạ ảnh của E chứa Im $u$, và gọi $u_F$ là tự đồng cấu của F cảm sinh bởi $u$. Ta có

(5) det(1$_E+u$) $=$ det(1$_F+u_F$).

b) Cho $u$ và $v$ là hai phần tử của End$^f_A(E)$. Ta có

(6) det $(1_E+u)\circ (1_E+v)$ = det(1$_E+u$) det(1$_E+v$).

Ta hãy chứng minh a). Với mọi số nguyên $p\geqslant 0$, A-môđun xạ ảnh $\wedge^pF$ có thể được đồng nhất với một môđun con của $\wedge^pE$ (III, §7, No. 9, p. 520, Hệ quả). Ảnh của $\wedge^pu$ được chứa trong $\wedge^pF$, và tự đồng cấu của $\wedge^pF$ cảm sinh bởi $\wedge^pu$ bằng $\wedge^pu_F$. Do đó ta có Tr($\wedge^pu$) $=$ Tr($\wedge^pu_F$) theo hệ quả của Mệnh đề 2, và vì thế suy ra a).

Ta hãy chứng minh b). Cho G là một A-môđun sao cho A-môđun $L = E\oplus G$ là tự do. Kí hiệu bởi $u'$ và $v'$ các tự đồng cấu $u\oplus 0_G$ và $v\oplus 0_G$ của L. Theo a), ta có các hệ thức det(1$_L+u'$) $=$ det(1$_E+u$), det(1$_L+v'$) $=$ det(1$_E+v$), và

det(1$_L+u'+v'+u'\circ v'$) $=$ det(1$_E+u+v+u\circ v$).

Do đó chỉ cần chứng minh mệnh đề b) khi A-môđun E là tự do. Khi đó tồn tại một môđun con tự do sinh hữu hạn F của E chứa ảnh của $u$ và ảnh của $v$. Đặt $w=u+v+u\circ v$. Ảnh của $w$ được chứa trong F, và ta có $w_F=u_F+v_F+u_F\circ v_F$. Do đó, theo (5), ta có det(1$_E+u$) $=$ det(1$_F+u_F$), det(1$_E+v$) $=$ det(1$_F+v_F$), và

det$((1_E+u)\circ (1_E+v))$

= det(1$_E+w$) $=$ det(1$_F+w_F$) $=$ det((1$_F+u_F$)$\circ (1_F+v_F)$).

Vì F là một A-môđun tự do sinh hữu hạn, ta có

det((1$_F+u_F$)$\circ (1_F+v_F)$) $=$ det(1$_F+u_F$) det(1$_F+v_F$) $=$ det(1$_E+u$) det(1$_E+v$).