a) Bậc của L trên K là hữu hạn.

b) Tồn tại một phần tử khác không $a$ của A sao cho K bằng $A[a^{-1}]$.

Cho S là một tập con sinh của đại số trên A là L. Ta dùng quy nạp theo lực lượng của S.

Trước hết, giả sử các phần tử của S đều đại số trên K. Khi đó bậc của L trên K là hữu hạn (V, §3, No. 2, p. 18, Định lý 2). Gọi $(e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở của L trên K. Tồn tại một phần tử khác không $a$ của A sao cho các tọa độ theo cơ sở này của các phần tử của S, của phần tử 1, và của các phần tử $e_ie_j$ với $i,j$ thuộc I đều thuộc $A[a^{-1}]$. Khi đó tập hợp các tổ hợp tuyến tính $\sum_{i\in I}a_ie_i$ với $a_i\in A[a^{-1}]$ với mọi $i$ là một vành con của L. Nó chứa A và S theo phép dựng và do đó bằng L. Đặc biệt, nó chứa $Ke_1$, nên K bằng $A[a^{-1}]$.

Bây giờ giả sử rằng một phần tử $s$ của S là siêu việt trên K. Ký hiệu E là trường các phân thức của vành $A[s]$. Đại số $A[s$]-trên L được sinh bởi S $-\{s\}$. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một đa thức $P\in A[X]$ khác không sao cho E bằng $A[s][P(s)^{-1}]$. Gọi $\overline{K}$ là một bao đóng đại số của K (V, §4, No. 3, p. 23, Định lý 2). Vì trường $\overline{K}$ là vô hạn (V, §4, No. 1, p. 20, Mệnh đề 3), tồn tại một phần tử $x$ của $\overline{K}$ sao cho $P(x)\not= 0$. Gọi $\varphi : E\rightarrow K$ là đồng cấu duy nhất từ đại số trên K $E = A[s][P(s)^{-1}]$ vào đại số trên K $\overline{K}$ biến $s$ thành $x$. Điều này là vô lý vì E là một mở rộng siêu việt của K và $\overline{K}$ là một mở rộng đại số của K. Điều này hoàn tất chứng minh định lý.

a) Bậc của $A/\mathfrak{m}$ trên K là hữu hạn.

b) Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Tồn tại một đồng cấu đại số trên K từ A vào Ω có hạt nhân $\mathfrak{m}$.

Đại số trên K $A/\mathfrak{m}$ được sinh bởi hữu hạn phần tử, và $A/\mathfrak{m}$ là một trường. Theo Định lý 1, bậc của $A/\mathfrak{m}$ là hữu hạn; mệnh đề a) được suy ra. Mọi mở rộng của K có bậc hữu hạn đều đẳng cấu với một mở rộng con của Ω (V, §4, No. 1, p. 20, Định lý 1); điều này cho b).

(i) Các đa thức $P_i$ không có không điểm chung nào trong $\Omega^n$.

(ii) Tồn tại một họ $(Q_i)_{i\in I}$, có giá hữu hạn, gồm các phần tử của $K[X_1, . . . ,X_n]$ sao cho $\sum_{i\in I}P_iQ_i= 1$.

Gọi A là vành $K[X_1, . . . ,X_n]$ và $\mathfrak{a}$ là iđêan sinh bởi đa thức $P_i$. Điều kiện (i) có nghĩa là không có đồng cấu đại số trên K từ $A/\mathfrak{a}$ vào Ω. Nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì theo Hệ quả 1, vành $A/\mathfrak{a}$ không có iđêan cực đại nào và do đó là không, và 1 thuộc $\mathfrak{a}$. Điều này chứng minh rằng (i) kéo theo (ii). Sự kéo theo (ii) $\Rightarrow$ (i) là hiển nhiên.