§ 3. Mở rộng đại số

1. Các phần tử đại số của một đại số

Cho A là một đại số trên một trường K và x là một phần tử của A. Có hai trường hợp có thể xảy ra:

a) Họ các đơn thức $(x^n)_{n \in \mathbf{N}}$ là tự do trên $K$ . Khi đó ta nói rằng $x$ là siêu việt trên $K$ . Có một đẳng cấu của đại số đa thức $K[X]$ lên đại số con $K[x]$ của $A$ sinh bởi $x$ , và đại số sau có bậc vô hạn trên $K$ .

b) Tồn tại một số nguyên $n \geq 1$ sao cho các đơn thức $1,\ x,\ \ldots,\ x^{n-1},\ x^n$ là phụ thuộc tuyến tính; điều này tương đương với việc tồn tại một đa thức $f \neq 0$ trong $K[X]$ sao cho $f(x) = 0$ . Khi đó ta nói rằng $x$ là đại số trên $K$ . Số nguyên nhỏ nhất $n \geq 1$ thỏa mãn tính chất trên được gọi là bậc của $x$ trên $K$ . Nếu bậc của $x$ trên $K$ là $n$ , thì các đơn thức $1,\ x,\ \ldots,\ x^{n-1}$ là độc lập tuyến tính trên $K$ và tồn tại các phần tử $a_0,\ a_1,\ \ldots,\ a_{n-1}$ của $K$ sao cho

x^n = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1}

Đa thức

f(X) = X^n - \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k

là đa thức đơn khởi duy nhất bậc

n

trong

K[X]

sao cho

f(x) = 0

; nó được gọi là đa thức tối tiểu của

x

trên

K

Định lý 1

— Cho $A$ là một đại số trên một trường $K$ , $x$ là một phần tử của $A$ đại số trên $K$ , $n$ là bậc và $f$ là đa thức tối tiểu của $x$ trên $K$ .

a) Để một đa thức $g \in K[X]$ thỏa mãn $g(x) = 0$ thì điều kiện cần và đủ là $g$ là một bội của $f$ .

b) Ánh xạ $g \mapsto g(x)$ xác định bằng cách chuyển qua các thương một đẳng cấu của đại số thương $K[X]/(f)$ lên đại số $K[x]$ , và các phần tử $1,\ x,\ \ldots,\ x^{n-1}$ tạo thành một cơ sở của $K[x]$ trên $K$ . Đặc biệt, $[K[x]:K] = n$ .

c) Giả sử rằng $A$ là một miền nguyên. Khi đó $K[x]$ là một trường và $f$ là đa thức bất khả quy đơn khởi duy nhất trong $K[X]$ sao cho $f(x) = 0$ .

d) Để $x$ khả nghịch trong $A$ thì điều kiện cần và đủ là $f(0) \neq 0$ ; khi đó ta có $x^{-1} \in K[x]$ .

Tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số $\varphi : K[X] \to A$ sao cho $\varphi(X) = x$ ; ta có $\varphi(P) = P(x)$ với mọi $P \in K[X]$ và ảnh của $\varphi$ bằng $K[x]$ . Gọi $a$ là hạt nhân của $\varphi$ : theo phép dựng, đa thức tối tiểu $f$ của $x$ trên $K$ thuộc $a$ và là đa thức đơn khởi có bậc nhỏ nhất trong $a$ . Do đó ( $IV$ , p. 11, Mệnh đề 11) ta có $a = (f)$ , do đó $a$ . Mệnh đề b) suy ra ngay từ a) và Hệ quả của Mệnh đề 10 của $IV$ , p. 11.

Giả sử $A$ là một miền nguyên. Khi đó đại số $K[x]$ là một miền nguyên và có bậc hữu hạn trên $K$ , do đó nó là một trường ( $V$ , p. 10, Hệ quả). Vì thế iđêan $(f)$ của $K[x]$ là cực đại, nghĩa là $f$ bất khả quy trong $K[X]$ ( $IV$ , p. 13). Cuối cùng, cho $g$ là một đa thức đơn khởi bất khả quy trong $K[X]$ sao cho $g(x) = 0$ ; theo a), nó là một bội của $f$ , do đó $g = f$ , và điều này chứng minh c).

Còn lại là chứng minh d). Tồn tại một đa thức $g \in K[X]$ có bậc $n-1$ và một phần tử $a$ của $K$ sao cho $f(X) = Xg(X) + a$ , do đó $f(0) = a$ . Nếu $a = 0$ , ta có $xg(x) = f(x) = 0$ , và $g(x) \neq 0$ , nên khi đó $x$ không khả nghịch trong $A$ . Ngược lại, nếu $a \neq 0$ , thì ta có $x \cdot [-a^{-1}g(x)] = 1$ , nên khi đó $x$ khả nghịch trong $A$ và $x^{-1} = -a^{-1}g(x)$ .

Hệ quả 1

— Cho $A$ là một đại số trên một trường $K$ . Để một phần tử $x$ của $A$ là đại số trên $K$ thì điều kiện cần và đủ là đại số con $K[x]$ của $A$ sinh bởi $x$ có bậc hữu hạn trên $K$ . Đặc biệt, nếu $A$ có bậc hữu hạn trên $K$ , thì mọi phần tử của $A$ đều đại số trên $K$ .

Hệ quả 2

— Cho $E$ là một mở rộng của $K$ , $A$ là một đại số trên $E$ và $x$ là một phần tử của $A$ đại số trên $K$ . Khi đó $x$ là đại số trên $E$ , đa thức tối tiểu của $x$ trên $E$ chia hết đa thức tối tiểu của $x$ trên $K$ và bậc của $x$ trên $E$ không lớn hơn bậc của $x$ trên $K$ .

Thật vậy, cho $f$ là đa thức tối tiểu của $x$ trên $K$ ; ta có $f(x) = 0$ và $f \in E[X]$ , do đó $x$ là đại số trên $E$ và $f$ là bội của đa thức tối tiểu của $x$ trên $E$ (Đl. 1, a).

Nhận xét

Cho $E$ là một mở rộng của một trường $K$ và $x$ là một phần tử của $E$ là nghiệm của một đa thức bất khả quy đơn nhất $f \in K[X]$ . Đl. 1, c) khi đó cho thấy rằng $f$ là đa thức tối tiểu của $x$ trên $K$ .

Ví dụ 1

Trong trường số phức $\mathbf{C}$ , số $i$ là đại số có bậc 2 trên trường nguyên tố $\mathbf{Q}$ ; vì nếu $f(X) = X^2 + 1$ , thì $f(i) = 0$ , và $x^2 + 1 \neq 0$ với mọi $x \in \mathbf{Q}$ , do đó $i \notin \mathbf{Q}$ . Trường $\mathbf{Q}(i)$ do đó là một mở rộng bậc 2 của $\mathbf{Q}$ ; nó gồm tất cả các số $a + bi$ , trong đó $a, b$ là hữu tỉ. Tương tự, $i$ là đại số có bậc 2 trên trường $\mathbf{R}$ của các số thực, và $\mathbf{C}$ là một mở rộng bậc 2 của $\mathbf{R}$ . \

Ví dụ 2

Cho $K$ là một trường và $F$ là trường $K(X)$ các hàm hữu tỉ theo một bất định trên $K$ . Cho $E$ là trường con $K(X^3)$ của $F$ ; ta có $F = E(X)$ và $X$ là đại số trên $E$ , vì nó là một nghiệm của đa thức $Y^3 - X^3$ của vành $E[Y]$ ; đa thức này bất khả quy trong $E[Y]$ , vì nếu không nó sẽ có ít nhất một nhân tử bậc nhất, và khi đó tồn tại hai đa thức khác không $u(X)$ , $v(X)$ của $K[X]$ sao cho $(u(X^3))^3 = X^3(v(X^3))^3$ , điều này vô lý, vì nếu $m$ và $n$ là các bậc của $u$ và $v$ , thì điều này kéo theo $9m = 9n + 3$ , hay $3m = 3n + 1$ . Do đó trường $F$ có bậc 3 trên $E$ , và mọi phần tử của $F$ có thể được viết theo đúng một cách dưới dạng một tổ hợp tuyến tính $f(X^3) + Xg(X^3) + X^2 h(X^3)$ , trong đó $f, g, h$ là ba phân thức hữu tỉ của $K(X)$ .

Ví dụ 3

Trong trường $\mathbf{R}$ của các số thực, có thể chứng minh $^1$ rằng số $\pi$ là siêu việt trên trường nguyên tố $\mathbf{Q}$ . \

2. Các mở rộng đại số

Định nghĩa 1

— Một mở rộng $E$ của một trường $K$ được gọi là đại số (trên $K$ ) nếu mọi phần tử của $E$ đều đại số trên $K$ . Một mở rộng $E$ của $K$ không đại số được gọi là siêu việt (trên $K$ ).

Mệnh đề 1

— Để một mở rộng $E$ của $K$ là đại số thì điều kiện cần và đủ là mọi đại số con trên K $A$ của $E$ đều là một trường.

$^1$ Xem chẳng hạn D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, tập 1, p. 1 (Berlin (Springer), 1932).

Điều kiện là cần : nếu $E$ là đại số trên $K$ và $x \neq 0$ là một phần tử của một đại số con trên K $A$ của $E$ , thì $x^{-1} \in K[x] \subset A$ theo $V$ , p. 16, Đl. 1, d). Do đó $A$ là một trường.

Điều kiện là đủ : nếu nó được thỏa mãn và $x$ là một phần tử $\neq 0$ trong $E$ , thì vành $K[x]$ là một trường, do đó $x^{-1} \in K[x]$ ; nói cách khác, tồn tại một đa thức $g \in K[X]$ sao cho $x^{-1} = g(x)$ , hay cũng vậy, $xg(x) - 1 = 0$ ; điều này chứng tỏ $x$ là đại số trên $K$ , do đó $E$ là một mở rộng đại số của $K$ .

Mệnh đề 2

— *Nếu một mở rộng E của K có bậc hữu hạn n, thì nó là đại số và bậc trên K của mỗi phần tử của E chia hết n.

Thật vậy, với $x \in E$ , $[K(x):K]$ là hữu hạn và chia hết n ( $V$ , p. 10, Hệ quả 1) và do đó $x$ là đại số trên $K$ ( $V$ , p. 17, Hệ quả 1).

Có những mở rộng đại số có bậc vô hạn, chẳng hạn bao đóng đại số của một trường hữu hạn (V, p. 24, Nhận xét 4).

Định lý 2

— *Cho E là một mở rộng sinh hữu hạn của K, được sinh bởi các phần tử $a_1, ..., a_m$ , là các phần tử đại số trên K; khi đó E là một mở rộng có bậc hữu hạn của K. Nếu bậc của $a_i$ trên $K(a_1, a_2, ..., a_{i-1})$ là $n_i$ (với $1 \leq i \leq m$ ), thì bậc của E trên K là $n_1 n_2 ... n_m$ và các phần tử $a_1^{v_1} a_2^{v_2} ... a_m^{v_m}$ ( $0 \leq v_i \leq n_i - 1$ ) tạo thành một cơ sở của E trên K.

Các phần tử $a_i^{v_i}$ ( $0 \leq v_i \leq n_i - 1$ ) tạo thành một cơ sở của $K(a_1, a_2, ..., a_i)$ trên $K(a_1, a_2, ..., a_{i-1})$ theo Đl. 1, b) của $V$ , p. 16; do đó định lý suy ra bằng quy nạp theo $m$ từ Mệnh đề 25 của II, p. 222.

Hệ quả 1

— *Cho E là một mở rộng của K và A là một tập con của E gồm các phần tử đại số trên K. Khi đó $K(A)$ là đại số trên K và ta có $K[A] = K(A)$ .

Mỗi $x \in K(A)$ thuộc về một trường $K(F)$ , trong đó F là một tập con hữu hạn của $A$ ( $V$ , p. 11, Hệ quả); khi đó $K(F)$ là đại số trên $K$ và bằng $K[F]$ theo Đl. 2, do đó $x$ là đại số trên $K$ và $K(A) = K[A]$ .

Hệ quả 2

— *Cho L là một mở rộng của K và E, F là các mở rộng con của L. Nếu F là đại số trên K, vành con $K[E, F]$ của L được sinh bởi $E \cup F$ là một trường trùng với $E(F)$ và đại số trên E.

Đối với mỗi phần tử của $F$ , việc đại số trên $K$ cũng là đại số trên $E$ ( $V$ , p. 17, Hệ quả 2) do đó $E(F)$ là một mở rộng đại số của $E$ , và ta có $E(F) = E[F]$ theo Hệ quả 1.

Nhận xét 1

Với ký hiệu của Định lý 2, $E = K[a_1, a_2, ..., a_n]$ và do đó $E$ đẳng cấu với một thương $K[X_1, X_2, ..., X_m]/\mathfrak{a}$ ; vì $E$ là một trường, $a$ là một iđêan cực đại trong $K[X_1, ..., X_m]$ .

Nhận xét 2

Cho $E$ là một mở rộng đại số của $K$ , có bậc vô hạn. Theo Định lý 2 tồn tại một dãy vô hạn $(a_i)$ , gồm các phần tử của $E$ sao cho $a_i \notin K(a_1, a_2, ..., a_{i-1})$ ; Định lý 2 còn cho thấy bậc của $K(a_1, a_2, ..., a_n)$ trên $K$ nhận các giá trị lớn tùy ý. Nói cách khác, nếu E là một mở rộng đại số của K sao cho các bậc [F : K] của các mở rộng con F của E có bậc hữu hạn trên K bị chặn, thì E là một mở rộng có bậc hữu hạn của K.

3. Tính bắc cầu của các mở rộng đại số. Các trường đóng đại số tương đối trong một trường mở rộng

Mệnh đề 3

— Cho E và F là hai trường mở rộng của một trường K sao cho K ⊂ E ⊂ F. Để F là đại số trên K, điều kiện cần và đủ là E đại số trên K và F đại số trên E.

Điều kiện là cần, theo V, p. 17, Hệ quả 2. Ta hãy chứng minh rằng nó là đủ. Cho x là một phần tử bất kỳ của F; nó là đại số trên E; gọi g ∈ E[X] là đa thức tối tiểu của nó trên E. Nếu A là tập hợp (hữu hạn) các hệ số của g, thì g ∈ K(A)[X], do đó x là đại số trên K(A) và K(A U {x}) = K(A)(x) có bậc hữu hạn trên K(A). Bây giờ A ⊂ E và E là đại số trên K, do đó K(A) có bậc hữu hạn trên K, theo Định lý 2. Vì vậy (V, p. 10, Định lý 1), K(A U {x}) có bậc hữu hạn trên K, điều này chứng tỏ x là đại số trên K (V, p. 18, Mệnh đề 2).

Định nghĩa 2

— Một trường con K của một trường E được gọi là đóng đại số tương đối trong E nếu mọi phần tử của E đại số trên K đều thuộc K.

Điều này tương đương với việc nói rằng K là mở rộng đại số duy nhất của K được chứa trong E. Mọi trường K đều đóng đại số tương đối trong chính nó. Trong § 4 ta sẽ nghiên cứu các trường đóng đại số tương đối trong mỗi trường mở rộng.

Mệnh đề 4

— Cho E là một mở rộng của một trường K; tập hợp L gồm các phần tử của E đại số trên K tạo thành một mở rộng con của E đóng đại số tương đối trong E.

Vì trường K(L) là đại số trên K (Hệ quả 1 của Định lý 2), nên K(L) ⊂ L; suy ra K(L) = L và L là một trường. Mặt khác, nếu x ∈ E là đại số trên L, thì nó cũng là đại số trên K (Mệnh đề 3) và do đó thuộc L.

Mở rộng L của K gồm tất cả các phần tử của E đại số trên K được gọi là bao đóng đại số tương đối của K trong E; nó là mở rộng đại số lớn nhất của K được chứa trong E.

Bài tập

Xem các bài tập của § 3.