§ 2. Mở rộng

1. Cấu trúc của một mở rộng

Định nghĩa 1

— Cho K là một trường. Bởi một mở rộng của K ta hiểu là một đại số trên K mà vành nền là một trường. Bởi một mở rộng con (hay mở rộng con trên K) của mở rộng E ta hiểu là một đại số con trên K của E mà là một trường. Cho E là một mở rộng của K. Ánh xạ u : A ↦ λ . 1 của K vào E là một đồng cấu vành; theo I, p. 115, u cảm sinh một đẳng cấu từ K lên một trường con u(K) của E. Ngược lại, nếu K, E là các trường và u là một đồng cấu của K vào E, thì u xác định trên E một cấu trúc mở rộng của K (III, p. 433). Do lạm dụng ngôn ngữ, đôi khi người ta nói rằng (E, u) là một mở rộng của K. Một mở rộng được gọi là tầm thường nếu u(K) = E, nghĩa là nếu E là một không gian vectơ chiều 1 trên K. Cho L là một trường mở rộng của K. Khi ta xét L như một mở rộng của K, theo đó ta hiểu mở rộng (L, j) của K, trong đó j là đơn ánh chính tắc của K vào L, hoặc cũng là L với cấu trúc đại số trên K tương ứng. Khi đó các mở rộng con của L là các trường trung gian giữa K và L, nghĩa là các trường con của L chứa K. Nếu L' là một trường mở rộng khác của K, thì một K-đồng cấu từ L vào L' khi đó là một đồng cấu f từ L vào L' sao cho f(x) = x với mọi x ∈ K. Ta chú ý rằng nếu f là một tự đồng cấu bất kỳ của trường L, thì tập hợp các phần tử của L bất biến dưới f là một trường con K' của L, và khi đó f là một K'-tự đồng cấu của L. Đặc biệt, cho P là trường con nguyên tố của một trường L. Ta có thể xét L như một mở rộng của P, và mọi tự đồng cấu của L khi đó đều là một P-tự đồng cấu. Cho (E, u) là một mở rộng của K; vì u xác định một đẳng cấu từ K lên một trường con K_1 của E, nên nói chung không có khó khăn gì khi đồng nhất K với K_1 nhờ u. Một trường hợp mà ta không thể cho phép sự đồng nhất như vậy là trường hợp K = E và do đó u là một tự đồng cấu của K; thường nhất u sẽ là một tự đẳng cấu của K, hoặc ánh xạ u ↦ u'', khi trường K có đặc số ≠ 0. Hiển nhiên mọi mở rộng của K đều đẳng cấu với một mở rộng (L, j), trong đó L là một trường chứa K như một trường con và j là đơn ánh chính tắc của K vào L.

2. Bậc của một mở rộng

Cho $A$ là một đại số trên một trường $K$ . Đặc biệt, nó là một không gian vectơ trên $K$ ; chiều của không gian vectơ này được gọi là bậc của $A$ trên $K$ và được viết là $[A : K]$ (II, p. 293). Theo định nghĩa, $[A : K]$ do đó là lực lượng của mọi cơ sở của $A$ trên $K$ . Định nghĩa này áp dụng đặc biệt cho trường hợp các mở rộng của $K$ .

Một mở rộng bậc 1 là tầm thường. Một mở rộng bậc 2 (tương ứng 3, v.v.) được gọi là bậc hai (tương ứng bậc ba, v.v.). Một mở rộng có bậc hữu hạn đôi khi được gọi, do lạm dụng ngôn ngữ, là một mở rộng hữu hạn.

Định lý 1

Cho $E$ là một mở rộng của $K$ và $A$ là một đại số trên $E$ . Khi đó ta có $[A : K] = [A : E] \cdot [E : K]$ . Đặc biệt, nếu $F$ là một mở rộng của $E$ , ta có

[F : K] = [F : E] \cdot [E : K].

Định lý này chỉ là một trường hợp riêng của II, p. 222, Mệnh đề 25; chính xác hơn, nếu $(a_i)$ , , , là một cơ sở của $A$ trên $E$ và $(b_j)$ , $\in M$ là một cơ sở của $E$ trên $K$ , thì họ $(a_\lambda b_\mu)_{(\lambda,\mu) \in L \times J}$ là một cơ sở của $A$ trên $K$ .

Hệ quả 1

Cho $K, E, F$ là ba trường sao cho $K \subset E \subset F$ và $[F : K]$ là hữu hạn. Khi đó các bậc $[E : K]$ và $[F : E]$ là các ước của $[F : K]$ .

Nếu bậc $[F : K]$ là nguyên tố, do đó không có mở rộng con nào của $F$ ngoài $K$ và $F$ . Nhưng chú ý rằng khi $[F : K]$ không nguyên tố, không nhất thiết có một mở rộng con của $F$ ngoài $K$ và $F$ (xem V, p. 146, Bài tập 1).

Hệ quả 2

Cho $K, E$ và $F$ là ba trường sao cho $K \subset E \subset F$ . Giả sử rằng $[F : K]$ là hữu hạn, khi đó quan hệ $[E : K] = [F : K]$ là tương đương với $E = F$ và quan hệ $[F : E] = [F : K]$ là tương đương với $E = K$ .

Thật vậy, nếu $L$ là một trường mở rộng của $L'$ thì $[L : L'] = 1$ là tương đương với $L' = L$ .

Mệnh đề 1

Cho $A$ là một đại số có bậc hữu hạn trên một trường $K$ . Nếu một phần tử $a \in A$ không là một ước không trái (tương ứng phải) trong $A$ , thì nó khả nghịch trong $A$ .

Vì không gian vectơ $A$ trên $K$ có số chiều hữu hạn, theo giả thiết, và ánh xạ tuyến tính $x \mapsto ax$ (resp. $x \mapsto xa$ ) từ $A$ vào $A$ là đơn ánh; do đó nó là song ánh (II, p. 298, Hệ quả) và vì thế (I, p. 16, Nhận xét) $a$ khả nghịch trong $A$ .

Hệ quả

Nếu $A$ là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên một trường $K$ . Nếu $A$ là một miền nguyên, thì nó là một trường.

3. Phép nối

Cho $E$ là một mở rộng của một trường $K$ . Với một họ $x = (x_i)_{i \in I}$ các phần tử của $E$ , ta ký hiệu bởi $K(x_i)_{i \in I}$ (hoặc $K(x)$ hoặc cả $K(x_1, \ldots, x_r)$ khi $I$ là khoảng (1, n) của N) mở rộng con nhỏ nhất của E chứa các phần tử của họ $(x_i)_i$ ; ta nói rằng $K(x_i)_i \in I$ thu được bằng phép nối vào K các phần tử của họ $(x_i)_i, I$ và rằng họ $(x_i)_i, I$ (hoặc tập hợp các phần tử của nó) là một họ sinh của $K(x_i)_i \in I$ đối với K (hoặc trên K). Trường $K(x_i)_i \in I$ chỉ phụ thuộc vào tập hợp A các phần tử của họ $(x_i)_i \in I$ ; ta cũng ký hiệu nó bởi $K(A)$ . Đặc biệt ta có $K(E) = E$ và $K(\emptyset) = K . 1$ . Tất cả những gì đã nói đều áp dụng đặc biệt khi E là một trường chứa K như trường con.

Cần nhận thấy rằng nói chung A không phải là một tập sinh của đại số $K(A)$ , nói cách khác rằng $K(A) \neq K[A]$ . "Tuy nhiên ta sẽ thấy rằng $K(A) = K[A]$ khi $K(A)$ là một mở rộng đại số của K (V, p. 18, Hệ quả 1). \*

Mệnh đề 2

— Nếu M và N là hai tập con bất kỳ của một mở rộng của một trường K, thì $K(M \cup N) = K(M)(N) = K(N)(M)$ .

Vì $K(M \cup N)$ chứa $K(M)$ và N và do đó chứa $K(M)(N)$ ; vì $K(M)(N)$ là một trường chứa $K \cup M \cup N$ , nên nó chứa $K(M \cup N)$ , do đó suy ra mệnh đề.

Đôi khi ta sẽ viết $K(M, N)$ thay cho $K(M \cup N)$ .

Nhận xét

— Cho P là trường con nguyên tố của một trường E (V, p. 2); với mọi tập con A của E, $P(A)$ là trường con nhỏ nhất của E chứa A. Đặc biệt nếu K là một trường con của E, ta có $P(K \cup A) = K(A)$ . Nếu K và K' là hai trường con của E, do đó ta có $P(K \cup K') = K(K') = K'(K)$ ; trường này là trường con nhỏ nhất của E chứa K hoặc K', hoặc cũng là cận trên của K và K' trong tập hợp các trường con của E, có thứ tự theo quan hệ bao hàm; đôi khi ta nói rằng trường này là trường sinh bởi K và K' trong E.

Mệnh đề 3

— *Cho $\mathscr{F}$ là một tập hợp các trường con của một trường E, có hướng đối với quan hệ $\subset$ . Hợp L của các trường của $\mathscr{F}$ là một trường.

Thật vậy, nếu x và y là hai phần tử của L, tồn tại hai trường R, S của $\mathscr{F}$ sao cho $x \in R,\ y \in S$ ; cho T là một trường của $\mathscr{F}$ chứa R và S; khi đó $x \in T,\ y \in T$ , nên $x + y,\ xy$ và $x^{-1}$ (nếu $x \neq 0$ ) thuộc T, nên thuộc L.

Hệ quả

— *Cho E là một mở rộng của một trường K và $A \subset E$ . Trường $K(A)$ là hợp của các trường $K(F)$ , trong đó F chạy qua tập hợp mọi tập con hữu hạn của A.

Đối với tập các trường, $K(F)$ được sắp thứ tự có hướng bởi quan hệ $\subset$ , vì $F \subset F'$ kéo theo $K(F) \subset K(F')$ . Do đó hợp L của các trường này là một trường chứa $K \cup A$ và được chứa trong $K(A)$ , nên đồng nhất với $K(A)$ .

Định nghĩa 2

— Một mở rộng E của một trường K được gọi là sinh hữu hạn nếu nó có một họ sinh hữu hạn. Nó được gọi là đơn sinh nếu tồn tại x trong E sao cho $E = K(x)$ .

Hệ quả của Mệnh đề 3 cho thấy rằng mọi mở rộng E của một trường K đều là một hợp có hướng của các mở rộng sinh hữu hạn được chứa trong E. Rõ ràng rằng mọi mở rộng E của K có bậc hữu hạn cũng đều sinh hữu hạn vì một cơ sở của E (xét như không gian vectơ trên K) cũng là một họ sinh của E trên K; ta sẽ thấy sau này rằng mệnh đề đảo lại là sai.

4. Mở rộng hợp thành

Cho E và F là hai mở rộng của một trường K. Ta hiểu một mở rộng hợp thành của $E$ và F là mọi bộ ba $(L, u, v)$ , trong đó L là một mở rộng của K, $u$ là một đồng cấu K của E vào L và $v$ là một đồng cấu K của F vào L, và trường L được sinh bởi $u(E) \cup v(F)$ (xem Hình 1).

!biểu đồ showing extensions E, F, K, L, homomorphisms u, v, r

Hình 1.

Phù hợp với các định nghĩa tổng quát (E, IV, p. 6), một đẳng cấu từ một mở rộng hợp thành $(L, u, v)$ của E và F lên một mở rộng hợp thành $(L', u', v')$ của E và F là một K-đẳng cấu $\varphi$ từ L lên $L'$ sao cho $u' = \varphi \circ u$ và $v' = \varphi \circ v$ .

Cho $(L, u, v)$ là một mở rộng hợp thành của E và F. Ánh xạ K-tuyến tính $w$ của $E \otimes_K F$ vào L biến $x \otimes y$ thành $u(x)v(y)$ là một đồng cấu đại số trên K; trong số này ta sẽ ký hiệu nó bởi $u * v$ . Ảnh của nó là vành con của L được sinh bởi $u(E) \cup v(F)$ .

Mệnh đề 4

— Cho E, F là hai mở rộng của K.

a) Cho $(L, u, v)$ là một mở rộng hợp thành của E và F; khi đó hạt nhân p của đồng cấu $u * v$ từ $E \otimes_K F$ vào L là một iđêan nguyên tố.

b) Cho p là một iđêan nguyên tố của $E \otimes_K F$ ; khi đó tồn tại một mở rộng hợp thành $(L, u, v)$ của E và F sao cho p là hạt nhân của $u * v$ , và mọi hai mở rộng hợp thành như thế đều đẳng cấu.

Mệnh đề a) suy ra từ việc rằng hạt nhân của một đồng cấu từ một vành vào một trường là một iđêan nguyên tố (I, p. 116-117).

Cho p là một iđêan nguyên tố của $E \otimes_K F$ , A là vành thương $(E \otimes_K F)/p$ và L là trường phân thức của A. Với $x \in E$ (tương ứng $y \in F$ ) ta ký hiệu bởi $u(x)$ (tương ứng $v(y)$ ) lớp thặng dư mod p của $x \otimes 1$ (tương ứng $1 \otimes y$ ). Khi đó $u$ (tương ứng $v$ ) là một đồng cấu K của E (tương ứng F) vào L và $u(E) \cup v(F)$ sinh A như một vành, do đó sinh L như một trường. Vậy $(L, u, v)$ là một mở rộng hợp thành của E và F; ta thấy ngay rằng $u * v$ là đồng cấu chính tắc của $E \otimes_K F$ vào L, nên hạt nhân của nó bằng p.

Cho $(L', u', v')$ là một mở rộng hợp thành của E và F sao cho hạt nhân của $u' * v'$ bằng p. Vì $u * v$ và $u' * v'$ có cùng hạt nhân, nên tồn tại một đẳng cấu $\psi$ từ A lên ảnh $A'$ của $u' * v'$ , được đặc trưng bởi $u' * v' = \psi \circ (u * v)$ . Nhưng $A'$ là vành con của $L'$ được sinh bởi $u'(E) \cup v'(F)$ , do đó L' là trường phân thức của $A'$ . Vậy $\psi$ mở rộng thành một đồng cấu $\varphi$ từ L vào L' và hiển nhiên $\varphi$ là một đẳng cấu từ $(L, u, v)$ lên $(L', u', v')$ .

Nhận xét

— Nếu $p$ và $p'$ là hai iđêan nguyên tố phân biệt của $E \otimes_K F$ , thì các mở rộng hợp thành tương ứng của $E$ và $F$ (được xây dựng theo thủ tục của chứng minh trên) không đẳng cấu. Tuy nhiên, chúng vẫn có thể đẳng cấu như những mở rộng của K (V, p. 146, Bài tập 2).

Hệ quả

Tồn tại các mở rộng hợp thành của E và F*.

Thật vậy, vì vành giao hoán $E \otimes_K F$ không bị thu về 0, nên nó có các iđêan nguyên tố: định lý Krull (I, p. 104) chứng minh sự tồn tại của các iđêan cực đại, và mọi iđêan cực đại đều là nguyên tố.

Ta có thể làm cho hệ quả này chính xác hơn như sau. Cho $(E, u)$ và $(F, v)$ là hai mở rộng của K; chọn một iđêan cực đại m của vành giao hoán $E \otimes_K F$ và đặt $L = (E \otimes_K F)/m$ ; khi đó L là một mở rộng của K. Với $x \in E$ viết $u'(x)$ cho lớp thặng dư của $x \otimes 1$ mod m và tương tự đặt $v'(y)$ cho lớp thặng dư của $1 \otimes y$ mod $m$ với mọi $y \in F$ . Khi đó ta có một biểu đồ giao hoán các đồng cấu trường

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{v'} & L \\ | & & | \\ K & \xrightarrow{u} & E . \end{array}

Bằng cách thay thế $(L, u')$ bởi một mở rộng đẳng cấu của E, ta có thể giả sử rằng L chứa E như một trường con và rằng $u'$ là đơn ánh chính tắc của E vào L. Do đó, bằng cách đổi ký hiệu, ta thu được chú giải sau đây:

Chú giải

Cho K và E là hai trường và u là một đồng cấu từ K vào E. Nếu K' là một trường chứa K như trường con, thì tồn tại một trường E' chứa E như trường con và một đồng cấu u' từ K' vào E' mở rộng u*'.

5. Các mở rộng rời nhau tuyến tính

Trong suốt No. này, R ký hiệu một mở rộng của trường K.

Cho A và B là hai K-đại số con của R. Tồn tại một đồng cấu đại số $\varphi : A \otimes_K B \to R$ biến $x \otimes y$ thành $xy$ . Ảnh của $\varphi$ là một vành con C của $\Omega$ được sinh bởi A U B. Hơn nữa, theo II, p. 256, nếu $(b_\mu)$ là một cơ sở của B trên K và $(a_\lambda)$ là một cơ sở của A trên K, thì C trùng với tập các tổ hợp tuyến tính $\sum_{\mu} \alpha_{\mu} b_{\mu}$ trong đó $\alpha_{\mu} \in A$ , tập tất cả các $\sum_{\lambda} \beta_{\lambda} a_{\lambda}$ trong đó $\beta_{\lambda} \in B$ , và cả tập tất cả các $\sum_{\lambda,\mu} \gamma_{\lambda\mu} a_{\lambda} b_{\mu}$ , trong đó $\gamma_{\lambda\mu} \in K$ .

Ta sẽ nói rằng A và B là rời nhau tuyến tính trên K nếu $\varphi$ là một đẳng cấu từ $A \otimes_K B$ lên C. Khi đó ta có $A \cap B = K$ ; mọi tập con tự do của B (tương ứng, của A) đối với K khi đó là tự do đối với A (tương ứng, đối với B); ngược lại, để A và B rời nhau tuyến tính trên K, điều kiện đủ là tồn tại một cơ sở của B trên K (chẳng hạn) là tự do đối với A (II, p. 256 và III, p. 469).

Xét riêng trường hợp A và B là các mở rộng con của $\Omega$ .

Mệnh đề 5

Cho E và F là hai mở rộng của K chứa trong $\Omega$ .

a) Nếu F có bậc hữu hạn trên K, thì vành con của $\Omega$ sinh bởi $E \cup F$ là một trường, trùng với $E(F)$ và bậc của $E(F)$ trên E là hữu hạn; ta có $[E(F):E] \leq [F:K]$ , với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi E và F rời nhau tuyến tính trên K. Trong trường hợp đó $E(F)$ E-đẳng cấu* với $E \otimes_K F$ .*

b) Nếu thêm nữa E có bậc hữu hạn trên K, thì $E(F) = K(E \cup F)$ có bậc hữu hạn trên K. Ta có $[K(E \cup F):K] \leq [E:K][F:K]$ với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi E và F rời nhau tuyến tính trên K.

Thật vậy, gọi C là vành con của $\Omega$ sinh bởi $E \cup F$ ; nếu $(b_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một cơ sở của F trên K, thì C là không gian vectơ con trên E của $\Omega$ sinh bởi các $b_j$ nên C là một đại số có hạng hữu hạn $\leq n$ trên E; vì vành C được chứa trong một trường, nó là một miền nguyên, và do đó là một trường, theo Hệ quả của Mệnh đề 1 (V, p. 10), suy ra $C = E(F)$ và $[E(F):E] \leq [F:K]$ . Quan hệ $[E(F):E] = [F:K]$ có nghĩa là các $b_j$ độc lập tuyến tính trên E, do đó E và F rời nhau tuyến tính trên K; điều đó chứng minh phần a) của mệnh đề. Phần b) bây giờ suy ra ngay vì $[E(F):K] = [E(F):E][E:K]$ .

Cho E và F là những mở rộng của K được chứa trong $\Omega$ ; nếu E và F có bậc vô hạn trên K, vành con $C = K[E \cup F]$ không nhất thiết là một trường $^1$ ; tuy nhiên trường phân thức của C khi đó trùng với $K(E \cup F)$ . Tổng quát hơn, cho A là một vành con của E sao cho E là trường phân thức của A, và cho B là một vành con của F sao cho F là trường phân thức của B; khi đó nếu C là vành con của $\Omega$ sinh bởi $A \cup B$ , thì $K(E \cup F)$ trùng với trường phân thức của C, vì trường sau là trường con nhỏ nhất của $\Omega$ chứa C và nó chứa E và F. Hơn nữa:

Mệnh đề 6

Cho E và F là hai mở rộng của K được chứa trong $\Omega$ , và A và B là hai đại số con của $\Omega$ trên K sao cho E là trường phân thức của A và F là trường phân thức của B. Khi đó điều kiện cần và đủ để E và F rời nhau tuyến tính trên K là A và B rời nhau tuyến tính trên K.

Điều kiện này rõ ràng là cần thiết. Ngược lại, nếu A và B rời nhau tuyến tính trên K, thì A và F cũng vậy, vì nếu một họ các phần tử của $\Omega$ là tự do đối với B, thì nó là tự do đối với trường phân thức F của B (II, p. 315, Hệ quả 1 and p. 316, Hệ quả 3); bây giờ lập luận ấy cũng cho thấy rằng E và F rời nhau tuyến tính trên K.

$^1$ Chẳng hạn chỉ cần xét trường hợp $\Omega$ là trường $K(X, Y)$ các phân thức hữu tỉ theo hai ẩn độc lập X và Y và $E = K(X), F = K(Y)$ .

Mệnh đề 7

— Cho E và F là hai mở rộng của K được chứa trong $\Omega$ ; nếu E và F rời nhau tuyến tính trên K, thì mọi mở rộng con của E và mọi mở rộng con của F đều rời nhau tuyến tính trên K. Ngược lại, nếu với mọi cặp mở rộng con sinh hữu hạn E', F' của E và F tương ứng, E' và F' rời nhau tuyến tính trên K, thì E và F rời nhau tuyến tính trên K.

Thật vậy, điều kiện để E và F rời nhau tuyến tính trên K có thể được phát biểu như sau: nếu $(a_\alpha)$ là một họ tự do trong E và $(b_\beta)$ là một họ tự do trong F, thì quan hệ $\sum_{\alpha,\beta} \lambda_{\alpha\beta} a_\alpha b_\beta = 0$ , trong đó $\lambda_{\alpha\beta} \in K$ , kéo theo $\lambda_{\alpha\beta} = 0$ với mỗi cặp chỉ số. Nhưng điều kiện này được thỏa mãn cho mọi cặp họ tự do nếu nó đúng cho mọi cặp họ tự do hữu hạn.

Như vậy ta có thể nói, theo trực giác, rằng sự rời nhau tuyến tính là một tính chất « hữu hạn ».

Mệnh đề 8

— Cho E, F, G là ba mở rộng của một trường K được chứa trong $\Omega$ , sao cho $F \subset G$ . Điều kiện cần và đủ để E và G rời nhau tuyến tính trên K là E và F rời nhau tuyến tính trên K và $E(F)$ và G rời nhau tuyến tính trên F.

\begin{array}{ccccc} E & \longrightarrow & E(F) \\ K & \longrightarrow & F & \longrightarrow & G. \end{array}

Hình 2.

Điều kiện là cần thiết: giả sử rằng E và G rời nhau tuyến tính trên K. Khi đó E và F cũng vậy (Mệnh đề 7); mặt khác, nếu B là một cơ sở của E trên K, thì đó cũng là một cơ sở của đại số F[E] trên F; vì theo giả thiết B là tự do trên G, F[E] và G rời nhau tuyến tính trên F, và $E(F) = F(E)$ và G cũng vậy, theo Mệnh đề 6.

Điều kiện là đủ: với cùng ký hiệu như trên, nó kéo theo rằng B là tự do trên F, do đó nó là một cơ sở của F[E] trên F; vì theo giả thiết F[E] và G rời nhau tuyến tính trên F, B là tự do trên G, và điều này cho thấy rằng E và G rời nhau tuyến tính trên K.

Bài tập

Xem bài tập cho § 2.