§ 2. Extensions

1. La structure d’extension

Définition 1

Soit $K$ un corps. On appelle extension de $K$ une $K$ -algèbre dont l’anneau sous-jacent est un corps. On appelle sous-extension (ou sous-K-extension) de l’extension $E$ une sous-K-algèbre de $E$ qui est un corps.

Soit E une extension de K. L’application $u : \lambda \mapsto \lambda . 1$ de K dans E est un homomorphisme d’anneaux ; d’après I, p. 110, $u$ induit un isomorphisme de K sur le sous-corps $u(K)$ de E.

Réciproquement, soient K, E des corps et $u$ un homomorphisme de K dans E. La donnée de $u$ définit sur E une structure d’extension de K (III, p. 6). Par abus de langage, on dit parfois que (E, $u$ ) est une extension de K.

On dit que l’extension est triviale si $u(K) = E$ , c’est-à-dire si E est un espace vectoriel de dimension 1 sur K.

Soit L un surcorps de K. Quand nous considérerons L comme extension de K, nous entendrons par là l’extension (L, $j$ ) de K où $j$ est l’injection canonique de K dans L, ou encore L muni de la structure de K-algèbre correspondante. Les sous-extensions de L sont alors les corps intermédiaires entre K et L, c’est-à-dire les sous-corps de L contenant K. Si L’ est un autre surcorps de K, un K-homomorphisme de L dans L’ est donc un homomorphisme $f$ de L dans L’ tel que $f(x) = x$ pour tout $x \in K$ . On notera que si $f$ est un endomorphisme quelconque du corps L, l’ensemble des éléments de L invariants par $f$ est un sous-corps K’ de L, et que $f$ est donc un K’-endomorphisme de L.

En particulier, soit P le sous-corps premier d’un corps L. On peut considérer L comme extension de P, et tout endomorphisme de L est alors un P-endomorphisme.

Soit (E, $u$ ) une extension de K ; comme $u$ définit un isomorphisme de K sur un sous-corps $K_1$ de E, il n’y a en général aucun inconvénient à identifier K à $K_1$ par $u$ . Un cas où il faudrait proscire une telle identification est celui où $K = E$ et où $u$ est donc un endomorphisme de K ; le plus souvent $u$ sera un automorphisme de K, ou bien l’application $x \mapsto x^p$ , lorsque le corps K est de caractéristique $p \neq 0$ .

Il est clair que toute extension de K est isomorphe à une extension (L, $j$ ) où L est un surcorps de K et $j$ l’injection canonique de K dans L.

2. Degré d’une extension

Soit A une algèbre sur un corps K. C’est en particulier un espace vectoriel sur K ; la dimension de cet espace vectoriel s’appelle le degré de A sur K et se note [A : K] (II, p. 97). Par définition, [A : K] est donc le cardinal de toute base de A sur K. Cette définition s’applique en particulier au cas des extensions de K.

Une extension de degré 1 est triviale. Une extension de degré 2 (resp. 3, etc.) est dite quadratique (resp. cubique, etc.). Une extension de degré fini sera parfois appelée par abus de langage extension finie.

Théorème 1

Soient E une extension de K et A une algèbre sur E. On a alors [A : K] = [A : E].[E : K]. En particulier, si F est une extension de E, on a

[F : K] = [F : E].[E : K].

Le théorème n’est qu’un cas particulier de II, p. 31, prop. 25 ; de manière plus précise, si $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une base de $A$ sur $E$ et $(b_\mu)_{\mu \in M}$ une base de $E$ sur $K$ , alors la famille $(a_\lambda b_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times M}$ est une base de $A$ sur $K$ .

Corollaire 1

Soient $K, E, F$ trois corps tels que $K \subset E \subset F$ et que $[F : K]$ soit fini. Les degrés $[E : K]$ et $[F : E]$ sont des diviseurs de $[F : K]$ *.

Si le degré $[F : K]$ est premier, il n’existe donc aucune sous-extension de $F$ autre que $K$ et $F$ . Mais on notera que, lorsque $[F : K]$ n’est pas premier, il n’existe pas nécessairement de sous-extension de $F$ autre que $K$ et $F$ (cf. V, p. 140, exerc. 1).

Corollaire 2

Soient $K, E$ et $F$ trois corps avec $K \subset E \subset F$ . On suppose que $[F : K]$ est fini. Alors, la relation $[E : K] = [F : K]$ est équivalente à $E = F$ et la relation $[F : E] = [F : K]$ est équivalente à $E = K$ .

En effet, si $L$ est un surcorps de $L'$ , la relation $[L : L'] = 1$ équivaut à $L' = L$ .

Proposition 1

Soit $A$ une algèbre de degré fini sur un corps $K$ . Si un élément $a \in A$ n’est pas diviseur de 0 à gauche (resp. à droite) dans $A$ , il est inversible dans $A$ .

En effet, par hypothèse l’espace vectoriel $A$ sur $K$ est de dimension finie, et l’application linéaire $x \mapsto ax$ (resp. $x \mapsto xa$ ) de $A$ dans $A$ est injective ; elle est donc bijective (II, p. 101, cor.), et par suite (I, p. 16, remarque) $a$ est inversible dans $A$ .

COROLLAIRE — *Soit $A$ une algèbre commutative de degré fini sur un corps $K$ . Si l’anneau $A$ est intègre, c’est un corps.

3. Adjonction

Soit $E$ une extension d’un corps $K$ . Étant donnée une famille $x = (x_i)_{i \in I}$ d’éléments de $E$ , on désigne par $K(x_i)_{i \in I}$ (ou $K(x)$ , ou encore $K(x_1, \ldots, x_n)$ lorsque $I$ est l’intervalle $[1, n]$ de $\mathbf{N}$ ) la plus petite sous-extension de $E$ contenant les éléments de la famille $(x_i)$ ; nous dirons que $K(x_i)_{i \in I}$ est obtenue par adjonction à $K$ des éléments de la famille $(x_i)_{i \in I}$ , et que la famille $(x_i)_{i \in I}$ (ou l’ensemble de ses éléments) est une famille génératrice de $K(x_i)_{i \in I}$ par rapport à $K$ (ou sur $K$ ). Le corps $K(x_i)_{i \in I}$ ne dépend que de l’ensemble $A$ des éléments de la famille $(x_i)_{i \in I}$ ; on le désigne encore par $K(A)$ . On a en particulier $K(E) = E$ et $K(\emptyset) = K.1$ . Tout ce qui précède s’applique en particulier lorsque $E$ est un surcorps de $K$ .

On prendra garde que $A$ n’est pas un ensemble générateur de l’*algèbre* $K(A)$ , autrement dit que l’on a $K(A) \neq K[A]$ , en général. Toutefois on verra que $K(A) = K[A]$ si $K(A)$ est une extension algébrique de $K$ (V, p. 18, cor. 1).

Proposition 2

Si $M$ et $N$ sont deux parties quelconques d’une extension d’un corps $K$ , on a $K(M \cup N) = K(M)(N) = K(N)(M)$ .

En effet, $K(M \cup N)$ contient $K(M)$ et $N$ , donc $K(M)(N)$ ; comme $K(M)(N)$ est un corps contenant $K \cup M \cup N$ , il contient $K(M \cup N)$ , d’où la proposition.

On écrit parfois $K(M, N)$ au lieu de $K(M \cup N)$ .

Remarque

Soit P le sous-corps premier d’un corps E (V, p. 2) ; pour toute partie A de E, P(A) est le plus petit sous-corps de E contenant A. En particulier, si K est un sous-corps de E, on a P(K ∪ A) = K(A). Si K et K’ sont deux sous-corps de E, on a donc P(K ∪ K’) = K(K’) = K’(K) ; ce corps est le plus petit sous-corps de E contenant K et K’, ou encore la borne supérieure de K et K’ dans l’ensemble des sous-corps de E, ordonné par inclusion ; on dit parfois que ce corps est le corps engendré par K et K’ dans E.

Proposition 3

Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de sous-corps d’un corps E, filtrant pour la relation $\subset$ . La réunion L des corps de $\mathscr{F}$ est un corps.

En effet, si x et y sont deux éléments de L, il existe deux corps R, S de $\mathscr{F}$ tels que $x \in R, y \in S$ ; soit T un corps de $\mathscr{F}$ contenant R et S ; alors $x \in T, y \in T$ , donc $x + y, xy$ et $x^{-1}$ (si $x \neq 0$ ) appartiennent à T, donc à L.

Corollaire

Soient E une extension d’un corps K, et A $\subset$ E. Le corps K(A) est la réunion des corps K(F), où F parcourt l’ensemble des parties finies de A.

En effet, l’ensemble des corps K(F) est filtrant pour la relation $\subset$ , car F $\subset$ F’ entraîne K(F) $\subset$ K(F’). La réunion L de ces corps est donc un corps contenant K $\cup$ A et contenu dans K(A), et par suite identique à K(A).

Définition 2

On dit qu’une extension E d’un corps K est de type fini si elle possède une famille génératrice finie. Elle est dite monogène s’il existe x dans E tel que $E = K(x)$ .

Le cor. de la prop. 3 montre que toute extension E d’un corps K est réunion filtrante des extensions de type fini contenues dans E. Il est clair que toute extension E de K de degré fini est aussi de type fini, puisqu’une base de E (considéré comme espace vectoriel sur K) est aussi une famille génératrice de E sur K ; nous verrons plus loin que la réciproque est inexacte.

4. Extensions composées

Soient E et F deux extensions d’un corps K. On appelle extension composée de E et F tout triplet (L, u, v) où L est une extension de K, où u est un K-homomorphisme de E dans L et v un K-homomorphisme de F dans L, et où le corps L est engendré par $u(E) \cup v(F)$ (cf. fig. 1).

\begin{array}{ccc} & & L \\ & u & \\ E & & F \\ & v & \\ & & K \end{array}

Fig. 1.

Conformément aux définitions générales (E, IV, p. 6), un isomorphisme d’une extension composée (L, u, v) de E et F sur une extension composée (L’, u’, v’) de E et F est un K-isomorphisme $\varphi$ de L sur L’ tel que $u' = \varphi \circ u$ et $v' = \varphi \circ v$ .

Soit $(L, u, v)$ une extension composée de $E$ et $F$ . L’application $K$ -linéaire $w$ de $E \otimes_K F$ dans $L$ qui transforme $x \otimes y$ en $u(x)\ v(y)$ est un homomorphisme de $K$ -algèbres ; dans ce numéro, nous la désignerons par $u * v$ . Son image est le sous-anneau de $L$ engendré par $u(E) \cup v(F)$ .

Proposition 4

Soient $E, F$ deux extensions de $K$ .

a) Soit $(L, u, v)$ une extension composée de $E$ et $F$ . Alors le noyau $p$ de l’homomorphisme $u * v$ de $E \otimes_K F$ dans $L$ est un idéal premier.

b) Soit $p$ un idéal premier de $E \otimes_K F$ . Il existe une extension composée $(L, u, v)$ de $E$ et $F$ telle que $p$ soit le noyau de $u * v$ , et deux telles extensions composées sont isomorphes.

L’assertion a) résulte du fait que le noyau d’un homomorphisme d’un anneau dans un corps est un idéal premier (I, p. 111).

Soient $p$ un idéal premier de $E \otimes_K F$ , A l’anneau quotient $(E \otimes_K F)/p$ et $L$ le corps des fractions de $A$ . Pour $x \in E$ (resp. $y \in F$ ), on note $u(x)$ (resp. $v(y)$ ) la classe modulo $p$ de $x \otimes 1$ (resp. $1 \otimes y$ ). Alors $u$ (resp. $v$ ) est un $K$ -homomorphisme de $E$ (resp. $F$ ) dans $L$ , et $u(E) \cup v(F)$ engendre $A$ comme anneau, donc $L$ comme corps. Par suite $(L, u, v)$ est une extension composée de $E$ et $F$ ; on voit immédiatement que $u * v$ est l’homomorphisme canonique de $E \otimes_K F$ dans $L$ , et son noyau est donc égal à $p$ .

Soit $(L', u', v')$ une extension composée de $E$ et $F$ telle que le noyau de $u' * v'$ soit égal à $p$ . Comme $u * v$ et $u' * v'$ ont même noyau, il existe un isomorphisme $\psi$ de $A$ sur l’image $A'$ de $u' * v'$ caractérisé par $u' * v' = \psi \circ (u * v)$ . Mais $A'$ est le sous-anneau de $L'$ engendré par $u'(E) \cup v'(F)$ , donc $L'$ est le corps des fractions de $A'$ . Par suite, $\psi$ se prolonge en un isomorphisme $\varphi$ de $L$ sur $L'$ , et il est immédiat que $\varphi$ est un isomorphisme de $(L, u, v)$ sur $(L', u', v')$ .

Remarque

Si $p$ et $p'$ sont deux idéaux premiers distincts de $E \otimes_K F$ , les extensions composées de $E$ et $F$ correspondantes (construites par le procédé de la démonstration précédente) ne sont pas isomorphes. Elles peuvent cependant être isomorphes en tant qu’*extensions* de $K$ (V, p. 140, exerc. 2).

Corollaire

Il existe des extensions composées de $E$ et $F$ .

En effet, comme l’anneau commutatif $E \otimes_K F$ n’est pas réduit à 0, il possède des idéaux premiers : le théorème de Krull (I, p. 99) prouve l’existence d’idéaux maximaux, et tout idéal maximal est premier.

On peut préciser ce corollaire comme suit. Soient $(E, u)$ et $(F, v)$ deux extensions de $K$ . Choisissons un idéal maximal $m$ de l’anneau commutatif $E \otimes_K F$ et posons $L = (E \otimes_K F)/m$ ; alors $L$ est une extension de $K$ . Pour $x \in E$ , notons $u'(x)$ la classe de $x \otimes 1$ modulo $m$ , et de même notons $v'(y)$ la classe de $1 \otimes y$ modulo $m$ pour tout $y \in F$ . On a alors un diagramme commutatif d’homomorphismes de corps

Quitte à remplacer $(L, u')$ par une extension isomorphe de $E$ , on peut supposer que $L$ est un surcorps de $E$ et $u'$ l’injection canonique de $E$ dans $L$ . Changeant de notations, on obtient ainsi le scholie suivant :

Scholie

Soient $K$ et $E$ deux corps et $u$ un homomorphisme de $K$ dans $E$ . Si $K'$ est un surcorps de $K$ , il existe un surcorps $E'$ de $E$ et un homomorphisme $u'$ de $K'$ dans $E'$ qui prolonge $u$ *.

5. Extensions linéairement disjointes

Dans ce numéro, on note $\Omega$ une extension d’un corps $K$ *.

Soient $A$ et $B$ deux sous- $K$ -algèbres de $\Omega$ . Il existe un homomorphisme d’algèbres $\varphi : A \otimes_K B \to \Omega$ qui applique $x \otimes y$ sur $xy$ . L’image de $\varphi$ est le sous-anneau $C$ de $\Omega$ engendré par $A \cup B$ . En outre, d’après II, p. 62, si $(b_\mu)$ est une base de $B$ sur $K$ et $(a_\lambda)$ une base de $A$ sur $K$ , $C$ est identique à l’ensemble des combinaisons linéaires $\sum_{\mu} \alpha_\mu b_\mu$ , où $\alpha_\mu \in A$ , à l’ensemble des $\sum_{\lambda} \beta_\lambda a_\lambda$ , où $\beta_\lambda \in B$ , et à l’ensemble des $\sum_{\lambda,\mu} \gamma_{\lambda\mu} a_\lambda b_\mu$ , où $\gamma_{\lambda\mu} \in K$ .

On dit que $A$ et $B$ sont linéairement disjointes sur $K$ si $\varphi$ est un isomorphisme de $A \otimes_K B$ sur $C$ . On a alors $A \cap B = K$ ; toute partie libre de $B$ (resp. $A$ ) par rapport à $K$ est alors libre par rapport à $A$ (resp. $B$ ); inversement, pour que $A$ et $B$ soient linéairement disjointes sur $K$ , il suffit qu’il existe une base de $B$ sur $K$ (par exemple), qui soit libre par rapport à $A$ (II, p. 62 et III, p. 41).

Considérons plus particulièrement le cas où $A$ et $B$ sont des sous-extensions de $\Omega$ .

Proposition 5

Soient $E$ et $F$ deux extensions de $K$ contenues dans $\Omega$ .

a) *Si $F$ est de degré fini sur $K$ , le sous-anneau de $\Omega$ engendré par $E \cup F$ est un corps, identique à $E(F)$ , et le degré de $E(F)$ sur $E$ est fini; on a $[E(F):E] \leq [F:K]$ , avec égalité si et seulement si $E$ et $F$ sont linéairement disjointes sur $K$ . Dans ce cas $E(F)$ est $E$ -isomorphe à $E \otimes_K F$ .

b) Si en outre $E$ est de degré fini sur $K$ , alors $E(F) = K(E \cup F)$ est de degré fini sur $K$ . On a $[K(E \cup F):K] \leq [E:K][F:K]$ , avec égalité si et seulement si $E$ et $F$ sont linéairement disjointes sur $K$ .

En effet, soit $C$ le sous-anneau de $\Omega$ engendré par $E \cup F$ ; si $(b_j)_{1 \leq j \leq n}$ est une base de $F$ sur $K$ , $C$ est le sous- $E$ -espace vectoriel de $\Omega$ engendré par les $b_j$ , donc $C$ est une algèbre de rang fini $\leq n$ sur $E$ ; comme l’anneau $C$ est contenu dans un corps, il est intègre et par suite est un corps d’après le cor. de la prop. 1 (V, p. 10), d’où $C = E(F)$ et $[E(F):E] \leq [F:K]$ . La relation $[E(F):E] = [F:K]$ signifie que les $b_j$ sont linéairement indépendants sur $E$ , donc que $E$ et $F$ sont linéairement disjoints sur $K$ ; ceci démontre la partie a) de la proposition. La partie b) s’en déduit aussitôt, puisque $[E(F):K] = [E(F):E][E:K]$ .

Soient $E$ et $F$ des extensions de $K$ contenues dans $\Omega$ ; si $E$ et $F$ sont de degré infini sur $K$ , le sous-anneau $C = K[E \cup F]$ n’est pas nécessairement un corps $^1$ ; toutefois, le corps des fractions de $C$ est alors identique à $K(E \cup F)$ . Plus généralement, soient $A$ un sous-anneau de $E$ tel que $E$ soit le corps des fractions de $A$ , et $B$ un sous-anneau de $F$ tel que $F$ soit le corps des fractions de $B$ ; alors, si $C$ est le sous-anneau de $\Omega$ engendré par $A \cup B$ , $K(E \cup F)$ est identique au corps des fractions de $C$ , puisque ce dernier corps est le plus petit sous-corps de $\Omega$ contenant $C$ , et qu’il contient $E$ et $F$ . En outre :

Proposition 6

Soient $E$ et $F$ deux extensions de $K$ contenues dans $\Omega$ , $A$ et $B$ deux sous-algèbres de $\Omega$ sur $K$ , telles que $E$ soit le corps des fractions de $A$ et $F$ le corps des fractions de $B$ . Pour que $E$ et $F$ soient linéairement disjointes sur $K$ , il faut et il suffit que $A$ et $B$ soient linéairement disjointes sur $K$ .

La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, si $A$ et $B$ sont linéairement disjointes sur $K$ , $A$ et $F$ le sont aussi, car si une famille d’éléments de $\Omega$ est libre par rapport à $B$ , elle est libre par rapport au corps des fractions $F$ de $B$ (II, p. 117, cor. 1 et p. 118, cor. 3); le même raisonnement prouve ensuite que $E$ et $F$ sont linéairement disjointes sur $K$ .

Proposition 7

Soient $E$ et $F$ deux extensions de $K$ , contenues dans $\Omega$ . Si $E$ et $F$ sont linéairement disjointes sur $K$ , toute sous-extension de $E$ et toute sous-extension de $F$ sont linéairement disjointes sur $K$ . Inversement, si, pour tout couple de sous-extensions de type fini $E', F'$ de $E$ et $F$ respectivement, $E'$ et $F'$ sont linéairement disjointes sur $K$ , alors $E$ et $F$ sont linéairement disjointes sur $K$ .

En effet, la condition pour que $E$ et $F$ soient linéairement disjointes sur $K$ s’exprime de la façon suivante : si $(a_\alpha)$ est une famille libre de $E$ et $(b_\beta)$ une famille libre de $F$ , la relation $\sum_{\alpha, \beta} \lambda_{\alpha \beta} a_\alpha b_\beta = 0$ , où $\lambda_{\alpha \beta} \in K$ , doit entraîner $\lambda_{\alpha \beta} = 0$ pour tout couple d’indices. Or, cette condition est vérifiée pour tout couple de familles libres si elle l’est pour tout couple de familles libres finies.

On peut donc dire, d’une façon imagée, que la disjonction linéaire est une propriété « de caractère fini ».

Proposition 8

Soient $E, F, G$ trois extensions d’un corps $K$ , contenues dans $\Omega$ , et telles que $F \subset G$ . Pour que $E$ et $G$ soient linéairement disjointes sur $K$ , il faut et il suffit que $E$ et $F$ soient linéairement disjointes sur $K$ , et que $E(F)$ et $G$ soient linéairement disjointes sur $F$ .

$^1$ Il suffit de considérer par exemple le cas où $\Omega$ est le corps $K(X, Y)$ des fractions rationnelles en deux indéterminées $X$ et $Y$ , et où l’on a $E = K(X), F = K(Y)$ .

\begin{array}{ccc} E & \longrightarrow & E(F) \\ \uparrow & & \uparrow \\ K & \longrightarrow & F \longrightarrow G. \end{array}

Fig. 2.

La condition est nécessaire : supposons que E et G soient linéairement disjointes sur K. Il en est alors de même de E et F (prop. 7); d’autre part, si B est une base de E sur K, c’est aussi une base de l’algèbre F[E] sur F; comme par hypothèse B est libre par rapport à G, F[E] et G sont linéairement disjointes sur F, et il en est donc de même de E(F) = F(E) et G d’après la prop. 6.

La condition est suffisante : avec les mêmes notations, elle entraîne que B est libre sur F, donc est une base de F[E] sur F; comme F[E] et G sont par hypothèse linéairement disjointes sur F, B est libre sur G, ce qui montre que E et G sont linéairement disjointes sur K.

Exercices

See the exercises for § 2.