Soient $K$ un sous-corps de $A$, $C$ le centre de $A$. Posons $K' = K \cap C$; alors $K'$ est un sous-corps de $A$. Soient $f$ l’unique homomorphisme de $\mathbf{Z}$ dans $A$ et $p$ son noyau. Tout sous-anneau de $A$, et en particulier $K'$, contient $f(\mathbf{Z})$; par suite, l’idéal $p$ est premier (I, p. 111). Si $p = (0)$, l’homomorphisme $f$ de $\mathbf{Z}$ dans $K'$ est injectif ; il se prolonge donc (I, p. 110) en un isomorphisme $\bar{f}$ de $\mathbf{Q}$ sur un sous-corps $P$ de $K'$. Si $p \neq (0)$, il existe un entier strictement positif $p$ tel que $p = (p)$ (I, p. 106) ; si l’on avait $p = ab$ avec $a > 1$ et $b > 1$, on aurait $a \notin p$, $b \notin p$ et $ab \in p$ contrairement au fait que $p$ est premier. Le nombre $p$ est donc premier et $f$ définit par passage au quotient un isomorphisme $\bar{f}$ du corps $F_p = \mathbf{Z}/p$ sur un sous-corps $P$ de $K'$. Dans les deux cas, $P$ est un sous-corps de $A$ contenu dans le centre $C$ de $A$, et c’est un corps premier. Soit $L$ un sous-corps de $A$; alors $P \cap L$ est un sous-corps de $P$, et comme $P$ est premier, on a $P \cap L = P$, d’où $P \subset L$. Si $P'$ est un sous-corps de $A$ et un corps premier, on a $P \subset P'$ par ce qui précède, d’où $P = P'$ car $P'$ est premier.

a) Pour que A soit de caractéristique 0, il faut et il suffit que l’application $x \mapsto n.x$ de A dans A soit bijective pour tout entier $n \neq 0$.

b) Soit p un nombre premier. Pour que A soit de caractéristique p, il faut et il suffit que l’on ait $p.x = 0$ pour tout $x \in A$.

Soit $f$ l’unique homomorphisme de $\mathbf{Z}$ dans A ; on a $n.x = f(n)\ x$ pour tout entier $n$ et tout $x$ dans A. Pour que A soit de caractéristique 0, il faut et il suffit que $f$ se prolonge en un homomorphisme de $\mathbf{Q}$ dans A, c’est-à-dire que $f(n)$ soit inversible dans A pour tout $n \neq 0$ (I, p. 108) ; ceci prouve a). De même, pour que A soit de caractéristique $p$, il faut et il suffit que $f$ annule $p\mathbf{Z}$, c’est-à-dire qu’on ait $f(p) = 0$, ou encore $p.x = 0$ pour tout $x \in A$ ; ceci prouve b).

Prenons pour A un corps non nécessairement commutatif. Le centre de A est un corps (commutatif). Par suite, la caractéristique et le sous-corps premier de A sont définis.

(1)

(2)

pour a, b dans A.

La formule (2) résulte de la commutativité de A. Pour prouver (1), nous utiliserons la formule du binôme $(a + b)^p = a^p + b^p + \sum_{i=1}^{p-1} \binom{p}{i} a^i b^{p-i}$; comme on a $p.x = 0$ pour tout $x \in A$, il suffit d’établir le lemme suivant :

Raisonnons par récurrence sur $i$, le cas $i = 1$ résultant de la formule $\binom{p}{1} = p$.

Supposons qu’on ait $2 \leq i \leq p - 1$ et que $\binom{p}{i-1}$ soit divisible par $p$. Alors, l’entier $i \binom{p}{i} = (p - i + 1) \binom{p}{i-1}$ appartient à l’idéal premier $p \mathbf{Z}$ de $\mathbf{Z}$; comme on a $i \notin p \mathbf{Z}$, on a $\binom{p}{i} \in p \mathbf{Z}$, d’où le lemme.

Soient A un anneau commutatif de caractéristique $p$, et $f$ un entier $\geq 0$. On déduit du théorème 2, par récurrence sur $f$, que l’application $a \mapsto a^{p^f}$ est un endomorphisme de l’anneau A. En particulier, on a la relation

quels que soient $a_1, \ldots, a_n$ dans A. L’application $a \mapsto a^p$ s’appelle parfois l’endomorphisme de Frobenius de A. Prenant $A = \mathbf{F}_p$ et $a_i = 1$, on tire de (3) la relation :

Pour toute partie S de A, on note $S^{p^f}$ l’ensemble des éléments de A de la forme $x^{p^f}$ avec $x \in S$¹. En particulier, si K est un sous-anneau de A, l’ensemble $K^{p^f}$ est un sous-anneau de A. Si K est un sous-anneau de A et S une partie de A, on note K[S] le sous-anneau de A engendré par $K \cup S$; lorsque A est un corps, on note K(S) le corps des fractions de K[S], c’est-à-dire le sous-corps de A engendré par K \cup S.

Comme K[S] est le sous-anneau de A engendré par $K \cup S$, son image $K[S]^{p^f}$ par l’endomorphisme $\pi : a \mapsto a^{p^f}$ de l’anneau A est le sous-anneau de A engendré

¹ Bien entendu, on ne confondra l’ensemble $S^{p^f}$ ni avec l’ensemble produit de $p^f$ ensembles égaux à S, ni avec l’ensemble des produits de $p^f$ éléments appartenant à S.

par l’image $K^{p^f} \cup S^{p^f}$ de $K \cup S$ par $\pi$, d’où $K[S]^{p^f} = K^{p^f}[S^{p^f}]$. Le cas des corps se traite de manière analogue. Ceci prouve a).

Il est clair que la famille $(a_i^{p^f})_{i \in I}$ engendre le $K^{p^f}$-module $K[S]^{p^f}$. Le $K$-module $K[S^{p^f}]$ est engendré par les produits de la forme $x_1^{p^f} \ldots x_n^{p^f} = (x_1 \ldots x_n)^{p^f}$ avec $x_1, \ldots, x_n$ arbitraires dans $S$, donc aussi par l’ensemble $K[S]^{p^f}$. L’assertion b) résulte immédiatement de là.

Pour tout entier $n \geqslant 0$, posons $A_n = A$; lorsque $m \geqslant n$, on définit un homomorphisme $\pi_{m,n}$ de $A_n$ dans $A_m$ par $\pi_{m,n}(a) = a^{p^{m-n}}$. On définit ainsi un système inductif d’anneaux $(A_n, \pi_{m,n})$ (I, p. 116); soient $\hat{A}$ la limite inductive de ce système et $u_n$ l’homomorphisme canonique de $A_n = A$ dans $\hat{A}$; on pose aussi $u = u_0$. Par construction de la limite inductive, le noyau $n$ de $u$ est la réunion des noyaux des homomorphismes $\pi_{n,0}: a \mapsto a^{p^n}$ de $A$ dans $A$, donc se compose des éléments nilpotents de $A$. L’anneau $\hat{A}$ est commutatif de caractéristique $p$ d’après la remarque 1 de V, p. 3.

L’anneau $\hat{A}$ est réunion de la suite croissante $(u_n(A))_{n \geq 0}$ de sous-anneaux. On a $u_n(A)^{p^n} = u(A)$; par suite, pour tout $x \in \hat{A}$, il existe un entier $n \geq 0$ tel que $x^{p^n} \in u(A)$. On a aussi $u_n(A) = u_{n+1}(A)^p$, d’où $\hat{A}^p = \hat{A}$. Soit $x \in \hat{A}$ tel que $x^p = 0$; choisissons un entier $n \geq 1$ et un élément $a$ de $A$ tels que $x = u_n(a)$. On a alors $u_{n-1}(a) = u_n(a)^p = 0$; par définition de la limite inductive, il existe un entier $m \geq n$ tel que $\pi_{m-1,n-1}(a) = 0$, c’est-à-dire $a^{p^{m-n}} = 0$. On a alors $\pi_{m,n}(a) = 0$, d’où $u_n(a) = 0$, c’est-à-dire $x = 0$. Par suite, l’anneau $\hat{A}$ est parfait de caractéristique $p$.

Soit $v$ un homomorphisme de $A$ dans un anneau parfait $B$ de caractéristique $p$. Pour tout entier $n \geq 0$, l’application $b \mapsto b^{p^n}$ est un automorphisme de $B$, et il existe donc un homomorphisme $v_n$ de $A_n = A$ dans $B$ caractérisé par $v(a) = v_n(a)^{p^n}$. On a alors $v_m \circ \pi_{m,n} = v_n$ pour $m \geq n \geq 0$; par définition de la limite inductive, il existe un homomorphisme $h$ de $\hat{A}$ dans $B$ tel que $v_n = h \circ u_n$ pour tout $n \geq 0$; en particulier, on a $v = v_0 = h \circ u_0 = h \circ u$. Soit enfin $h'$ un homomorphisme de $\hat{A}$ dans $B$ tel que $h' \circ u = v$. Soit $x \in \hat{A}$; on a vu qu’il existe un entier $n \geq 0$ et un élément $a \in A$ tels que $x^{p^n} = u(a)$. On a alors

et comme $B$ est parfait, on a $h(x) = h'(x)$. On a donc $h' = h$, et ceci achève de prouver que $(\hat{A}, u)$ est une clôture parfaite de $A$.

Pour tout entier $f \in \mathbf{Z}$, on note $\pi_f$ l’automorphisme $b \mapsto b^{p^f}$ de $B$. La suite des sous-anneaux $\pi_{-f}(A)$ de $B$ (pour $f \geq 0$) est croissante, et sa réunion $A^{p^{-\infty}}$ est donc un sous-anneau de $B$. On a $\pi_1(A^{p^{-\gamma}}) = \bigcup_{f \geq 0} \pi_{-(f-1)}(A) = A^{p^{-\gamma}}$, donc $A^{p^{-\infty}}$ est un sous-anneau parfait de $B$. Enfin, soit $B_0$ un sous-anneau parfait de $B$ contenant $A$; pour tout entier $f \geq 0$, on a $\pi_{-f}(A) \subset \pi_{-f}(B_0) = B_0$, d’où $A^{p^{-\infty}} \subset B_0$.

Soit $v$ un homomorphisme de $A$ dans un anneau parfait $B'$ de caractéristique $p$. Pour tout entier $f \geq 0$, on définit un homomorphisme $h_f$ de $\pi_{-f}(A)$ dans $B'$ par $h_f(\pi_{-f}(a)) = v(a)^{p^{-f}}$ pour tout $a \in A$. On voit immédiatement que $h_{f+1}$ coïncide avec $h_f$ sur $\pi_{-f}(A)$; il existe donc un homomorphisme $h$ de $A^{p^{-\infty}}$ dans $B'$ qui induit $h_f$ sur $\pi_{-f}(A)$ pour tout $f \geq 0$, et en particulier, $h$ prolonge $h_0 = v$. Si $h'$ est un autre prolongement de $v$ en un homomorphisme de $A^{p^{-\infty}}$ dans $B$, on prouve l’égalité $h' = h$ comme dans la démonstration du théorème 3.

Cela résulte du th. 2 lorsque q \neq 1 et c’est trivial lorsque q = 1.

On étend de même la prop. 2 au cas où A est un corps d’exposant caractéristique q, le cas q = 1 étant trivial.

Supposons K de caractéristique p \neq 0. Si K est fini, le sous-corps K^p de K a même cardinal que K, d’où K^p = K. \* Si K est algébriquement clos, le polynôme X^p - a a une racine x dans K pour tout a \in K (V, p. 19, déf. 1) d’où x^p = a et finalement K^p = 'K. \* Enfin, un corps premier est de caractéristique 0, ou fini.

Soient K_0 un corps de caractéristique p \neq 0 et K = K_0(X) le corps des fractions rationnelles à une indéterminée X sur K_0. Alors K est imparfait : en effet, il n’existe aucun élément u(X)/v(X) de K (u et v polynômes de K_0[X]) tel que (u(X)/v(X))^p = X ; cela se voit en écrivant cette relation sous la forme u(X)^p = X . v(X)^p et en comparant les degrés des deux membres.

L’application F \mapsto dF de A dans le module \Omega_K(A) des K-différentielles de A est K-linéaire et satisfait à la relation

d(FF') = F . dF' + F' . dF

(III, p. 134). Par suite, S est une sous-algèbre de A.

Lorsque $K$ est de caractéristique $p \neq 0$, posons $T = K[X_i^p]_{i \in I}$; on a donc $T = A^p$ si $K$ est parfait (V, p. 4, prop. 2); de plus, on a $d(X_i^p) = pX_i^{p-1} \cdot dX_i = 0$ pour tout $i \in I$, donc la sous-algèbre $S$ de $A$ contient $T$. Si $K$ est de caractéristique 0, posons $T = K$, d’où encore $T \subset S$. Il nous reste à prouver que $S$ est contenu dans $T$.

Pour toute partie finie $J$ de $I$, soit $A_J$ la sous-algèbre de $A$ engendrée par la famille $(X_j)_{j \in J}$. On a $A_\varnothing = K$ et $A = \bigcup_{J \subset I} A_J$; il suffit donc de prouver la relation $S \cap A_J \subset T$, ce que nous ferons par récurrence sur le cardinal de $J$. Soient donc $J$ une partie finie de $I$ telle que $S \cap A_J \subset T$, $i$ un élément de $I - J$ et $J' = J \cup \{i\}$. Tout élément $F$ de $A_J$ s’écrit de manière unique sous la forme

avec $F_n \in A_J$ pour tout $n \geq 0$, et l’on a alors

Supposons que $F$ appartienne à $S$; la famille $(dX_r)_{r \in I}$ est une base du $A$-module $\Omega_K(A)$ (III, p. 134) et $dF_n$ est combinaison linéaire des différentielles $dX_j$ pour $j \in J$ puisque l’on a $F_n \in A_J = K[X_j]_{j \in J}$. D’après (6), on a alors $dF_n = 0$ et $nF_n = 0$ pour tout entier $n \geq 0$. D’après l’hypothèse de récurrence on a $F_n \in T$ pour tout $n \geq 0$ puisque $dF_n = 0$.

a) Si $K$ est de caractéristique 0, on a $nF_n = 0$ pour tout $n \geq 1$ d’où $F_n = 0$ d’après la prop. 1 (V, p. 3); on a alors $F = F_0$, d’où $F \in T$.

b) Si $K$ est de caractéristique $p \neq 0$, alors $A$ est une algèbre sur le corps $F_p$, et la relation $nF_n = 0$ entraîne $F_n = 0$ pour tout entier $n$ non divisible par $p$. On a donc $F = \sum_{m=0}^\infty F_{mp} X_i^{mp}$, d’où $F \in T$.

a) Si $K$ est de caractéristique 0, on a $F \in K$.

b) Si $K$ est de caractéristique $p \neq 0$, il existe un polynôme $G(X)$ tel que l’on ait $F(X) = G(X^p)$.

En effet, on a $dF = F'.dX = 0$.