A) Tính duy nhất của $\omega :$ Cho $\omega$ là một phần tử của Ω(V). Cho $(v_1, . . . , v_n)$ là một cơ sở của V, và gọi $\mu_1, . . . , \mu_n$ là các tọa độ của $e$ trong cơ sở này. Ký hiệu bởi I tập hợp các số nguyên từ 1 đến $n$ (kể cả hai đầu mút) sao cho $\mu_i\not= 0$; tập hợp này không rỗng. Cho $i$ là một phần tử của I. Dãy $(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n, e)$ là một cơ sở của V, và vì $e-v_i\mu_i$ là một tổ hợp tuyến tính của dãy $(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n)$, công thức (6) suy ra

Suy ra từ các công thức (1) và (3) rằng vế trái của đẳng thức này bằng $\pi (-1)^{n-i}\pi (\mu_i)\omega (v_1, . . . , v_n)$. Ký hiệu bởi $p$ phép chiếu của V có ảnh W và hạt nhân $eD$. Các vectơ $v_j-p(v_j)$ tỉ lệ với $e$, và việc áp dụng lặp đi lặp lại công thức (6) cho thấy rằng vế phải của công thức (8) bằng $\omega (p(v_1), . . . ,\widehat{p}(v_i), . . . , p(v_n), e)$.

Từ đó suy ra rằng nếu $\omega$ thỏa mãn quan hệ (7), thì ta có

với mọi $i$ trong I, điều này chứng minh tính duy nhất của $\omega$.

B) Phép dựng của $\omega :$ Cho $(v_1, . . . , v_n)$ là một cơ sở của V; ta định nghĩa $\mu_1, . . . , \mu_n$ và I như trên. Với mọi $i$ trong I, giả thiết $\mu_i\not= 0$ suy ra rằng dãy $(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n, e)$ sinh ra không gian V, nên dãy $(p(v_1), . . . ,\widehat{p}(v_i), . . . , p(v_n))$ sinh ra không gian $W =p(V)$. Nói cách khác, dãy sau cùng này là một cơ sở của W, và

xác định một phần tử của $D^*_{ab}$.

Cho $i$ và $j$ là hai phần tử của I sao cho $i < j$; hãy chứng minh đẳng thức $t_i=t_j$. Theo định nghĩa, vectơ $v_i\mu_i+v_j\mu_j-e$ là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ $p(v_k)$ với $k$ khác $i$ và $j$. Do đó, $p(v_i)\mu_i+p(v_j)\mu_j$ là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ $p(v_k)$ với $k$ khác $i$ và $j$. Theo công thức (6), vì thế ta có

Bằng cách áp dụng các công thức (1) và (3), ta suy ra

và do đó $t_i=t_j$.

Sau khi đã chứng minh điều này, ta định nghĩa $\omega (v_1, . . . , v_n)$ là giá trị chung của các $t_i$ với $i$ thuộc I. Như vậy ta đã xây dựng được một ánh xạ $\omega$ từ B(V) vào $D^*_{ab}$ thỏa mãn quan hệ (9). Cho $(w_1, . . . , w_{n-1})$ là một cơ sở của W; nếu đặt $v_i=w_i$ với $1\leqslant i\leqslant n-1$ và $v_n=e$, thì ta có $I =\{n\}$ và $\mu_n= 1$. Hơn nữa ta có $p(v_i) =w_i$ với $1\leqslant i\leqslant n-1$, và công thức $\omega (w_1, . . . , w_{n-1}, e) =\varphi (w_1, . . . , w_{n-1})$ là một trường hợp riêng của (9).

Bây giờ ta phải chứng minh rằng $\omega$ thuộc Ω(V).

C) Chứng minh công thức (1): Cho $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ là các phần tử của $D^*$ và $(v_1, . . . , v_n)$ là một cơ sở của V. Ta định nghĩa $\mu_1, . . . , \mu_n$ và I như trên. Chọn một $i$ trong I. Vì ta có $e=\sum^n_{j=1}(v_j\lambda_j)(\lambda^{-1}_j\mu_j)$, công thức (9) suy ra

Nhưng ta có $\pi (\lambda^{-1}_i\mu_i)^{-1}=\pi (\mu_i)^{-1}\pi (\lambda_i)$ và

So sánh các công thức (9) và (11) dẫn đến quan hệ cần tìm

D) Chứng minh công thức (2): Cho $(v_1, . . . , v_n)$ là một cơ sở của V và $i, j$ là hai số nguyên phân biệt trong khoảng $[1, n]$; ta định nghĩa $\mu_1, . . . , \mu_n$ như trước. Xét cơ sở $(v'_1, . . . , v'_n)$ của V được xác định bởi $v'_i=v_i+v_j$ và $v'_k=v_k$ với $k\not=i$, và đưa vào các tọa độ $\mu'_1, . . . , \mu'_n$ của $e$ đối với cơ sở này; chúng thỏa mãn $\mu'_j=\mu_j-\mu_i$ và $\mu'_k=\mu_k$ với $k\not=j$. Đặt $t=\omega (v_1, . . . , v_n)$ và $t'=\omega (v'_1, . . . , v'_n)$. Ta phải chứng minh rằng $t$ và $t'$ bằng nhau.

Trước hết, chú ý rằng, theo định nghĩa của $\omega$, ta có

với mọi $k$ sao cho $\mu_k$ và $\mu'_k$ là khác không.

a) Nếu $\mu_i\not=0$, thì các dãy $(p(v_1), . . . ,\widehat{p(v_k)}, . . . , p(v_n))$ và $(p(v'_1), . . . ,\widehat{p(v'_k)}, . . . , p(v'_n))$ là bằng nhau, và ta có $\mu_i$ = $\mu'_i$, do đó $t=t'$.

b) Nếu tồn tại một chỉ số $k$ khác $i$ và $j$ sao cho $\mu_k\not= 0$, thì ta có $p(v'_l) =p(v_l)$ với $l\not=i$ và $p(v'_i) =p(v_i) +p(v_j)$. Các phần tử $p(v_i)$ và $p(v_j)$ đều thuộc dãy $(p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_k), . . . , p(v_n))$. Vì $\varphi$ thuộc Ω(W), công thức (2) của VIII, p. 447 được áp dụng; nó cho

Nhưng ta cũng có $\mu_k=\mu'_k$, và do đó $t=t'$.

c) Còn phải xét trường hợp mà chỉ số duy nhất $k$ sao cho $\mu_k\not= 0$ là $j$. Khi đó ta có $\mu'_j=\mu_j,e=v_j\mu_j$, và $p(v_j) = 0$. Đặt $k=j$ trong các công thức (12) và (13). Vì các dãy $(p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_j), . . . , p(v_n))$ và $(p(v'_1), . . . ,p(\widehat{v}'_j), . . . , p(v'_n))$ bằng nhau, ta có $t=t'$.

Hãy chứng minh hệ quả bằng quy nạp theo $n$. Nếu $n= 0$, thì cơ sở duy nhất của V là cơ sở rỗng, nên mệnh đề là đúng. Bây giờ giả sử $n\geqslant 1$; ký hiệu W là không gian con của V sinh bởi $e_1, . . . , e_{n-1}$. Theo Mệnh đề 1, tồn tại một song ánh Λ từ Ω(V) tới Ω(W) thỏa mãn

với mọi cơ sở $(w_1, . . . , w_{n-1})$ của W và mọi $\omega$ trong Ω(V). Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một phần tử duy nhất $\varphi$ của Ω(W) sao cho $\varphi (e_1, . . . , e_{n-1}) =t$. Quan hệ $\omega (e_1, . . . , e_n) =t$, với $\omega$ trong Ω(V), là tương đương với $\Lambda (\omega ) =\varphi$. Hệ quả 1 được suy ra.

(15) $\omega (u(v_1), . . . , u(v_n)) =$ (det $u$)$\omega (v_1, . . . , v_n)$

đối với mọi cơ sở $(v_1, . . . , v_n)$ của V và mọi $\omega$ thuộc Ω(V).

b) Ánh xạ $u\mapsto$ det $u$ từ $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ vào $D^*_{ab}$ là một đồng cấu nhóm.

Cho $\omega_0$ là một phần tử của Ω(V). Ánh xạ $(v_1, . . . , v_n)\mapsto$ $\omega_0(u(v_1), . . . , u(v_n))$ từ B(V) vào $D^*_{ab}$ thuộc Ω(V). Theo Hệ quả 2 của VIII, p. 451, tồn tại một phần tử duy nhất $t$ của $D^*_{ab}$ sao cho ta có

đối với $(v_1, . . . , v_n)$ trong B(V). Nếu $\omega$ là một phần tử khác của Ω(V), thì tồn tại một phần tử $s$ của $D^*_{ab}$ sao cho

đối với mọi cơ sở $(v_1, . . . , v_n)$ của V (loc. cit.). Ta ngay lập tức suy ra quan hệ

Điều này chứng minh a); mệnh đề b) là một hệ quả ngay lập tức của a).

(16) det($B_{ij}(1)$) $= 1$

với $i\not=j$ và

(17) det(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1\cdots \lambda_n)$,

với $\lambda_1, . . . , \lambda_n\in D^*$

Cho A là một phần tử của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ và $a_1, . . . , a_n$ là các cột của nó. Ta có

det(A) $=\omega_0(a_1, . . . , a_n)$.

Bây giờ, các cột của ma trận A diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$) là $a_1\lambda_1, . . . , a_n\lambda_n$, và do đó các cột của ma trận AB$_{ij}(1)$ là $a_1, . . . , a_j+a_i, a_{j+1}, . . . , a_n$. Vì $\omega_0$ là phần tử duy nhất của $\Omega (D^n_d)$ sao cho $\omega_0(\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n) = 1$, ta thấy rằng định thức là ánh xạ duy nhất $\varphi :\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)\rightarrow D^*_{ab}$ thỏa mãn các hệ thức

(18) $\varphi ($A diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\varphi ($A$)\pi (\lambda_1\cdots \lambda_n)$,

(19) $\varphi ($AB$_{ij}(1)) =\varphi ($A) với $i\not=j$,

Điều này trước hết chứng minh rằng ánh xạ định thức thỏa mãn các hệ thức (16) và (17). Ta đã biết rằng ánh xạ này là một đồng cấu từ $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ đến $D^*_{ab}$. Ngược lại, nếu $\varphi$ là một đồng cấu từ $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ đến $D^*_{ab}$ sao cho $\varphi (B_{ij}(1)) = 1$ với $i\not=j$ và $\varphi$(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1\cdots \lambda_n)$, thì $\varphi$ thỏa mãn các hệ thức từ (18) đến (20) và do đó bằng det.

a) Nhóm con $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$ của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ được sinh bởi các ma trận $B_{ij}(\lambda )$, trong đó $i$ và $j$ là các số nguyên phân biệt trong khoảng $[1, n]$ và $\lambda$ chạy qua D.

b) Giả sử $n\geqslant 3$ hoặc Card(D) $\geqslant 3$. Nhóm dẫn xuất của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ bằng $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

c) Giả sử $n\geqslant 3$ hoặc Card(D) $\geqslant 4$. Nhóm dẫn xuất của $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$ bằng $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

A) Ký hiệu bởi T nhóm con của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ sinh bởi các ma trận $B_{ij}(\lambda )$. Theo Ví dụ 1 của VIII, p. 454, ta có det($B_{ij}(\lambda )$) $= 1$, và do đó $T\subset \mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$. Để chứng minh rằng hai nhóm này bằng nhau, khi đó chỉ cần, theo Ví dụ 3 của loc. cit., chứng minh rằng mọi ma trận có dạng diag(1$, . . . ,1, d$) với $\pi (d) = 1$ đều thuộc T. Ma trận diag(1$, . . . ,1, d$) thuộc ảnh của đồng cấu $U\mapsto \begin{pmatrix} I_{n-2} & 0 \\ 0 & U \end{pmatrix}$ từ $\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$ vào $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$; vì vậy chỉ cần xét trường hợp $n= 2$. Vì hạt nhân của $\pi$ là nhóm dẫn xuất của $D^*$, ta có thể giả sử $d=uvu^{-1}v^{-1}$ với $u, v$ trong $D^*$. Mệnh đề của ta khi đó suy ra từ các đẳng thức

(28) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v^{-1} & 0 \\ 0 & v \end{pmatrix}\begin{pmatrix} vu & 0 \\ 0 & u^{-1}v^{-1} \end{pmatrix}$

và

(29) $\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-s^{-1} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-s & 1 \end{pmatrix}$

với $s\in D^*$.

B) Theo phép dựng, $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$ là hạt nhân của một đồng cấu từ $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ đến một nhóm giao hoán, nên nó chứa nhóm dẫn xuất $(\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D),\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D))$ của $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$. Theo điều trên, ta có

Để chứng minh c), chỉ cần chứng minh rằng các ma trận $B_{ij}(\lambda )$ là các giao hoán tử trong $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

Giả sử $n\geqslant 3$. Nếu $i,j,k$ là các số nguyên phân biệt trong khoảng $[1, n]$ và $\mu, \nu$ là các phần tử của D, thì ta có

Lấy $\mu= 1$ và $\nu =\lambda$, ta thấy rằng ma trận $B_{ij}(\lambda )$ là một giao hoán tử của các phần tử của $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

Bây giờ giả sử $n= 2$. Cho $u$ và $v$ là các phần tử của D với $u\not= 0$. Ta có các hệ thức

(31) $\begin{pmatrix} 1 & v-uvu \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ và

(32) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v-uvu & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v & 1 \end{pmatrix}$.

Ta có det $\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}$ = 1, do đó các ma trận $B_{12}(v-uvu)$ và $B_{21}(v-uvu)$ là các giao hoán tử của các phần tử của $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

Giả sử trường D có ít nhất bốn phần tử. Cho $\lambda$ là một phần tử của D. Nếu $\lambda$ bằng 0, 1, hoặc $-1$, chọn một phần tử tùy ý $u$ trong $D-\{0,1,-1\}$; nếu không, đặt $u=\lambda$. Trong cả hai trường hợp, $u$ là một phần tử khác không của D, nó giao hoán với $\lambda$, và ta có $u^2\not= 1$. Đặt $v=\lambda (1-u^2)^{-1}$. Ta có $uv=vu$ và do đó $v-uvu=v(1-u^2) =\lambda$. Khi đó suy ra từ các hệ thức (31) và (32) rằng các ma trận $B_{12}(\lambda )$ và $B_{21}(\lambda )$ là các giao hoán tử trong $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$. Điều này hoàn tất chứng minh của c).

C) Còn phải chứng minh rằng $\mathbf{S}\mathbf{L}_2(D)$ là nhóm dẫn xuất của $\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$ khi D có ba phần tử. Theo A), nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}_2(D)$ được sinh bởi các ma trận $B_{12}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ và $B_{21}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, và các ma trận này là các giao hoán tử của những phần tử của $\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$ vì ta có $B_{21}(1) =^tB_{12}(1)$ và

(33) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$.