pour toute base de $(w_1, . . . , w_{n-1})$de W.

A) Unicité de $\omega :$ Soit $\omega$ un élément de Ω(V). Soit $(v_1, . . . , v_n)$ une base de V, et soient $\mu_1, . . . , \mu_n$ les coordonnées de $e$ dans cette base. Désignons par I l’ensemble des entiers compris entre 1 et $n$ tels que $\mu_i\not= 0$; il n’est pas vide. Soit $i$ un élément de I ; la suite $(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n, e)$ est une base de V et, comme $e-v_i\mu_i$ est combinaison linéaire de la suite $(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n)$, la formule (6) entraîne

Il résulte des formules (1) et (3) que le premier membre de cet égalité est égal à $\pi (-1)^{n-i}\pi (\mu_i)\omega (v_1, . . . , v_n)$. Notons $p$ le projecteur de V d’image W et de noyau $eD$. Les vecteurs $v_j-p(v_j)$ sont proportionnels à $e$, et une application répétée de la formule (6) montre que le second membre de la formule (8) est égal à $\omega (p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_i), . . . , p(v_n), e)$.

De tout ceci il résulte que si $\omega$ satisfait à la relation (7), on a

pour tout $i$ dans I ce qui prouve l’unicité de $\omega$.

B) Construction de $\omega :$ Soit $(v_1, . . . , v_n)$ une base de V ; on définit $\mu_1, . . . , \mu_n$ et I comme ci-dessus. Pour tout $i$ dans I, l’hypothèse $\mu_i\not= 0$ entraîne que la suite $(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n, e)$ engendre l’espace V, donc la suite $(p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_i), . . . , p(v_n))$ engendre l’espace $W =p(V)$. Autrement dit, cette dernière suite est une base de W, et l’on peut définir l’élément

de $D^*_{ab}$.

Soient $i$ et $j$ deux éléments de I tels que $i < j$; démontrons l’égalité $t_i=t_j$. Par définition, le vecteur $v_i\mu_i+v_j\mu_j-e$ est combinaison linéaire des vecteurs $p(v_k)$ pour $k$ distinct de $i$ et $j$; par suite $p(v_i)\mu_i+p(v_j)\mu_j$ est combinaison linéaire des vecteurs $p(v_k)$ pour $k$ distinct de $i$ et $j$. D’après la formule (6), on a donc

Par application des formules (1) et (3), on en déduit

d’où $t_i=t_j$.

Ceci étant prouvé, on définit $\omega (v_1, . . . , v_n)$ comme la valeur commune des $t_i$ pour $i$ parcourant I. On a ainsi construit une application $\omega$ de B(V) dans $D^*_{ab}$ qui satisfait à la relation (9). Soit $(w_1, . . . , w_{n-1})$ une base de W ; si l’on pose $v_i=w_i$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$ et $v_n=e$, on a $I =\{n\}$ et $\mu_n= 1$; on a par ailleurs $p(v_i) =w_i$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$ et la formule $\omega (w_1, . . . , w_{n-1}, e) =\varphi (w_1, . . . , w_{n-1})$ est un cas particulier de (9).

Il s’agit maintenant de prouver que $\omega$ appartient à Ω(V).

C) Preuve de la formule (1) : Soient $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ des éléments de $D^*$ et $(v_1, . . . , v_n)$ une base de V. On définit $\mu_1, . . . , \mu_n$ et I comme ci-dessus ; choisissons $i$ dans I. Comme on a $e=\sum^n_{j=1}(v_j\lambda_j)(\lambda^{-1}_j\mu_j)$, la formule (9) entraîne

Mais on a $\pi (\lambda^{-1}_i\mu_i)^{-1}=\pi (\mu_i)^{-1}\pi (\lambda_i)$ et

la comparaison des formules (9) et (11) établit la relation cherchée

D) Preuve de la formule (2) : Soient $(v_1, . . . , v_n)$ une base de V et $i, j$ deux entiers distincts dans l’intervalle $[1, n]$; définissons$\mu_1, . . . , \mu_n$ comme précédemment. Considérons la base $(v'_1, . . . , v'_n)$ de V définie par $v'_i=v_i+v_j$ et $v'_k=v_k$ pour $k\not=i$, et introduisons les coordonnées $\mu '_1, . . . , \mu '_n$ de $e$ par rapport à cette base ; elles satisfont à $\mu '_j=\mu_j-\mu_i$ et $\mu '_k=\mu_k$ pour $k\not=j$. On pose $t=\omega (v_1, . . . , v_n)$ et $t'=\omega (v'_1, . . . , v'_n)$. Il s’agit de prouver l’égalité de $t$ et $t'$.

Remarquons d’abord que, par définition de $\omega$, on a

pour tout $k$ tel que $\mu_k$ et $\mu '_k$ soient non nuls.

a) Si $\mu_i\not=0$, les suites $(p(v_1), . . . ,\widehat{p(v_k)}, . . . , p(v_n))$ et $(p(v'_1), . . . ,\widehat{p(v'_k)}, . . . , p(v'_n))$

sont égales et l’on a $\mu_i=\mu '_i$, d’où $t=t'$.

b) S’il existe un indice $k$, distinct de $i$ et de $j$, tel que $\mu_k\not= 0$, on a $p(v'_l) =p(v_l)$ pour $l\not=i$ et $p(v'_i) =p(v_i) +p(v_j)$; les éléments $p(v_i)$ et $p(v_j)$ appartiennent tous les deux à la suite $(p(v_1), . . . ,\widehat{p(v_k)}, . . . , p(v_n))$. Comme $\varphi$ appartient à Ω(W) la formule (2) de VIII, p. 437 s’applique et donne

Mais on a aussi $\mu_k=\mu '_k$, d’où $t=t'$.

c) Il reste à examiner le cas où le seul indice $k$ tel que $\mu_k\not= 0$ est $j$. On a alors $\mu '_j=\mu_j,e=v_j\mu_j$ et $p(v_j) = 0$. Faisons $k=j$ dans les formules (12) et (13). Comme les suites $(p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_j), . . . , p(v_n))$ et $(p(v'_1), . . . ,p(\widehat{v}'_j), . . . , p(v'_n))$ sont égales, on

a $t=t'$.

Démontrons le corollaire par récurrence sur $n$. Si $n= 0, V$ admet pour seule base la base vide, de sorte que l’assertion est vérifiée. Supposons donc $n\geqslant 1$; notons W le sous-espace de V engendré par $e_1, . . . , e_{n-1}$. D’après la prop. 1, il existe une bijection Λ de Ω(V) sur Ω(W) satisfaisant à

pour toute base $(w_1, . . . , w_{n-1})$ de W et tout $\omega$ dans Ω(V). Par hypothèse de récurrence, il existe un unique élément $\varphi$ de Ω(W) tel que $\varphi (e_1, . . . , e_{n-1}) =t$. La relation $\omega (e_1, . . . , e_n) =t$, pour $\omega$ dans Ω(V) équivaut à $\Lambda (\omega ) =\varphi$, d’où le corollaire 1.

(15) $\omega (u(v_1), . . . , u(v_n)) =$ (det $u$)$\omega (v_1, . . . , v_n)$

pour toute base $(v_1, . . . , v_n)$de V et tout $\omega$ dans Ω(V).

b) L’application $u\rightarrow$ det $u$ de $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$dans $D^*_{ab}$ est un homomorphisme de groupes.

Soit $\omega_0$ un élément de Ω(V). L’application $(v_1, . . . , v_n)\rightarrow \omega_0(u(v_1), . . . , u(v_n))$ de B(V) dans $D^*_{ab}$ appartient à Ω(V) ; d’après le cor. 2 de VIII, p. 441, il existe un unique élément $t$ de $D^*_{ab}$ tel que l’on ait

pour $(v_1, . . . , v_n)$ dans B(V). Si $\omega$ est un autre élément de Ω(V), il existe un élément $s$ de $D^*_{ab}$ tel que

pour toute base $(v_1, . . . , v_n)$ de V (loc. cit.). On en déduit aussitôt la relation

Ceci prouve a) ; l’assertion b) est une conséquence immédiate de a).

(16) det($B_{ij}(1)$) $= 1$

pour $i\not=j$ et

(17) det(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$,

pour $\lambda_1, . . . , \lambda_n\in D^*$

Soient A un élément de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ et $a_1, . . . , a_n$ ses colonnes. On a

det(A) $=\omega_0(a_1, . . . , a_n)$.

Or les colonnes de la matrice A diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$) sont $a_1\lambda_1, . . . , a_n\lambda_n$ et celles de la matrice AB$_{ij}(1)$ dont $a_1, . . . , a_j+a_i, a_{j+1}, . . . , a_n$. Comme $\omega_0$ est l’unique élément de $\Omega (D^n_d)$ tel que $\omega_0(\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n) = 1$, on voit que le déterminant est l’unique application $\varphi : \mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)\rightarrow D^*_{ab}$ qui satisfait aux relations

(18) $\varphi ($A diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\varphi ($A$)\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$

(19) $\varphi ($AB$_{ij}(1)) =\varphi ($A) pour $i\not=j$

Cela prouve tout d’abord que que l’application déterminant satisfait aux relations (16) et (17). Nous savons déjà que cette application est un homomorphisme de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ dans $D^*_{ab}$. Inversement, si $\varphi$ est un homomorphisme de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ dans $D^*_{ab}$ tel que $\varphi (B_{ij}(1)) = 1$ pour $i\not=j$ et $\varphi$(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$, alors $\varphi$ satisfait aux relations (18) à (20) et est donc égal à det.

a) Le sous-groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$est engendré par les matrices $B_{ij}(\lambda )$où $i$ et $j$ sont des entiers distincts de l’intervalle $[1, n]$ et $\lambda$ parcourt D.

b) Supposons $n\geqslant 3$ou Card(D) $\geqslant 3$. Le groupe dérivé de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$est égal à $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

c) Supposons $n\geqslant 3$ou Card(D) $\geqslant 4$. Le groupe dérivé de $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$est égal à $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

A) Notons T le sous-groupe de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ engendré par les matrices $B_{ij}(\lambda )$. D’après l’exemple 1 de VIII, p. 443, on a det($B_{ij}(\lambda )$) $= 1$, d’où $T\subset \mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$. Pour prouver que ces deux groupes sont égaux, il suffit alors, d’après l’exemple 3 de loc. cit., de prouver que toute matrice de la forme diag(1$, . . . ,1, d$)avec $\pi (d) = 1$appartient à T. La matrice diag(1$, . . . ,1, d$) appartient à l’image de l’homomorphisme $U\rightarrow \begin{pmatrix} I_{n-2} & 0 \\ 0 & U \end{pmatrix}$ de $\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$ dans $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$; il suffit donc de considérer le cas $n= 2$. Comme le noyau de $\pi$ est le groupe dérivé de $D^*$, on peut supposer $d=uvu^{-1}v^{-1}$ avec $u, v$ dans $D^*$. Notre assertion résulte alors des égalités

(28) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v^{-1} & 0 \\ 0 & v \end{pmatrix}\begin{pmatrix} vu & 0 \\ 0 & u^{-1}v^{-1} \end{pmatrix}$

et

(29) $\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-s^{-1} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-s & 1 \end{pmatrix}$

pour $s\in D^*$.

B) Par construction, $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$ est le noyau d’un homomorphisme de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ dans un groupe commutatif, donc il contient le groupe dérivé $(\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D),\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D))$ de $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$. Vu ce qui précède, on a

Pour prouver c), il suffit de démontrer que les matrices $B_{ij}(\lambda )$ sont des commutateurs dans $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

Supposons $n\geqslant 3$. Si $i,j,k$ sont des entiers distincts dans l’intervalle $[1, n]$ et $\mu , \nu$ des éléments de D, on a

En prenant $\mu = 1$ et $\nu =\lambda$, on voit que la matrice $B_{ij}(\lambda )$ est un commutateur d’éléments de $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

Supposons maintenant $n= 2$. Soient $u$ et $v$ des éléments de D avec $u\not= 0$. On a les relations

(31) $\begin{pmatrix} 1 & v-uvu \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

et

(32) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v-uvu & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v & 1 \end{pmatrix}$

On a det$\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}= 1$; donc les matrices $B_{12}(v-uvu)$ et $B_{21}(v-uvu)$ sont des commutateurs d’éléments de $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$.

Supposons que le corps D ait au moins 4 éléments. Soit $\lambda$ un élément de D. Si $\lambda$ est égal à 0, 1 ou $-1$, choisissons un élément $u$ arbitraire dans $D- \{0,1,-1\}$; sinon posons $u=\lambda$. Dans les deux cas, $u$ est un élément non nul de D, il commute à $\lambda$, et l’on a $u^2\not= 1$. Posons $v=\lambda (1-u^2)^{-1}$. On a $uv=vu$ d’où $v-uvu=v(1-u^2) =\lambda$. Il résulte alors des relations (31) et (32) que les matrices $B_{12}(\lambda )$ et $B_{21}(\lambda )$ sont des commutateurs dans $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$ d’où c).

C) Il reste à prouver que $\mathbf{S}\mathbf{L}_2(D)$ est le groupe dérivé de $\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$ lorsque D a 3 éléments. D’après A), le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}_2(D)$ est engendré par les matrices $B_{12}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B_{21}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, et ces matrices sont des commutateurs d’éléments de $\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$ puisque l’on a $B_{21}(1) =^tB_{12}(1)$ et

(33) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$.