D’après loc. cit., cor., l’homomorphisme $\theta$ est injectif. Son image est contenue dans Hom$^f_A(E,F)$. Soit $u\in$ Hom$^f_A(E,F)$; prouvons que $u$ appartient à l’image de $\theta$.

Supposons d’abord le A-module F libre. Soit $(f_i)_{i\in I}$ une base de F et soit $(f_i^*)_{i\in I}$ la base de $F^*$ duale de $(f_i)_{i\in I}$. Soit J une partie finie de I telle que l’image de $u$ soit contenue dans le sous-module de F engendré par les $f_j$ pour $j\in J$; on a

pour tout $x\in E$, d’où

Dans le cas général, il existe un A-module libre L et des homomorphismes $i: F\rightarrow L$ et $p: L\rightarrow F$ tels que $p\circ i= 1_F$. L’homomorphisme $i\circ u$ appartient à Hom$^f_A(E,L)$. D’après ce qui précède, il existe un ensemble fini J et, pour tout $j\in J$, des éléments $x^*_j$ de $E^*$ et $y_j$ de L tels qu’on ait

pour tout $x\in E$. On a alors

pour tout $x\in E$, d’où $u=\theta (\sum_{j\in J}x^*_j\otimes p(y_j))$.

Il suffit de traiter le cas où $u$ est de la forme $\theta_E(x^*\otimes x)$ avec $x\in E$ et $x^*\in E^*$. La famille $(\langle x, e^*_i\rangle )_{i\in I}$ est alors à support fini et l’on a $x=\sum_{i\in I}\langle x, e^*_i\rangle e_i$. Par suite, la famille $(\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle )_{i\in I}$ est aussi à support fini et l’on a $\langle x, x^*\rangle =\sum_{i\in I}\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle$. Or on a $\langle u(e_i), e^*_i\rangle =\langle x, e^*_i\rangle \langle e_i, x^*\rangle$ pour tout $i\in I$. Cela démontre la proposition.

(3) Tr($v\circ u$) $=$ Tr($u\circ v$).

Il suffit de démontrer la proposition lorsque $u$ est de la forme $\theta (x^*\otimes y)$, avec $x^*\in E^*$ et $y\in F$; or on a dans ce cas

$v\circ u=\theta_E(x^*\otimes v(y))$ et $u\circ v=\theta_F(^tv(x^*)\otimes y)$, d’où

Tr($v\circ u$) $=\langle v(y), x^*\rangle =\langle y,^tv(x^*)\rangle =$ Tr($u\circ v$).

(4) Tr($u$) $=$ Tr($u_F$).

Notons $i$ l’injection canonique de F dans E, et $v: E\rightarrow F$ l’homomorphisme déduit de $u$. On a $u_F=v\circ i$ et $u=i\circ v$, d’où le corollaire.

Soient E un A-module projectif et $u\in$ End$^f_A(E)$. Pour tout entier naturel $p$, le A-module $\wedge^pE$ est projectif (III, p. 87, cor. 2), l’endomorphisme $\wedge^pu$ appartient à End$^f_A(\wedge^pE)$ (III, p. 80, prop. 6) et il est nul dès que $p$ est assez grand. L’ensemble $1_E+$ End$^f_A(E)$ est stable par composition. On définit une application det de $1_E+$ End$^f_A(E)$ dans A en posant

det(1$_E+u$) $=\sum_{p\geqslant 0}$ Tr$\wedge^pu$,

pour tout $u\in$ End$^f_A(E)$.

Si E est libre de dimension finie, cette définition est cohérente avec celle de III, p. 90, en vertu du cor. de III, p. 97.

a) Soit $u\in$ End$^f_A(E)$. Soit F un sous-A-module projectif de E, contenant Im $u$, et soit $u_F$ l’endomorphisme de F induit par $u$. On a

(5) det(1$_E+u$) $=$ det(1$_F+u_F$).

b) Soient $u, v$ deux éléments de End$^f_A(E)$. On a

(6) det$((1_E+u)\circ (1_E+v))=$ det(1$_E+u$) det(1$_E+v$).

Prouvons a). Pour tout entier $p\geqslant 0$, le A-module projectif $\wedge^pF$ s’identifie à un sous-module de $\wedge^pE$ (III, p. 88, cor.). L’image de $\wedge^pu$ est contenue dans $\wedge^pF$, et l’endomorphisme de $\wedge^pF$ induit par $\wedge^pu$ est égal à $\wedge^pu_F$. On a donc Tr($\wedge^pu$) $=$ Tr($\wedge^pu_F$) en vertu du cor. de la prop. 2, d’où a).

Prouvons b). Soit G un A-module tel que le A-module $L = E\oplus G$ soit libre. Notons $u', v'$ les endomorphismes $u\oplus 0_G$ et $v\oplus 0_G$ de L. D’après a), on a les relations det(1$_L+u'$) $=$ det(1$_E+u$), det(1$_L+v'$) $=$ det(1$_E+v$) et

det(1$_L+u'+v'+u'\circ v'$) $=$ det(1$_E+u+v+u\circ v$); il suffit donc de prouver l’assertion b) lorsque le A-module E est libre. Il existe alors un sous-module libre de type fini F de E qui contient l’image de $u$ et celle de $v$. Posons $w=u+v+u\circ v$. L’image de $w$ est contenue dans F et l’on a $w_F=u_F+v_F+u_F\circ v_F$. On a donc, d’après (5), on a det(1$_E+u$) $=$ det(1$_F+u_F$), det(1$_E+v$) $=$ det(1$_F+v_F$) et

det$((1_E+u)\circ (1_E+v))=$ det(1$_E+w$) $=$ det(1$_F+w_F$) $=$ det((1$_F+u_F$)$\circ (1_F+v_F)$). Comme F est un A-module libre de type fini, on a

det((1$_F+u_F$)$\circ (1_F+v_F)$) $=$ det(1$_F+u_F$) det(1$_F+v_F$) $=$ det(1$_E+u$) det(1$_E+v$).