Ghi chú lịch sử

Chúng ta đã thấy (các ghi chú lịch sử của Chương I và II–III) rằng những đại số không giao hoán đầu tiên xuất hiện vào các năm 1843–44, trong các công trình của Hamilton [25] và Grassmann [23] và [24]. Hamilton, khi đưa vào quaternion, đã có ngay một ý niệm rõ ràng về các đại số tùy ý hạng hữu hạn trên trường số thực ([25], Preface, p. 26–31)[^1]. Khi phát triển lý thuyết của mình, về sau ông có ý định xét cái mà ông gọi là “biquaternions,” tức là đại số trên trường số phức với cùng bảng phép nhân như đại số quaternion; nhân dịp này, ông nhận thấy rằng sự mở rộng này làm xuất hiện các ước không ([25], p. 650). Quan điểm của Grassmann hơi khác, và trong một thời gian dài, “đại số ngoại” của ông sẽ vẫn tách biệt với lý thuyết chung về đại số;[^2] nhưng trong ngôn ngữ của ông, tuy còn thiếu chính xác, không thể không nhận ra ý niệm đầu tiên về một đại số (có hay không có chiều hữu hạn, trên trường số thực) được xác định bởi một tập sinh và các quan hệ [24].

Những ví dụ mới về đại số được đưa vào, rõ ràng hơn hay ít rõ ràng hơn, trong khoảng từ 1850 đến 1860. Cayley, khi phát triển lý thuyết ma trận [8], chưa xem các ma trận vuông như tạo thành một đại số (một quan điểm mà phải đến khoảng năm 1870 mới được hai anh em Peirce phát biểu rõ ràng [40]). Tuy nhiên, nhân dịp này, ông đã ghi nhận sự tồn tại của một hệ ma trận cấp 2 thỏa mãn bảng phép nhân của quaternion; nhận xét này có thể xem là ví dụ đầu tiên về một biểu diễn tuyến tính của một đại số.[^3] Hơn nữa, trong hồi ký nơi ông định nghĩa khái niệm trừu tượng về nhóm hữu hạn, ông cũng nhân tiện đưa ra định nghĩa của đại số của một nhóm như thế, mà không áp dụng thêm định nghĩa ấy ([7], p. 129).

Trước 1870 không có tiến bộ nào khác, nhưng vào thời điểm này, việc nghiên cứu cấu trúc chung của các đại số hữu hạn chiều (trên trường số thực hoặc số phức) bắt đầu. Chính B. Peirce đã đi những bước đầu tiên theo hướng này; ông đưa vào các khái niệm phần tử lũy linh và phần tử lũy đẳng, chứng minh rằng một đại số (có hay không có đơn vị) với ít nhất một phần tử không lũy linh thì có một phần tử lũy đẳng khác không, viết ra phép phân tích nổi tiếng

$(e$ là một phần tử lũy đẳng, $x$ là một phần tử tùy ý), và có ý niệm (vẫn còn hơi chưa chính xác) về một phép phân tích một phần tử lũy đẳng thành tổng của các phần tử lũy đẳng trực giao từng đôi một “nguyên thủy” [40]. Hơn nữa, theo Clifford ([11], p. 274),[^4] chính B. Pierce phải được quy cho khái niệm tích tenxơ của hai đại số, khái niệm mà Clifford tự mình áp dụng ngầm vào một sự tổng quát hóa “biquaternions” của Hamilton [9] và tường minh vào việc nghiên cứu các đại số mang tên ông, nhiều năm sau đó ([10] và [11]). Những khái niệm mới này được B. Peirce dùng để phân loại các đại số chiều thấp (trên trường số phức). Bài toán này cũng đã được những nhà toán học khác của trường phái Anh-Mỹ, đặc biệt là Cayley và Sylvester, nghiên cứu vào khoảng năm 1880. Sự đa dạng to lớn của các cấu trúc có thể có nhanh chóng trở nên rõ ràng, và chắc chắn chính điều đó sẽ, trong giai đoạn sau, hướng nghiên cứu về phía việc thu được các lớp đại số có những tính chất đặc biệt hơn.

Ở châu Âu lục địa, nơi các ý tưởng phát triển khá khác, loại nghiên cứu này đã xuất hiện trước năm 1880. Năm 1878, Frobenius chứng minh rằng quaternion là ví dụ duy nhất về một trường không giao hoán (hữu hạn chiều) trên trường số thực ([18], p. 59–63), một kết quả được C. S. Pierce công bố độc lập hai năm sau đó [39]. Ngay từ năm 1861, Weierstrass, khi làm sáng tỏ một nhận xét của Gauss, đã, trong các bài giảng của mình, đặc trưng hóa các đại số giao hoán trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ không có phần tử lũy linh như là tổng trực tiếp của các trường đẳng cấu với $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$. Dedekind, trong các nghiên cứu của mình, cũng đã đi đến cùng những kết luận ấy vào khoảng năm 1870, gắn với quan niệm “hypercomplex” của ông về lý thuyết các trường giao hoán. Các chứng minh của họ được công bố vào các năm 1884–85 ([54] và [12]). Cũng chính vào năm 1884, H. Poincaré, trong một ghi chú khá bí hiểm [41], đã chỉ ra khả năng xem các phương trình $z_i=\varphi_i(x_1, . . . , x_n, y_1, . . . , y_n)$ biểu diễn luật nhân $(\sum_ix_ie_i)(\sum_iy_ie_i) =\sum_iz_ie_i$ trong một đại số như là xác định (dĩ nhiên là cục bộ) một nhóm Lie. Nhận xét này dường như đã gây ấn tượng lớn đối với Lie và các môn đệ của ông (E. Study, G. Scheffers, F. Schur, và ít lâu sau T. Molien và É. Cartan), khi đó đang phát triển lý thuyết các nhóm “liên tục” và đặc biệt là các bài toán phân loại (xem, đặc biệt, [43], p. 387). Trong thời kỳ 1885–1905, nó dẫn các nhà toán học của trường phái này áp dụng những phương pháp tương tự như họ dùng khi nghiên cứu các nhóm Lie và đại số Lie vào việc nghiên cứu cấu trúc của các đại số. Những phương pháp này dựa, trước hết, trên việc xét đa thức đặc trưng của một phần tử của đại số đối với biểu diễn chính quy của nó (một đa thức đã gặp trong các công trình của Weierstrass và Dedekind nói trên) và trên phép phân tích đa thức này thành các thừa số bất khả quy. Phép phân tích ấy, như Frobenius sẽ phát hiện ra ít lâu sau, được phản ánh trong phép phân tích của biểu diễn chính quy thành các thành phần bất khả quy.

Trong quá trình nghiên cứu về đại số do trường phái Lie tiến hành, các khái niệm “nội tại” của lý thuyết dần dần xuất hiện. Khái niệm căn xuất hiện trong một trường hợp cụ thể (trường hợp khi thương theo căn là một tích trực tiếp các trường) trong công trình năm 1891 của G. Scheffers [43], và rõ hơn trong các công trình của T. Molien [31] và É. Cartan [4], những người nghiên cứu trường hợp tổng quát (từ căn xuất phát từ Frobenius [22]). Study và Scheffers [43] làm nổi bật khái niệm một đại số là tích trực tiếp của nhiều đại số khác (điều này đã được Peirce ([38], p. 221) thoáng thấy. Cuối cùng, Molien [31] đưa vào khái niệm đại số thương của một đại số, một khái niệm về cơ bản tương đương với khái niệm iđêan hai phía (được É. Cartan [4] định nghĩa lần đầu) hoặc với khái niệm đồng cấu (một tên gọi cũng do Frobenius đặt ra). Sự tương tự với nhóm là hiển nhiên, và sau đó, vào năm 1904, Epsteen và Wedderburn sẽ xét các chuỗi hợp thành của các iđêan hai phía và mở rộng định lý Jordan–Hölder cho chúng. Những kết quả quan trọng nhất của thời kỳ này là của T. Molien [31]: được dẫn dắt bởi khái niệm nhóm đơn, ông định nghĩa các đại số đơn (trên $\mathbf{C}$) và chứng minh rằng chúng là các đại số ma trận. Sau đó, ông chứng minh rằng cấu trúc của một đại số tùy ý có hạng hữu hạn trên $\mathbf{C}$ về cơ bản quy về trường hợp, đã được Scheffers nghiên cứu, khi thương theo căn là một tổng trực tiếp các trường. Ngay sau đó, các kết quả này được É. Cartan [4] phát hiện lại và thiết lập một cách chặt chẽ hơn, rõ ràng hơn. Nhân dịp này, ông đưa vào khái niệm đại số nửa đơn và làm sáng tỏ các bất biến số học, các “số nguyên É. Cartan” (VIII, p. 180, Bài tập 8), liên quan với một đại số tùy ý trên trường $\mathbf{C}$. Như vậy ông đưa lý thuyết về các đại số này đến một điểm mà từ đó đến nay ít có tiến bộ.[^6] Cuối cùng, ông mở rộng các kết quả của Molien và của chính mình về các đại số trên $\mathbf{R}$.

Vào khoảng năm 1900, các ý tưởng bắt đầu phát triển theo một hướng dẫn đến việc từ bỏ mọi hạn chế về trường vô hướng trong mọi vấn đề liên quan đến đại số tuyến tính. Đặc biệt, cần nhấn mạnh cú thúc đẩy mạnh mẽ đối với việc nghiên cứu các trường hữu hạn do trường phái Mỹ quanh E. H. Moore và L. E. Dickson đem lại. Kết quả của nghiên cứu này là định lý Wedderburn [50], chứng minh rằng mọi trường hữu hạn đều giao hoán. Năm 1907, Wedderburn lấy các kết quả của Cartan và mở rộng chúng sang một trường cơ sở tùy ý [51]. Khi làm như vậy, ông hoàn toàn từ bỏ các phương pháp của những người đi trước (những phương pháp này không thể áp dụng khi trường không còn đóng đại số hoặc cực đại được sắp thứ tự). Thay vào đó, ông quay trở lại, đồng thời tinh luyện, kỹ thuật các phần tử lũy đẳng của B. Peirce, cho phép ông đưa định lý cấu trúc của các đại số nửa đơn vào dạng xác định, quy việc nghiên cứu chúng về nghiên cứu các trường không giao hoán. Hơn nữa, các vấn đề về mở rộng vô hướng nảy sinh một cách tự nhiên trong quan điểm của ông, và Wedderburn chứng minh rằng mọi đại số nửa đơn vẫn nửa đơn sau một mở rộng tách được của trường cơ sở[^7] và trở thành một tích trực tiếp của các đại số ma trận đơn tâm khi mở rộng này đủ lớn ([51], p. 102).[^8] Ít lâu sau đó, Dickson, với $n= 3$[17], và chính Wedderburn, với $n$ tùy ý [52], đưa ra những ví dụ đầu tiên về các trường không giao hoán có hạng $n^2$ trên tâm của chúng,[^9] qua đó đưa vào trong một trường hợp cụ thể lý thuyết về “tích chéo” và về “hệ các thừa số” mà sau này R. Brauer [2] và E. Noether ([33], [34], và [35]) sẽ phát triển. Cuối cùng, vào năm 1921, Wedderburn chứng minh một trường hợp cụ thể của định lý giao hoán [53].

Từ năm 1896 đến năm 1910, một lý thuyết gần với lý thuyết các đại số, đó là lý thuyết các biểu diễn tuyến tính của các nhóm (ban đầu chỉ giới hạn ở các biểu diễn của các nhóm hữu hạn), đã được Frobenius, Burnside và I. Schur phát triển. Nguồn gốc của nó nằm trong những nhận xét của Dedekind. Trong quá trình nghiên cứu về các cơ sở chuẩn của các mở rộng Galois, Dedekind đã (thậm chí trước khi công bố công trình của mình về các đại số), vào khoảng năm 1880, bắt gặp “Gruppendeterminant” det($x_{st^{-1}}$), trong đó $(x_s)_{s\in G}$ là một dãy các biến mà tập chỉ số là một nhóm hữu hạn G (nói cách khác, chuẩn của phần tử tổng quát của đại số của nhóm G đối với biểu diễn chính quy của nó). Ông đã nhận thấy rằng khi G là Abel, đa thức này phân tích thành các thừa số tuyến tính (điều này khái quát hóa một đẳng thức đã được chứng minh từ lâu cho các định thức của các ma trận “circulant”, vốn tương ứng với các nhóm cyclic G). Trong cuộc trao đổi thư từ đầy hấp dẫn của mình với Frobenius [13], Dedekind, vào năm 1896, đã thu hút sự chú ý của ông đến tính chất này, mối liên hệ của nó với lý thuyết các đặc trưng của các nhóm Abel, và các kết quả tương tự về những nhóm không giao hoán cụ thể mà ông đã thu được vào năm 1886. Vài tháng sau, Frobenius giải quyết hoàn toàn bài toán phân tích “Gruppendeterminant” thành các thừa số bất khả quy [19], nhờ phép tổng quát hóa xuất sắc của ông về khái niệm đặc trưng [20], điều mà ở đây chúng ta sẽ không bàn đến. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng trong sự phát triển về sau của lý thuyết này,[^10] Frobenius luôn ý thức về mối liên hệ của nó với lý thuyết các đại số (mà Dedekind đã không ngừng nhấn mạnh trong các bức thư của mình). Sau khi đã đưa vào các khái niệm biểu diễn bất khả quy và biểu diễn khả quy hoàn toàn cho các nhóm [21] và chứng minh rằng biểu diễn chính quy chứa mọi biểu diễn bất khả quy, chính bằng những phương pháp tương tự mà ông đề xuất, vào năm 1903, tiếp tục lý thuyết của Molien–Cartan [22]. Trong công trình của Burnside [3] và I. Schur [45], khía cạnh “siêu phức” của lý thuyết không can thiệp một cách tường minh; nhưng chính trong các công trình ấy mà các tính chất cơ bản của các biểu diễn bất khả quy, bổ đề Schur và định lý Burnside, xuất hiện. Cuối cùng, cần lưu ý rằng chính trong lý thuyết này mà hai trường hợp đặc biệt của định lý giao hoán xuất hiện lần đầu tiên. Trường hợp thứ nhất là trong luận án của I. Schur [44], trong đó liên hệ (chính xác là bằng giao hoán trong vành tự đồng cấu của một không gian tenxơ) các biểu diễn của nhóm tuyến tính và của nhóm đối xứng. Trường hợp thứ hai là trong công trình năm 1905 của Schur [46], ở đó ông chỉ ra rằng các ma trận giao hoán với mọi ma trận của một biểu diễn bất khả quy trên trường $\mathbf{C}$ là các bội vô hướng của I (một kết quả cũng suy ra từ định lý Burnside).

Điều còn lại là xác định rõ ràng cơ sở chung của các lý thuyết này: đó là công trình của trường phái Đức xoay quanh E. Noether và E. Artin, trong giai đoạn 1925–1933, thời kỳ chứng kiến sự ra đời của đại số hiện đại. Ngay từ năm 1903, trong một hồi ký về sự tích phân đại số của các phương trình vi phân tuyến tính [42], H. Poincaré đã định nghĩa, trong một đại số, các iđêan trái và phải và khái niệm iđêan tối tiểu. Ông cũng đã nhận thấy rằng trong một đại số nửa đơn, mọi iđêan trái đều là tổng trực tiếp của các giao của nó với các thành phần đơn và rằng trong đại số các ma trận bậc $n$, các iđêan tối tiểu có chiều $n$; nhưng công trình của ông đã không được các nhà đại số chú ý đến.[^11] Năm 1907, Wedderburn lại định nghĩa các iđêan trái và phải của một đại số và chứng minh một số tính chất của chúng (đặc biệt là rằng căn là iđêan trái lũy linh lớn nhất ([51], p. 113–114)). Nhưng phải đến năm 1927 những khái niệm này mới được dùng một cách cốt yếu trong lý thuyết các đại số.[^12] Khái quát hóa các phương pháp chứng minh đã xuất hiện rải rác ở đây đó,[^13] W. Krull năm 1925 [28] và E. Noether năm 1926 [33] đưa vào và sử dụng một cách có hệ thống các điều kiện cực đại và cực tiểu. Người thứ nhất dùng chúng để mở rộng định lý Remak về phân tích một nhóm hữu hạn thành một tích trực tiếp của các nhóm không phân tích được cho các nhóm Abel có toán tử (mà ông định nghĩa nhân dịp này) (xem VIII, p. 37, Định lý 2), trong khi người thứ hai dùng các điều kiện này trong việc đặc trưng hóa các vành Dedekind. Năm 1927, E. Artin [1], áp dụng cùng ý tưởng cho các vành không giao hoán, cho thấy bằng một nghiên cứu có hệ thống về các iđêan tối tiểu, người ta có thể mở rộng định lý Wedderburn cho mọi vành mà các iđêan trái của chúng thỏa mãn cả điều kiện cực đại lẫn điều kiện cực tiểu.[^14]

Ở nơi khác, vào năm 1926, Krull [29] thiết lập mối liên hệ giữa khái niệm nhóm Abel có toán tử và khái niệm biểu diễn tuyến tính của một nhóm. Quan điểm này được khái quát hóa cho các đại số và được E. Noether phát triển chi tiết trong một công trình nền tảng năm 1929 [34]. Vì tầm quan trọng của các ý tưởng được đưa vào và sự rõ ràng của cách trình bày, công trình đó xứng đáng được xếp bên cạnh hồi ký của Steinitz về các trường giao hoán như một trong những trụ cột của đại số hiện đại.[^15]

Cuối cùng, trong một loạt công trình bắt đầu từ năm 1927 ([36], [2] và [35]), E. Noether và R. Brauer, đến năm 1929 có thêm A. Albert và H. Hasse, tiếp tục nghiên cứu các thân chia nơi Wedderburn và Dickson dừng lại. Mặc dù phần cốt yếu nhất của các kết quả của họ là một nghiên cứu sâu sắc về nhóm Brauer, đặc biệt trên các trường số đại số, chính trong những công trình này mà các định lý giao hoán cũng như khái niệm trường triệt tiêu của một đại số đơn và mối liên hệ của nó với các trường con giao hoán cực đại được làm sáng tỏ. Cuối cùng, vào năm 1927, Skolem đặc trưng hóa các tự đẳng cấu của các vành đơn [49] trong một định lý được E. Noether [35] và R. Brauer [2] phát hiện lại vài năm sau.

Như vậy, vào năm 1934, lý thuyết sơ cấp về các vành đơn và nửa đơn đã gần như đạt đến hình thức cuối cùng của nó (tổng quan về tình trạng hiện nay của lý thuyết, xem [16]).

[^1]: Khái niệm đẳng cấu giữa hai đại số không được Hamilton nhắc đến. Tuy nhiên, từ đó về sau, các nhà toán học của trường phái Anh, đặc biệt là De Morgan và Cayley, đều biết rất rõ rằng sự thay đổi cơ sở không làm thay đổi về bản chất đại số đang xét (xem, chẳng hạn, công trình [6] của Cayley về các đại số cấp 2).

[^2]: Điều này có thể là vì, ngoài phép nhân “ngoài”, Grassmann còn đưa vào cái mà ông gọi là các phép nhân “nghịch” và “nội” giữa các đa vectơ (chúng thay thế cho mọi thứ liên quan đến đối ngẫu). Dù sao đi nữa, thật đáng chú ý là, vào khoảng năm 1900, trong bài Study–Cartan của bộ bách khoa [5], đại số ngoài vẫn chưa được xếp vào hàng các đại số kết hợp mà được xử lý riêng, và cũng không chỉ ra rằng một trong các kiểu đại số cấp 4 (kiểu VIII ở p. 180 của [5]) chỉ đơn giản là đại số ngoài của một không gian 2 chiều.

[^3]: Thực ra, Cayley không chứng minh sự tồn tại này, không viết tường minh các ma trận nói trên, và dường như vào thời điểm ấy cũng chưa nhận thấy rằng một số trong chúng tất yếu là ảo. (Ở đâu trong hồi ký [8] cũng không nêu rõ liệu các “đại lượng” xuất hiện trong các ma trận là thực hay phức. Tuy nhiên, một số phức có xuất hiện tình cờ ở p. 494.) Người ta có thể nghĩ rằng chỉ cần thêm một bước nữa là đủ để đồng nhất các “biquaternions” của Hamilton với các ma trận phức cấp 2; thực ra, kết quả này trước hết sẽ được anh em Peirce nêu tường minh vào năm 1870 ([38], p. 132). Ý tưởng tổng quát về một biểu diễn chính quy của một đại số được C. S. Peirce đưa vào vào khoảng năm 1879 [40]; Laguerre đã dự đoán điều đó từ năm 1867 ([30], p. 235).

[^4]: B. Peirce đã gặp Clifford ở London năm 1871, và cả hai đều nhiều lần nhắc đến các cuộc trò chuyện của họ, trong đó chắc chắn có một cuộc diễn ra tại một cuộc họp của Hội Toán học Luân Đôn, nơi Peirce đã trình bày các kết quả của mình (Proc. Lond. Math. Soc. (1) 3 (1869–1871), p. 220).

[^5]: Thực ra, Weierstrass đặt ra một điều kiện chặt hơn đối với các đại số của mình, cụ thể là phương trình $a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n= 0$ (trong đó các $a_i$ và ẩn $x$ thuộc về đại số) chỉ có thể có vô hạn nghiệm nếu mọi $a_i$ đều là bội của cùng một ước của không.

[^6]: Những khó khăn cốt yếu xuất phát từ việc nghiên cứu căn, mà đối với cấu trúc của nó chưa ai tìm được một nguyên lý phân loại thỏa đáng.

[^7]: Vào thời điểm Wedderburn viết bài, khái niệm mở rộng tách được vẫn chưa được định nghĩa, nhưng ông sử dụng ngầm giả thiết rằng nếu một đa thức bất khả quy $f$ trên trường cơ sở có một nghiệm $x$ trong một mở rộng của trường này, thì tất yếu ta có $f'(x)\not= 0$ ([51], p. 103). Mãi đến năm 1929, E. Noether mới chỉ ra những hiện tượng liên hệ với tính không tách được của mở rộng của trường vô hướng [34]. Hãy nhắc đến một kết quả khác gắn với tính tách được (và nay đã được đưa vào đại số đồng điều), đó là sự phân tích của một đại số thành một tổng trực tiếp (nhưng không phải một tích trực tiếp!) của căn của nó và một đại số con nửa đơn. Kết quả này (được Molien chứng minh khi trường vô hướng là $\mathbf{C}$ và bởi É. Cartan cho các đại số trên $\mathbf{R}$) được Wedderburn phát biểu dưới dạng tổng quát, mà thực ra ông chỉ chứng minh trong trường hợp thương của đại số theo căn của nó là đơn ([51] p. 105-109), đồng thời dùng, hơn nữa, cùng giả thiết như trên về các đa thức bất khả quy.

[^8]: Nghiên cứu số học về các biểu diễn tuyến tính của nhóm, vốn bắt đầu cùng thời, cũng dẫn người ta xét khái niệm tương đương là trường trung hòa của một biểu diễn [47].

[^9]: Hãy chú ý rằng trong “Grundlagen der Geometrie”, Hilbert đã nêu một ví dụ về một trường không giao hoán có cấp vô hạn trên tâm của nó.

[^10]: Một phần các kết quả của Frobenius đã được T. Molien thu được độc lập vào năm 1897 [32].

[^11]: Cũng nên lưu ý rằng trong hồi ký này, Poincaré nhận thấy tập hợp các toán tử trong đại số của một nhóm mà triệt tiêu một vectơ của không gian của một biểu diễn tuyến tính của nhóm ấy tạo thành một iđêan trái. Ông chỉ ra rằng nhận xét này có thể được áp dụng vào lý thuyết các biểu diễn tuyến tính ([42], p. 149) nhưng chưa bao giờ phát triển ý tưởng này.

[^12]: Thật thú vị khi lưu ý rằng, vào lúc ấy, khái niệm iđêan trái và iđêan phải lại xuất hiện không phải trong nghiên cứu đại số, mà trong một công trình của E. Noether và W. Schmeidler [37] về các vành toán tử vi phân.

[^13]: Điều kiện cực đại (dưới dạng “ascending chain condition”) có từ Dedekind, người đã đưa nó vào một cách tường minh ([15], p. 90) khi nghiên cứu các iđêan của một trường số đại số. Một trong những ví dụ đầu tiên của lập luận “chuỗi tăng” có lẽ là ví dụ thấy trong hồi ký năm 1907 của Wedderburn ([51], p. 90) về các iđêan hai phía.

[^14]: Năm 1929, E. Noether đã chứng minh rằng đối với các vành không có căn, những định lý này áp dụng khi chỉ giả thiết điều kiện cực tiểu được thỏa ([34], p. 663). Năm 1939, C. Hopkins chứng minh rằng chỉ riêng điều kiện này đã suy ra rằng căn là lũy linh [27].

[^15]: Chính ở đó, người ta lần đầu tiên thấy, trong số những điều khác, các khái niệm tổng quát về đồng cấu của nhóm có toán tử, về vành đối, về song môđun, cũng như các “định lý đẳng cấu” nổi tiếng (đã có trong [33] đối với nhóm Abel). Các trường hợp riêng hay hệ quả của chúng, dĩ nhiên, đã xuất hiện từ lâu trước đó, chẳng hạn (đối với định lý đẳng cấu thứ hai) trong công trình của Hölder cho các nhóm hữu hạn [26], trong công trình của Dedekind cho các nhóm Abel ([14], p. 76–77), và trong công trình của Wedderburn cho các iđêan hai phía ([51], p. 82–83); còn đối với định lý đẳng cấu thứ nhất, chẳng hạn Séguier đã phát biểu nó một cách tường minh năm 1904 ([48], p. 65).