Vì $A_0 A_0 \subset A_0$ theo định nghĩa, chỉ cần chứng minh rằng $1 \in A_0$. Gọi $1 = \sum_{\lambda \in \Delta} e_\lambda$ là phân tích của 1 thành các thành phần thuần nhất của nó. Nếu $x \in A_\mu$, thì $x = x . 1 = \sum_{\lambda \in \Delta} x e_\lambda$; so sánh các thành phần bậc $\mu$, (vì $\mu + \lambda = \mu$ suy ra $\lambda = 0$) $x = x e_0$. Vì quan hệ này đúng với mọi phần tử thuần nhất của $A$, nó đúng với mọi $x \in A$; đặc biệt $1 = 1 . e_0 = e_0 \in A_0$.

(a) $N$ là tổng của họ $(N \cap M_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$. (b) Các thành phần thuần nhất của mọi phần tử của N thuộc N. (c) $N$ được sinh bởi các phần tử thuần nhất.

Mọi phần tử của N có thể được viết một cách duy nhất thành tổng của các phần tử của các $M_\lambda$ và do đó ngay lập tức suy ra rằng (a) và (b) là tương đương và rằng (a) kéo theo (c). Ta chứng minh rằng (c) kéo theo (b). Khi đó cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử sinh thuần nhất $\neq 0$ của N và cho $\delta(i)$ là bậc của $x_i$. Mọi phần tử của N có thể được viết $\sum_i a_i x_i$ với $a_i \in A$; nếu $a_{i,\lambda}$ là thành phần của $a_i$ có bậc $\lambda$, kết luận suy ra từ quan hệ

Nhận xét (1) Trong ký hiệu trên, quan hệ $\sum_{i \in I} a_i x_i = 0$ do đó tương đương với hệ các quan hệ $\sum_{\mu + \delta(i) = \lambda} a_{i,\mu} x_i = 0$. Khi $\Delta$ là một nhóm, các quan hệ này có thể được viết $\sum_{i \in I} a_{i,\lambda - \delta(i)} x_i = 0$.

Khi một môđun con N của M có các tính chất tương đương được nêu trong Mệnh đề 2, rõ ràng các $N \cap M_\lambda$ tạo thành một phân bậc tương thích với cấu trúc A-môđun của N, gọi là phân bậc cảm sinh bởi phân bậc trên M; N với phân bậc này được gọi là một môđun con phân bậc của M.

Chỉ cần áp dụng Hệ quả 1, lưu ý rằng một phần tử của M chỉ có một số hữu hạn các thành phần thuần nhất $\neq 0$.

Một môđun con phân bậc của $A_s$ (tương ứng $A_d$) được gọi là một iđêan trái phân bậc (tương ứng phải) của vành phân bậc A. Với mọi vành con B của $A(B \cap A_\lambda)(B \cap A_\mu) \subset B \cap A_{\lambda+\mu}$; nếu B là một môđun con-$\mathbf{Z}$ phân bậc của A, phân bậc cảm sinh trên B bởi phân bậc trên A do đó tương thích với cấu trúc vành trên B; khi đó B được gọi là một vành con phân bậc của A.

Rõ ràng nếu N (tương ứng B) là một môđun con A phân bậc của M (tương ứng một vành con phân bậc của A), đơn ánh chính tắc $N \to M$ (tương ứng $B \to A$) là một đồng cấu môđun phân bậc có bậc 0 (tương ứng một đồng cấu vành phân bậc).

Nếu N là một môđun con phân bậc của một A-môđun phân bậc M và $(M_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ là phân bậc của M, các môđun con $(M_\lambda + N)/N$ của $M/N$ tạo thành một phân bậc tương thích với cấu trúc của môđun thương này. Thật vậy, nếu $N_\lambda = M_\lambda \cap N$, $(M_\lambda + N)/N$ được đồng nhất với $M_\lambda/N_\lambda$ và suy ra từ Mệnh đề 2 và § 1, no. 6, công thức (26) rằng $M/N$ là tổng trực tiếp của chúng. Hơn nữa,

và do đó $A_\lambda((M_\mu + N)/N) \subset (M_{\lambda+\mu} + N)/N$, điều này xác lập mệnh đề của chúng ta.

Phân bậc $((M_\lambda + N)/N)_{\lambda \in \Delta}$ được gọi là phân bậc thương của phân bậc trên M bởi N và môđun thương M/N với phân bậc này được gọi là môđun thương phân bậc của M bởi môđun con phân bậc N; đồng cấu chính tắc M $\to$ M/N là một đồng cấu phân bậc có bậc 0 đối với phân bậc này.

Nếu b là một iđêan hai phía phân bậc của A, phân bậc thương trên A/b tương thích với cấu trúc vành trên A/b; vành A/b với phân bậc này được gọi là vành phân bậc thương của A bởi b; đồng cấu chính tắc A $\to$ A/b là một đồng cấu vành phân bậc đối với phân bậc này.

Mệnh đề (i) suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa và Mệnh đề 2(c). Nếu x là một phần tử của M sao cho u(x) = 0 và x = \sum_\lambda x_\lambda là phân tích của nó thành các thành phần thuần nhất (trong đó x_\lambda có bậc \lambda), thì

và u(x_\lambda) có bậc \lambda + \delta; nếu \delta là chính quy thì quan hệ \lambda + \delta = \mu + \delta kéo theo \lambda = \mu, do đó các u(x_\lambda) là các thành phần thuần nhất của u(x) và tất yếu u(x_\lambda) = 0 với mọi \lambda \in \Delta, điều này chứng minh (ii). Song ánh v: M/Ker(u) \to Im(u) liên kết một cách chính tắc với u khi đó là một đồng cấu phân bậc có bậc \delta, như suy ra từ định nghĩa của phân bậc thương; do đó (iii) khi \delta = 0.

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 3 cho u được xem như một đồng cấu bậc 0 của các môđun phân bậc $\mathbf{Z}$.

Nếu $(\mathbf{N}_i)$ là một họ các môđun con phân bậc của $M$, tính chất (c) của Mệnh đề 2 chỉ ra rằng tổng của các $\mathbf{N}_i$ được sinh bởi các phần tử thuần nhất và tính chất (b) của Mệnh đề 2 chứng minh rằng các thành phần thuần nhất của mọi phần tử của $\bigcap_i \mathbf{N}_i$ thuộc $\bigcap_i \mathbf{N}_i$; do đó có (i).

Để chứng minh (ii), chỉ cần chú ý rằng $\operatorname{Ann}(x)$ là hạt nhân của đồng cấu $a \mapsto ax$ của A-môđun $A_s$ vào $M$ và rằng đồng cấu này là phân bậc có bậc $\mu$; kết luận suy ra từ Mệnh đề 3(ii). Cuối cùng (iii) là một hệ quả của (i) và (ii) vì linh hóa tử của một môđun con phân bậc $N$ của $M$ là giao của các linh hóa tử của các phần tử thuần nhất của $N$, theo Mệnh đề 2.

Giả sử rằng $a$ có bậc $\delta$; đặt $b = \sum_\lambda b_\lambda$ là một phần tử giao hoán được với $a$, $b_\lambda$ là thành phần thuần nhất của $b$ có bậc $\lambda$ với mọi $\lambda \in \Delta$. Khi đó theo giả thiết $\sum_\lambda (ab_\lambda - b_\lambda a) = 0$ và $ab_\lambda - b_\lambda a$ là thuần nhất có bậc $\lambda + \delta$; vì $\delta$ giản ước được, suy ra rằng $ab_\lambda = b_\lambda a$ với mọi $\lambda$, điều này chứng minh mệnh đề của ta.

Nó là giao của các bộ giao hoán của các phần tử thuần nhất của $B$.

Nhận xét (3) *Một hệ trực tiếp $(A_\alpha, \phi_{\beta\alpha})$ của các vành phân bậc kiểu $\Delta$ (tương ứng, một hệ trực tiếp $(M_\alpha, f_{\beta\alpha})$ của các môđun $A_\alpha$ phân bậc kiểu $\Delta$) là một hệ trực tiếp của các vành (tương ứng, các môđun $A_\alpha$) sao cho mỗi $A_\alpha$ (tương ứng, $M_\alpha$) là phân bậc kiểu $\Delta$ và mỗi $\phi_{\beta\alpha}$ (tương ứng, $f_{\beta\alpha}$) là một đồng cấu của các vành phân bậc (tương ứng, một đồng cấu $A_\alpha$ bậc 0 của các môđun phân bậc). Nếu $(A^\lambda_\alpha)_{\lambda \in \Delta}$ (tương ứng, $(M^\lambda_\alpha)_{\lambda \in \Delta}$) là phân bậc của $A_\alpha$ (tương ứng, $M_\alpha$) và ta viết

thì theo § 6, no. 2, Mệnh đề 5, $(A^\lambda)$ (tương ứng, $(M^\lambda)$) là một phân bậc của A (tương ứng, M) và theo I, § 10, nos. 3 và 4, phân bậc này tương thích với cấu trúc vành trên A (tương ứng, cấu trúc A-môđun trên M). Vành phân bậc A (tương ứng, môđun A phân bậc M) được gọi là giới hạn trực tiếp của hệ trực tiếp của các vành phân bậc $(A_\alpha, \phi_{\beta\alpha})$ (tương ứng, các môđun phân bậc $(M_\alpha, f_{\beta\alpha})$). Nếu $\phi_\alpha : A_\alpha \to A$ (tương ứng, $f_\alpha : M_\alpha \to M$) là ánh xạ chính tắc, thì $\phi_\alpha$ (tương ứng, $f_\alpha$) là một đồng cấu của các vành phân bậc (tương ứng, một đồng cấu bậc 0 của các môđun $A_\alpha$ phân bậc).

Cho $x$ là một phần tử khác không của $M_{\lambda_0}$; giả sử rằng $x \in \mathfrak{I}_0 M$. Khi đó $x = \sum_i a_i x_i$, trong đó các $a_i$ là các phần tử thuần nhất $\neq 0$ của $\mathfrak{I}_0$ và các $x_i$ là các phần tử thuần nhất $\neq 0$ của M với $\deg(x) = \deg(a_i) + \deg(x_i)$ với mọi $i$ (no. 2). Nhưng, vì $\deg(a_i) > 0$, $\lambda_0 = \deg(a_i) + \deg(x_i) > \deg(x_i)$, điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Giả sử $M \neq \{0\}$. Gọi $\lambda_0$ là một phần tử cực tiểu của tập hợp các bậc của một hệ sinh hữu hạn của M gồm các phần tử thuần nhất $\neq 0$; khi đó các giả thiết của Mệnh đề 6 được thỏa mãn, điều này dẫn đến một mâu thuẫn.

$\mathbf{M}/\mathbf{N}$ là một A-môđun phân bậc sinh hữu hạn và giả thiết suy ra rằng $\mathfrak{J}_0 . (\mathbf{M}/\mathbf{N}) = \mathbf{M}/\mathbf{N}$; do đó $\mathbf{M}/\mathbf{N} = 0$.

là toàn ánh, thì $u$ là toàn ánh.

$u(\mathbf{M})$ là một môđun con phân bậc của $\mathbf{N}$ và $(\mathbf{A}/\mathfrak{J}_0)$-môđun

là đẳng cấu với $(N \otimes_{\mathbf{A}} (\mathbf{A}/\mathfrak{J}_0))/\mathrm{Im}(u \otimes 1)$ (§ 3, no. 6, Mệnh đề 6). Giả thiết do đó suy ra $(N/u(\mathbf{M})) \otimes_{\mathbf{A}} (\mathbf{A}/\mathfrak{J}_0) = 0$ và do đó $\mathbf{N} = u(\mathbf{M})$ theo Hệ quả 1.

Ta biết (no. 2, Nhận xét 3) rằng có một $\mathbf{A}$-môđun tự do phân bậc $\mathbf{L}$ (có phân bậc $(L_\lambda)$) và một đồng cấu toàn ánh $p : \mathbf{L} \to \mathbf{M}$ bậc 0 sao cho $p(e_{i\lambda}) = x_{i\lambda}$ với mọi $(i, \lambda) \in I$ ($(e_{i\lambda})_{(i, \lambda) \in I}$ là một cơ sở của $\mathbf{L}$ gồm các phần tử thuần nhất $e_{i\lambda} \in L_\lambda$). Theo Nhận xét trên, suy ra rằng $p$ là toàn ánh. Xét môđun $\mathbf{A}$-phân bậc $\mathbf{R} = \mathrm{Ker}(p)$ và lưu ý rằng $R_\lambda = \{0\}$ với $\lambda < \lambda_0$ theo định nghĩa; ta cần chứng minh rằng $\mathbf{R} = \{0\}$ và theo Mệnh đề 6, chỉ cần chứng minh rằng $\mathfrak{J}_0 R = R$. Xét biểu đồ giao hoán (§ 3, no. 6, Mệnh đề 5)

trong đó $j$ là đơn ánh chính tắc, $a, b, c$ suy ra từ đơn ánh chính tắc $\mathfrak{J}_0 \to A$ (§ 3, no. 4, Mệnh đề 4); cần chứng minh rằng $a$ là toàn ánh. Lưu ý rằng, vì $L$ là tự do, $b$ là đơn ánh (§ 3, no. 7, Hệ quả 6 của Mệnh đề 7) và $c$ là đơn ánh theo giả thiết. Khi đó, cho $t$ là một phần tử của $R$ và $t$ là lớp của nó trong $R / \mathfrak{J}_0 R$; khi đó có một dãy khớp (§ 3, no. 6, Mệnh đề 5 và Hệ quả 2 của Mệnh đề 6)

trong đó $j$ và $\bar{p}$ được suy ra từ $j$ và $p$ khi chuyển qua các thương và $\bar{p}$ theo giả thiết là một song ánh; khi đó $j(\bar{t}) = 0$, nói cách khác $j(t) \in \mathfrak{J}_0 L$. Khi đó tồn tại một phần tử $z \in \mathfrak{J}_0 \otimes L$ sao cho $j(t) = b(z)$; vì $p(b(z)) = 0$, $c((1 \otimes p)(z)) = 0$ và, vì $c$ là đơn ánh, $(1 \otimes p)(z) = 0$. Nói cách khác, $z$ là ảnh của một phần tử $t' \in \mathfrak{J}_0 \otimes R$ qua $1 \otimes j$ và khi đó $j(a(t')) = b(z) = j(t)$; vì $j$ là đơn ánh, điều này kéo theo $t = a(t')$.

Sau này chúng ta sẽ chỉ ra (Đại số giao hoán, II, § 3, no. 2, Mệnh đề 5) cách mở rộng mệnh đề này cho các môđun không phân bậc.

Nếu tồn tại một cấu trúc thứ tự như vậy trên $\Delta$ và nếu $\lambda > 0$, thì $\lambda + \mu > 0$ với mọi $\mu \geq 0$ và đặc biệt, bằng quy nạp theo số nguyên $n > 0$, $n.\lambda > 0$, điều này chứng minh rằng $\Delta$ không xoắn (vì mọi phần tử $\neq 0$ của $\Delta$ hoặc là $> 0$ hoặc là $< 0$). Ngược lại, nếu $\Delta$ không xoắn, $\Delta$ là một môđun con-$\mathbf{Z}$ của một không gian vectơ $\mathbf{Q}$ (§ 7, no. 10, Hệ quả 1 của Mệnh đề 26) mà có thể giả sử có dạng $\mathbf{Q}^{(I)}$; nếu $I$ được cho một thứ tự tốt (Lý thuyết tập hợp, III, § 2, no. 3, Định lý 1) và $\mathbf{Q}$ thứ tự thông thường của nó, tập hợp $\mathbf{Q}^{(I)}$ với thứ tự từ điển là được sắp thứ tự toàn phần (Lý thuyết tập hợp, III, § 2, no. 6); hiển nhiên thứ tự này tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $\mathbf{Q}^{(I)}$.