Phụ lục

Giả môđun

1. Phép nối thêm một phần tử đơn vị vào một giả vành

Cho A là một giả vành (I, § 8, no. 1). Trên tập hợp $A' = \mathbf{Z} \times A$ ta định nghĩa các luật hợp thành sau:

Ngay lập tức kiểm tra được rằng $A'$ với hai luật hợp thành này là một vành trong đó phần tử $(1, 0)$ là phần tử đơn vị. Tập hợp $\{0\} \times A$ là một iđêan hai phía của $A'$ và $i : x \mapsto (0, x)$ là một đẳng cấu của giả vành A lên giả-vành con $\{0\} \times A$, nhờ đó A và $\{0\} \times A$ được đồng nhất. $A'$ được gọi là vành dẫn xuất từ giả vành A bằng cách nối thêm một phần tử đơn vị.

Nếu A đã có một phần tử đơn vị $\varepsilon$, thì phần tử $e = (0, \varepsilon)$ của $A'$ là một phần tử lũy đẳng thuộc tâm của $A'$ và sao cho

Khi đó $(eA', (1 - e)A')$ là một phân tích trực tiếp (I, § 8, no. 11) của $A'$ và vành $(1 - e)A'$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$.

2. Giả môđun

Cho một giả vành A có hoặc không có phần tử đơn vị, một môđun giả trái trên A là một nhóm giao hoán E (được viết theo lối cộng) có A làm tập hợp toán tử và thỏa mãn các tiên đề $(\mathrm{M}_I), (\mathrm{M}_{II})$ và $(\mathrm{M}_{III})$ của § 1, no. 1, Định nghĩa 1. Các môđun giả phải trên A được định nghĩa tương tự.

Gọi $A'$ là vành thu được bằng cách nối thêm một phần tử đơn vị vào A. Nếu E là một môđun giả trái trên A, thì một cấu trúc $A'$-môđun trái trên E được liên kết với nó bằng cách viết, với mọi $x \in E$ và mọi phần tử $(n, a) \in A'$,

Ngay lập tức kiểm tra được các tiên đề $(\mathrm{M}_I)$ đến $(\mathrm{M}_{IV})$ của § 1, no. 1, Định nghĩa 1;

hơn nữa, khi hạn chế tập hợp toán tử của cấu trúc môđun này vào $\{0\} \times A$ (được đồng nhất với $A$), ta thu được trên $E$ cấu trúc giả môđun đã cho ban đầu.

Để một tập con $M$ của $E$ là một nhóm con với toán tử của giả môđun $E$ (trong trường hợp đó cấu trúc cảm sinh hiển nhiên cũng là một cấu trúc môđun giả trái trên $A$), điều kiện cần và đủ là $M$ là một môđun con của $A'$-môđun liên kết $E$ và môđun con-$A'$ này được liên kết với giả môđun $M$. Hơn nữa, $A'$-môđun thương $E/M$ khi đó được liên kết với nhóm thương với toán tử $E/M$, hiển nhiên là một giả môđun trên $A$.

Nếu $E, F$ là hai giả môđun trên $A$, thì các đồng cấu $E \to F$ của các nhóm có toán tử đồng nhất với các ánh xạ $A'$-tuyến tính $E \to F$ của các $A'$-môđun liên kết tương ứng với các giả môđun $E$ và $F$. Nếu $(E_i)_{i \in I}$ là một họ giả môđun trên $A$, thì các nhóm có toán tử $\prod_{i \in I} E_i$ và $\bigoplus_{i \in I} E_i$ là các giả môđun trên $A$ và các $A'$-môđun liên kết lần lượt là tích và tổng trực tiếp của các $A'$-môđun liên kết $E_i$. Có các kết quả tương tự đối với các giới hạn nghịch và trực tiếp của các giả môđun. Như vậy, lý thuyết các giả môđun trên $A$ có thể được quy toàn bộ về lý thuyết các $A'$-môđun.

Bài tập

Xem các bài tập cho Phụ lục 0.