Appendice

Pseudomodules

1. Adjonction d’un élément unité à un pseudo-anneau

Soit A un pseudo-anneau (I, p. 93). Sur l’ensemble A′ = Z × A, définissons les lois de composition suivantes: (1)

On vérifie aussitôt que $A'$, muni de ces deux lois de composition, est un anneau, dans lequel l’élément $(1, 0)$ est l’élément unité. L’ensemble $\{0\} \times A$ est un idéal bilatère de $A'$ et $i : x \mapsto (0, x)$ est un isomorphisme du pseudo-anneau $A$ sur le sous-pseudo-anneau $\{0\} \times A$, au moyen duquel on identifie $A$ et $\{0\} \times A$. On dit que $A'$ est l’anneau déduit du pseudo-anneau $A$ par adjonction d’un élément unité.

Si $A$ admet déjà un élément unité $\varepsilon$, l’élément $e = (0, \varepsilon)$ de $A'$ est un idempotent appartenant au centre de $A'$ et tel que

2. Pseudomodules

Étant donné un pseudo-anneau $A$ ayant ou non un élément unité, on appelle pseudomodule à gauche sur $A$ un groupe commutatif $E$ (noté additivement) admettant $A$ comme ensemble d’opérateurs et vérifiant les axiomes $(M_I)$, $(M_{II})$ et $(M_{III})$ de II, p. 1, déf. 1. On définit de même les pseudomodules à droite sur $A$.

Soit $A'$ l’anneau obtenu par adjonction à $A$ d’un élément unité. Si $E$ est un pseudomodule à gauche sur $A$, on lui associe sur $E$ une structure de $A'$-module à gauche en posant, pour tout $x \in E$ et tout élément $(n, a) \in A'$

On vérifie en effet aussitôt les axiomes $(M_I)$ à $(M_{IV})$ de II, p. 1, déf. 1 ; en outre, en restreignant à $\{0\} \times A$ (identifié à $A$) l’ensemble d’opérateurs de cette structure de module, on obtient sur $E$ la structure de pseudomodule donnée initialement.

Pour qu’une partie $M$ de $E$ soit un sous-groupe à opérateurs du pseudomodule $E$ (auquel cas la structure induite est évidemment encore une structure de pseudomodule à gauche sur $A$), il faut et il suffit que $M$ soit un sous-module du $A'$-module $E$ associé, et ce sous-$A'$-module est associé au pseudomodule $M$. En outre, le $A'$-module quotient $E/M$ est alors associé au groupe à opérateurs quotient $E/M$, qui est évidemment un pseudomodule sur $A$.

Si $E$, $F$ sont deux pseudomodules sur $A$, il y a identité entre les homomorphismes de groupes à opérateurs $E \to F$ et les applications $A'$-linéaires $E \to F$ des $A'$-modules associés respectivement aux pseudomodules $E$ et $F$. Si $(E_t)_{t \in I}$ est une famille de pseudomodules sur $A$, les groupes à opérateurs $\prod_{t \in I} E_t$ et $\bigoplus_{t \in I} E_t$ sont des pseudomodules sur $A$, et les $A'$-modules associés sont respectivement le produit et la somme directe des $A'$-modules $E_t$ associés. On a des résultats analogues pour les limites projectives et inductives de pseudomodules. La théorie des pseudomodules sur $A$ est ainsi ramenée à celle des $A'$-modules.

Exercices

Exercices

See the exercises for Appendix 0.