Comme $\mathbf{A}_0 \mathbf{A}_0 \subset \mathbf{A}_0$ par définition, il suffit de prouver que $1 \in \mathbf{A}_0$. Soit $1 = \sum_{\lambda \in \Delta} e_\lambda$ la décomposition de 1 en ses composantes homogènes. Si $x \in \mathbf{A}_\mu$, on a $x = x.1 = \sum_{\lambda \in \Delta} x e_\lambda$; comparant les composantes de degré $\mu$, on obtient (puisque la relation $\mu + \lambda = \mu$ entraîne $\lambda = 0$) $x = x e_0$. Cette relation, étant vraie pour tout élément homogène de $\mathbf{A}$, est vraie pour tout $x \in \mathbf{A}$; en particulier $1 = 1.e_0 = e_0 \in \mathbf{A}_0$.

a) $N$ est somme de la famille $(N \cap M_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$. b) Les composantes homogènes de tout élément de $N$ appartiennent à $N$. c) $N$ est engendré par des éléments homogènes.

Tout élément de $N$ s’écrivant d’une seule manière comme somme d’éléments des $M_\lambda$, il est immédiat que a) et b) sont équivalentes et que a) entraîne c). Montrons que c) implique b). Soit donc $(x_i)_{i \in I}$ une famille de générateurs homogènes $\neq 0$ de $N$, et soit $\delta(i)$ le degré de $x_i$. Tout élément de $N$ s’écrit $\sum_i a_i x_i$ avec $a_i \in A$; si $a_{i,\lambda}$ est la composante de degré $\lambda$ de $a_i$, la conclusion résulte de la relation

Remarque 1). — Avec les notations précédentes, la relation $\sum_{i \in I} a_i x_i = 0$ est donc équivalente au système de relations $\sum_{\mu + \delta(i) = \lambda} a_{i,\mu} x_i = 0$. Lorsque $\Delta$ est un groupe, ces relations s’écrivent $\sum_{i \in I} a_{i,\lambda - \delta(i)} x_i = 0$.

Lorsqu’un sous-module N de M vérifie les propriétés équivalentes énoncées dans la prop. 2, il est clair que les $N \cap M_\lambda$ forment une graduation compatible avec la structure de A-module de N, appelée graduation induite par celle de M; on dit que N, muni de cette graduation, est un sous-module gradué de M.

Il suffit d’appliquer le cor. 1 en remarquant qu’un élément de M n’a qu’un nombre fini de composantes homogènes $\neq 0$.

Un sous-module gradué de $A_s$ (resp. $A_d$) est appelé idéal à gauche (resp. à droite) gradué de l’anneau gradué A. Pour tout sous-anneau B de A on a $(B \cap A_\lambda)(B \cap A_\mu) \subset B \cap A_{\lambda+\mu}$; si B est un sous-$\mathbf{Z}$-module gradué de A, la graduation induite sur B par celle de A est donc compatible avec la structure d’anneau de B; on dit alors que B est un sous-anneau gradué de A.

Il est clair que si N (resp. B) est un sous-A-module gradué de M (resp. un sous-anneau gradué de A), l’injection canonique $N \to M$ (resp. $B \to A$) est un homomorphisme gradué de modules de degré 0 (resp. un homomorphisme gradué d’anneaux).

Si N est un sous-module gradué d’un A-module gradué M et $(M_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ la graduation de M, les sous-modules $(M_\lambda + N)/N$ de $M/N$ forment une graduation compatible avec la structure de ce module quotient. En effet, si $N_\lambda = M_\lambda \cap N$, $(M_\lambda + N)/N$ s’identifie à $M_\lambda/N_\lambda$, et il résulte de II, p. 167, prop. 2 et II, p. 14, formule (26), que $M/N$ est leur somme directe. En outre, on a $A_\lambda(M_\mu + N) \subset A_\lambda M_\mu + N \subset M_{\lambda+\mu} + N$, donc $A_\lambda((M_\mu + N)/N) \subset (M_{\lambda+\mu} + N)/N$, ce qui établit notre assertion. On dit que la graduation $((M_\lambda + N)/N)_{\lambda \in \Delta}$ est la graduation quotient de celle de M par N, et le module quotient $M/N$, muni de cette graduation, s’appelle le module gradué quotient de M par le sous-module gradué N; l’homomorphisme canonique $M \to M/N$ est un homomorphisme gradué de degré 0 pour cette graduation.

Si $b$ est un idéal bilatère gradué de A, la graduation quotient sur $A/b$ est compatible avec la structure d’anneau de $A/b$; l’anneau $A/b$, muni de cette graduation, s’appelle l’anneau gradué quotient de A par $b$; l’homomorphisme canonique $A \to A/b$ est un homomorphisme d’anneaux gradués pour cette graduation.

(ii) Si $\delta$ est un élément simplifiable de $\Delta$, $\mathrm{Ker}(u)$ est un sous-module gradué de $M$. (iii) Si $\delta = 0$, la bijection $M / \mathrm{Ker}(u) \to \mathrm{Im}(u)$ canoniquement associée à $u$ est un isomorphisme de modules gradués.

L’assertion (i) découle aussitôt des définitions et de la prop. 2, c) (II, p. 167). Si $x$ est un élément de $M$ tel que $u(x) = 0$ et si $x = \sum_{\lambda} x_{\lambda}$ est sa décomposition en composantes homogènes (où $x_{\lambda}$ est de degré $\lambda$), on a $\sum_{\lambda} u(x_{\lambda}) = u(x) = 0$ et $u(x_{\lambda})$ est de degré $\lambda + \delta$; si $\delta$ est simplifiable, la relation $\lambda + \delta = \mu + \delta$ entraîne $\lambda = \mu$, donc les $u(x_{\lambda})$ sont les composantes homogènes de $u(x)$, et on a nécessairement $u(x_{\lambda}) = 0$ pour tout $\lambda \in \Delta$, ce qui prouve (ii). La bijection $v : M / \mathrm{Ker}(u) \to \mathrm{Im}(u)$ canoniquement associée à $u$ est alors un homomorphisme gradué de degré $\delta$, comme il résulte de la définition de la graduation quotient; d’où (iii) lorsque $\delta = 0$.

Il suffit d’appliquer la prop. 3 à $u$ considéré comme homomorphisme de degré 0 de $\mathbf{Z}$-modules gradués.

Si $(N_i)$ est une famille de sous-modules gradués de $M$, la propriété c) de la prop. 2 (II, p. 167) montre que la somme des $N_i$ est engendrée par des éléments homogènes, et la propriété b) de la prop. 2 (II, p. 167) prouve que les composantes homogènes de tout élément de $\bigcap_i N_i$ appartiennent à $\bigcap_i N_i$; d’où (i).

Pour démontrer (ii), il suffit de remarquer que $\mathrm{Ann}(x)$ est le noyau de l’homomorphisme $a \mapsto ax$ du $A$-module $A_s$ dans $M$ et que cet homomorphisme est gradué de degré $\mu$; la conclusion résulte de la prop. 3, (ii). Enfin (iii) est conséquence de (i) et (ii), car l’annulateur d’un sous-module gradué $N$ de $M$ est l’intersection des annulateurs des éléments homogènes de $N$, en vertu de la prop. 2 de II, p. 167.

Remarque 2). — Soient $M$ un $A$-module gradué, $E$ un sous-module de $M$; il résulte de la prop. 4, (i) qu’il existe un plus grand sous-module gradué $N'$ de $M$ contenu dans $E$ et un plus petit sous-module gradué $N''$ de $M$ contenant $E$; $N'$ est l’ensemble des $x \in E$ dont toutes les composantes homogènes appartiennent à $E$, et $N''$ est le sous-module de $M$ engendré par les composantes homogènes d’un système générateur de $E$.

Supposons que $a$ soit de degré $\delta$; soit $b = \sum_{\lambda} b_{\lambda}$ un élément permutable à $a$, $b_{\lambda}$ étant la composante homogène de degré $\lambda$ de $b$ pour tout $\lambda \in \Delta$. On a par hypothèse $\sum_{\lambda} (ab_{\lambda} - b_{\lambda}a) = 0$ et $ab_{\lambda} - b_{\lambda}a$ est homogène de degré $\lambda + \delta$; comme $\delta$ est simplifiable, on en déduit que $ab_{\lambda} = b_{\lambda}a$ pour tout $\lambda$, ce qui prouve notre assertion.

C’est en effet l’intersection des commutants des éléments homogènes de $B$.

Remarque 3). — Un système inductif $(A_{\alpha}, \varphi_{\beta \alpha})$ d’anneaux gradués de type $\Delta$ (resp. un système inductif $(M_{\alpha}, f_{\beta \alpha})$ de $A_{\alpha}$*-modules gradués de type* $\Delta$) est un système inductif d’anneaux (resp. de $A_{\alpha}$*-modules) tel que chaque $A_{\alpha}$ (resp. $M_{\alpha}$) soit gradué de type $\Delta$ et que chaque $\varphi_{\beta \alpha}$ (resp. $f_{\beta \alpha}$) soit un homomorphisme d’anneaux gradués (resp. un $A_{\alpha}$*-homomorphisme de degré* $0$ de modules gradués). Si $(A_{\alpha}^{\lambda})_{\lambda \in \Delta}$ (resp. $(M_{\alpha}^{\lambda})_{\lambda \in \Delta}$) est la graduation de $A_{\alpha}$ (resp. $M_{\alpha}$) et si on pose $A = \lim_{\longrightarrow} A_{\alpha}$, $A^{\lambda} = \lim_{\longrightarrow} A_{\alpha}^{\lambda}$ (resp. $M = \lim_{\longrightarrow} M_{\alpha}$, $M^{\lambda} = \lim_{\longrightarrow} M_{\alpha}^{\lambda}$), il résulte de II, p. 91, prop. 5 que $(A^{\lambda})$ (resp. $(M^{\lambda})$) est une graduation de $A$ (resp. $M$), et il résulte de I, p. 115–117 que cette graduation est compatible avec la structure d’anneau de $A$ (resp. la structure de $A$*-module de $M$). On dit que l’anneau gradué $A$ (resp. le $A$*-module gradué $M$) est la limite inductive du système inductif d’anneaux gradués $(A_{\alpha}, \varphi_{\beta \alpha})$ (resp. de modules gradués $(M_{\alpha}, f_{\beta \alpha})$). Si $\varphi_{\alpha}: A_{\alpha} \to A$ (resp. $f_{\alpha}: M_{\alpha} \to M$) est l’application canonique, $\varphi_{\alpha}$ (resp. $f_{\alpha}$) est un homomorphisme d’anneaux gradués (resp. un homomorphisme de degré $0$ de $A_{\alpha}$*-modules gradués*).

Soit $x$ un élément non nul de $M_{\lambda_0}$; supposons que l’on ait $x \in \mathfrak{J}_0 M$. Alors $x = \sum_i a_i x_i$ où les $a_i$ sont des éléments homogènes $\neq 0$ de $\mathfrak{J}_0$, les $x_i$ des éléments homogènes $\neq 0$ de $M$, avec $\deg(x) = \deg(a_i) + \deg(x_i)$ pour tout $i$ (II, p. 167). Mais, comme $\deg(a_i) > 0$, on aurait alors $\lambda_0 = \deg(a_i) + \deg(x_i) > \deg(x_i)$, ce qui contredit l’hypothèse.

Supposons $M \neq \{0\}$. Soit $\lambda_0$ un élément minimal de l’ensemble des degrés d’un système générateur fini formé d’éléments homogènes $\neq 0$ de $M$; alors les hypothèses de la prop. 6 seraient vérifiées, ce qui implique contradiction.

En effet, $M/N$ est un $A$-module gradué de type fini, et l’hypothèse entraîne que $\mathfrak{J}_0 . (M/N) = M/N$; donc $M/N = 0$.

est surjectif, alors $u$ est surjectif.

En effet, $u(M)$ est un sous-module gradué de $N$, et le $(A/\mathfrak{J}_0)$-module $(N/u(M)) \otimes_A (A/\mathfrak{J}_0)$ est isomorphe à $(N \otimes_A (A/\mathfrak{J}_0))/\mathrm{Im}(u \otimes 1)$ (II, p. 59, prop. 6). L’hypothèse entraîne donc $(N/u(M)) \otimes_A (A/\mathfrak{J}_0) = 0$, donc $N = u(M)$ en vertu du cor. 1.

(i) chacun des $N_\lambda$, considéré comme $A_0$-module, admet une base $(y_{i\lambda})_{i \in I_\lambda}$; (ii) l’homomorphisme canonique $J_0 \otimes_A M \to M$ est injectif.

Alors $M$ est un $A$-module gradué libre (II, p. 167, Remarque 3), et de façon précise, si $x_{i\lambda}$ est un élément de $M_\lambda$ dont l’image dans $N_\lambda$ est $y_{i\lambda}$, la famille $(x_{i\lambda})_{(i, \lambda) \in I}$ (où $I$ est l’ensemble somme des $I_\lambda$) est une base de $M$.

On sait (II, p. 167, Remarque 3) qu’il y a un $A$-module gradué libre $L$ (de graduation $(L_\lambda)$) et un homomorphisme $p : L \to M$ de degré 0 tel que $p(e_{i\lambda}) = x_{i\lambda}$ pour tout $(i, \lambda) \in I$ (($e_{i\lambda}$)$_{(i, \lambda) \in I}$ étant une base de $L$ formée d’éléments homogènes $e_{i\lambda} \in L_\lambda$). Il résulte de la Remarque de II, p. 171, que $p$ est surjectif. Considérons le $A$-module gradué $R = \mathrm{Ker}(p)$, et notons que $R_\lambda = \{0\}$ pour $\lambda < \lambda_0$ par définition; il s’agit de prouver que $R = \{0\}$, et en vertu de la prop. 6 il suffira de montrer que l’on a $J_0 R = R$. Considérons le diagramme commutatif (II, p. 58, prop. 5).

où $j$ est l’injection canonique, $a, b, c$ les homomorphismes provenant de l’injection canonique $J_0 \to A$ (II, p. 55, prop. 4); il faut montrer que $a$ est surjectif. Notons que, comme $L$ est libre, $b$ est injectif (II, p. 63, cor. 6) et $c$ est injectif par hypothèse. Soit donc $t$ un élément de $R$, et soit $\bar{t}$ sa classe dans $R / J_0 R$; on a une suite exacte (II, p. 58, prop. 5 et II, p. 60, cor. 2)

où $\bar{j}$ et $\bar{p}$ se déduisent de $j$ et $p$ par passage aux quotients, et $\bar{p}$ est par hypothèse une bijection; on a donc $\bar{j}(\bar{t}) = 0$, autrement dit $j(t) \in J_0 L$. Il y a donc un élément $z \in J_0 \otimes L$ tel que $j(t) = b(z)$; comme $p(b(z)) = 0$, on a $c((1 \otimes p)(z)) = 0$, et comme $c$ est injectif, $(1 \otimes p)(z) = 0$. Autrement dit, $z$ est l’image d’un élément $t' \in J_0 \otimes R$ par $1 \otimes j$, et on a alors $j(a(t')) = b(z) = j(t)$; comme $j$ est injectif, cela entraîne $t = a(t')$.

C.Q.F.D.

Nous montrerons plus tard (AC, II, § 3, n° 2, prop. 5) comment cette proposition peut s’étendre aux modules non gradués.