§ 10. Matrices

1. Définition des matrices

Si $I$ (resp. $K$) est fini, on dit que $M$ est une matrice ayant un nombre fini de lignes (resp. de colonnes). L’ensemble des matrices de type $(I, K)$ sur $H$ s’identifie au produit $H^{I \times K}$.

Les dénominations de « ligne » et de « colonne » proviennent de ce que, dans le cas où $I$ et $K$ sont des intervalles $[1, p], [1, q]$ de $\mathbf{N}$, on imagine les éléments de la matrice disposés dans les cases d’un tableau rectangulaire ayant $p$ lignes (rangées horizontales) et $q$ colonnes (rangées verticales):

Lorsque $p$ et $q$ sont des entiers explicités assez petits pour que ce soit praticable, on convient que le tableau précédent est un symbole qui note effectivement la matrice considérée; cette écriture permet de se dispenser de noter les indices, étant entendu que les indices d’un élément sont déterminés par sa place dans le tableau; par exemple, lorsqu’on parlera de la matrice

il s’agira de la matrice $(m_{ij})_{1 \leq i \leq 2, 1 \leq j \leq 3}$ telle que

Au lieu de matrice de type $([1, p], [1, q])$ on dira aussi matrice de type $(p, q)$, ou matrice à $p$ lignes et $q$ colonnes s’il n’en résulte pas de confusion; on note parfois $\mathbf{M}_{p, q}(H)$ l’ensemble des matrices de type $(p, q)$ sur $H$.

Toute matrice sur $H$ dont l’un des ensembles d’indices $I, K$ est vide est identique à la famille vide d’éléments de $H$; on l’appelle encore la matrice vide. Lorsque $I = \{i_0\}$ (resp. $K = \{k_0\}$) est un ensemble réduit à un seul élément, on dit que $M$ est une matrice ligne (resp. une matrice colonne), et on peut alors supprimer dans la notation l’indice de ligne (resp. de colonne); lorsque $I$ et $K$ sont tous deux des ensembles à un élément, on identifie souvent une matrice de type $(I, K)$ à l’unique élément de cette matrice.

Une sous-famille $M' = (m_{\iota \kappa})_{(\iota, \kappa) \in J \times L}$ d’une matrice $M = (m_{\iota \kappa})_{(\iota, \kappa) \in I \times K}$ dont l’ensemble d’indices est produit d’une partie $J$ de $I$ et d’une partie $L$ de $K$, est dite sous-matrice de la matrice $M$; on dit qu’elle s’obtient en supprimant dans $M$ les lignes d’indice $\iota \notin J$ et les colonnes d’indice $\kappa \notin L$; inversement, on dit que $M$ s’obtient en bordant $M'$ par les lignes d’indice $\iota \notin J$ et les colonnes d’indice $\kappa \notin L$.

Il résulte de cette définition que la transposée d’une matrice de type $(I, K)$ est une matrice de type $(K, I)$ et que l’on a

2. Matrices sur un groupe commutatif

Soit $G$ un groupe commutatif (noté additivement). L’ensemble des matrices sur $G$, ayant des ensembles d’indices donnés $I, K$, est muni d’une structure de groupe commutatif, puisque c’est l’ensemble des applications de $I \times K$ dans $G$; ce groupe est noté additivement, de sorte que si $M = (m_{\iota k})$ et $M' = (m'_{\iota k})$ sont deux de ses éléments, on a $M + M' = (m_{\iota k} + m'_{\iota k})$; l’élément neutre de ce groupe est donc la matrice dont tous les éléments sont nuls (dite matrice nulle). Il est clair que l’on a

Soient $H', H''$ deux ensembles, $G$ un groupe commutatif (noté additivement), et $f : (h', h'') \mapsto h'h''$ une application de $H' \times H''$ dans $G$. Étant données deux matrices

La définition précédente suppose que l’ensemble des indices des colonnes de $M'$ est égal à l’ensemble des indices des lignes de $M''$; en particulier le produit $M''M'$ n’a pas de sens si $I \neq L$. Dans la formule (3) figurent les éléments d’une même ligne de $M'$, multipliés à droite par les éléments d’une même colonne de $M''$; on dit que la multiplication se fait « lignes par colonnes ».

Soit $f^0$ l’application $(h'', h') \mapsto h'h''$ de $H'' \times H'$ dans $G$; il résulte aussitôt des définitions que l’on a

Lorsque $H'$ et $H''$ sont eux-mêmes des groupes commutatifs (notés additivement) et que $f$ est Z-bilinéaire (II, p. 50), on vérifie aussitôt les formules de distributivité

les ensembles d’indices étant tels que les sommes et produits écrits soient définis.

Soient maintenant $H_1, H_2, H_3, H_{12}, H_{23}$ et $H$ des groupes commutatifs (notés additivement), $f_{12}: H_1 \times H_2 \to H_{12}$, $f_{23}: H_2 \times H_3 \to H_{23}$ des applications, $f_3: H_{12} \times H_3 \to H, f_1: H_1 \times H_{23} \to H$ des applications Z-bilinéaires; supposons en outre que l’on ait, quels que soient les $x_i \in H_i$ ($i = 1, 2, 3$)

(ce qu’on écrit aussi comme ci-dessus $(x_1 x_2)x_3 = x_1(x_2 x_3)$); alors, si $M' = (m'_{rs})$, $M'' = (m''_{st})$, $M''' = (m'''_{tu})$ sont des matrices sur $H_1, H_2, H_3$ respectivement, on a

lorsque les produits des deux membres (calculés respectivement suivant $f_{12}, f_3, f_{23}$ et $f_1$) sont définis; en effet, on a

en vertu des hypothèses faites.

On note encore $MM'M''$ les deux membres de (6). On fera des conventions analogues pour les produits de plus de trois facteurs.

3. Matrices sur un anneau

Les matrices qui sont les plus importantes en Mathématique sont les matrices sur un anneau. L’ensemble $A^{I \times K}$ des matrices sur $A$, correspondant à des ensembles d’indices $I, K$, est alors canoniquement muni d’une structure de (A, A)-bimodule (II, p. 33).

Pour tout couple $(i, k) \in I \times K$, soit $E_{ik}$ la matrice $(a_{ji})$ telle que $a_{ik} = 1$ et $a_{jl} = 0$ pour $(j, l) \neq (i, k)$; on dit que les $E_{ik}$ sont les unités matricielles dans l’ensemble de matrices $A^{I \times K}$; si $I$ et $K$ sont finis, elles forment la base canonique de cet ensemble pour sa structure de A-module à gauche ou à droite (II, p. 25). Il est clair que l’on a

Sauf mention expresse du contraire, le produit $M'M''$ de deux matrices sur $A$ (supposé défini) sera toujours entendu relativement à la multiplication $(x, y) \mapsto xy$ dans $A$ (ou, comme on dit encore, sera « calculé dans $A$ »). On a donc (II, p. 141) les formules d’associativité et de distributivité

(7)

pour trois matrices $X, Y, Z$ sur $A$, chaque fois que les sommes et produits écrits dans ces formules sont définis.

En particulier, si $E_{ik}$ (resp. $E'_{kl}, E''_{il}$) sont les unités matricielles dans $A^{I \times K}$ (resp. $A^{K \times L}, A^{I \times L}$) respectivement, avec $I = \{1, p\}, K = \{1, q\}, L = \{1, r\}$, on a les formules

(9)

Soit $A^0$ l’anneau opposé de $A$, et notons $a * b \ (= ba)$ le produit de $a$ et $b$ dans $A^0$; on a alors, pour deux matrices $X, Y$ sur $A$ dont le produit est défini,

(10)

où au second membre ${}^tY$ et ${}^tX$ sont considérées comme des matrices à éléments dans $A^0$ et le signe $*$ note le produit de matrices sur cet anneau; lorsque $A$ est commutatif, on a donc

(11)

4. Matrices et applications linéaires

Soient A un anneau, E un A-module (à droite ou à gauche) admettant une base $(e_i)_{i \in I}$. Pour tout élément $x \in E$, on appelle matrice de $x$ par rapport à la base $(e_i)$ et on note $M(x)$ ou $x$ (ou même parfois $x$ lorsqu’il n’en résulte pas de confusion), la matrice colonne formée des composantes $x_i$ ($i \in I$) de $x$ par rapport à $(e_i)$ (II, p. 25); dans les calculs, il sera parfois commode, afin de rappeler que l’indice $i$ est un indice de ligne, de lui adjoindre un indice de colonne susceptible de prendre une seule valeur, et d’écrire $(x_{i0})$ la matrice $M(x)$.

Considérons maintenant deux A-modules (à gauche ou à droite) E et F ayant des bases $(e_i)_{i \in I}$ et $(f_k)_{k \in K}$ respectivement; soit $(f_k^*)$ la famille des formes coordonnées correspondant à $(f_k)$. Pour une application $u$ de E dans F, nous allons définir la matrice de $u$ par rapport aux bases $(e_i), (f_k)$, dans chacun des cas suivants: (D) E et F sont des A-modules à droite, $u$ est A-linéaire. (G) E et F sont des A-modules à gauche, $u$ est A-linéaire.

Dans la suite, nous affecterons de la lettre (D) (resp. (G)) les formules s’appliquant aux modules à droite (resp. à gauche).

Il est clair que si $u, v$ sont deux applications linéaires de $E$ dans $F$, $M(u)$, $M(v)$ leurs matrices par rapport aux mêmes bases, on a, par rapport à ces bases,

5. Produit par blocs

Les définitions du n° 4 se généralisent de la façon suivante. Soit $E$ un $A$-module (à droite ou à gauche), somme directe d’une famille $(E_i)_{i \in I}$ de sous-modules. Pour tout $x \in E$, soit $x = \sum_{i \in I} x_i$ avec $x_i \in E_i$ pour tout $i \in I$; nous dirons que la matrice colonne $M(x) = (x_i)_{i \in I}$ à éléments dans $E$ est la matrice de $x$ par rapport à la décomposition $(E_i)_{i \in I}$ de $E$ en somme directe.

Soit $F$ un second $A$-module ($E$ et $F$ étant tous deux des $A$-modules à droite ou tous deux des $A$-modules à gauche), et supposons que $F$ soit somme directe d’une famille $(F_k)_{k \in K}$ de sous-modules. Pour tout $u \in \mathrm{Hom}(E, F)$ et tout $x_i \in E_i$, posons $u(x_i) = \sum_k u_{ki}(x_i)$ avec $u_{ki}(x_i) \in F_k$ pour tout $k \in K$; on a $u_{ki} \in \mathrm{Hom}(E_i, F_k)$; nous dirons que la matrice $M(u) = (u_{ki})_{(k, i) \in K \times I}$ de type $(K, I)$, à éléments dans l’ensemble $H$ somme des $\mathrm{Hom}(E_i, F_k)$, est la matrice de $u$ par rapport aux décompositions $(E_i)$ et $(F_k)$ de $E$ et $F$ en sommes directes.

Avec ces définitions, il est évident que si $u, v$ sont deux applications $A$-linéaires de $E$ dans $F$, on a, pour les matrices par rapport aux mêmes décompositions en sommes directes

pour tout élément $\gamma$ du centre de $A$ (cf. II, p. 141, Remarque).

En outre, la définition des $u_{ki}$ montre que si $K$ est fini, on peut écrire

où $M(u(x))$ est la matrice de $u(x)$ par rapport à la décomposition $(F_k)$, le produit du second membre de (22) étant calculé pour les applications $(t, z) \mapsto t(z)$ de $\operatorname{Hom}(E_i, F_k) \times E_i$ dans $F_k$ (II, p. 141, Remarque).

Soit G un troisième A-module, somme directe d’une famille $(G_l)_{l \in L}$ de sous-modules, de sorte qu’à toute application A-linéaire $v : F \to G$ correspond une matrice $M(v) = (v_{lk})$ par rapport aux décompositions $(F_k)$ et $(G_l)$. Si I, K et L sont finis, on a alors

où le premier membre est la matrice $(w_{li})$ de $w = v \circ u$ par rapport aux décompositions $(E_i)$ et $(G_l)$, et le produit du second membre est calculé pour les applications $(t, s) \mapsto t \circ s$ de $\operatorname{Hom}(F_k, G_l) \times \operatorname{Hom}(E_i, F_k)$ dans $\operatorname{Hom}(E_i, G_l)$ (II, p. 141, Remarque). Cela n’est en effet autre chose que la formule (32) de II, p. 19, exprimée en termes de matrices.

Enfin, si on suppose I et K finis, $E^*$ (resp. $F^*$) s’identifie canoniquement à la somme directe des modules $E_i^*$ (resp. $F_k^*$) (II, p. 44, prop. 10). On vérifie alors aussitôt que la matrice de $^t u$ par rapport aux décompositions $(F_k^*)$ et $(E_i^*)$ n’est autre que $(^t u_{ki})_{(i,k) \in I \times K}$.

Supposons maintenant que I et K soient finis et en outre que chacun des $E_i$ (resp. $F_k$) admette une base finie. Il revient au même de dire que E (resp. F) admet une base $(e_r)_{r \in R}$ (resp. $(f_s)_{s \in S}$) et que R (resp. S) admet une partition $(R_i)_{i \in I}$ (resp. $(S_k)_{k \in K}$) telle que pour tout $i \in I$ (resp. $k \in K$), $(e_r)_{r \in R_i}$ soit une base de $E_i$ (resp. $(f_s)_{s \in S_k}$ une base de $F_k$). Alors, si $X = M(u)$ est la matrice de $u$ par rapport aux bases $(e_r)_{r \in R}$ et $(f_s)_{s \in S}$, la matrice $X_{ki} = M(u_{ki})$ par rapport aux bases $(e_r)_{r \in R_i}$ et $(f_s)_{s \in S_k}$ n’est autre que la sous-matrice de $X$ obtenue en supprimant les lignes d’indice $s \notin S_k$ et les colonnes d’indice $r \notin R_i$. On définit ainsi une application bijective