§ 11. Đối đại số, tích của các dạng đa tuyến tính, tích vô hướng và đối ngẫu

Trong đoạn này, A là một vành giao hoán với phân bậc tầm thường. Với một A-môđun phân bậc M kiểu N, M^{gr} sẽ ký hiệu A-môđun phân bậc kiểu N mà các phần tử thuần nhất bậc n là các dạng A-tuyến tính triệt tiêu trên M_k với mọi k ≠ n.

1. Đối đại số

Định nghĩa 1

Một đối đại số trên A (hay A-đối đại số, hoặc đơn giản là đối đại số nếu không thể có sự lẫn lộn) là một tập hợp E với một cấu trúc được xác định bởi việc cho các dữ liệu sau: (1) một cấu trúc A-môđun trên E; (2) một ánh xạ A-tuyến tính c: E → E ⊗_A E gọi là đồng tích của E.

Định nghĩa 2

Cho hai đối đại số E, E', mà các đồng tích của chúng lần lượt được ký hiệu bởi c và c', một cấu xạ từ E vào E' là một ánh xạ A-tuyến tính u: E → E' sao cho (1) $(u \otimes u) \circ c = c' \circ u,$ nói cách khác, nó làm cho biểu đồ các ánh xạ A-tuyến tính

\begin{array}{ccc} E & \xrightarrow{u} & E' \\ \downarrow c & & \downarrow c' \\ E \otimes_A E & \xrightarrow{u \otimes u} & E' \otimes_A E' \end{array}

giao hoán.

Ngay lập tức kiểm tra được rằng ánh xạ đồng nhất là một cấu xạ, rằng hợp thành của hai cấu xạ là một cấu xạ, và rằng mọi cấu xạ song ánh đều là một đẳng cấu.

Ví dụ

(1) Đẳng cấu chính tắc $A \to A \otimes_A A$ (II, § 3, no. 5) xác định một cấu trúc A-đối đại số trên A.

(2) Cho E là một đối đại số, $c$ là đồng tích của nó và $\sigma$ là tự đẳng cấu chính tắc của A-môđun $E \otimes_A E$ sao cho $\sigma(x \otimes y) = y \otimes x$ với $x \in E, y \in E$ ; ánh xạ A-tuyến tính $\sigma \circ c$ xác định một cấu trúc đối đại số mới trên E. Với cấu trúc này, E được gọi là đối đại số đối của đối đại số E đã cho.

(3) Cho B là một A-*đại số* và $m : B \otimes_A B \to B$ là ánh xạ A-tuyến tính xác định phép nhân trên B (§ 1, no. 3). Khi đó chuyển vị $^t m$ là một ánh xạ A-tuyến tính từ đối ngẫu $B^*$ của A-môđun B vào đối ngẫu $(B \otimes_A B)^*$ của A-môđun $B \otimes_A B$ . Nếu thêm nữa B là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì ánh xạ chính tắc $\mu : B^* \otimes_A B^* \to (B \otimes_A B)^*$ là một đẳng cấu A-môđun (II, § 4, no. 4); khi đó ánh xạ $c = \mu^{-1} \circ ^t m$ là một đồng tích xác định một cấu trúc đối đại số trên đối ngẫu $B^*$ của A-môđun B.

(4) Cho X là một tập hợp, $A^{(X)}$ là A-môđun các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của X với hệ số trong A (II, § 1, no. 11) và $(e_x)_{x \in X}$ là cơ sở chính tắc của $A^{(X)}$ . Một ánh xạ A-tuyến tính $c : A^{(X)} \to A^{(X)} \otimes_A A^{(X)}$ được xác định bởi điều kiện $c(e_x) = e_x \otimes e_x$ và do đó thu được một cấu trúc đối đại số chính tắc trên $A^{(X)}$ .

(5) Cho M là một A-môđun và $T(M)$ là đại số tenxơ của M (§ 5, no. 1); theo II, § 3, no. 9, tồn tại một và chỉ một ánh xạ A-tuyến tính $c$ từ A-môđun $T(M)$ vào A-môđun $T(M) \otimes_A T(M)$ sao cho, với mọi $n \geq 0$ ,

c(x_1 x_2 \ldots x_n) = \sum_{0 \leq p \leq n} (x_1 x_2 \ldots x_p) \otimes (x_{p+1} \ldots x_n)

với mọi $x_i \in M$ ( $x_1 x_2 \ldots x_n$ ký hiệu tích trong đại số $T(M)$ ). Như vậy $T(M)$ được trang bị một cấu trúc đối đại số.

(6) Cho M là một A-môđun và $S(M)$ là đại số đối xứng của M (§ 6, no. 1); ánh xạ đường chéo $\Delta : x \mapsto (x, x)$ từ M vào $M \times M$ là một ánh xạ A-tuyến tính, do đó tương ứng với nó có một đồng cấu $S(\Delta)$ từ A-đại số $S(M)$ vào A-đại số $S(M \times M)$ (§ 6, no. 2, Mệnh đề 3). Mặt khác, ở § 6, no. 6 ta đã xác định một đẳng cấu đại số phân bậc chính tắc $h : S(M \times M) \to S(M) \otimes_A S(M)$ ; bởi hợp thành, do đó ta thu được một đồng cấu *đại số trên A

c = h \circ S(\Delta) : S(M) \to S(M) \otimes_A S(M),

nhờ đó xác định trên $S(M)$ một cấu trúc đối đại số. Với mọi $x \in M$ , theo định nghĩa $S(\Delta)(x) = (x, x)$ và định nghĩa của $h$ đã cho ở § 6, no. 6 cho thấy rằng

h((x, x)) = x \otimes 1 + 1 \otimes x.

Suy ra $c$ là đồng cấu đại số duy nhất sao cho, với mọi $x \in M$ ,

(4)

c(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x.

Vì $c$ là một đồng cấu đại số, suy ra rằng, với mọi dãy $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ gồm $n$ phần tử của $M$ ,

(5)

c(x_1 x_2 \ldots x_n) = \prod_{i=1}^n (x_i \otimes 1 + 1 \otimes x_i)

= \sum (x_{i_1} \ldots x_{i_p}) \otimes (x_{j_1} \ldots x_{j_{n-p}})

trong đó phép tổng ở vế phải của (5) lấy trên mọi cặp có thứ tự các dãy tăng ngặt (trong một số trường hợp là rỗng)

i_1 < i_2 < \cdots < i_p, \quad j_1 < j_2 < \cdots < j_{n-p}

của các phần tử của $\{1, n\}$ , mà các tập hợp phần tử của chúng là bù nhau. Phần tử $c(x_1 x_2 \ldots x_n)$ là một phần tử có bậc toàn phần $n$ trong $S(M) \otimes_A S(M)$ và thành phần của nó có song bậc $(p, n-p)$ là

(6)

\sum_{\sigma} (x_{\sigma(1)} \ldots x_{\sigma(p)}) \otimes (x_{\sigma(p+1)} \ldots x_{\sigma(n)})

trong đó phép lấy tổng được thực hiện trên mọi hoán vị $\sigma \in S_n$ mà tăng trên mỗi khoảng $\{1, p\}$ và $\{p+1, n\}$ .

(7) Cho $M$ là một $A$ -môđun và xét đại số ngoài $\Lambda(M)$ như đã làm với $S(M)$ trong Ví dụ 6; ánh xạ đường chéo $\Delta : M \to M \times M$ lần này xác định một đồng cấu $\Lambda(\Delta)$ của $A$ -đại số $\Lambda(M)$ vào $A$ -đại số $\Lambda(M \times M)$ (§ 7, no. 2, Mệnh đề 2); mặt khác có một đẳng cấu đại số phân bậc chính tắc

h : \Lambda(M \times M) \to \Lambda(M)^g \otimes_A \Lambda(M)

(§ 7, no. 7, Mệnh đề 10), do đó bởi hợp thành có một đồng cấu đại số $c = h \circ \Lambda(\Delta) : \Lambda(M) \to \Lambda(M)^g \otimes_A \Lambda(M)$ , có thể được xem như một đồng cấu $A$ -môđun $\Lambda(M) \to \Lambda(M) \otimes_A \Lambda(M)$ và vì thế xác định trên $\Lambda(M)$ một cấu trúc đối đại số. Có thể chứng minh như trong Ví dụ 6 rằng $c$ là đồng cấu đại số duy nhất sao cho, với mọi $x \in M$ ,

(7)

c(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x,

do đó, với mọi dãy $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ các phần tử của $M$ ,

c(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = (x_1 \otimes 1 + 1 \otimes x_1) \wedge \ldots \wedge (x_n \otimes 1 + 1 \otimes x_n)

trong đó tích ở vế phải được lấy trong đại số

\bigwedge(M)^{\mathfrak{g}} \otimes_A \bigwedge(M);

để tính tích này, hãy xét, với mỗi cặp có thứ tự các dãy tăng ngặt

i_1 < i_2 < \cdots < i_p,\ j_1 < j_2 < \cdots < j_{n-p}

gồm các phần tử của

[1, n]

, mà các tập hợp phần tử của chúng là bù nhau, tích

y_1 y_2 \ldots y_n

, trong đó

y_{i_h} = x_{i_h} \otimes 1

(

1 \leq h \leq p

) và

y_{j_k} = 1 \otimes x_{j_k}

(

1 \leq k \leq n - p

), rồi lấy tổng trên mọi tích như vậy. Vì đại số phân bậc

\bigwedge(M)^{\mathfrak{g}} \otimes_A \bigwedge(M)

là phản giao hoán và các phần tử

x_i \otimes 1

và

1 \otimes x_i

đều có bậc toàn phần 1, theo § 4, no. 6, Bổ đề 3 và Bổ đề 1,

(8)\quad c(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)

= \sum (-1)^v (x_{i_1} \wedge \cdots \wedge x_{i_p}) \otimes (x_{j_1} \wedge \cdots \wedge x_{j_{n-p}})

trong đó

v

là số các cặp có thứ tự

(h, k)

sao cho

j_k < i_h

và phép lấy tổng được thực hiện trên cùng tập hợp như trong (5). Phần tử

c(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n)

có bậc toàn phần

n

trong

\bigwedge(M)^{\mathfrak{g}} \otimes_A \bigwedge(M)

và thành phần thuần nhất của nó có song bậc

(p, n - p)

bằng

(9)\quad \sum_{\sigma} \varepsilon_\sigma (x_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}) \otimes (x_{\sigma(p+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(n)})

trong đó phép lấy tổng được thực hiện trên các hoán vị

\sigma \in S_n

mà tăng trên mỗi khoảng

[1, p]

và

[p + 1, n]

Về sau, khi nói đến $A^{(x)}, T(M), S(M)$ hoặc $\bigwedge(M)$ như các đối đại số, ta sẽ hiểu, trừ khi có nói khác, là với các cấu trúc đối đại số được định nghĩa lần lượt trong Ví dụ 4, 5, 6 và 7.

(8) Cho $E, F$ là hai $A$ -đối đại số và $c, c'$ là các đồng tích tương ứng của chúng. Gọi $\tau : (E \otimes_A E) \otimes_A (F \otimes_A F) \to (E \otimes_A F) \otimes_A (E \otimes_A F)$ là đẳng cấu kết hợp sao cho $\tau((x \otimes x') \otimes (y \otimes y')) = (x \otimes y) \otimes (x' \otimes y')$ với $x, x'$ trong $E$ và $y, y'$ trong $F$ . Khi đó ánh xạ tuyến tính hợp thành

E \otimes_A F \xrightarrow{c \otimes c'} (E \otimes_A E) \otimes_A (F \otimes_A F) \xrightarrow{\tau} (E \otimes_A F) \otimes_A (E \otimes_A F)

xác định một cấu trúc đối đại số trên A-môđun

E \otimes_A F

, được gọi là tích tenxơ của các đối đại số

E

và

F

Cho $E$ là một đối đại số và $\Delta$ là một monoïde giao hoán. Một phân bậc $(E_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ trên A-môđun $E$ được gọi là tương thích với đồng tích $c$ của $E$ nếu $c$ là một đồng cấu phân bậc bậc $O$ của A-môđun phân bậc $E$ vào A-môđun phân bậc (kiểu $\Delta$ ) $E \otimes_A E$ , nói cách khác (II, § 11, no. 5) nếu

(10)\quad c(E_\lambda) \subset \sum_{\mu + \nu = \lambda} E_\mu \otimes_A E_\nu.

Trong phần sau, phần lớn chúng ta sẽ chỉ xét các phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ tương thích với đồng tích; một đối đại số có một phân bậc như vậy cũng sẽ được gọi là một đối đại số phân bậc. Nếu F là một đối đại số phân bậc khác, một cấu xạ đối đại số phân bậc $\phi : E \to F$ theo định nghĩa là một cấu xạ đối đại số (Định nghĩa 2) đồng thời cũng là một đồng cấu phân bậc bậc 0 của các A-môđun phân bậc.

Ví dụ

(9) Ngay lập tức thấy rằng các đối đại số $T(M)$ , $S(M)$ và $\Lambda(M)$ được định nghĩa ở trên là các đối đại số phân bậc.

2. Đồng kết hợp, đồng giao hoán, đồng đơn vị

Cho E là một đối đại số, $c$ là đồng tích của nó, N, $N'$ , $N''$ là ba A-môđun và $m$ là một ánh xạ song tuyến tính từ $N \times N'$ vào $N''$ . Gọi $\tilde{m} : N \otimes_A N' \to N''$ là ánh xạ A-tuyến tính tương ứng với $m$ . Nếu $u : E \to N$ , $v : E \to N'$ là hai ánh xạ A-tuyến tính, ta suy ra được một ánh xạ A-tuyến tính $u \otimes v : E \otimes_A E \to N \otimes_A N'$ và một ánh xạ A-tuyến tính hợp thành từ E vào $N''$ :

m(u, v) : E \xrightarrow{c} E \otimes_A E \xrightarrow{u \otimes v} N \otimes_A N' \xrightarrow{\tilde{m}} N''.

Rõ ràng như thế ta đã xác định được một ánh xạ A-song tuyến tính $(u, v) \mapsto m(u, v)$ từ $\mathrm{Hom}_A(E, N) \times \mathrm{Hom}_A(E, N')$ vào $\mathrm{Hom}_A(E, N'')$ .

Khi E là một đối đại số phân bậc, N, $N'$ , $N''$ là các A-môđun phân bậc cùng kiểu và $\tilde{m}$ là một đồng cấu phân bậc bậc k từ $N \otimes_A N'$ vào $N''$ , thì, nếu $u$ (tương ứng $v$ ) là một đồng cấu phân bậc bậc $p$ (tương ứng $q$ ), $m(u, v)$ là một đồng cấu phân bậc bậc $p + q + k$ .

Ví dụ

(1) Lấy E là đối đại số phân bậc $T(M)$ (no. 1) và giả sử rằng N, $N'$ , $N''$ có phân bậc tầm thường. Khi đó một đồng cấu phân bậc bậc $-p$ từ $T(M)$ vào N (tương ứng $N'$ , $N''$ ) tương ứng với một ánh xạ đa tuyến tính từ $M^p$ vào N (tương ứng $N'$ , $N''$ ). Với một ánh xạ đa tuyến tính $u : M^p \to N$ và một ánh xạ đa tuyến tính $v : M^q \to N'$ , phương pháp trên cho phép ta suy ra một ánh xạ đa tuyến tính $m(u, v) : M^{p+q} \to N''$ được gọi là tích (đối với $m$ ) của $u$ và $v$ . Các công thức (3) (no. 1) và (11) cho thấy rằng, với $x_1, \ldots, x_{p+q}$ thuộc M,

(m(u, v))(x_1, \ldots, x_{p+q}) = m(u(x_1, \ldots, x_p), v(x_{p+1}, \ldots, x_{p+q})).

(2) Lấy E là đối đại số phân bậc $S(M)$ (no. 1), vẫn giữ nguyên các giả thiết về N, $N'$ , $N''$ . Khi đó một đồng cấu phân bậc bậc $-p$ từ $S(M)$ vào N tương ứng với một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng từ $M^p$ vào N (§ 6, no. 3). Khi đó từ một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng $u : M^p \to N$ và một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng $v : M^q \to N'$ , ta suy ra một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng $m(u, v) : M^{p+q} \to N''$ , cũng được ký hiệu (để tránh nhầm lẫn) là $u._m v$ (hoặc cả $u.v$ ) và được gọi là tích đối xứng (đối với $m$ ) của $u$ và $v$ . Các công thức (6) (no. 1) và (11) cho thấy rằng, với $x_1, \ldots, x_{p+q}$ thuộc M,

(u \cdot_m v)(x_1, \ldots, x_{p+q}) = \sum_\sigma m(u(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(p)}), v(x_{\sigma(p+1)}, \ldots, x_{\sigma(p+q)}))

trong đó phép lấy tổng được thực hiện trên các hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_{p+q}$ tăng trên mỗi khoảng $[1, p]$ và $[p+1, p+q]$ .

(3) Lấy E là đối đại số phân bậc $\bigwedge(M)$ (no. 1). Khi đó, tương tự, từ một ánh xạ đa tuyến tính phản xứng $u : M^p \to N$ và một ánh xạ đa tuyến tính phản xứng $v : M^q \to N'$ , ta suy ra một ánh xạ đa tuyến tính phản xứng $m(u, v) : M^{p+q} \to N''$ , cũng được ký hiệu là $u \wedge_m v$ hoặc $u \wedge v$ và được gọi là tích phản xứng (đối với $m$ ) của $u$ và $v$ . Các công thức (9) (no. 1) và (11) cho thấy trong trường hợp này rằng, với $x_1, \ldots, x_{p+q}$ thuộc $M$ ,

(u \wedge_m v)(x_1, \ldots, x_{p+q}) = \sum_\sigma \varepsilon_\sigma m(u(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(p)}), v(x_{\sigma(p+1)}, \ldots, x_{\sigma(p+q)}))

phép lấy tổng lại được lấy trên các hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_{p+q}$ tăng trên mỗi khoảng $[1, p]$ và $[p+1, p+q]$ .

Ta quay lại trường hợp E là một đối đại số phân bậc tùy ý (kiểu N) và giả sử rằng ba môđun N, N', N'' đều bằng A-môđun nền của một A-đại số phân bậc B kiểu $\mathbf{Z}$ , ánh xạ $m$ là phép nhân trong B, sao cho $\tilde{m} : B \otimes_A B \to B$ là một ánh xạ A-tuyến tính phân bậc bậc 0. Khi đó thu được một cấu trúc A-đại số phân bậc trên A-môđun phân bậc $\mathrm{Homgr}_A(E, B) = C$ .

Đặc biệt, giả sử $B = A$ (với phân bậc tầm thường), khi đó $\mathrm{Homgr}_A(E, A)$ là đối ngẫu phân bậc $E^{*gr}$ , do đó có một cấu trúc A-đại số phân bậc.

Cho F là một đối đại số phân bậc khác, $c'$ là đồng tích của nó và $\phi : E \to F$ là một cấu xạ đối đại số phân bậc (no. 1); khi đó cấu xạ phân bậc chính tắc

\tilde{\phi} = \mathrm{Hom}(\phi, 1_B) : \mathrm{Homgr}_A(F, B) \to \mathrm{Homgr}_A(E, B)

là một đồng cấu đại số phân bậc. Với $u, v$ thuộc $\mathrm{Homgr}_A(F, B)$ và $x \in E$ ,

(\tilde{\phi}(uv))(x) = (uv)(\phi(x)) = m((u \otimes v)(c'(\phi(x)))).

Nhưng theo giả thiết ta có $c'(\phi(x)) = (\phi \otimes \phi)(c(x))$ , do đó

(u \otimes v)(c'((x))) = (\tilde{\phi}(u) \otimes \tilde{\phi}(v))(c(x))

và vì thế $\tilde{\phi}(uv) = \tilde{\phi}(u)\tilde{\phi}(v)$ , điều đó chứng minh mệnh đề của ta.

Đặc biệt, chuyển vị phân bậc $^t\phi : F^{*gr} \to E^{*gr}$ là một đồng cấu đại số phân bậc.

Nhận xét

Giả sử các $E_p$ là các A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, sao cho các A-môđun phân bậc $(E \otimes_A E)^{*gr}$ và $E^{*gr} \otimes_A E^{*gr}$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc (II, § 4, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4). Nếu thêm nữa các A-môđun $A \otimes_A A$ và $A$ khi đó được đồng nhất một cách chính tắc (II, § 3, no. 4), thì ánh xạ tuyến tính $E^{*gr} \otimes_A E^{*gr} \to E^{*gr}$ xác định phép nhân trong $E^{*gr}$ có thể được gọi là chuyển vị phân bậc của đồng tích $c$ .

Mệnh đề 1

Cho $E$ là một đối đại số trên $A$ . Điều kiện cần và đủ để, với mọi $A$ -đại số kết hợp $B$ , $A$ -đại số $\mathrm{Hom}_A(E, B)$ là kết hợp, là đồng tích $c : E \to E \otimes_A E$ sao cho biểu đồ

\begin{array}{ccc} E & \xrightarrow{c} & E \otimes_A E \\ \downarrow c & & \downarrow l_E \otimes c \\ E \otimes_A E & \xrightarrow{c \otimes l_E} & E \otimes_A E \otimes_A E \end{array}

là giao hoán.

Cho $B$ là một $A$ -đại số kết hợp và $u, v, w$ là ba phần tử của $C = \mathrm{Hom}_A(E, B)$ . Gọi $m_3$ là ánh xạ A-tuyến tính $B \otimes_A B \otimes_A B \to B$ biến $b \otimes b' \otimes b''$ thành $bb'b''$ . Theo định nghĩa của tích trên đại số $C$ , $(uv)w$ là ánh xạ hợp thành

E \xrightarrow{c} E \otimes E \xrightarrow{c \otimes 1_E} E \otimes E \otimes E \xrightarrow{u \otimes v \otimes w} B \otimes B \otimes B \xrightarrow{m_3} B

trong khi $u(vw)$ là ánh xạ hợp thành

E \xrightarrow{c} E \otimes E \xrightarrow{l_E \otimes c} E \otimes E \otimes E \xrightarrow{u \otimes v \otimes w} B \otimes B \otimes B \xrightarrow{m_3} B.

Suy ra rằng nếu biểu đồ (12) là giao hoán, thì đại số $\mathrm{Hom}_A(E, B)$ là kết hợp với mọi đại số trên $A$ kết hợp $B$ . Để thiết lập mệnh đề đảo lại, chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một đại số trên $A$ kết hợp $B$ và ba ánh xạ $A$ -tuyến tính $u, v, w$ từ $E$ vào $B$ sao cho ánh xạ $m_3 \circ (u \otimes v \otimes w)$ từ $E \otimes E \otimes E$ vào $B$ là đơn ánh. Lấy $B$ là đại số trên $A$ $\mathscr{T}(E)$ và $u, v, w$ là ánh xạ chính tắc từ $E$ vào $\mathscr{T}(E)$ . Khi đó ánh xạ $m_3 \circ (u \otimes v \otimes w)$ là ánh xạ chính tắc $E \otimes E \otimes E = \mathscr{T}^3(E) \to \mathscr{T}(E)$ , ánh xạ này là đơn ánh.

Khi đối đại số $E$ thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 1, ta nói rằng nó là đối kết hợp.

Ví dụ

(4) Ta kiểm tra ngay lập tức được rằng đối đại số $A$ (no. 1, Ví dụ (1)), đối đại số $A^{(X)}$ (no. 1, Ví dụ 4) và đối đại số $\mathscr{T}(M)$ (no. 1, Ví dụ 5) đều là đối kết hợp. Nếu $B$ là một đại số trên $A$ kết hợp, đồng thời là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì đối đại số $B^*$ (no. 1, Ví dụ 3) là đối kết hợp: vì khi đó tính giao hoán của biểu đồ (12) suy ra bằng phép chuyển vị từ tính giao hoán của biểu đồ biểu thị tính kết hợp của $B$ (§ 1, no. 3). Đảo lại, cùng lập luận ấy và sự đồng nhất chính tắc của A-môđun B với song đối ngẫu của nó (II, § 2, no. 7, Hệ quả 4 của Mệnh đề 13) cho thấy rằng nếu đối đại số B* là đối kết hợp, thì đại số B là kết hợp. Sau cùng, các đối đại số S(M) và $\Lambda(M)$ (no. 1, Ví dụ 6 và 7) là đối kết hợp; điều này suy ra từ tính giao hoán của biểu đồ

\begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\Delta} & M \times M \\ \downarrow & & \downarrow 1_M \times \Delta \\ M \times M & \xrightarrow{\Delta \times 1_M} & M \times M \times M \end{array}

các tính chất hàm tử của S(M) (§ 6, no. 2) và $\Lambda(M)$ (§ 7, no. 2), cho các biểu đồ giao hoán tương ứng

\left\{ \begin{array}{ccc} S(M) & \xrightarrow{S(\Delta)} & S(M \times M) \\ \downarrow S(\Delta) & & \downarrow S(\Delta_M \times 1) \\ S(M \times M) & \xrightarrow{S(\Delta \times 1_M)} & S(M \times M \times M) \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{ccc} \Lambda(M) & \xrightarrow{\Lambda(\Delta)} & \Lambda(M \times M) \\ \downarrow \Lambda(\Delta) & & \downarrow \Lambda(1_M \times \Delta) \\ \Lambda(M \times M) & \xrightarrow{\Lambda(\Delta \times 1_M)} & \Lambda(M \times M \times M) \end{array} \right.

và sự tồn tại cùng tính hàm tử của các đẳng cấu chính tắc đối với các đại số đối xứng và ngoài của một tổng trực tiếp (§ 6, no. 6 và § 7, no. 7).

Mệnh đề 2

Cho E là một đối đại số trên A. Để với mọi đại số trên A giao hoán B, đại số trên A $\mathrm{Hom}_A(E, B)$ là giao hoán, điều kiện cần và đủ là đồng tích $c : E \to E \otimes_A E$ sao cho biểu đồ

\begin{array}{ccc} E & & \\ & \swarrow_c & \searrow_c \\ E \otimes_A E & \xrightarrow{\sigma} & E \otimes_A E \end{array}

*(trong đó $\sigma$ là đồng cấu đối xứng sao cho $\sigma(x \otimes y) = y \otimes x$ ) là giao hoán (nói cách khác, điều kiện đủ là đối đại số E trùng với đối đại số đối của nó (no. 1, Ví dụ 2).

Cho B là một đại số trên A giao hoán và $u, v$ là hai phần tử của $C = \mathrm{Hom}_A(E, B)$ .

Theo định nghĩa của tích trong C, $uv$ và $vu$ lần lượt bằng các ánh xạ hợp thành

E \xrightarrow{c} E \otimes E \xrightarrow{u \otimes v} B \otimes B \xrightarrow{m} B

và

E \xrightarrow{c} E \otimes E \xrightarrow{v \otimes u} B \otimes B \xrightarrow{m} B.

Suy ra rằng nếu biểu đồ (15) là giao hoán thì đại số $\mathrm{Hom}_A(E, B)$ là giao hoán với mọi A-đại số giao hoán B. Để thiết lập mệnh đề đảo lại, chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một A-đại số giao hoán B và hai ánh xạ A-tuyến tính $u, v$ từ E vào B sao cho $m \circ (u \otimes v): E \otimes E \to B$ là đơn ánh. Lấy B là đại số $S(E \oplus E)$ , và $u$ (resp. $v$ ) là hợp thành của ánh xạ chính tắc $E \oplus E \to S(E \oplus E)$ với ánh xạ $x \mapsto (x, 0)$ (resp. $x \mapsto (0, x)$ ) từ E vào $E \oplus E$ . Nếu $h: S(E) \otimes S(E) \to S(E \otimes E)$ là đẳng cấu chính tắc (§ 6, no. 6, Mệnh đề 9) và $\lambda: E \to S(E)$ là ánh xạ chính tắc, thì $h^{-1} \circ m \circ (u \otimes v) = \lambda \otimes \lambda$ . Mà $\lambda \otimes \lambda$ là đơn ánh, vì $\lambda(E)$ là một nhân tử trực tiếp của $S(E)$ (II, § 3, no. 7, Hệ quả 5 của Mệnh đề 7).

Khi đối đại số E thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 2, người ta nói nó là đối giao hoán.

Ví dụ

(5) Ngay lập tức thấy rằng đối đại số A (no. 1, Ví dụ 1) và đối đại số $A^{(X)}$ (II, § 11, no. 1, Ví dụ 4) là đối giao hoán. Từ công thức (5) của no. 1 suy ra đối đại số $S(M)$ là đối giao hoán. Sau hết, để một A-đại số B sao cho A-môđun B là xạ ảnh và sinh hữu hạn có tính chất rằng đối đại số $B^*$ (no. 1, Ví dụ 3) là đối giao hoán, điều kiện cần và đủ là B giao hoán; thật vậy (dùng sự đồng nhất chính tắc của A-môđun B với song đối ngẫu của nó (II, § 2, no. 7)), điều này suy ra từ việc tính giao hoán của biểu đồ (14), qua chuyển vị, là tương đương với tính giao hoán của biểu đồ biểu thị tính giao hoán của B (§ 1, no. 3).

Mệnh đề 3

Cho E là một đối đại số trên A. Điều kiện cần và đủ để, với mọi A-đại số có đơn vị B, A-đại số $\mathrm{Hom}_A(E, B)$ có đơn vị là tồn tại một dạng tuyến tính $\gamma$ trên E làm cho các biểu đồ sau giao hoán

\begin{array}{ccc} E & \xrightarrow{c} & E \otimes_A E \\ & & \downarrow \gamma \otimes 1_E \\ & & A \otimes_A E \end{array}

h'

\begin{array}{ccc} E & \xrightarrow{c} & E \otimes_A E \\ & & \downarrow 1_E \otimes \gamma \\ & & E \otimes_A A \end{array}

h''

trong đó $c: E \to E \otimes_A E$ là đồng tích và $h'$ và $h''$ là các đẳng cấu chính tắc

(II, § 3, no. 4, Mệnh đề 4). Khi đó phần tử đơn vị của Hom $_A$ (E, B) là ánh xạ tuyến tính x $\mapsto$ $\gamma(x)1$ (trong đó 1 ký hiệu phần tử đơn vị của B).

Cho $\gamma$ là một dạng tuyến tính trên E làm cho biểu đồ (16) giao hoán. Cho B là một A-đại số có đơn vị với phần tử đơn vị 1, $\eta:A \to B$ là ánh xạ chính tắc và $v = \eta \circ \gamma$ là phần tử của A-đại số C = Hom $_A$ (E, B). Với mọi phần tử $u \in C$ , $uv$ là ánh xạ hợp thành

\text{(17)} \quad E \xrightarrow{c} E \otimes E \xrightarrow{1_E \otimes \gamma} E \otimes A \xrightarrow{u \otimes \eta} B \otimes B \xrightarrow{m} B.

Khi đó $uv = m \circ (u \otimes \eta) \circ h'' = u$ . Tương tự, chứng minh được rằng $vu = u$ và do đó $v$ là phần tử đơn vị của C. Ngược lại, cho A-môđun A $\oplus$ E một cấu trúc đại số có đơn vị sao cho $(a, x)(a', x') = (aa', ax' + a'x)$ với $a, a'$ trong A và $x, x'$ trong E. Gọi B là A-đại số được xác định như vậy và C là A-đại số Hom $_A$ (E, B). Giả sử rằng C có đơn vị và gọi $e:x \mapsto (\gamma(x), \lambda(x))$ là phần tử đơn vị của nó (trong đó $\gamma(x) \in A$ và $\lambda(x) \in E$ ). Mặt khác gọi $f$ là phần tử $x \mapsto (0, x)$ của C. Một phép tính trực tiếp cho thấy rằng $fe$ là phần tử

x \mapsto (0, (h'')^{-1}((1_E \otimes \gamma)(c(x))))

của C. Điều kiện $fe = f$ kéo theo tính giao hoán của biểu đồ thứ hai trong (16), và tương tự thấy rằng điều kiện $ef = f$ kéo theo tính giao hoán của biểu đồ thứ nhất trong (16).

Một dạng tuyến tính $\gamma$ trên E làm cho các biểu đồ (16) giao hoán được gọi là một đồng đơn vị của đối đại số E. Một đối đại số nhiều nhất chỉ có một đồng đơn vị: vì đó là phần tử đơn vị của đại số Hom $_A$ (E, A). Một đối đại số có đồng đơn vị được gọi là có đồng đơn vị.

Ví dụ

(6) Ánh xạ đồng nhất là đồng đơn vị của đối đại số A; trên đối đại số A $^{(X)}$ (no. 1, Ví dụ 4) dạng tuyến tính $\gamma$ sao cho $\gamma(e_x) = 1$ với mọi $x \in X$ là đồng đơn vị. Trên đối đại số T(M) (tương ứng S(M), $\Lambda(M)$ ) dạng tuyến tính $\gamma$ sao cho $\gamma(1) = 1$ và $\gamma(z) = 0$ với $z$ trong $T^n(M)$ (tương ứng $S^n(M)$ , $\Lambda^n(M)$ ) với $n \geq 1$ là đồng đơn vị. Sau cùng, cho B là một đại số trên A đồng thời là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn và có một phần tử đơn vị $e$ ; khi đó trên đối đại số B* (no. 1, Ví dụ 3) dạng tuyến tính $\gamma: x^* \mapsto \langle e, x^* \rangle$ là đồng đơn vị, vì dạng này chính là ánh xạ chuyển vị của ánh xạ A-tuyến tính $\eta_e: \xi \mapsto \xi e$ từ A vào B và do phép chuyển vị, tính giao hoán của các biểu đồ (16) suy ra từ tính giao hoán của các biểu đồ biểu thị (dùng $\eta_e$ ) sự kiện $e$ là phần tử đơn vị của B (§ 1, no. 3); hơn nữa cùng một lập luận cũng cho thấy rằng ngược lại, nếu đối đại số B* thừa nhận một đồng đơn vị $\gamma$ , thì ánh xạ chuyển vị của $\gamma$ xác định một phần tử đơn vị $e = t_\gamma(1)$ của B.

Mệnh đề 4

Cho E là một đối đại số thừa nhận một đồng đơn vị $\gamma$ và giả sử rằng tồn tại trong E một phần tử e sao cho $\gamma(e) = 1$ ; khi đó E là tổng trực tiếp của các môđun con trên A Ae và $E_{\gamma} = \mathrm{Ker}(\gamma)$ và

\text{(18)} \quad \begin{cases} c(e) \equiv e \otimes e \pmod{E_{\gamma} \otimes E_{\gamma}} \\ c(x) \equiv x \otimes e + e \otimes x \pmod{E_{\gamma} \otimes E_{\gamma}} & \text{với mọi } x \in E_{\gamma}. \end{cases}

Mệnh đề thứ nhất là ngay lập tức, vì $\gamma(x - \gamma(x)e) = 0$ và quan hệ $\gamma(\alpha e) = 0$ kéo theo $\alpha = 0$ . Đặt $c(e) = \sum_i s_i \otimes t_i$ , sao cho

e = \sum_i \gamma(s_i)t_i = \sum_i \gamma(t_i)s_i

theo (16) và

1 = \gamma(e) = \sum_i \gamma(s_i)\gamma(t_i)

. Do đó

\sum_i (s_i - \gamma(s_i)e) \otimes (t_i - \gamma(t_i)e) = \sum_i s_i \otimes t_i - \sum_i e \otimes \gamma(s_i)t_i \\ - \sum_i \gamma(t_i)s_i \otimes e \\ + \sum_i \gamma(s_i)e \otimes \gamma(t_i)e

mà, theo quan hệ trên, chính là

c(e) - e \otimes e

; vậy điều này chứng minh quan hệ thứ nhất của (18). Mặt khác phân tích của

E \otimes E

thành tổng trực tiếp

A(e \otimes e) \oplus ((Ae) \otimes E_\gamma) \oplus (E_\gamma \otimes (Ae)) \oplus (E_\gamma \otimes E_\gamma)

cho phép ta viết, với

x \in E_\gamma

c(x) = \lambda(e \otimes e) + (e \otimes y) + z \otimes e) + u

trong đó

u = \sum_j v_j \otimes w_j, y, z

và các

v_j

và

w_j

thuộc

E_\gamma

. Định nghĩa của đồng đơn vị

\gamma

khi đó cho

x = \lambda e + y = \lambda e + z

và, vì

\gamma(x) = 0

, tất yếu

\lambda = 0, x = y = z

, do đó có quan hệ thứ hai của (18).

Nhận xét

Cho C là một đối đại số trên A có đồng đơn vị và kết hợp, B là một đại số trên A có đơn vị và kết hợp, và M là một B-môđun trái. Ánh xạ A-song tuyến tính $(b, m) \mapsto bm$ từ $B \times M$ vào M xác định một ánh xạ A-song tuyến tính

\operatorname{Hom}_A(C, B) \times \operatorname{Hom}_A(C, M) \to \operatorname{Hom}_A(C, M)

theo thủ tục tổng quát đã được mô tả ở đầu số này. Ngay lập tức kiểm tra được rằng ánh xạ này xác định trên

\operatorname{Hom}_A(C, M)

một cấu trúc môđun trái trên vành

\operatorname{Hom}_A(C, B)

3. Các tính chất của các đối đại số phân bậc kiểu n

Mệnh đề 5

(i) *Cho E là một đối đại số phân bậc thừa nhận một đồng đơn vị $\gamma$ ; khi đó $\gamma$ là một dạng tuyến tính thuần nhất bậc 0.

(ii) Giả sử thêm rằng tồn tại một phần tử $e \in E$ sao cho $E_0 = Ae$ và $\gamma(e) = 1$ . Khi đó hạt nhân $E_\gamma$ của $\gamma$ bằng $E_+ = \sum_{n \geq 1} E_n$ , $c(e) = e \otimes e$ và

c(x) \equiv x \otimes e + e \otimes x \ (\text{mod. } E_+ \otimes E_+)

với mọi

x \in E_+

(i) Chỉ cần kiểm tra rằng $\gamma(x) = 0$ với $x \in E_n$ , với mọi $n \geq 1$ . Vì $c$ là một đồng cấu phân bậc bậc 0,

c(x) = \sum_{0 \leq j \leq n} \left( \sum_i y_{ij} \otimes z_{i, n-j} \right)

trong đó, với mọi $j$ sao cho $0 \leq j \leq n$ , $y_{ij}$ và $z_{ij}$ thuộc $E_j$ ; áp dụng (16) (no. 2) ta được

x = \sum_{0 \leq j \leq n} \left( \sum_i \gamma(y_{ij}) z_{i, n-j} \right) = \sum_{0 \leq j \leq n} \left( \sum_i \gamma(z_{i, n-j}) y_{ij} \right),

do đó, khi đồng nhất các thành phần bậc 0 và bậc $n$ ở hai vế

x = \sum_i \gamma(y_{i0}) z_{in} = \sum_i \gamma(z_{i0}) y_{in}

0 = \sum_i \gamma(y_{in}) z_{i0} = \sum_i \gamma(z_{in}) y_{i0}

và vì thế $\gamma(x) = \sum_i \gamma(y_{in}) \gamma(z_{i0}) = \gamma(0) = 0$ .

(ii) Vì $\mathrm{Ker}(\gamma)$ và $E_+$ đều là các môđun con bổ sung của $Ae = E_0$ trong E và $E_+ \subset \mathrm{Ker}(\gamma)$ theo (i), nên $E_+ = \mathrm{Ker}(\gamma)$ (II, § 1, no. 8, Nhận xét 1); các khẳng định khác suy ra từ Mệnh đề 4 của no. 2.

Mệnh đề 6

Cho E là một đối đại số phân bậc trên A. Điều kiện cần và đủ để, với mọi A-đại số giao hoán B, với phân bậc tầm thường, A-đại số phân bậc kiểu $\mathbf{Z} \mathrm{Homgr}_A(E, B)$ (no. 2) là phản giao hoán (§ 4, no. 9, Định nghĩa 7), là nếu $\sigma_g$ ký hiệu tự đẳng cấu của A-môđun $E \otimes_A E$ sao cho

\sigma_g(x_p \otimes x_q) = (-1)^{pq} x_q \otimes x_p

với $x_p \in E_p, x_q \in E_q$ , trong đó p và q là các phần tử tùy ý của $\mathbf{N}$ , thì biểu đồ

\begin{array}{ccc} E & & \\ & \searrow^c & \swarrow^c \\ E \otimes_A E & \xrightarrow{\sigma_g} & E \otimes_A E \end{array}

là giao hoán.

Chứng minh tương tự như chứng minh của Mệnh đề 2 ở no. 2.

Khi đối đại số phân bậc E thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 6, người ta nói rằng nó là phản đối giao hoán.

Ví dụ

Suy ra ngay lập tức từ công thức (8) của no. 1 rằng với mọi A-môđun M, đối đại số phân bậc $\bigwedge(M)$ là phản đối giao hoán.

4. Song đại số và phản song đại số

Định nghĩa 3

Một song đại số phân bậc (tương ứng, phản song đại số phân bậc) trên một vành A là một tập hợp E được trang bị một cấu trúc A-đại số phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ và một cấu trúc A-đối đại số phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ , với cùng cấu trúc A-môđun phân bậc nền và sao cho:

(1) A-đại số E là kết hợp và có đơn vị.

(2) A-đối đại số E là đối kết hợp và có đồng đơn vị. (3) Đồng tích $c : E \to E \otimes_A E$ là một đồng cấu của đại số phân bậc E vào đại số phân bậc $E \otimes_A E$ (tương ứng, đại số phân bậc $E^g \otimes_A E$ (xem § 4, no. 7)). (4) Đồng đơn vị $\gamma$ của E là một đồng cấu của đại số phân bậc E vào đại số A (với phân bậc tầm thường) sao cho, nếu e ký hiệu phần tử đơn vị của A-đại số E, thì $\gamma(e) = 1$ .

Nếu E là một song đại số phân bậc mà phân bậc là tầm thường, thì E được gọi đơn giản là một song đại số. Một song đại số phân bậc được gọi là giao hoán (tương ứng, đối giao hoán) nếu đại số nền là giao hoán (tương ứng, nếu đối đại số nền là đối giao hoán); một phản song đại số phân bậc được gọi là phản giao hoán (tương ứng, phản đối giao hoán) nếu đại số phân bậc nền là phản giao hoán (tương ứng, nếu đối đại số phân bậc nền là phản đối giao hoán).

Suy ra từ Định nghĩa 3 và no. 2, Mệnh đề 5 rằng, với một song đại số phân bậc hay một phản song đại số phân bậc E,

c(e) = e \otimes e \\ c(x) \equiv x \otimes e + e \otimes x (\text{mod. } E_+ \otimes E_+) \quad \text{với } x \in E_+ = \bigoplus_{n \geq 1} E_n.

Nếu E và F là hai song đại số phân bậc (tương ứng, hai phản song đại số phân bậc), một ánh xạ $\phi : E \to F$ được gọi là một cấu xạ song đại số phân bậc (tương ứng, cấu xạ phản song đại số phân bậc) nếu: (1) $\phi$ là một cấu xạ đại số phân bậc (và do đó ánh xạ phần tử đơn vị của E lên phần tử đơn vị của F); (2) $\phi$ là một cấu xạ đối đại số phân bậc sao cho, nếu $\gamma$ và $\gamma'$ là các đồng đơn vị tương ứng của E và F, thì $\gamma = \gamma' \circ \phi$ .

Ví dụ

(1) Cho S là một monoit với phần tử đơn vị u, sao cho đại số $E = A^{(S)}$ của monoit S trên A có phần tử đơn vị $e_u$ (§ 2, no. 6); mặt khác người ta đã thấy rằng E có một cách chính tắc một cấu trúc A-đối đại số đối kết hợp đối giao hoán với một đồng đơn vị $\gamma$ sao cho $\gamma(e_s) = 1$ với mọi $s \in S$ (no. 1, Ví dụ 4 và no. 2, Các ví dụ 4, 5 và 6). Công thức $c(e_s) = e_s \otimes e_s$ cho đồng tích cũng cho thấy ngay lập tức rằng c là một đồng cấu đại số. Như vậy một cấu trúc song đại số đối giao hoán đã được định nghĩa trên E và E, với cấu trúc này, được gọi là song đại số của monoit S trên A.

Nếu T là một monoit khác với phần tử đơn vị v, $f : S \to T$ là một đồng cấu sao cho $f(u) = v$ và $f_{(A)} : A^{(S)} \to A^{(T)}$ là đồng cấu A-đại số dẫn xuất từ $f$ (§ 2, no. 6), thì kiểm tra ngay được rằng $f_{(A)}$ là một đồng cấu song đại số.

(2) Cho M là một A-môđun. Các cấu trúc A-đại số phân bậc (§ 6, no. 1) và A-đối đại số phân bậc (no. 1, Ví dụ 6) được định nghĩa trên S(M) xác định trên tập hợp này một cấu trúc song đại số phân bậc giao hoán đối giao hoán; vì ta đã thấy (no. 1, Ví dụ 6) rằng đồng tích trên S(M) là một đồng cấu đại số và theo định nghĩa của đồng đơn vị $\gamma$ (no. 2, Ví dụ 6) suy ra rằng $\gamma(1) = 1$ và $\gamma$ là một đồng cấu đại số của E vào A.

(3) Cho M là một A-môđun. Ta thấy như trong Ví dụ 2 rằng các cấu trúc A-đại số phân bậc (§ 7, no. 1) và A-đối đại số phân bậc (no. 1, Ví dụ 7) trên $\bigwedge(M)$ xác định trên tập hợp này một cấu trúc song đại số phân bậc xiên phản giao hoán phản đối giao hoán.

Nhận xét

Nếu M là một A-môđun sao cho $M \otimes_A M \neq \{0\}$ , thì các cấu trúc A-đại số phân bậc (§ 5, no. 1) và A-đối đại số phân bậc (no. 1, Ví dụ 5) trên $T(M)$ không xác định một cấu trúc song đại số, vì nói chung

c(x_1 x_2 y_1 y_2) \neq c(x_1 x_2) c(y_1 y_2)

đối với bốn phần tử $x_1, x_2, y_1, y_2$ của M, như công thức (3) của no. 1 chỉ ra.

5. Đối ngẫu phân bậc $T(M)^{gr}$ , $S(M)^{gr}$ và $\bigwedge(M)^{*gr}$

Từ nay trở đi ta quay lại các quy ước tổng quát của chương về các đại số, do đó các đại số ấy sẽ được giả thiết (trừ khi có nói ngược lại) là kết hợp và có đơn vị.

Cho M là một A-môđun; các cấu trúc A-đối đại số phân bậc được định nghĩa trên $T(M)$ (no. 1, Ví dụ 5), $S(M)$ (no. 1, Ví dụ 6) và $\bigwedge(M)$ (no. 1, Ví dụ 7) cho phép ta định nghĩa một cách chính tắc trên các đối ngẫu phân bậc $T(M)^{*gr}$ , $S(M)^{*gr}$ và $\bigwedge(M)^{*gr}$ các cấu trúc đại số phân bậc kiểu N, theo no. 2, Mệnh đề 1 và 3 và quy ước đã đặt về sự phân bậc của đối ngẫu phân bậc của một môđun phân bậc (no. 1). Hơn nữa, đại số phân bậc $S(M)^{*gr}$ là giao hoán (no. 2, Mệnh đề 2 and Ví dụ 5) và đại số phân bậc $\bigwedge(M)^{*gr}$ là phản giao hoán (no. 3, Mệnh đề 6 and Ví dụ). Trong $\bigwedge(M)^{*gr}$ mọi phần tử bậc 1 đều có bình phương bằng không; một phần tử như vậy được đồng nhất với một dạng tuyến tính $f$ trên M và bình phương của nó là dạng song tuyến tính phản xứng $f \wedge f$ trên $M^2$ sao cho

(f \wedge f)(x, y) = f(x) f(y) - f(y) f(x)

(no. 2, Ví dụ 3).

Cho N là một A-môđun khác và $u$ là một ánh xạ A-tuyến tính từ M vào N. Ta biết rằng $u$ xác định một cách chính tắc các đồng cấu đại số phân bậc

\begin{cases} T(u): T(M) \to T(N) \\ S(u): S(M) \to S(N) \\ \bigwedge(u): \bigwedge(M) \to \bigwedge(N) \end{cases}

(§ 5, no. 2, § 6, no. 2 and § 7, no. 2). Kiểm tra ngay lập tức trong công thức (3) của no. 1 rằng $T(u)$ cũng là một cấu xạ đối đại số. Mặt khác, nếu $\Delta_M$ (resp. $\Delta_N$ ) ký hiệu ánh xạ đường chéo $M \to M \times M$ (resp. $N \to N \times N$ ), thì có quan hệ $(u \times u) \circ \Delta_M = \Delta_N \circ u$ ; suy ra rằng $S(u \times u) \circ S(\Delta_M) = S(\Delta_N) \circ S(u)$

(resp. $\Lambda(u \times u) \circ \Lambda(\Delta_M) = \Lambda(\Delta_N) \circ \Lambda(u)$ ).

Dùng định nghĩa của đồng tích trong $S(M)$ và $\Lambda(M)$ (no. 1, Examples 6 and 7) và tính chất hàm tử của các đẳng cấu chính tắc

S(M \times M) \to S(M) \otimes_A S(M)

và $\Lambda(M \times M) \to \Lambda(M)^{\text{g}} \otimes_A \Lambda(M)$ , ta thấy rằng $S(u)$ và $\Lambda(u)$ cũng là các cấu xạ đối đại số† (và do đó trong trường hợp này là các cấu xạ song đại số). Ngay lập tức suy ra rằng các chuyển vị phân bậc (II, § 11, no. 6) của các đồng cấu (23)

\begin{align*} tT(u): T(N)^{*gr} &\to T(M)^{*gr} \\ tS(u): S(N)^{*gr} &\to S(M)^{*gr} \\ t\Lambda(u): \Lambda(N)^{*gr} &\to \Lambda(M)^{*gr} \end{align*}

là các đồng cấu đại số phân bậc.

Bây giờ ta nhận thấy rằng đối ngẫu $M^*$ của $M$ được đồng nhất với môđun con gồm các phần tử bậc 1 trong $T(M)^{*gr}$ (resp. $S(M)^{*gr}$ , $\Lambda(M)^{*gr}$ ). Do đó từ tính chất phổ quát của đại số tenxơ (§ 5, no. 1) và tính chất phổ quát của đại số đối xứng (§ 6, no. 1) suy ra rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số phân bậc

\theta_T: T(M^*) \to T(M)^{*gr}

phần mở rộng của đơn ánh chính tắc $M^* \to T(M)^{*gr}$ , và duy nhất một đồng cấu đại số phân bậc

\theta_S: S(M^*) \to S(M)^{*gr}

phần mở rộng của đơn ánh chính tắc $M^* \to S(M)^{*gr}$ . Mặt khác, đơn ánh chính tắc của $M^*$ vào đại số đối của $\Lambda(M)^{*gr}$ có tính chất là bình phương của mọi phần tử của $M^*$ đều bằng không; do đó (§ 7, no. 1, Mệnh đề 1) tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số phân bậc

\theta_\Lambda: \Lambda(M^*) \to (\Lambda(M)^{*gr})^0

phần mở rộng của đơn ánh chính tắc $M^* \to \Lambda(M)^{*gr}$ .‡ Các đồng cấu này

† Điều này cũng suy ra từ các công thức (5) và (9) của no. 1. ‡ Đơn ánh này được mở rộng thành một đồng cấu vào đại số đối của $\Lambda(M)^{*gr}$ thay vì một đồng cấu vào $\Lambda(M)^{*gr}$ vì lý do thuận tiện trong các phép tính.

là hàm tử: chẳng hạn, với mọi đồng cấu A-môđun $u : M \to N$ , biểu đồ

\begin{array}{ccc} T(N^*) & \xrightarrow{T(tu)} & T(M^*) \\ \theta_T \downarrow & & \theta_T \downarrow \\ T(N)^{*gr} & \xrightarrow{t_{T(n)}} & T(M)^{*gr} \end{array}

là giao hoán, như suy ra ngay lập tức từ tính chất phổ quát của đại số tenxơ (§ 5, no. 1); có các biểu đồ giao hoán tương tự đối với $\theta_S$ và $\theta_\wedge$ .

Ta sẽ xác định các đồng cấu $\theta_T, \theta_S$ và $\theta_\wedge$ một cách tường minh. Vì mục đích đó, ta xét tổng quát hơn một A-đối đại số đối kết hợp $E$ với đồng tích $c$ và định nghĩa bằng quy nạp theo $n$ , với $n \geq 2$ , ánh xạ tuyến tính $c_n$ từ $E$ vào $E^{\otimes n}$ bởi $c_2 = c$ và

c_n = (c_{n-1} \otimes 1_E) \circ c.

Mặt khác ta ký hiệu bởi

m_n : A^{\otimes n} \to A

ánh xạ tuyến tính chính tắc sao cho

m_n(\xi_1 \otimes \xi_2 \otimes \cdots \otimes \xi_n) = \xi_1 \xi_2 \cdots \xi_n

và chú ý rằng, với

n \geq 2

m_n = m \circ (m_{n-1} \otimes 1_A)

trong đó viết

m = m_2

. Với ký hiệu này:

Bổ đề 1

(i) Trong đại số kết hợp $E^* = \mathrm{Hom}_A(E, A)$ , tích của $n$ phần tử $u_1, u_2, \ldots, u_n$ bậc 1 được cho bởi

u_1 u_2 \ldots u_n = m_n \circ (u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n) \circ c_n.

(ii) Giả sử thêm rằng đối đại số $E$ là phân bậc. Khi đó, trong đại số kết hợp phân bậc $E^{*gr} = \mathrm{Homgr}_A(E, A)$ , tích của $n$ phần tử $u_1, u_2, \ldots, u_n$ bậc 1 được cho bởi

u_1 u_2 \ldots u_n = m_n \circ (u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n) \circ \delta_n

*trong đó

\delta_n : E \to E^{\otimes n}

là ánh xạ tuyến tính biến mỗi

x \in E

thành thành phần của

c_n(x)

có đa bậc

(1, 1, \ldots, 1)

Công thức (26) chính là định nghĩa của tích trong $E^*$ đối với $n = 2$ ; để chứng minh nó bằng quy nạp theo $n$ , hãy nhận thấy rằng

u_1 u_2 \ldots u_n

= m \circ ((u_1 u_2 \ldots u_{n-1}) \otimes u_n) \circ c

= m \circ ((m_{n-1} \circ (u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_{n-1}) \circ c_{n-1}) \otimes u_n) \circ c

= m \circ (m_{n-1} \otimes 1_A) \circ (u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_{n-1} \otimes u_n) \circ (c_{n-1} \otimes 1_E) \circ c

= m_n \circ (u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n) \circ c_n

do (24), (25), II, § 3, no. 3, công thức (5) và hệ thức

u_n = 1_A \circ u_n \circ 1_{E^*}.

Khi E là phân bậc và các phần tử $u_i \in E^{*gr}$ thuần nhất bậc 1, thì theo định nghĩa đối với các phần tử thuần nhất $x_i \in E$ ,

(u_1 \otimes u_2 \otimes \cdots \otimes u_n)(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n) = 0

trừ khi mọi $x_i$ đều có bậc 1, do đó có công thức (27).

Từ các công thức (3), (5) và (7) của no. 1 và công thức (24) suy ra rằng khi lấy E là một trong ba đối đại số phân bậc $\mathbf{T}(M)$ , $\mathbf{S}(M)$ và $\mathbf{\Lambda}(M)$ , ta lần lượt thu được bằng quy nạp theo $n$ (dùng sự kiện rằng đồng tích là một đồng cấu phân bậc bậc 0), đối với $x_1, x_2, \ldots, x_n$ trong M:

khi $E = \mathbf{T}(M)$ ,

\delta_n(x_1 x_2 \cdots x_n) = x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n

khi $E = \mathbf{S}(M)$ ,

\delta_n(x_1 x_2 \cdots x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} x_{\sigma(1)} \otimes x_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma(n)}

khi $E = \mathbf{\Lambda}(M)$ ,

\delta_n(x_1 x_2 \cdots x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma \cdot x_{\sigma(1)} \otimes x_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma(n)}.

Chỉ cần chú ý, chẳng hạn khi $E = \mathbf{\Lambda}(M)$ , rằng trong biểu thức

c_n(x_1 x_2 \cdots x_n) = (c_{n-1} \otimes 1_E) \left( \sum (-1)^v (x_{i_1} \ldots x_{i_p}) \otimes (x_{j_1} \ldots x_{j_{n-p}}) \right)

xuất hiện từ công thức (8) của no. 1, các số hạng duy nhất có thể cho một số hạng có đa bậc

(1, 1, \ldots, 1)

là những số hạng mà

n - p = 1

và do đó

\delta_n(x_1 x_2 \cdots x_n)

là số hạng có đa bậc

(1, 1, \ldots, 1)

trong tổng

\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i} c_{n-1}(x_1 \ldots x_{i-1} x_{i+1} \ldots x_n) \otimes x_i

và số hạng này tất yếu bằng

\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i} \delta_{n-1}(x_1 \ldots x_{i-1} x_{i+1} \ldots x_n) \otimes x_i,

do đó có kết quả theo giả thiết quy nạp.

Dùng Bổ đề 1, tích trong $\mathbf{T}(M)^{*gr}$ của $n$ dạng tuyến tính $x_1^*, x_2^*, \ldots, x_n^*$ của $M^*$ được cho bởi

\langle x_1^* x_2^* \ldots x_n^*, x_1 x_2 \ldots x_n \rangle = \prod_{i=1}^n \langle x_i^*, x_i \rangle

với

x_i \in M

(

1 \leq i \leq n

); tích của

n

dạng này trong

\mathbf{S}(M)^{*gr}

được cho bởi

\langle x_1^* x_2^* \ldots x_n^*, x_1 x_2 \ldots x_n \rangle = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \left( \prod_{i=1}^n \langle x_{\sigma(i)}^*, x_i \rangle \right);

sau cùng, tích của các dạng này trong $\bigwedge(M)^{*gr}$ được cho bởi

\langle x_1^* x_1^* \ldots x_n^*, x_1 x_2 \ldots x_n \rangle = \det(\langle x_i^*, x_j \rangle).

Trong mỗi trường hợp trong ba trường hợp ấy, ta có tương ứng

\theta_T(x_1^* \otimes x_2^* \otimes \ldots \otimes x_n^*) = x_1^* x_2^* \ldots x_n^*

\theta_S(x_1^* x_2^* \ldots x_n^*) = x_1^* x_2^* \ldots x_n^*

\theta_\Lambda(x_1^* \wedge x_2^* \wedge \cdots \wedge x_n^*) = x_n^* x_{n-1}^* \ldots x_1^* = (-1)^{n(n-1)/2} x_1^* x_2^* \ldots x_n^*

và do đó ta suy ra từ (28), (29) và (30) các hệ thức

(28\ \mathrm{bis})\quad \langle \theta_T(x_1^* \otimes x_2^* \otimes \cdots \otimes x_n^*), x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n \rangle = \prod_{i=1}^n \langle x_i^*, x_i \rangle

(nói cách khác

\theta_T

hạn chế trên

T^2(M^*)

chỉ là đồng cấu chính tắc của II, § 4, no. 4)

(29\ \mathrm{bis})\quad \langle \theta_S(x_1^* x_2^* \ldots x_n^*), x_1 x_2 \ldots x_n \rangle = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \prod_{i=1}^n \langle x_{\sigma(i)}^*, x_i \rangle \right)

(30\ \mathrm{bis})\quad \langle \theta_\Lambda(x_1^* \wedge x_2^* \wedge \cdots \wedge x_n^*), x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n \rangle

= (-1)^{n(n-1)/2} \det(\langle x_i^*, x_j \rangle).

Mệnh đề 7

Cho M là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Khi đó các đồng cấu chính tắc $\theta_T : T(M^*) \to T(M)^{*gr}$ và $\theta_\Lambda : \bigwedge(M^*) \to (\bigwedge(M)^{*gr})^0$ là song ánh. Hơn nữa, đối ngẫu phân bậc $\bigwedge(M)^{*gr}$ khi đó bằng đối ngẫu $\bigwedge(M)^*$ của A-môđun $\bigwedge(M)$ .

Trước hết giả sử rằng M có một cơ sở hữu hạn $(e_i)_{1 \leq i \leq m}$ và gọi $(e_i^*)_{1 \leq i \leq m}$ là cơ sở đối ngẫu của $M^*$ (II, § 10, no. 4). Công thức (28 bis) cho thấy rằng, với mọi dãy hữu hạn $s = (j_k)_{1 \leq k \leq n}$ gồm n phần tử của khoảng $[1, m]$ của $\mathbf{N}$ ,

\theta_T(e_{j_1}^* \otimes \cdots \otimes e_{j_n}^*)

là phần tử chỉ số s trong cơ sở của

(T^n(M))^*

, đối ngẫu với cơ sở của

T^n(M)

gồm các

e_s = e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_n}

(§ 5, no. 5, Định lý 1). Do đó

\theta_T

là song ánh.

Tương tự, công thức (30 bis) cho thấy rằng, với mọi tập con hữu hạn H của $[1, m]$ có n phần tử, $(-1)^{n(n-1)/2} \theta_\Lambda(e_H^*)$ (ký hiệu của § 7, no. 8, Định lý 1) là phần tử chỉ số H trong cơ sở của $(\bigwedge^n(M))^*$ , đối ngẫu với cơ sở của $\bigwedge^n(M)$ gồm các $e_H$ . Do đó $\theta_\Lambda$ là song ánh.

Bây giờ chỉ giả sử rằng M là sinh hữu hạn và xạ ảnh; khi đó M là một nhân tử trực tiếp của một A-môđun tự do sinh hữu hạn L, nên tồn tại hai

ánh xạ A-tuyến tính $M \xrightarrow{j} L \xrightarrow{p} M$ mà hợp thành của chúng là đồng nhất thức $l_M$ . Ta suy ra một biểu đồ giao hoán

\begin{array}{ccc} T(M^*) & \xrightarrow{T(tj)} & T(L^*) \\ \theta_T \downarrow & & \theta_T \downarrow \\ T(M)^{*gr} & \xrightarrow{tT(j)} & T(L)^{*gr} \end{array}

\begin{array}{ccc} T(L^*) & \xrightarrow{T(tp)} & T(M^*) \\ \theta_T \downarrow & & \theta_T \downarrow \\ T(L)^{*gr} & \xrightarrow{tT(p)} & T(M)^{*gr} \end{array}

và một biểu đồ giao hoán tương tự khi thay $T$ bằng $\Lambda$ . Khi đó mệnh đề suy ra từ bổ đề sau:

Bổ đề 2

Cho

\begin{array}{ccccc} X & \xrightarrow{u} & Y & \xrightarrow{v} & X \\ f \downarrow & & g \downarrow & & f \downarrow \\ X' & \xrightarrow{u'} & Y' & \xrightarrow{v'} & X' \end{array}

hãy là một biểu đồ giao hoán của các tập hợp và các ánh xạ sao cho $v \circ u$ và $v' \circ u'$ lần lượt là các ánh xạ đồng nhất của $X$ và $X'$ . Khi đó, nếu $g$ là đơn ánh (resp. toàn ánh, resp. song ánh) thì $f$ cũng vậy.

$u$ là đơn ánh vì $v \circ u$ là đơn ánh; do đó, nếu $g$ là đơn ánh thì $u' \circ f = g \circ u$ là đơn ánh và vì vậy $f$ là đơn ánh. Tương tự, $v'$ là toàn ánh vì $v' \circ u'$ là toàn ánh; do đó, nếu $g$ là toàn ánh thì $f \circ v = v' \circ g$ là toàn ánh và vì vậy $f$ là toàn ánh.

Khẳng định cuối cùng của Mệnh đề 7 suy ra từ sự kiện rằng $\Lambda(M)$ khi đó là một A-môđun hữu hạn sinh (§ 7, no. 3, Mệnh đề 6 và II, § 11, no. 6, Nhận xét).

Bây giờ ta khảo sát điều có thể nói về đồng cấu $\theta_S$ khi $M$ là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Trước hết giả sử rằng $M$ thừa nhận một cơ sở hữu hạn $(e_i)_{1 \leq i \leq m}$ . Theo ký hiệu ở đầu chương, A-môđun $S^n(M)$ có họ các phần tử $e^\alpha$ với $|\alpha| = n$ làm cơ sở. Gọi $u_\alpha$ (với $|\alpha| = n$ ) là phần tử có chỉ số $\alpha$ trong cơ sở của $(S^n(M))^*$ đối ngẫu với $(e^\alpha)$ . Vậy các phần tử $u_\alpha$ , với $\alpha \in \mathbf{N}^m$ , lập thành một cơ sở của đại số $S(M)^{*gr}$ và ta sẽ xác định bảng phép nhân của cơ sở này một cách tường minh. Ta viết

u_\alpha u_\beta = \sum_{\gamma \in \mathbf{N}^m} a_{\alpha \beta \gamma} u_\gamma \quad \text{with } a_{\alpha \beta \gamma} \in A.

Khi đó, theo định nghĩa,

a_{\alpha \beta \gamma} = \langle u_\alpha u_\beta, e^\gamma \rangle = m((u_\alpha \otimes u_\beta)(c(e^\gamma))),

trong đó $m : A \otimes A \to A$ xác định phép nhân trên $A$ và $c$ là đồng tích của $S(M)$ . Nói cách khác, $a_{\alpha \beta \gamma}$ chính là hệ số của $e^\alpha \otimes e^\beta$ khi $c(e^\gamma)$ được viết theo cơ sở của $S(M) \otimes S(M)$ gồm các $e^\xi \otimes e^\eta$ , trong đó $\xi$ và $\eta$ chạy qua $\mathbf{N}^m$ . Nhưng vì $c$ là một đồng cấu đại số,

c(e^\gamma) = \prod_{i=1}^m (c(e_i))^{r_i} = \prod_{i=1}^m (e_i \otimes 1 + 1 \otimes e_i)^{r_i}

theo công thức (4) của no. 1; do đó

(31)

c(e^\gamma) = \sum_{\xi + \eta = \gamma} (\xi, \eta) e^\xi \otimes e^\eta

trong đó ta viết

(32)

((\xi, \eta)) = \prod_{i=1}^n \frac{(\xi_i + \eta_i)!}{\xi_i! \eta_i!} \quad \text{(cf. § 10, no. 4, formula (18))}.

Vì thế ta thu được bảng phép nhân

(33)

u_\alpha u_\beta = ((\alpha, \beta)) u_{\alpha + \beta}.

Mặt khác, nếu

(e_i^*)_{1 \leq i \leq m}

là cơ sở của

M^*

, đối ngẫu với

(e_i)

, thì từ công thức (29 bis) suy ra rằng, với mọi

\alpha \in \mathbf{N}^m

(34)

\theta_S(e^{*\alpha}) = \alpha! u_\alpha

theo ký hiệu của § 6, no. 6. Do đó đồng cấu

\theta_S

là song ánh khi và chỉ khi các

\alpha! u_\alpha

lập thành một cơ sở của

S(M)^{*gr}

, hay cũng tương đương với việc các phần tử

\alpha! 1

là khả nghịch.

Mệnh đề 8

Giả sử rằng vành $A$ là một đại số trên trường $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ; khi đó, với mọi $A$ -môđun xạ ảnh sinh hữu hạn $M$ , đồng cấu

\theta_S : S(M^*) \to S(M)^{*gr}

là song ánh.

Điều này quy về việc chứng minh khi $M$ sinh hữu hạn và tự do; ta chuyển từ đó sang trường hợp tổng quát bằng cách dùng Bổ đề 2 như trong chứng minh của Mệnh đề 7.

Nhận xét

Cho $M$ là một $A$ -môđun và $\rho : A \to B$ một đồng cấu vành giao hoán. Khi đó có một biểu đồ giao hoán các đồng cấu đại số trên $B$ phân bậc

\begin{array}{ccc} T((M^*)_{(B)}) & \longrightarrow & (T(M)^{*gr})_{(B)} \\ \downarrow_{T(u_M)} & & \downarrow^{u_{T(M)}} \\ T((M_{(B)})^*) & \xrightarrow{\theta_T} & T(M_{(B)})^{*gr} \end{array}

trong đó hàng thứ nhất là một đồng cấu là hợp thành của đồng cấu $\theta_T \otimes 1_B : T(M^*) \otimes_A B \to T(M)^{*gr}$ và đẳng cấu chính tắc

T((M^*)_{(B)}) \to T(M^*) \otimes_A B

§ 5, no. 3, Mệnh đề 5). Người ta kiểm tra ngay lập tức, dùng công thức (28) và định nghĩa của đồng cấu $v_E$ (II, § 5, no. 4), rằng biểu đồ này là giao hoán. Khi M là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, $M_{(B)}$ là một B-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn (II, § 5, no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 4) và mọi đồng cấu của biểu đồ trên đều song ánh (Mệnh đề 7 và II, § 5, no. 4, Mệnh đề 8). Có các biểu đồ giao hoán tương tự với T được thay bằng S hoặc $\Lambda$ ; biểu đồ đối với $\Lambda$ cũng gồm các đồng cấu song ánh khi M xạ ảnh và sinh hữu hạn (Mệnh đề 7); hơn nữa nếu A là một đại số trên $\mathbf{Q}$ , thì biểu đồ đối với S cũng gồm các đồng cấu song ánh (Mệnh đề 8).

6. Tích nội: trường hợp các đại số

Cho $E = \bigoplus_{p \geq 0} E_p$ là một A-đại số phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ và P một A-môđun phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$ ; với mọi phần tử thuần nhất $x \in E_p$ , phép nhân trái bởi x là một ánh xạ A-tuyến tính $e(x)$ của E vào chính nó, ánh xạ này phân bậc bậc p. Với mọi phần tử $u \in \mathrm{Homgr}_A(E, P)$ , tích nội phải của u bởi x, ký hiệu là $u \perp x$ , là phần tử $u \circ e(x)$ của $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ . Ta cũng viết $(i(x))(u) = u \perp x$ và thấy rằng $i(x)$ là một tự đồng cấu phân bậc bậc p của A-môđun phân bậc $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ . Nếu bây giờ $x = \sum_{p \geq 0} x_p$ là một phần tử tùy ý của E (với $x_p \in E_p$ với mọi $p \geq 0$ , $x_p = 0$ trừ ra đối với một số hữu hạn giá trị của $p$ ), ta viết $i(x) = \sum_{p=0}^\infty i(x_p)$ , do đó đây là một tự đồng cấu của A-môđun $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ .

Để nhớ xem phần tử nào, trong biểu thức $u \perp x$ , "tác động" lên phần tử kia, hãy nhận thấy rằng phần tử x, cái "tác động" lên u, được đặt ở đầu tự do của nét ngang trong $\perp$ .

Tính kết hợp của đại số E dẫn tới quan hệ $e(xy) = e(x) \circ e(y)$ đối với $x, y$ thuần nhất; do đó, theo định nghĩa của $i(x)$ ,

i(xy) = i(y) \circ i(x)

trước hết đối với $x, y$ thuần nhất rồi sau đó, do tính tuyến tính, đối với $x, y$ tùy ý trong E; điều này cũng có thể viết thành

(u \perp x) \perp y = u \perp (xy)

đối với $x, y$ trong E và $u \in \mathrm{Homgr}_A(E, P)$ ; mặt khác, vì rõ ràng $i(1)$ là ánh xạ đồng nhất (vì điều này suy ra từ $e(1) = 1_E$ ) và $x \mapsto i(x)$ là A-tuyến tính, nên thấy rằng phép toán ngoài hợp thành $(x, u) \mapsto u \perp x$ ( $x \in E, u \in \mathrm{Homgr}_A(E, P)$ ), cùng với phép cộng, xác định một cấu trúc E-môđun phải trên $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ .

Đặc biệt ta xét trường hợp $P = A$ , khi đó $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ là đối ngẫu phân bậc $E^{*gr}$ của $E$ ; khi đó $i(x)$ là chuyển vị phân bậc của ánh xạ $A$ -tuyến tính $e(x)$ (II, § 11, no. 6), nói cách khác, với mọi $x, y$ trong $E$ , $u \in E^{*gr}$ ,

\langle u \sqcup x, y \rangle = \langle u, xy \rangle.

Theo quy ước ở đầu đoạn này, chú ý rằng, nếu $x \in E_p$ , thì $i(x)$ là một tự đồng cấu của $E^{*gr}$ bậc $-p$ .

Với mọi phần tử thuần nhất $x \in E_p$ , phép nhân phải bởi $x$ cũng được ký hiệu bởi $e'(x)$ và phần tử $u \circ e'(x)$ của $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ , được gọi là tích nội trái của u bởi x, được ký hiệu bởi $x \sqcup u$ ; ta viết $i'(x) = x \sqcup u$ và do đó $i'(x)$ là một tự đồng cấu phân bậc của $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ có bậc $p$ ; như trên, định nghĩa này có thể được mở rộng sang trường hợp $x$ là một phần tử tùy ý của $E$ . Vì trong trường hợp này $e'(xy) = e'(y)e'(x)$ ,

i'(xy) = i'(x) \circ i'(y)

điều này cũng có thể được viết

x \sqcup (y \sqcup u) = (xy) \sqcup u

và cho thấy rằng phép toán ngoài hợp thành $(x, u) \mapsto x \sqcup u$ xác định, cùng với phép cộng, một cấu trúc E-môđun trái trên $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ . Mặt khác, tính kết hợp của $E$ kéo theo $e(x) \circ e'(y) = e'(y) \circ e(x)$ với $x, y$ thuần nhất trong $E$ , do đó có quan hệ

(y \sqcup u) \sqcup x = y \sqcup (u \sqcup x)

nên hai phép toán ngoài hợp thành trên $\mathrm{Homgr}_A(E, P)$ xác định trên tập hợp này một cấu trúc (E, E)-*song môđun* (II, § 1, no. 14).

Khi ta lấy $P = A$ , $i'(x)$ là chuyển vị phân bậc của $e'(x)$ ; nói cách khác, với mọi $x, y$ trong $E$ , $u \in E^{*gr}$ ,

\langle y, x \sqcup u \rangle = \langle yx, u \rangle.

Khi đại số phân bậc $E$ là giao hoán, hiển nhiên $u \sqcup x = x \sqcup u$ . Khi $E$ là phản giao hoán và $P = A$ , thì với $x \in E_p$ , $y \in E_r$ và $u \in E_q^*$ , $yx = (-1)^{pr} xy$ , do đó, theo (37) và (41), $\langle u \sqcup x, y \rangle = (-1)^{pr} \langle y, x \sqcup u \rangle$ . Nhưng vì hai vế của quan hệ này đều bằng không trừ khi $r = q - p$ ,

x \sqcup u = (-1)^{p(q-p)} u \sqcup x.

Cho $F$ là một đại số $A$ phân bậc khác và $\phi : E \to F$ một đồng cấu $A$ của các đại số phân bậc; khi đó $\tilde{\phi} = \mathrm{Hom}(\phi, 1_P) : \mathrm{Homgr}_A(F, P) \to \mathrm{Homgr}_A(E, P)$ là một đồng cấu $A$ phân bậc bậc 0; theo định nghĩa, với $x, y$ trong $E$ và $u \in \mathrm{Homgr}_A(F, P)$

\begin{align*} (\tilde{\phi}(u \sqcup \phi(x)))(y) &= (u \sqcup \phi(x))(\phi(y)) \\ &= u(\phi(x)\phi(y)) = u(\phi(xy)) = (\tilde{\phi}(u))(xy) = (\tilde{\phi}(u) \sqcup x)(y) \end{align*}

hay cũng là

\tilde{\phi}(u \sqcup \phi(x)) = \tilde{\phi}(u) \sqcup x

và tương tự

\tilde{\phi}(\phi(x) \sqcup u) = x \sqcup \tilde{\phi}(u).

Nói cách khác, khi Homgr_A(F, P) được xét như một song môđun (E, E) nhờ đồng cấu vành $\phi : E \to F$ , ta thấy rằng $\tilde{\phi}$ là một đồng cấu song môđun (E, E) (hay cũng là một E-đồng cấu từ song môđun (F, F) Homgr_A(F, P) vào song môđun (E, E) Homgr_A(E, P)).

Ví dụ

Đặc biệt, điều trên có thể được áp dụng khi E là một trong các đại số phân bậc T(M), S(M) hoặc $\bigwedge(M)$ đối với một A-môđun M và P là một A-môđun (với phân bậc tầm thường). Để tìm tường minh các cấu trúc song môđun thu được như vậy, chú ý rằng các phần tử bậc $-n$ của Homgr_A(T(M), P) (tương ứng Homgr_A(S(M), P), tương ứng Homgr_A( $\bigwedge(M)$ , P)) được đồng nhất với các ánh xạ n-tuyến tính (tương ứng các ánh xạ n-tuyến tính đối xứng, tương ứng các ánh xạ n-tuyến tính phản xứng) từ $M^n$ vào P. Chỉ cần biểu diễn các tích

f \sqcup (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p)

(tương ứng $f \sqcup (x_1 x_2 \ldots x_p)$ ), tương ứng $f \sqcup (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p)$ ) với mọi dãy hữu hạn $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ các phần tử của M và các biểu thức tương tự đối với tích nội trái. Từ các định nghĩa suy ra ngay lập tức rằng

f \sqcup (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) = (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) \sqcup f = 0

nếu* $p > n$ và rằng, với $p \leq n$ , $f \sqcup (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p)$ (tương ứng

(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) \sqcup f)

là ánh xạ (n - p)-tuyến tính được định nghĩa bởi

\begin{cases} (f \sqcup (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p))(y_1, \ldots, y_{n-p}) \\ \hspace{10cm} = f(x_1, \ldots, x_p, y_1, \ldots, y_{n-p}) \\ ((x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) \sqcup f)(y_1, \ldots, y_{n-p}) \\ \hspace{10cm} = f(y_1, \ldots, y_{n-p}, x_1, \ldots, x_p). \end{cases}

Với $p > n$ , cũng có trong Homgr_A(S(M), P) (tương ứng Homgr_A( $\bigwedge(M)$ , P)) các công thức (44) trong đó $x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p$ được thay bằng $x_1 x_2 \ldots x_p$ (tương ứng $x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p$ ). Với $p \leq n$ , các phép thay thế tương tự trong (45) xác định các ánh xạ (n - p)-tuyến tính đối xứng $f \sqcup (x_1 x_2 \ldots x_p)$ và $(x_1 x_2 \ldots x_p) \sqcup f$ (tương ứng các ánh xạ (n - p)-tuyến tính *phản xứng

f \sqcup (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) \quad \text{và} \quad (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) \sqcup f).

Khi $n = p$ , các tích trên bằng hàm hằng trên $M$ bằng $f(x_1, \ldots, x_p)$ .

Nếu $u : M \to N$ là một đồng cấu A-môđun, $T(u) : T(M) \to T(N)$ là một đồng cấu đại số $A$ phân bậc, thì từ những gì đã thấy ở trên suy ra rằng $(T(u))^\sim$ là một đồng cấu $T(M)$ từ song môđun $(T(N), T(N))$ $\mathrm{Homgr}_A(T(N), P)$ vào song môđun $(T(M), T(M))$ $\mathrm{Homgr}_A(T(M), P)$ , đối với đồng cấu vành $T(u)$ . Có các kết quả tương tự đối với $(S(u))^\sim$ và $(\wedge(u))^\sim$ .

7. Tích nội: trường hợp của đối đại số

Cho $E = \bigoplus_{p \geq 0} E_p$ là một đối đại số phân bậc có đối kết hợp và có đối đơn vị. Khi đó ta biết (no. 2, Mệnh đề 1 và 3) rằng đối ngẫu phân bậc $E^{*\mathrm{gr}}$ có (với quy ước về các phân bậc đã nêu ở đầu đoạn) một cấu trúc đại số phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ trên $A$ , tích của hai phần tử $u, v$ của đại số này được xác định bởi $uv = m \circ (u \otimes v) \circ c$ , trong đó $c : E \to E \otimes_A E$ là đồng tích và $m : A \otimes_A A \to A$ xác định phép nhân. Nói cách khác, nếu, với $x \in E$ , $c(x) = \sum_i y_i \otimes z_i$ , ta có thể viết (đồng nhất hóa một cách chính tắc $A \otimes_A E$ với $E$ )

\langle x, uv \rangle = (uv)(x) = \sum_i u(y_i)v(z_i) = v\left( \sum_i u(y_i)z_i \right) = v(((u \otimes 1_E) \circ c)(x)) = \langle ((u \otimes 1_E) \circ c)(x), v \rangle.

Điều này có thể được hiểu bằng cách nói rằng, với mọi $u$ thuần nhất bậc $p$ trong $E^{*\mathrm{gr}}$ , phép nhân trái $e(u) : v \mapsto uv$ trong $E^{*\mathrm{gr}}$ là chuyển vị phân bậc của tự đồng cấu phân bậc bậc $-p$

(46)

i(u) = (u \otimes 1_E) \circ c

của $E$ ; do đó, theo ký hiệu trên,

(i(u))(x) = \sum_i u(y_i)z_i.

Công thức (46) cũng xác định một phần tử $i(u) \in \mathrm{Endgr}_A(E)$ với mọi phần tử $u \in E^{*\mathrm{gr}}$ ; với mọi $x \in E$ và mọi $u \in E^{*\mathrm{gr}}$ , ta viết

(47)

x \perp u = (i(u))(x)

để cho, với $u$ và $v$ trong $E^{*\mathrm{gr}}$ ,

\langle x, uv \rangle = \langle x \perp u, v \rangle.

Phần tử $x \perp u$ của $E$ được gọi là tích nội phải của $x$ bởi $u$ .

Ở đây nữa phần tử $u$ "tác động" lên $x$ được đặt ở đầu tự do của đường nằm ngang trong $\underline{\phantom{x}}$ .

Với mọi hai phần tử $u, v$ của $E^{*\mathrm{gr}}$ ,

x \underline{\phantom{(uv)}} = (x \underline{\phantom{u}}) \underline{\phantom{v}},

nói cách khác

i(uv) = i(v) \circ i(u).

Như trên, cho $c(x) = \sum_i y_i \otimes z_i$ , để cho $x \underline{\phantom{(uv)}} = \sum_i (uv)(y_i)z_i$ . Nếu

c(y_i) = \sum_j y_{ij}' \otimes y_{ij}'',

thì

x \underline{\phantom{(uv)}} = \sum_{i,j} u(y_{ij}')v(y_{ij}'')z_i.

Mặt khác, nếu $c(z_i) = \sum_k z_{ik}' \otimes z_{ik}''$ , thì

(x \underline{\phantom{u}}) \underline{\phantom{v}} = \sum_{i,k} u(y_i)v(z_{ik}')z_{ik}''.

Bây giờ, tính đối kết hợp của $E$ cho thấy rằng (no. 2, Mệnh đề 1)

\sum_{i,j} y_{ij}' \otimes y_{ij}'' \otimes z_i = \sum_{i,k} y_i \otimes z_{ik}' \otimes z_{ik}''

và đẳng thức của các biểu thức (49) và (50) suy ra từ sự kiện rằng chúng lần lượt là ảnh của vế trái và vế phải của (51) dưới ánh xạ tuyến tính $f$ từ $E \otimes E \otimes E$ tới $E$ sao cho $f(x \otimes y \otimes z) = u(x)v(y)z$ .

Mặt khác, ta nhắc lại (no. 2, Mệnh đề 3) rằng phần tử đơn vị của đại số $E^{*\mathrm{gr}}$ là dạng tuyến tính $e : x \mapsto \gamma(x).1$ ; do đó

x \underline{\phantom{e}} = \sum_i \gamma(y_i)z_i = x

do định nghĩa của đồng đơn vị. Vì ánh xạ $u \mapsto i(u)$ là tuyến tính, ta thấy rằng phép toán ngoài hợp thành $(u, x) \mapsto x \underline{\phantom{u}}$ xác định một cấu trúc môđun phải trên $E$ đối với $E^{*\mathrm{gr}}$ .

Tương tự, với mọi $u \in E^{*\mathrm{gr}}$ , ta định nghĩa tự đồng cấu của $E$

i'(u) = (1_E \otimes u) \circ c

và, với mọi $x \in E$ , ta viết

(i'(u))(x) = u \underline{\phantom{x}}

và phần tử này của $E$ được gọi là tích nội trái của x bởi u. Như trên, ta thấy rằng phép toán ngoài $(u, v) \mapsto u \sqcup x$ xác định một cấu trúc môđun trái trên $E$ đối với $E^{*\mathrm{gr}}$ . Hơn nữa, hai cấu trúc này là tương thích, nói cách khác,

(54)

(u \sqcup x) \sqcap v = u \sqcup (x \sqcap v)

với $u, v$ trong $E^{*\mathrm{gr}}$ (II, § 1, no. 14). Với cùng các ký hiệu như trên, vế trái của (54) là $\sum_{i,j} u(z_i)v(y_{ij}')y_{ij}''$ và vế phải là $\sum_{i,k} v(y_i)u(z_{ik}'')z_{ik}'$ ; đẳng thức của chúng suy ra từ việc chúng là các ảnh tương ứng của vế trái và vế phải của (51) dưới ánh xạ tuyến tính $g$ từ $E \otimes E \otimes E$ vào $E$ sao cho $g(x \otimes y \otimes z) = v(x)u(z)y$ .

Do đó ta thấy rằng hai phép toán ngoài hợp thành trên $E$ xác định trên tập hợp này một cấu trúc $(E^{*\mathrm{gr}}, E^{*\mathrm{gr}})$ *-song môđun*.

Khi đối đại số $E$ là đối giao hoán, thì $u \sqcup x = x \sqcap u$ với mọi $x \in E$ và $u \in E^{*\mathrm{gr}}$ ; khi nó là phản đối giao hoán (§ 4, no. 9) và $u \in E_p^*$ và $x \in E_q$ , ta có thể viết $c(x) = \sum_{0 \leq j \leq q} \left( \sum_i y_{ij} \otimes z_{i, q-j} \right)$ với $y_{ij}$ và $z_{ij}$ trong $E_j$ với mọi $j$ và khi đó theo giả thiết

\sum_i z_{ij} \otimes y_{i, q-j} = (-1)^{j(q-j)} \sum_i y_{ij} \otimes z_{i, q-j}.

Theo định nghĩa, $x \sqcap u = \sum_{0 \leq j \leq q} \left( \sum_i u(y_{ij})z_{i, q-j} \right)$ và

u \sqcup x = \sum_{0 \leq j \leq q} \left( \sum_i u(z_{i, q-j})y_{ij} \right).

Vì $u(y_{ij}) = 0$ (tương ứng $u(z_{i, q-j}) = 0$ trừ khi $j = p$ (tương ứng $q - j = p$ ), nên từ điều trên ta thấy rằng $u \sqcup x = (-1)^{p(q-p)} x \sqcap u$ .

Sau cùng, cho $\phi : E \to F$ là một cấu xạ đối đại số phân bậc; khi đó ta đã thấy (no. 2) rằng chuyển vị phân bậc $t\phi : F^{*\mathrm{gr}} \to E^{*\mathrm{gr}}$ là một đồng cấu đại số phân bậc; do đó, với $x \in E$ , $u, v$ trong $F^{*\mathrm{gr}}$ ,

\langle \phi(x \sqcap t\phi(u)), v \rangle = \langle x \sqcap t\phi(u), t\phi(v) \rangle = \langle x, t\phi(u)t\phi(v) \rangle = \langle x, t\phi(uv) \rangle

= \langle \phi(x), uv \rangle = \langle \phi(x) \sqcap u, v \rangle

do đó

(55)

\phi(x) \sqcap u = \phi(x \sqcap t\phi(u));

và tương tự,

(56)

u \sqcup \phi(x) = \phi(t\phi(u) \sqcup x).

Nói cách khác, $\phi$ là một $F^{*\mathrm{gr}}$ *-đồng cấu* của $E$ $(E^{*\mathrm{gr}}, E^{*\mathrm{gr}})$ -*song môđun* vào $F$ $(F^{*\mathrm{gr}}, F^{*\mathrm{gr}})$ -*song môđun*, đối với đồng cấu vành

t\phi : F^{*\mathrm{gr}} \to E^{*\mathrm{gr}}.

Ví dụ

Đặc biệt, điều trên có thể được áp dụng khi E là một trong các đối đại số phân bậc T(M), S(M) hoặc $\Lambda(M)$ của một A-môđun M (no. 1, Ví dụ 5, 6 và 7). Để xác định tường minh các cấu trúc song môđun thu được như vậy, ta lại đồng nhất một phần tử thuần nhất f bậc n trong $T(M)^{*gr}$ (resp. $S(M)^{*gr}$ , resp. $\Lambda(M)^{*gr}$ ) với một dạng n-tuyến tính (resp. dạng n-tuyến tính đối xứng, resp. dạng n-tuyến tính phản xứng, cũng gọi là một n-dạng) trên $M^n$ . Chỉ cần biểu diễn các tích

(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) \triangleleft f \text{ (resp. } (x_1 x_2 \ldots x_p) \triangleleft f,

resp. $(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) \triangleleft f$ với mọi dãy hữu hạn $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ các phần tử của M và các biểu thức tương tự đối với tích nội trái. Bây giờ, các định nghĩa (46) và (52) và các công thức (3), (6) và (9) của no. 1 lần lượt cho:

\begin{cases} (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) \triangleleft f = f \triangleright (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) = 0 \\ (x_1 x_2 \ldots x_p) \triangleleft f = f \triangleright (x_1 x_2 \ldots x_p) = 0 \quad \text{với } p < n. \\ (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) \triangleleft f = f \triangleright (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) = 0 \end{cases}

Với $p \geq n$ , ta có lần lượt

(58) $(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) \triangleleft f = f(x_1, \ldots, x_n)x_{n+1} \otimes \cdots \otimes x_p$

(59) $(x_1 x_2 \ldots x_p) \triangleleft f = \sum_{\sigma} f(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})x_{\sigma(n+1)} \cdots x_{\sigma(p)}$

(60) $(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) \triangleleft f = \sum_{\sigma} \varepsilon_{\sigma} f(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})x_{\sigma(n+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}$

(trong đó, trong (59) và (60), các phép lấy tổng được thực hiện trên các hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ tăng trên mỗi khoảng $[1, n]$ và $[n+1, p]$ của $\mathbf{N}$ ; và tương tự

(61) $f \triangleright (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p) = f(x_{p-n+1}, \ldots, x_p)x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_{p-n}$

(62) $f \triangleright (x_1 x_2 \ldots x_p) = \sum_{\sigma} f(x_{\sigma(p-n+1)}, \ldots, x_{\sigma(p)})x_{\sigma(1)} \cdots x_{\sigma(p-n)}$

(63) $f \triangleright (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p) = \sum_{\sigma} \varepsilon_{\sigma} f(x_{\sigma(p-n+1)}, \ldots, x_{\sigma(p)})x_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p-n)}$

(trong đó, trong (62) và (63), các phép lấy tổng được thực hiện trên các hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ tăng trên mỗi khoảng $[1, p-n]$ và $[p-n+1, p]$ của $\mathbf{N}$ ).

8. Tích nội: trường hợp của song đại số

Cho E là một song đại số phân bậc (resp. song đại số phân bậc xiên) (no. 4, Định nghĩa 3); khi đó các kết quả của các số 6 và 7 có thể được áp dụng để định nghĩa các tích nội phải (resp. trái) $x \triangleleft u \in E$ và $u \triangleleft x \in E^{*gr}$ (resp. $u \triangleright x \in E$ và $x \triangleright u \in E^{*gr}$ ) với mọi $x \in E$ và mọi $u \in E^{*\mathrm{gr}}$ . Như vậy thu được trên $E$ một cấu trúc $(E, E)$ -song môđun và một cấu trúc $(E^{*\mathrm{gr}}, E^{*\mathrm{gr}})$ -song môđun. Hơn nữa:

Mệnh đề 9

Cho $E$ là một song đại số phân bậc (resp. song đại số phân bậc xiên). Với mọi phần tử $x$ bậc 1 trong $E$ , các tích nội trái và phải theo $x$ là các đạo hàm (resp. phản đạo hàm) ( $§ 10$ , no. 2) của đại số $E^{*\mathrm{gr}}$ .

Theo ký hiệu của no. 6, đối với mọi phần tử thuần nhất $x$ có bậc 1 trong một bigebra phân bậc (tương ứng, một bigebra phân bậc xiên) $E$ ,

c(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x,

theo Mệnh đề 5 của no. 3 và do

c

là một đồng cấu bậc 0. Trước hết giả sử

E

là một bigebra phân bậc. Với mọi

y \in E

, theo định nghĩa

\langle (uv) \mathbin{\&} x, y \rangle = \langle uv, xy \rangle = m((u \otimes v)(c(xy)))

và vì

c

là một đồng cấu đại số, nên

c(xy) = c(x)c(y)

. Đặt

c(y) = \sum_i s_i \otimes t_i

với

s_i

và

t_i

thuộc

E

; do đó

c(xy) = \sum_i (xs_i) \otimes t_i + \sum_i s_i \otimes (xt_i).

Do đó

\langle (uv) \mathbin{\&} x, y \rangle = \sum_i u(xs_i)v(t_i) + \sum_i u(s_i)v(xt_i)

. Nhưng ta có thể viết

\sum_i u(xs_i)v(t_i) = m(((u \mathbin{\&} x) \otimes v)(c(y))) = \langle (u \mathbin{\&} x)v, y \rangle

và tương tự

\sum_i u(s_i)v(xt_i) = m((u \otimes (v \mathbin{\&} x))(c(y))) = \langle u(v \mathbin{\&} x), y \rangle,

do đó, trở lại ký hiệu

i(x)

cho phép nhân nội,

(64)

(i(x))(uv) = ((i(x))(u))v + u((i(x))(v))

điều này chứng minh rằng

i(x)

là một đạo hàm trong

E^{*\mathrm{gr}}

Bây giờ giả sử $E$ là một bigebra phân bậc xiên, $u \in E_p^*$ , $v \in E_q^*$ và $y \in E_r$ ; khi đó ta có thể viết

c(y) = \sum_{0 \leq j \leq r} \left( \sum_i s_{ij} \otimes t_{i,r-j} \right)

trong đó các

s_{ij}

và

t_{ij}

thuộc

E_j

; theo định nghĩa của tích trong

E^g \otimes_A E

, khi đó

c(xy) = c(x)c(y) = \sum_{0 \leq j \leq r} \left( \sum_i (xs_{ij}) \otimes t_{i,r-j} + (-1)^j \sum_i s_{ij} \otimes (xt_{i,r-j}) \right)

do đó lần này

\langle (uv) \mathbin{\&} x, y \rangle = \sum_{0 \leq j \leq r} \left( \sum_i u(xs_{ij})v(t_{i,r-j}) + (-1)^j \sum_i u(s_{ij})v(xt_{i,r-j}) \right).

Khi đó cũng có $\sum_{0 \leq j \leq r} \left( \sum_i u(x s_{ij}) v(t_{i,r-j}) \right) = \langle (u \sqcup x)v, y \rangle$ . Mặt khác, $u(s_{ij}) = 0$ trừ khi $j = -p$ và do đó ta cũng có thể viết

\sum_{0 \leq j \leq r} (-1)^j \left( \sum_i u(s_{ij}) v(x t_{i,r-j}) \right) = (-1)^p \langle u(v \sqcup x), y \rangle.

Vì vậy ta kết luận rằng

(i(x))(uv) = ((i(x))(u))v + (-1)^p u((i(x))(v)),

nói cách khác

i(x)

là một phản đạo hàm trong

E^{*gr}

. Các khẳng định liên hệ với phép nhân nội trái bởi một phần tử

x

bậc 1 trong

E

được chứng minh tương tự.

Nhận xét

(1) Cho $E$ là một song đại số phân bậc trên $A$ và $N, N', N''$ là ba $A$ -môđun phân bậc. Cho $m$ là một ánh xạ $A$ -song tuyến tính từ $N \times N'$ vào $N''$ ; với $u \in \mathrm{Homgr}_A(E, N)$ và $v \in \mathrm{Homgr}_A(E, N')$ , ký hiệu $u.v$ là đồng cấu phân bậc $m \circ (u \otimes v) \circ c$ từ $E$ vào $N''$ . Mặt khác, ký hiệu $i(x)$ là tích nội (phải hoặc trái) bởi $x \in E$ trong các $A$ -môđun $\mathrm{Homgr}_A(E, N)$ , $\mathrm{Homgr}_A(E, N')$ và $\mathrm{Homgr}_A(E, N'')$ . Khi đó, nếu $x$ có bậc 1,

(i(x))(u.v) = ((i(x))(u)).v + u.((i(x))(v))

với mọi

u \in \mathrm{Homgr}_A(E, N)

và

v \in \mathrm{Homgr}_A(E, N')

Trong cùng các điều kiện ấy, nếu $E$ là một song đại số phân bậc xiên và $u$ thuần nhất bậc $p$ , thì

(i(x))(u.v) = ((i(x))(u)).v + (-1)^p u.((i(x))(v)).

Các chứng minh cũng giống như trong Mệnh đề 9.

(2) Lập luận như trong chứng minh trên còn chứng minh, nói chung hơn, rằng với mọi $x \in E$ , nếu $c(x) = \sum_j x'_j \otimes x''_j$ , thì với mọi $u, v$ trong $E^{*gr}$ , "công thức Leibniz"

(i(x))(uv) = \sum_j (i(x'_j))(u).(i(x''_j))(v)

được thỏa mãn. Đặc biệt, đối với mọi phần tử nguyên thủy của một song đại số phân bậc

E

, nghĩa là sao cho

c(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x

, thì

i(x)

là một đạo hàm của

E^{*gr}

Mệnh đề 10

Cho $E$ là một song đại số phân bậc (tương ứng, song đại số phân bậc xiên). Với mọi phần tử $f$ bậc 1 của $E^{*gr}$ , các tích nội trái và phải là những đạo hàm (tương ứng, phản đạo hàm) của đại số $E$ .

Cho $x \in E_p, y \in E_q$ ( $p \geq 1, q \geq 1$ ). Theo Mệnh đề 5 của no. 3, ta có thể viết

c(x) = x \otimes 1 + \sum_{1 \leq j \leq p-1} \left( \sum_i x'_{ij} \otimes x''_{ij,p-j} \right) + 1 \otimes x

c(y) = y \otimes 1 + \sum_{1 \leq k \leq q-1} \left( \sum_i y'_{i,k} \otimes y''_{i,q-k} \right) + 1 \otimes y

trong đó $x'_{ij}$ và $x''_{ij}$ thuộc $E_j$ , $y'_{ik}$ và $y''_{ik}$ thuộc $E_k$ . Nếu $E$ là một đại số kép phân bậc, thì thành phần của $c(xy) = c(x)c(y)$ thuộc $E_1 \otimes E$ bằng

\sum_i x'_{i,1} \otimes x''_{i,p-1}y + \sum_i y'_{i,1} \otimes xy''_{i,q-1}

và do đó theo định nghĩa

(xy) \leftarrow f = \sum_i f(x'_{i,1})x''_{i,p-1}y + \sum_i f(y'_{i,1})xy''_{i,q-1}

= (x \leftarrow f)y + x(y \leftarrow f)

và tích nội phải bởi

f

là một đạo hàm. Nếu ngược lại

E

là một đại số kép phân bậc xiên, thì thành phần của

c(xy)

thuộc

E_1 \otimes E

bằng

\sum_i x'_{i,1} \otimes x''_{i,p-1}y + (-1)^p \sum_i y'_{i,1} \otimes xy''_{i,q-1}

và lần này ta được

(xy) \leftarrow f = (x \leftarrow f)y + (-1)^p x(y \leftarrow f)

điều đó cho thấy khi ấy

i(f)

là một phản đạo hàm. Lập luận là tương tự đối với tích nội trái bởi

f

Ví dụ

Các Mệnh đề 9 và 10 áp dụng đặc biệt cho đại số kép phân bậc $S(M)$ và đại số kép phân bậc xiên $\Lambda(M)$ . Các tích nội bởi các phần tử bậc 1 trong $S(M)$ (resp. $S(M)^{*gr}$ ) là những đạo hàm giao hoán với nhau, vì $S(M)$ (resp. $S(M)^{*gr}$ ) là giao hoán.

Tương tự, các tích nội bởi các phần tử bậc 1 trong $\Lambda(M)$ (resp. $\Lambda(M)^{*gr}$ ) là những phản đạo hàm, chúng có bình phương không, vì bình phương của một phần tử bậc 1 trong đại số $\Lambda(M)$ (resp. $\Lambda(M)^{*gr}$ ) bằng không.

9. TÍCH NỘI GIỮA $T(M)$ VÀ $T(M^)$ , $S(M)$ VÀ $S(M^)$ , $\Lambda(M)$ VÀ $\Lambda(M^*)$

Tích nội phải xác định trên $T(M)$ (resp. $S(M)$ , resp. $\Lambda(M)$ ) một cấu trúc môđun phải trên đại số $T(M)^{*gr}$ (resp. $S(M)^{*gr}$ , resp. $\Lambda(M)^{*gr}$ ) (no. 7, Ví dụ). Dùng các đồng cấu chính tắc $\theta_T$ (resp. $\theta_S$ , resp. $\theta_\Lambda$ ) ở no. 5, ta suy ra một cấu trúc môđun phải trên $T(M)$ đối với $T(M^*)$ một cấu trúc môđun phải trên $S(M)$ đối với $S(M^*)$ một cấu trúc môđun trái trên $\Lambda(M)$ đối với $\Lambda(M^*)$ .

Phép toán ngoài của bất kỳ cấu trúc nào trong các cấu trúc ấy cũng được ký hiệu bởi

(z^*, t) \mapsto i(z^*) \cdot t

(theo lối nói lạm dụng); ta cũng viết $t \prec z^*$ thay cho $i(z^*) . t$ trong trường hợp của $T(M)$ hoặc $S(M)$ ; trái lại, ta viết $z^* \prec t$ trong trường hợp của $\Lambda(M)$ và nói rằng đó là một tích nội trái của $t$ bởi $z^*$ , vì khi đó ta có một luật $\Lambda(M^*)$ -môđun trái. Với $z^*$ thuần nhất bậc $n$ và $t$ thuần nhất bậc $p$ , ta có $i(z^*) . t = 0$ nếu $p < n$ và, với $x_i \in M$ ( $1 \leq i \leq p$ ), $x_j^* \in M^*$ ( $1 \leq j \leq n$ ) và $p \geq n$ , theo các công thức (58), (59) và (60) của no. 7,

(66)\quad i(x_1^* \otimes x_2^* \otimes \cdots \otimes x_n^*) . (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p)

= \left( \prod_{j=1}^n \langle x_j^*, x_j \rangle \right) x_{n+1} \otimes \cdots \otimes x_p

(67)\quad i(x_1^* x_2^* \ldots x_n^*) . (x_1 x_2 \ldots x_p) = \sum_\sigma \left( \prod_{j=1}^n \langle x_j^*, x_{\sigma(j)} \rangle \right) x_{\sigma(n+1)} \cdots x_{\sigma(p)}

(68)\quad i(x_1^* \wedge x_2^* \wedge \cdots \wedge x_n^*) . (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p)

= (-1)^{n(n-1)/2} \sum_\sigma \varepsilon_\sigma \left( \prod_{j=1}^n \langle x_j^*, x_{\sigma(j)} \rangle \right) x_{\sigma(n+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}

trong đó, trong các công thức (67) và (68), $\sigma$ chạy qua tập hợp các hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ mà tăng trên các khoảng $\{1, n\}$ và $\{n + 1, p\}$ .

Ta cũng có thể viết, theo ký hiệu tích nội,

\langle t \prec u^*, v^* \rangle = \langle t, \theta_T(u^* v^*) \rangle \quad \text{với } t \in T(M), u^*, v^* \text{ trong } T(M^*)

\langle t \prec u^*, v^* \rangle = \langle t, \theta_S(u^* v^*) \rangle \quad \text{với } t \in S(M), u^*, v^* \text{ trong } S(M^*)

\langle v^*, u^* \prec t \rangle = \langle \theta_\Lambda(u^* \wedge v^*), t \rangle \text{ với } t \in \Lambda(M), u^*, v^* \text{ trong } \Lambda(M^*).

Ta để cho người đọc nhiệm vụ tìm tường minh các công thức tương tự đối với các tích nội trái, lần này dùng các công thức (61), (62) và (63).

Điều trên có thể được áp dụng với $M$ được thay bằng đối ngẫu của nó $M^*$ ; khi đó $M^*$ phải được thay bằng song đối ngẫu $M^{**}$ và chẳng hạn $T(M^*)$ do đó có một cấu trúc môđun phải trên đại số $T(M^{**})$ . Nhưng ánh xạ chính tắc $c_M : M \to M^{**}$ xác định một đồng cấu đại số $T(c_M) : T(M) \to T(M^{**})$ , nhờ đó $T(M^*)$ có một cấu trúc $T(M)$ -*môđun* phải. Tương tự $S(M^*)$ (resp. $\Lambda(M^*)$ ) có một cấu trúc $S(M)$ -*môđun* phải (resp. $\Lambda(M)$ -*môđun* trái). Các công thức tường minh cho các luật ngoài của các môđun này được dẫn xuất ngay lập tức từ trên bằng cách hoán đổi vai trò của $M$ và $M^*$ . Chú ý rằng, với mọi $x \in M$ , $i(x)$ luôn luôn là một đạo hàm (resp. phản đạo hàm có bình phương không) của đại số phân bậc $S(M^*)$ (resp. $\Lambda(M^*)$ ).

Mệnh đề 11

Đồng cấu chính tắc* $\theta_T : T(M^*) \to T(M)^{*gr}$ (resp. $\theta_S : S(M) \to S(M)^{*gr}$ , resp. $\theta_\Lambda : \Lambda(M^*) \to \Lambda(M)^{*gr}$ ) là một đồng cấu $T(M)$ -*môđun* phải (resp. $S(M)$ -*môđun* phải, resp. $\Lambda(M)$ -*môđun* trái).

Trước hết ta chứng minh rằng, với $z^* \in T(M^*)$ và $t \in T(M)$ ,

\theta_T(z^* \wedge t) = \theta_T(z^*) \wedge t.

Vì $M$ là một hệ sinh của đại số $T(M)$ , ta chỉ cần chứng minh (69) khi $t = x \in M$ ; hơn nữa ta có thể chỉ xét trường hợp $z^* = x_1^* \otimes x_2^* \otimes \cdots \otimes x_p^*$ , trong đó các $x_j^* \in M^*$ , và khi đó, theo (66) với vai trò của $M$ và $M^*$ đổi cho nhau, $z^* \wedge x = \langle x, x_1^* \rangle x_2^* \otimes \cdots \otimes x_p^*$ . Do đó, với mọi $y_2, \ldots, y_p$ trong $M$ ,

\begin{align*} \langle \theta_T(z^* \wedge x), y_2 \otimes y_3 \otimes \cdots \otimes y_p \rangle &= \langle x, x_1^* \rangle \prod_{j=2}^p \langle y_j, x_j^* \rangle \\ &= \langle \theta_T(z^*), x \otimes y_2 \otimes \cdots \otimes y_p \rangle \\ &= \langle \theta_T(z^*) \wedge x, y_2 \otimes \cdots \otimes y_p \rangle \end{align*}

do đó có (69).

Tiếp theo, ta chứng minh rằng với $z^* \in S(M^*)$ và $t \in S(M)$ ,

\theta_S(z^* \wedge t) = \theta_S(z^*) \wedge t.

Như trên, ta có thể chỉ xét trường hợp $t = x \in M$ . Nhưng hơn nữa, ở đây $i(x)$ là một đạo hàm của $S(M^*)$ và là một đạo hàm của $S(M)^{*gr}$ . Do đó (§ 10, no. 7, Hệ quả của Mệnh đề 9) chỉ cần kiểm tra (70) với $z^* = x^* \in M^*$ , vì $M^*$ là một hệ sinh của $S(M^*)$ ; nhưng điều này là tầm thường, vì khi đó hai vế đều bằng $\langle x^*, x \rangle$ . Một lập luận tương tự chứng minh quan hệ

\theta_\wedge(t \wedge z^*) = t \wedge \theta_\wedge(z^*)

với $z^* \in \Lambda(M^*)$ và $t \in \Lambda(M)$ : khi đó hãy lưu ý rằng, với $x \in M$ , $i(x)$ là một phản đạo hàm trong $\Lambda(M^*)$ cũng như trong $\Lambda(M)^{*gr}$ và dùng § 10, no. 7, Hệ quả của Mệnh đề 9. Có một kết quả tương tự đối với các tích nội trái.

10. Dạng tường minh của các tích nội trong trường hợp một môđun tự do sinh hữu hạn

Cho $M$ là một $A$ -môđun tự do sinh hữu hạn, $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ một cơ sở của $M$ và $(e_i^*)_{1 \leq i \leq n}$ cơ sở đối ngẫu của $M^*$ . Với mọi dãy hữu hạn $s = (i_1, \ldots, i_p)$ gồm các phần tử của $\{1, n\}$ , đặt $e_s = e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes \cdots \otimes e_{i_p}$ (tương ứng, $e_s^* = e_{i_1}^* \otimes \cdots \otimes e_{i_p}^*$ ). Ta biết (§ 5, no. 5, Định lý 1) rằng các $e_s$ lập thành một cơ sở của $A$ -môđun $T(M)$ và các $e_s^*$ lập thành một cơ sở của $A$ -môđun $T(M^*)$ . Nếu $s, t$ là hai dãy hữu hạn gồm các phần tử của $\{1, n\}$ , ký hiệu $s.t$ là dãy thu được như sau: nếu $s = (i_1, \ldots, i_p)$ và $t = (j_1, \ldots, j_q)$ , thì $s.t$ là dãy $(i_1, \ldots, i_p, j_1, \ldots, j_q)$ có $p + q$ số hạng. Khi đó $e_{s.t} = e_s \otimes e_t$ . Suy ra từ (66) rằng

\begin{cases} e_s \wedge e_t^* = 0 & \text{nếu } s \text{ không có dạng } t.u \\ e_{t.u} \wedge e_t^* = e_u. \end{cases}

Tương tự, đại số đối xứng $S(M)$ có cơ sở là tập hợp các đơn thức $e^\alpha$ với $\alpha \in \mathbf{N}^n$ (§ 6, no. 6, Định lý 1) và $S(M^*)$ có cơ sở là tập hợp các đơn thức $e^{*\alpha}$ với $\alpha \in \mathbf{N}^n$ ; nhắc lại rằng (no. 5) $u_\alpha$ , với $|\alpha| = k$ , ký hiệu phần tử của cơ sở của $(S^k(M))^*$ , đối ngẫu với cơ sở $(e^\alpha)_{|\alpha|=k}$ của $S^k(M)$ ; do đó các $u_\alpha$ , với $\alpha \in \mathbf{N}^n$ , tạo thành một cơ sở của $S(M)^{*gr}$ . Định nghĩa của tích nội phải bởi $e^\beta$ trong $S(M)^{*gr}$ như là chuyển vị của phép nhân bởi $e^\beta$ trong $S(M)$ khi đó cho thấy rằng

\begin{cases} u_\alpha \perp e^\beta = 0 & \text{nếu } \alpha \not\geq \beta \\ u_\alpha \perp e^\beta = u_{\alpha-\beta} & \text{nếu } \alpha \geq \beta. \end{cases}

(73)

Tương tự, vì ở đây $S(M)$ được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu phân bậc của $S(M)^{*gr}$ , $i(u_\beta)$ là chuyển vị phân bậc của phép nhân bởi $u^\beta$ trong $S(M)^{*gr}$ và do đó từ bảng phép nhân (33) (no. 5) của cơ sở $(u_\alpha)$ ta suy ra rằng

\begin{cases} e^\alpha \perp u_\beta = 0 & \text{nếu } \alpha \not\geq \beta \\ e^\alpha \perp u_\beta = (\beta, \alpha - \beta)e^{\alpha-\beta} & \text{nếu } \alpha \geq \beta. \end{cases}

(74)

Đối với tích nội phải của một phần tử của $S(M)$ bởi một phần tử của $S(M^*)$ , định nghĩa của tích này (no. 9) và công thức (34) của no. 5 cho phép ta suy ra từ (74) các công thức

\begin{cases} e^\alpha \perp e^{*\beta} = 0 & \text{nếu } \alpha \not\geq \beta \\ e^\alpha \perp e^{*\beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha-\beta)!} e^{\alpha-\beta} & \text{nếu } \alpha \geq \beta. \end{cases}

(75)

Có các công thức tương tự đối với tích nội của một phần tử của $S(M^*)$ bởi một phần tử của $S(M)$ khi đổi chỗ vai trò của $M$ và $M^*$ (vì ở đây $M^{**}$ được đồng nhất với $M$ ).

Nhận xét

Việc cho cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ cho phép ta đồng nhất đại số $S(M)$ với đại số đa thức $A[X_1, \ldots, X_n]$ (§ 6, no. 6); công thức (75) cho thấy rằng tích nội bởi $e^{*\alpha}$ chỉ là toán tử vi phân $D^\alpha = D_1^{\alpha_1}D_2^{\alpha_2}\ldots D_n^{\alpha_n}$ , trong đó $D_i = \partial/\partial X_i$ với $1 \leq i \leq n$ (§ 10, no. 11, Ví dụ).

Sau cùng, xét đại số ngoài $\Lambda(M)$ , đại số này có cơ sở là tập hợp các phần tử $e_J$ , trong đó $J$ chạy qua tập hợp các tập con của khoảng $\{1, n\}$ của $\mathbf{N}$ (§ 7, no. 8, Định lý 1); tương tự $\Lambda(M^*)$ có cơ sở là các phần tử $e_J^*$ . Từ công thức (68) của no. 9 suy ra rằng

\begin{cases} e_K^* \wedge e_J = 0 & \text{nếu } K \notin J \\ e_K^* \wedge e_J = (-1)^{p(p-1)/2} \rho_{K, J-K} e_{J-K} & \text{nếu } K \subset J \text{ và } p = \operatorname{Card}(K), \end{cases}

(76)

trong đó $\rho_{K, J-K}$ là số được định nghĩa bởi công thức (19) của § 7, no. 8. Có các công thức tương tự khi đổi chỗ vai trò của $M$ và $M^*$ .

11. Các đẳng cấu giữa $\wedge^p(M)$ và $\wedge^{n-p}(M^*)$ cho một môđun tự do m có $n$ chiều

Mệnh đề 12

Cho M là một A-môđun tự do có chiều n; cho $e \in \wedge^n(M)$ là một phần tử tạo thành một cơ sở của $\wedge^n(M)$ và cho $e^*$ là phần tử của $\wedge^n(M^*)$ sao cho $\{(-1)^{n(n-1)/2} \theta_{\wedge}(e^*)\}$ là cơ sở đối ngẫu của $\{e\}$ trong $(\wedge^n(M))^*$ . Gọi $\phi : \wedge(M^*) \to \wedge(M)$ là ánh xạ $z \mapsto z \wedge e^*$ và $\phi' : \wedge(M^*) \to \wedge(M)$ là ánh xạ $z^* \mapsto z^* \wedge e$ . Gọi $\phi_p$ (resp. $\phi'_p$ ) là hạn chế của $\phi$ (resp. $\phi'$ ) trên $\wedge^p(M)$ (resp. $\wedge^p(M^*)$ ). Khi đó:

(i) *Ánh xạ $\phi$ là một đẳng cấu A-môđun trái trên $\wedge(M)$ và ánh xạ $\phi'$ là một đẳng cấu A-môđun trái trên $\wedge(M^*)$ ; hơn nữa các ánh xạ $\phi$ và $\phi'$ là nghịch đảo của nhau.

(ii) *Ánh xạ $\phi_p$ là một đẳng cấu của A-môđun $\wedge^p(M)$ lên A-môđun $\wedge^{n-p}(M^*)$ và ánh xạ $\phi'_p$ là một đẳng cấu của A-môđun $\wedge^p(M^*)$ lên A-môđun $\wedge^{n-p}(M)$ .

(iii) *Nếu ta viết $B(u, v^*) = \langle u, \theta_{\wedge}(v^*) \rangle$ với $u \in \wedge(M)$ và $v^* \in \wedge(M^*)$ thì, với $u^* \in \wedge^p(M^*)$ và $v^* \in \wedge^{n-p}(M^*)$ ,

B(\phi'_p(u^*), v^*) = (-1)^{p(n-p)} B(u^*, \phi'_{n-p}(v^*)).

Việc $\phi$ là $\wedge(M)$ -tuyến tính và $\phi'$ là $\wedge(M^*)$ -tuyến tính suy ra từ các công thức $(u \wedge v) \wedge e^* = u \wedge (v \wedge e^*)$ và $(u^* \wedge v^*) \wedge e = u^* \wedge (v^* \wedge e)$ (no. 6, công thức (37)), dùng sự kiện rằng $\theta_{\wedge}$ là một đẳng cấu từ $\wedge(M^*)$ lên đại số đối của $\wedge(M)^*$ . Mặt khác tồn tại một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ của M sao cho

e = e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n \quad \text{và} \quad e^* = (-1)^{n(n-1)/2} e_1^* \wedge e_2^* \wedge \cdots \wedge e_n^*,

trong đó $(e_i^*)$ là cơ sở đối ngẫu với $(e_i)$ . Ta viết $I = \{1, n\}$ ; suy ra từ (76) rằng, với mọi tập con J của I có p phần tử,

\begin{cases} \phi(e_J) = (-1)^{n(n-1)/2 + p(p-1)/2} \rho_{J, I-J} e_I^* J \\ \phi'(e_J^*) = (-1)^{p(p-1)/2} \rho_{J, I-J} e_{I-J}. \end{cases}

Điều này chứng minh rằng $\phi$ và $\phi'$ là song ánh; hơn nữa $\rho_{J, I-J} \rho_{I-J, J} = (-1)^{p(n-p)}$ (§ 7, no. 8, công thức (21)); vì số

\frac{n(n-1)}{2} + \frac{p(p-1)}{2} + \frac{(n-p)(n-p-1)}{2} + p(n-p) = n(n-1)

là chẵn, suy ra $\phi$ và $\phi'$ là các ánh xạ ngược của nhau. Sau cùng, để chứng minh (77), chỉ cần lấy $u^* = e_J^*$ và $v^* = e_{I-J}^*$ ; việc kiểm tra cũng suy ra từ định nghĩa của $\theta_{\wedge}$ , các công thức (78) và quan hệ $\rho_{J, I-J} \rho_{I-J, J} = (-1)^{p(n-p)}$ (§ 7, no. 8, công thức (21)). Chú ý rằng, với $u^* \in \wedge^p(M^*)$ và $v^* \in \wedge^{n-p}(M^*)$ ,

B(\phi_p'(u^*), v^*) là, sai khác một dấu, hệ số của $u^* \wedge v^*$ theo cơ sở $\{e^*\}$ của $\Lambda^n(M^*)$ .

Mệnh đề 13

Dưới các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 11, với mọi tự đồng cấu g của A-môđun M.

(79)

(\det g)\phi = \Lambda^{(tg)} \circ \phi \circ \Lambda(g).

Rõ ràng $\Lambda^{(tg)} = \theta_{\Lambda}^{-1} \circ (t\Lambda(g)) \circ \theta_{\Lambda}$ ; vì $\Lambda(g)$ là một tự đồng cấu của đại số $\Lambda(M)$ và theo định nghĩa, với mọi

z \in \Lambda(M), \quad \theta_{\Lambda}(\Lambda(g)(z) \perp e^*) = \theta_{\Lambda}(e^*) \perp \theta_{\Lambda}(\Lambda(g)(z)),

ta suy ra từ công thức (42) của no. 6 rằng

((\theta_{\Lambda}^{-1} \circ (t\Lambda(g)) \circ \theta_{\Lambda}) \circ \phi \circ \Lambda(g))(z) = \theta_{\Lambda}^{-1}(t\Lambda(g)(\theta_{\Lambda}(e^*)) \perp z) = z \perp (\Lambda^{(tg)}(e^*)) = (\det g)(z \perp e^*) = (\det g)\phi(z)

có tính đến § 8, no. 4, Mệnh đề 8.

Hệ quả

Với mọi tự đẳng cấu g của E,*

(80)

\Lambda^{(tg^{-1})} = (\det g)^{-1}\phi \circ (\Lambda(g)) \circ \phi^{-1}.

12. Áp dụng cho không gian con liên kết với một p-vectơ

Cho K là một trường và E một không gian vectơ trên K. Nhắc lại rằng với mỗi $p$ -vectơ $z \in \Lambda^p(E)$ được liên kết một không gian con hữu hạn chiều $M_z$ của E, cụ thể là không gian con vectơ nhỏ nhất M của E sao cho $z \in \Lambda^p(M)$ (§ 7, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4).

Mệnh đề 14

(i) *Trực giao của $M_z$ trong $E^*$ là tập hợp các $x^* \in E^*$ sao cho $x^* \perp z = 0$ .

(ii) Không gian con $M_z$ liên kết với z là ảnh của $\Lambda^{p-1}(E^*)$ dưới ánh xạ $\lambda_z : u^* \mapsto u^* \perp z$ từ $\Lambda^{p-1}(E^*)$ vào E.

Ký hiệu N là ảnh của $\lambda_z$ . Với $x^* \in E^*$ và $u^* \in \Lambda^{p-1}(E^*)$ ,

\langle \theta_{\Lambda}(x^*), u^* \perp z \rangle = \langle \theta_{\Lambda}(u^* \wedge x^*), z \rangle = (-1)^{p-1} \langle \theta_{\Lambda}(x^* \wedge u^*), z \rangle \\ = (-1)^{p-1} \langle \theta_{\Lambda}(u^*), x^* \perp z \rangle.

Vậy, để

x^*

trực giao với N, điều kiện cần và đủ là

x^* \perp z

trực giao với

\theta_{\Lambda}(\Lambda(E^*))

. Mà điều kiện sau tương đương với việc nói rằng

x^* \perp z = 0

; thật vậy, lấy

(e_{\lambda})_{\lambda \in L}

là một cơ sở của E; trang bị cho L một thứ tự toàn phần, như đã thấy (§ 7, no. 8, Định lý 1) rằng các

e_J

, khi J chạy qua tập

\mathscr{F}(L)

các tập con hữu hạn của L, tạo thành một cơ sở của

\Lambda(E)

; khi đó suy ra từ công thức (30) của no. 5 rằng các phần tử

\theta_{\wedge}(e_J^*)

là, sai khác một dấu, các dạng tọa độ trên

\wedge(E)

đối với cơ sở

(e_J)

; do đó có mệnh đề của ta.

Vì thế trực giao của N gồm các $x^* \in E^*$ sao cho $x^* \perp z = 0$ và kết luận của (i) do đó sẽ suy ra từ (ii).

Trước hết ta chứng minh rằng $N \subset M_z$ . Cho M là một không gian con vectơ của E sao cho $z \in \wedge(M)$ và cho $j : M \to E$ là đơn ánh chính tắc; ký hiệu $\mu_z$ là ánh xạ $v^* \mapsto v^* \perp z$ từ $\wedge^{p-1}(M^*)$ vào M; suy ra từ công thức (60) của no. 7 rằng có một sự phân tích chính tắc

\lambda_z : \wedge^{p-1}(E^*) \xrightarrow{\wedge^{p-1}(t_j)} \wedge^{p-1}(M^*) \xrightarrow{\mu_z} M \xrightarrow{j} E

điều đó chứng minh rằng $N \subset M$ và do đó $N \subset M_z$ theo định nghĩa của $M_z$ . Còn phải kiểm tra rằng $N = M_z$ . Giả sử đảo lại: khi đó sẽ tồn tại một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ của $M_z$ và một phần tử $x^* \in E^*$ sao cho $\langle x^*, e_1 \rangle = 1, \langle x^*, e_j \rangle = 0$ với $2 \leq j \leq n$ và sao cho $x^*$ trực giao với N và do đó $x^* \perp z = 0$ . Ta viết $z = \sum_H a_H e_H$ , trong đó tổng lấy trên các tập con của $\{1, n\}$ có $p$ phần tử. Theo (68) (no. 9),

x^* \perp e_H = 0 \quad \text{nếu } 1 \notin H \\ x^* \perp e_{\{1\} \cup H} = e_H \quad \text{nếu } H \subset \{2, n\}

điều này cho thấy quan hệ $x^* \perp z = 0$ kéo theo $a_H = 0$ với $1 \in H$ . Nhưng điều đó là không thể, vì khi đó $z$ sẽ thuộc $\wedge^p(M')$ , trong đó $M'$ là không gian con của M sinh bởi $e_2, \ldots, e_n$ .

13. Các $p$ -vectơ thuần. Các đa tạp Grassmann

Cho K là một trường và E là một không gian vectơ trên K. Một $p$ -vectơ $z \in \wedge^p(E)$ được gọi là thuần (hay đôi khi phân tích được) nếu nó khác không và tồn tại các vectơ $x_1, \ldots, x_p$ trong E sao cho $z = x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_p$ . Để có điều đó, điều kiện cần và đủ là không gian con $M_z$ liên kết với $z$ (luôn luôn có chiều $\geq p$ với $z \neq 0$ ) phải có chiều đúng bằng $p$ (vì khi đó $\wedge^p(M_z)$ có chiều bằng 1). Đặc biệt, mọi vô hướng khác không, mọi phần tử khác không của $E = \wedge^1(E)$ , mọi phần tử khác không của $\wedge^n(E)$ , khi E có chiều $n$ , đều là thuần.

Mệnh đề 15

Cho E là một không gian vectơ chiều n và cho e là một phần tử $\neq 0$ của $\wedge^n(E)$ (do đó lập thành một cơ sở của không gian vectơ này). Gọi $\phi : \wedge(E) \to \wedge(E^*)$ là đẳng cấu không gian vectơ liên kết với e (no. 11, Mệnh đề 12). Nếu z là một phần tử thuần của $\wedge^p(E)$ , thì $\phi(z)$ là một phần tử thuần của $\wedge^{n-p}(E^*)$ và các không gian con liên kết với z và $\phi(z)$ là trực giao.

Các trường hợp $p = 0$ và $p = n$ là tầm thường. Vậy giả sử rằng $1 \leq p \leq n - 1$ và cho $z = x_1 \wedge \cdots \wedge x_p \neq 0$ . Khi đó tồn tại một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ của E sao cho $e_i = x_i$ với $1 \leq i \leq p$ và $e = e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n$ . Khi đó từ công thức (78) của no. 11 suy ra rằng $\phi(z) = \pm e_{p+1}^* \wedge \cdots \wedge e_n^*$ , do đó mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả

Nếu E có chiều n, mọi $(n-1)$ -vectơ khác không của E đều là thuần.

Mệnh đề 16

Để một phần tử $z \neq 0$ của $\bigwedge^p(E)$ là thuần, điều kiện cần và đủ là, với mọi $u^* \in \bigwedge^{p-1}(E^*)$ ,

(u^* \perp z) \wedge z = 0.

Trường hợp $p = 0$ là tầm thường và ta giả sử $p \geq 1$ . Nếu $z = x_1 \wedge \cdots \wedge x_p$ , công thức (68) (no. 9) với $n = p - 1$ cho thấy rằng $u^* \perp z$ là một tổ hợp tuyến tính của các $x_i$ ( $1 \leq i \leq p$ ), do đó có (81). Nếu trái lại, không gian con $M_z$ liên kết với $z$ có chiều $> p$ , hãy xét một cơ sở $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ của không gian con này với $n > p$ . Từ no. 11, Mệnh đề 13 suy ra rằng mỗi $e_j$ đều có dạng $u^* \perp z$ với một $u^* \in \bigwedge^{p-1}(E^*)$ nào đó và do đó quan hệ (81) kéo theo $e_j \wedge z = 0$ với $1 \leq j \leq n$ . Suy ra rằng trong biểu thức $z = \sum_H a_H e_H$ (trong đó H chạy qua tập hợp các tập con của $\{1, n\}$ có $p$ phần tử) mọi hệ số $a_H$ đều bằng không, do đó $z = 0$ , trái với giả thiết.

Tiêu chuẩn của Mệnh đề 16 tương đương với việc viết các điều kiện (81) khi $u^*$ chạy qua một cơ sở của $\bigwedge^{p-1}(E^*)$ . Đặc biệt, giả sử E có số chiều hữu hạn $n$ và gọi $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của E. Khi đó các điều kiện (81) tương đương với các điều kiện

(82-(J, H))

\langle e_J^*, (e_H^* \perp e_I) \wedge z \rangle = 0

với mọi tập con J, H của

\{1, n\}

sao cho

\mathrm{Card}(J) = p + 1

và

\mathrm{Card}(H) = p - 1

. Bây giờ, nếu I và I' là hai tập con của

\{1, n\}

có

p

phần tử, các công thức (76) của no. 10 và bảng phép nhân (20) của § 7, no. 8 cho thấy rằng

\langle e_J^*, \langle e_H^* \perp e_I \rangle \wedge e_{I'} \rangle = 0

trừ khi tồn tại một

i \in \{1, n\}

sao cho

I - H = \{i\}

và

J - I' = \{i\}

, trong trường hợp đó

(83)

\langle e_J^*, (e_H^* \perp e_I) \wedge e_{I'} \rangle = (-1)^{(p-1)(p-2)/2} \varepsilon_{i, J, H}

trong đó

\varepsilon_{i, J, H} = \rho_{\{i\}, H} \rho_{\{i\}, I'}

; khi đó cũng có thể nói rằng với

i \in J \cap C H

\varepsilon_{i, J, H}

bằng

+1

nếu số phần tử của J mà

< i

và số phần tử của H mà

< i

có cùng tính chẵn lẻ, và bằng

-1

trong trường hợp ngược lại.

Ngay lập tức suy ra rằng nếu ta viết $z = \sum_I a_I e_I$ , trong đó I chạy qua tập hợp các tập con của $\{1, n\}$ có $p$ phần tử, thì quan hệ (82–(J, H)) tương đương với quan hệ

\sum_{i \in J \cup C_H} \varepsilon_{i, J, H} a_{J-\{i\}} a_{H \cup \{i\}} = 0.

Các quan hệ (84) được gọi là các hệ thức của Grassmann; do đó đây là những điều kiện cần và đủ (khi J mô tả tập hợp các tập con có $p + 1$ phần tử và H tập hợp các tập con có $p - 1$ phần tử của $\{1, n\}$ ) để một phần tử $z \neq 0$ của $\bigwedge^p(E)$ là thuần.

Chú ý rằng các quan hệ (84) không độc lập. Ví dụ, với $n = 4$ và $p = 2$ , các hệ thức của Grassmann rút gọn thành hệ thức duy nhất

a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23} = 0.

Cho $D_p(E)$ là tập con của $\bigwedge^p(E)$ gồm các $p$ -vectơ thuần; rõ ràng $D_p(E)$ là bão hòa đối với quan hệ tương đương giữa $u$ và $v$ : “tồn tại $\lambda \in K^*$ sao cho $v = \lambda u$ ” và hai phần tử $u, v$ của $D_p(E)$ là tương đương theo quan hệ này khi và chỉ khi các không gian con $M_u$ và $M_v$ của E liên kết với chúng là như nhau. Do đó ta thu được một song ánh chính tắc của tập hợp các không gian con vectơ p chiều của E lên ảnh $G_p(E)$ của $D_p(E)$ trong không gian xạ ảnh $\mathbf{P}(\bigwedge^p(E))$ liên kết với $\bigwedge^p(E)$ . Tập con $G_p(E)$ của $\mathbf{P}(\bigwedge^p(E))$ được gọi là đa tạp Grassmann chỉ số $p$ của không gian vectơ E. Khi E hữu hạn chiều và $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của E, đa tạp Grassmann chỉ số $p$ là tập hợp các điểm của $\mathbf{P}(\bigwedge^p(E))$ mà với chúng một hệ tọa độ thuần nhất $(a_I)$ (đối với cơ sở $(e_I)$ của $\bigwedge^p(E)$ ) thỏa mãn các hệ thức Grassmann (84).

Khi $E = K^n$ , đôi khi ta viết $G_{n,p}(K)$ thay cho $G_p(K^n)$ , sao cho $G_{n,1}(K) = P_{n-1}(K)$ . Ánh xạ $M \mapsto M^0$ , ánh xạ liên kết với mỗi không gian con $p$ chiều của $K^n$ không gian con trực giao trong $E^*$ (được đồng nhất với $K^n$ theo lựa chọn cơ sở đối ngẫu với cơ sở chính tắc của $K^n$ ), do đó xác định một song ánh chính tắc của $G_{n,p}(K)$ lên $G_{n,n-p}(K)$ ; Mệnh đề 15 cho thấy rằng song ánh này là hạn chế lên $G_{n,p}(K)$ của một đẳng cấu chính tắc của không gian xạ ảnh $\mathbf{P}(\bigwedge^p(K^n))$ lên không gian xạ ảnh $\mathbf{P}(\bigwedge^{n-p}(K^n))$ .

Bài tập

Xem bài tập của § 11.