Bài tập 8, § 7

Cho E là một A-môđun tự do. (a) Hãy chứng minh rằng trong $T^n(E)$, $\mathfrak{g}_n''$ (no. 1) là một A-môđun con tự do bằng hạt nhân của tự đồng cấu $z \mapsto a \cdot z$ và có một phần bù là một A-môđun tự do; do đó $\wedge^n E$ đẳng cấu chính tắc với $A_n''(E)$. Nếu thêm nữa trong A, phương trình $2\xi = 0$ suy ra $\xi = 0$, thì $A_n''(E) = A_n'(E)$. (b) Giả sử rằng A là một trường có đặc số $p > 0$ và $p \neq 2$. Khi đó ảnh chính tắc của $A_p'(E) = A_p''(E)$ trong $\wedge^p E$ bằng không. (c) Giả sử rằng A là một trường có đặc số 2. Khi đó $A_n'(E) = S_n'(E)$, $A_n''(E) = S_n''(E)$, nhưng nói chung $A_n'(E) \neq A_n''(E)$