Exercice 8, § 7

Soit E un A-module libre.** a) Montrer que dans $T^n(E)$, $\mathfrak{J}_n''$ (III, p. 76) est un sous-A-module libre égal au noyau de l’endomorphisme $z \mapsto az$, et admet un supplémentaire qui est un A-module libre; $\wedge^n E$ est par suite canoniquement isomorphe à $A_n''(E)$. Si en outre dans A l’équation $2\xi = 0$ entraîne $\xi = 0$, alors $A_n''(E) = A_n'(E)$. *b) On suppose que A soit un corps de caractéristique $p > 0$ et que $p \neq 2$. Alors l’image canonique de $A_p'(E) = A_p''(E)$ dans $\wedge^p E$ est nulle. c) On suppose que A soit un corps de caractéristique 2. Alors on a $A_n'(E) = S_n'(E)$, $A_n''(E) = S_n''(E)$, mais en général $A_n'(E) \neq A_n''(E)$.