Bài tập 3, § 6

Cho $K$ là một trường, $B$ là vành đa thức $K[X_1, X_2]$ và $p$ là iđêan của $B$ sinh bởi đa thức $X_1^3 - X_2^2$.

(a) Chứng minh rằng $p$ là nguyên tố và do đó $A = B/p$ là một miền nguyên. Gọi $a$ và $b$ là các ảnh chính tắc của $X_1$ và $X_2$ trong $A$; $a$ và $b$ không khả nghịch trong $A$ và $a^3 = b^2$.

(b) Gọi $m$ là iđêan (cực đại) của $A$ sinh bởi $a$ và $b$. Chứng minh rằng đại số đối xứng $S(m)$ không phải là một miền nguyên. (Nhận thấy rằng $m$ được đồng nhất với môđun thương $A^2/N$, trong đó $N$ là môđun con của $A^2$ sinh bởi $(b, -a)$; kết luận rằng $S(m)$ đẳng cấu với vành thương $A[U, V]/(bU - aV)$ và chứng minh rằng trong vành đa thức $A[U, V]$ iđêan chính $(bV - aU)$ không nguyên tố, bằng cách xét tích $b^2(bV^3 - U^3)$.)